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浙江省宁波市南三县（奉化 宁海 象山）2024-2025学年七年级上学期数学期末试卷
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025七上·宁波期末）世界上最早记载负数的是中国古代的数学著作《九章算术》，负数可以用来表示具有相反意义的量．规定盈利为正，如盈利 30 元，记作 +30 元，那么－50 元表示（ ）
A．支出 50 元 B．收入 50 元 C．盈利 50 元 D．亏损 50 元
2．（2025七上·宁波期末）下列各数，是无理数的为（ ）
A． B．
C． D．2.1212212221
3．（2025七上·宁波期末）天宫二号空间实验室的运行轨道距离地球约393000米，将393000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七上·宁波期末）在下列现象中，可以用基本事实＂两点之间线段最短＂来解释的是（ ）
A．木板上弹墨线
B．砌墙拉参照线
C．弯曲河道改直
D．射击比赛瞄准
5．（2025七上·宁波期末）下列说法中正确的是（ ）
A． 是整式 B．0 是单项式
C． 的系数是 D． 是一次三项式
6．（2025七上·宁波期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
7．（2025七上·宁波期末）已知 ，那么它的余角是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七上·宁波期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：＂林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．＂其大意是；牧童们在树下拿着竹竿玩要，不知有多少人和竹竿，每人分 6 竿，多 14 竿；每人分 8 竿，恰好用完，设共有 根竹坐，根据题意，列方程得（ ）
A． B． C． D．
9．（2025七上·宁波期末）大约从 20 世纪 50 年代开始，许多国家流传着这样一个数学猜想，其原理如下图数值转换器。若开始输入 的值是 5 ，则第 1 次输出的结果是 16 ，第 2 次输出的结果是 8 ，第 3 次输出的结果是 4 ．依次继续下去，第 2025 次输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025七上·宁波期末）如图，现有五张图 1 所示形状大小完全相同的小长方形，长为 ，宽为 ，将它们放入图 2 的大长方形 中，若未被覆盖的两个阴影部分的周长分别记为 和 与 的差等于两倍的小长方形的宽，则小长方形的长与宽满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（2025七上·宁波期末）｜－2025｜的值为　 　．
12．（2025七上·宁波期末）4的平方根是 　 　
13．（2025七上·宁波期末）打年糕是宁波过年的传统习俗，预示着丰收，希望来年有好收成．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使重量增加 ．如果原有糯米 斤，则做成年糕后重量为　 　斤（用含 的代数式表示）．
14．（2025七上·宁波期末）若 是关于 的一元一次方程 的解，则 的值是　 　．
15．（2025七上·宁波期末）定义：若点 为直线 上的一点，且满足 ，则称点 是线段 的＂巧分点＂．现已知 ，点 是线段 的＂巧分点＂，则 　 　．
16．（2025七上·宁波期末）＂幻方＂最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将 ，4，5，7，8，9 这八个数字填入如图 1 所示的＂幻方＂中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填入新的数，如图 2 所示，则 的值是　 　．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 60 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（2025七上·宁波期末）计算：
（1）
（2）
18．（2025七上·宁波期末）先化简，再求值： ，其中 ．
19．（2025七上·宁波期末）解方程：
（1）
（2）
20．（2025七上·宁波期末）如图，平面内四点 ，按下列要求作图（保留作图痕迹并标注相关字母）．
（1）画射线 ；
（2）画直线 ；
（3）连结 ，并延长至点 ，使得 ；
（4）在直线 上找一点 ，使得 最小．
21．（2025七上·宁波期末）如图，点 是直线 上一点，射线 在直线 的上方，射线 在直线 的下方，且 平分 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 平分 ，求 的度数．
22．（2025七上·宁波期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时．如果用符号＂＂表示钟表上的加法，则 ．若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号＂＂表示钟表上的减法，则 ．（注：此处用 0 时代替 12 时）。
根据上述材料解决下列问题：
（1） 　 　， 　 　．
（2）在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？
（3）规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例加以说明．
23．（2025七上·宁波期末）小甬所在的村被拆迁，各家各户都忙着搬新家．小甬通过某搬家公司的小程序平台了解到搬家费用包含运输费和搬运费，运输费按起步价与超出部分分段计费方式累加计算，搬运费含基础搬运费，楼层搬运费和大件搬运费，一次搬家只收一次基础搬运费，如果是电梯房搬家全程通过电梯搬运，具体计费标准如下；
计费项目 计费标准
运输费 5 公里及以内（起步价） 39 元
超出5 公里但不超过 25 公里部分 3.5 元／公里
超出 25 公里部分 2.5 元／公里
搬运费 基础搬运费 50 元
楼层搬运费 ①通过楼梯搬运： 1 楼不收费， 2楼及以上每层22 元 ②通过电梯搬运收 22 元 ③搬上楼和搬下楼分开计算
大件搬运费 30 元／一件
根据以上信息，回答下列问题：
（1）若只考虑运输费，从老家搬到 公里外的新家，若距离超出 5 公里但不超过 25 公里时，运输费需要　 　元；若距离超出 25 公里时，运输费需要　 　元；（用含 的代数式表示）。
（2）小甬家要从村里的 1 楼搬迁到 15 公里外的 9 楼电梯房，且有 3 件大件家具，则需要搬家费用为多少？
（3）小波家也找了同一家搬家公司进行搬家，小波家从原来的 3 楼楼梯房搬到了新的 15 楼电梯房，有 5 件大家具，搬家总共花费 380 元，小波的搬家距离有多远？
24．（2025七上·宁波期末）如图①，直角三角尺 和直角三角尺 的顶点 重合，且顶点 在一条直线上， ，保持三角尺 不动，将三角尺 绕顶点 顺时针旋转，点 落在射线 上时停止旋转．
（1）如图②，当三角尺 绕顶点 顺时针旋转 时，则 　 　°　 　。
（2）如图③，当三角尺 顺时针旋转任意角度 ，且 在 上方时， 与 大小之间有何数量关系？并说明理由．
（3）如图④，若三角尺 的旋转速度为 秒，当 在 下方时，那么多少秒后 是 的两倍．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据负数可以用来表示具有相反意义的量因为盈利30元，记作+30元，
∴-50元表示亏损50元，
故答案为：D.
【分析】根据正数和负数可以表示具有相反意义的量，规定盈利为正，那么亏损就为负.
2．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵是整数，是整数，2.1212212221是有限小数，
∴是有理数，
∵π是无限不循环小数，
∴是无理数，
故答案为：C.
【分析】根据无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见的无理数有π和开方开不尽的数.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 393000=3.93×105
故答案为：B
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左边数第一个数后面整数的位数.
4．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短
【解析】【解答】解：A、B、D用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
C用到的是两点之间，线段最短，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据线段的性质解答即可.
5．【答案】B
【知识点】单项式的概念；整式的概念与分类；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：不是整式，则A不符合题意；
0是单项式，则B符合题意；
的系数是，则C不符合题意；
2x-3xy-2是二次三项式，则D不符合题意；
故答案选：B.
【分析】A选项，根据整式的定义即可判断；
B选项，根据单项式的概念即可判断；
C选项，根据单项式的概念即可判断；
D选项，根据多项式的概念即可求解.
6．【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、将a=b，c=d两个等式相加得a+c=b+d，故此选项变形正确，符合题意；
B、在等式4a =2的两边都除以4得，故此选项变形错误，不符合题意；
C、在等式1-2a=3a的两边都加上2a得1=3a+2a，即3a+2a=1，故此选项变形错误，不符合题意；
D、如果ac=bc且c≠0，那么a=b，故此选项变形错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个数或式子(除数不能为0)，等式仍然成立.
7．【答案】C
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵∠α=25°42'，
∴∠α的余角=90°-∠α= 90°- 25°42'= 64°18'，
故答案为：C.
【分析】根据余角的定义可知：∠α的余角=90°-∠α，据此计算即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得，，
故答案为：A.
【分析】根据每人分6根竹竿，多14根竹竿；每人分8根竹竿恰好分完，可以列出相应的方程，从而可以解答本题.
9．【答案】D
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：第1次输出的结果是16，
第2次输出的结果是8，
第3次输出的结果是4，
第4次输出的结果是，
第5次输出的结果是，
第6次输出的结果是3×1+1=4，
第7次输出的结果是2，
第8次输出的结果是1，
……
从第3开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，
(2025-2)÷3=674...1，
∴第2025次输出的结果为4，
故答案选：D.
【分析】从第3次开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，即可解答.
10．【答案】B
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由条件可知：2[a-x+(a-y)]-2[3b-x+(2b- y)]= 2b，
整理得(2a-x-y)-(5b-x- y)= b，
2a-x-y-5b+x+y=b，
2a-5b =b，
2a = 6b，
a = 3b.
故答案选：B.
【分析】设小长方形的短边为x，长边为y，表示出x、y、a、b之间的关系，然后求解即可.
11．【答案】2025
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵负数的绝对值是它的相反数，
∴|-2025|的值为2025，
故答案为：2025.
【分析】根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数.
12．【答案】±2
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
13．【答案】1.2x
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：做成年糕后重量为(1+ 20%)x=1.2x，
故答案为：1.2x.
【分析】根据题意列出代数式即可.
14．【答案】-2
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元一次方程的解求参数
15．【答案】2或6
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：因为点C的位置不确定，所以分两种情况：
①当点C在线段AB上时，
∵AC=2BC，AB=6，
∴；
②当点C在线段AB的延长线上时，
∵AC=2BC，AB=6，
∴BC=AB=6；
故答案为：2或6.
【分析】根据题意，分两种情况讨论：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，分别求出BC的长即可.
16．【答案】-6
【知识点】幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得：y+(-2)=x+1，m+(-2)=n+1，
∴x-y=-3，n-m=-3，
∴x+n-y-m=(x-y)+(n-m)=-3+(-3)=-6，
故答案为：-6.
【分析】根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出y+(-2)=x+1，m+(-2)=n+1，得出n-m=-3，x-y=-3，整体代入计算即可得出答案.
17．【答案】（1）解：原式=-12-14+11+15
=0
（2）解：原式
=10-9+1
=2
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先进行括号内的运算，然后进行加减运算；
（2）先进行括号内的运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算.
18．【答案】解：原式=x2-6xy-2y2-2x2+7xy+2y2
=-x2+xy
当x=6，时，
原式
=-36-4
=-40
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
19．【答案】（1）解：去括号得：6-3x+15=4x，
移项合并得：7x=21，
解得：x=3
（2）解：去分母得：3(3-4x)=2(2- 5x)+6，
去括号得：9-12x=4-10x+6，
移项合并得：-2x=1，
解得：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】(1)方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解；
(2)方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解.
20．【答案】解：如图，
（1）射线AB即为所求，
（2）直线AC即为所求，
（3）线段DC及点B即为所求，
（4）AC与BD的交点P即为所求.
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
21．【答案】（1）解：∵OF平分∠COD，∠DOF=20°，
∴∠COD=2∠DOF =40°，
又∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC =90°，
∴∠AOB=∠COD =40°；
（2）解：设∠DOF=x，则∠DOF=∠COF=x，
∴∠DOC=2∠DOF=2x，
∴∠AOB=∠COD =2x，
∵OA平分∠BOE，
∴∠AOE=∠AOB=2x，
∵∠AOC = 90°，
∴∠BOC =90°-2x，
∵∠AOE+∠AOB+∠BOC+∠COF=180°，
∴2x+2x+90°-2x+=180°，
∴x=30°，
∴∠DOF =30°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)利用余角和补角性质即可解答；
(2)设∠DOF=x，则∠DOF=∠COF=x，得出∠AOB=∠COD=x，结合OA平分∠BOE，得到∠AOE=∠AOB=2x，进而得到∠BOC=90°-2x，结合图形可知∠AOE+∠AOB+∠BOC+∠COF=180°，列方程，解方程即可解答.
22．【答案】（1）3；9
（2）解：5+7=12，
12-12=0，
∴5的相反数是7
（3）解：不一定成立，理由如下，
当a=3，b=5，c=7时，37=10，57=0，则
37>57，
∴当a < b时，ac【知识点】有理数的减法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：(1)根据题意可知，，
47=4+12-7=9.
故答案为：3，9.
【分析】(1)根据钟表运算中的加减法，计算出结果；
(2)根据颖意，钟表运算中的相反数的概念，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的结果就是钟表上的时间；
(3)根据题意，钟表运算中的不等式的性质，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的纪果就是钟表上的时间.
23．【答案】（1）3.5x+21.5；2.5x+46.5
（2）解：运输费为：39+3.5×(15-5)= 74(元)
搬运费为：50+22+30×3=162(元)，
∴搬家总费用为：74+162=236(元)，
答：需要搬家费用为236元
（3）解：搬运费为：50+2×22+22+5×30=266(元)，
则运输费为：380-266=114(元)>39+3.5×20=109(元)，
∴搬家距离超过25公里，
设小波家的搬家距离为x公里，
依题意得：39+3.5×20+2.5(x-25)= 114，
解得：x=27，
答：小波的搬家距离为27公里
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用
24．【答案】（1）95；80°
（2）解：结论：∠CAD-∠BAE=15°，
理由：由题图得，
∠CAD=135°-α°，∠BAE=120°-α°，
∠CAD-∠BAE=135°-α°-(120°-α°)=15°
（3）解：设旋转时间为t秒，则旋转角度为5t°，
∵AB在AE下方，
∴∠BAE=5t°-120°，此时t>24，
①当在AC在AD上方时，如下图，
∠CAD=135°-5t°，
∴当∠BAE=2∠CAD时，
5t°-120°=2(135°-5t°)，
解得t=26秒，符合题意.
②当在AC在AD下方时，如下图，
∠CAD=5t°-135°，
∴当∠BAE=2∠CAD时，
5t°-120°=2(5t°-135°)，
解得t=30秒，符合题意，
综上，26秒或30秒后，∠BAE是∠CAD的两倍
【知识点】角的运算；旋转的性质；补角
【解析】【解答】解：(1)当三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转40°时，
∠CAE=180°-40°=140°，
∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=140°-45°=95°，
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=140°-60°=80°，
故答案为：95，80°.
【分析】(1)根据旋转的及补角的性质可得∠CAE=180°-40°=140°，再结合三角尺中角的度数分别求出么∠CAD和∠BAE的度数即可；
(2)由题意得∠CAD=135°-α°，∠BAE=120°-α°，再求出∠CAD-∠BAE的度数即可；
(3)设旋转时间为t秒，则旋转角度为5t°，分为当在AC在AD上方时及当在AC在AD下方时，分别求解即可.
1 / 1浙江省宁波市南三县（奉化 宁海 象山）2024-2025学年七年级上学期数学期末试卷
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025七上·宁波期末）世界上最早记载负数的是中国古代的数学著作《九章算术》，负数可以用来表示具有相反意义的量．规定盈利为正，如盈利 30 元，记作 +30 元，那么－50 元表示（ ）
A．支出 50 元 B．收入 50 元 C．盈利 50 元 D．亏损 50 元
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据负数可以用来表示具有相反意义的量因为盈利30元，记作+30元，
∴-50元表示亏损50元，
故答案为：D.
【分析】根据正数和负数可以表示具有相反意义的量，规定盈利为正，那么亏损就为负.
2．（2025七上·宁波期末）下列各数，是无理数的为（ ）
A． B．
C． D．2.1212212221
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵是整数，是整数，2.1212212221是有限小数，
∴是有理数，
∵π是无限不循环小数，
∴是无理数，
故答案为：C.
【分析】根据无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见的无理数有π和开方开不尽的数.
3．（2025七上·宁波期末）天宫二号空间实验室的运行轨道距离地球约393000米，将393000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 393000=3.93×105
故答案为：B
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左边数第一个数后面整数的位数.
4．（2025七上·宁波期末）在下列现象中，可以用基本事实＂两点之间线段最短＂来解释的是（ ）
A．木板上弹墨线
B．砌墙拉参照线
C．弯曲河道改直
D．射击比赛瞄准
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短
【解析】【解答】解：A、B、D用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
C用到的是两点之间，线段最短，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据线段的性质解答即可.
5．（2025七上·宁波期末）下列说法中正确的是（ ）
A． 是整式 B．0 是单项式
C． 的系数是 D． 是一次三项式
【答案】B
【知识点】单项式的概念；整式的概念与分类；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：不是整式，则A不符合题意；
0是单项式，则B符合题意；
的系数是，则C不符合题意；
2x-3xy-2是二次三项式，则D不符合题意；
故答案选：B.
【分析】A选项，根据整式的定义即可判断；
B选项，根据单项式的概念即可判断；
C选项，根据单项式的概念即可判断；
D选项，根据多项式的概念即可求解.
6．（2025七上·宁波期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、将a=b，c=d两个等式相加得a+c=b+d，故此选项变形正确，符合题意；
B、在等式4a =2的两边都除以4得，故此选项变形错误，不符合题意；
C、在等式1-2a=3a的两边都加上2a得1=3a+2a，即3a+2a=1，故此选项变形错误，不符合题意；
D、如果ac=bc且c≠0，那么a=b，故此选项变形错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个数或式子(除数不能为0)，等式仍然成立.
7．（2025七上·宁波期末）已知 ，那么它的余角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵∠α=25°42'，
∴∠α的余角=90°-∠α= 90°- 25°42'= 64°18'，
故答案为：C.
【分析】根据余角的定义可知：∠α的余角=90°-∠α，据此计算即可得出答案.
8．（2025七上·宁波期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：＂林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．＂其大意是；牧童们在树下拿着竹竿玩要，不知有多少人和竹竿，每人分 6 竿，多 14 竿；每人分 8 竿，恰好用完，设共有 根竹坐，根据题意，列方程得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得，，
故答案为：A.
【分析】根据每人分6根竹竿，多14根竹竿；每人分8根竹竿恰好分完，可以列出相应的方程，从而可以解答本题.
9．（2025七上·宁波期末）大约从 20 世纪 50 年代开始，许多国家流传着这样一个数学猜想，其原理如下图数值转换器。若开始输入 的值是 5 ，则第 1 次输出的结果是 16 ，第 2 次输出的结果是 8 ，第 3 次输出的结果是 4 ．依次继续下去，第 2025 次输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：第1次输出的结果是16，
第2次输出的结果是8，
第3次输出的结果是4，
第4次输出的结果是，
第5次输出的结果是，
第6次输出的结果是3×1+1=4，
第7次输出的结果是2，
第8次输出的结果是1，
……
从第3开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，
(2025-2)÷3=674...1，
∴第2025次输出的结果为4，
故答案选：D.
【分析】从第3次开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，即可解答.
10．（2025七上·宁波期末）如图，现有五张图 1 所示形状大小完全相同的小长方形，长为 ，宽为 ，将它们放入图 2 的大长方形 中，若未被覆盖的两个阴影部分的周长分别记为 和 与 的差等于两倍的小长方形的宽，则小长方形的长与宽满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由条件可知：2[a-x+(a-y)]-2[3b-x+(2b- y)]= 2b，
整理得(2a-x-y)-(5b-x- y)= b，
2a-x-y-5b+x+y=b，
2a-5b =b，
2a = 6b，
a = 3b.
故答案选：B.
【分析】设小长方形的短边为x，长边为y，表示出x、y、a、b之间的关系，然后求解即可.
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（2025七上·宁波期末）｜－2025｜的值为　 　．
【答案】2025
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵负数的绝对值是它的相反数，
∴|-2025|的值为2025，
故答案为：2025.
【分析】根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数.
12．（2025七上·宁波期末）4的平方根是 　 　
【答案】±2
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
13．（2025七上·宁波期末）打年糕是宁波过年的传统习俗，预示着丰收，希望来年有好收成．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使重量增加 ．如果原有糯米 斤，则做成年糕后重量为　 　斤（用含 的代数式表示）．
【答案】1.2x
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：做成年糕后重量为(1+ 20%)x=1.2x，
故答案为：1.2x.
【分析】根据题意列出代数式即可.
14．（2025七上·宁波期末）若 是关于 的一元一次方程 的解，则 的值是　 　．
【答案】-2
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元一次方程的解求参数
15．（2025七上·宁波期末）定义：若点 为直线 上的一点，且满足 ，则称点 是线段 的＂巧分点＂．现已知 ，点 是线段 的＂巧分点＂，则 　 　．
【答案】2或6
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：因为点C的位置不确定，所以分两种情况：
①当点C在线段AB上时，
∵AC=2BC，AB=6，
∴；
②当点C在线段AB的延长线上时，
∵AC=2BC，AB=6，
∴BC=AB=6；
故答案为：2或6.
【分析】根据题意，分两种情况讨论：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，分别求出BC的长即可.
16．（2025七上·宁波期末）＂幻方＂最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将 ，4，5，7，8，9 这八个数字填入如图 1 所示的＂幻方＂中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填入新的数，如图 2 所示，则 的值是　 　．
【答案】-6
【知识点】幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得：y+(-2)=x+1，m+(-2)=n+1，
∴x-y=-3，n-m=-3，
∴x+n-y-m=(x-y)+(n-m)=-3+(-3)=-6，
故答案为：-6.
【分析】根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出y+(-2)=x+1，m+(-2)=n+1，得出n-m=-3，x-y=-3，整体代入计算即可得出答案.
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 60 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（2025七上·宁波期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=-12-14+11+15
=0
（2）解：原式
=10-9+1
=2
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先进行括号内的运算，然后进行加减运算；
（2）先进行括号内的运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算.
18．（2025七上·宁波期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：原式=x2-6xy-2y2-2x2+7xy+2y2
=-x2+xy
当x=6，时，
原式
=-36-4
=-40
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
19．（2025七上·宁波期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：去括号得：6-3x+15=4x，
移项合并得：7x=21，
解得：x=3
（2）解：去分母得：3(3-4x)=2(2- 5x)+6，
去括号得：9-12x=4-10x+6，
移项合并得：-2x=1，
解得：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】(1)方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解；
(2)方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解.
20．（2025七上·宁波期末）如图，平面内四点 ，按下列要求作图（保留作图痕迹并标注相关字母）．
（1）画射线 ；
（2）画直线 ；
（3）连结 ，并延长至点 ，使得 ；
（4）在直线 上找一点 ，使得 最小．
【答案】解：如图，
（1）射线AB即为所求，
（2）直线AC即为所求，
（3）线段DC及点B即为所求，
（4）AC与BD的交点P即为所求.
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
21．（2025七上·宁波期末）如图，点 是直线 上一点，射线 在直线 的上方，射线 在直线 的下方，且 平分 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 平分 ，求 的度数．
【答案】（1）解：∵OF平分∠COD，∠DOF=20°，
∴∠COD=2∠DOF =40°，
又∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC =90°，
∴∠AOB=∠COD =40°；
（2）解：设∠DOF=x，则∠DOF=∠COF=x，
∴∠DOC=2∠DOF=2x，
∴∠AOB=∠COD =2x，
∵OA平分∠BOE，
∴∠AOE=∠AOB=2x，
∵∠AOC = 90°，
∴∠BOC =90°-2x，
∵∠AOE+∠AOB+∠BOC+∠COF=180°，
∴2x+2x+90°-2x+=180°，
∴x=30°，
∴∠DOF =30°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)利用余角和补角性质即可解答；
(2)设∠DOF=x，则∠DOF=∠COF=x，得出∠AOB=∠COD=x，结合OA平分∠BOE，得到∠AOE=∠AOB=2x，进而得到∠BOC=90°-2x，结合图形可知∠AOE+∠AOB+∠BOC+∠COF=180°，列方程，解方程即可解答.
22．（2025七上·宁波期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时．如果用符号＂＂表示钟表上的加法，则 ．若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号＂＂表示钟表上的减法，则 ．（注：此处用 0 时代替 12 时）。
根据上述材料解决下列问题：
（1） 　 　， 　 　．
（2）在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？
（3）规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例加以说明．
【答案】（1）3；9
（2）解：5+7=12，
12-12=0，
∴5的相反数是7
（3）解：不一定成立，理由如下，
当a=3，b=5，c=7时，37=10，57=0，则
37>57，
∴当a < b时，ac【知识点】有理数的减法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：(1)根据题意可知，，
47=4+12-7=9.
故答案为：3，9.
【分析】(1)根据钟表运算中的加减法，计算出结果；
(2)根据颖意，钟表运算中的相反数的概念，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的结果就是钟表上的时间；
(3)根据题意，钟表运算中的不等式的性质，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的纪果就是钟表上的时间.
23．（2025七上·宁波期末）小甬所在的村被拆迁，各家各户都忙着搬新家．小甬通过某搬家公司的小程序平台了解到搬家费用包含运输费和搬运费，运输费按起步价与超出部分分段计费方式累加计算，搬运费含基础搬运费，楼层搬运费和大件搬运费，一次搬家只收一次基础搬运费，如果是电梯房搬家全程通过电梯搬运，具体计费标准如下；
计费项目 计费标准
运输费 5 公里及以内（起步价） 39 元
超出5 公里但不超过 25 公里部分 3.5 元／公里
超出 25 公里部分 2.5 元／公里
搬运费 基础搬运费 50 元
楼层搬运费 ①通过楼梯搬运： 1 楼不收费， 2楼及以上每层22 元 ②通过电梯搬运收 22 元 ③搬上楼和搬下楼分开计算
大件搬运费 30 元／一件
根据以上信息，回答下列问题：
（1）若只考虑运输费，从老家搬到 公里外的新家，若距离超出 5 公里但不超过 25 公里时，运输费需要　 　元；若距离超出 25 公里时，运输费需要　 　元；（用含 的代数式表示）。
（2）小甬家要从村里的 1 楼搬迁到 15 公里外的 9 楼电梯房，且有 3 件大件家具，则需要搬家费用为多少？
（3）小波家也找了同一家搬家公司进行搬家，小波家从原来的 3 楼楼梯房搬到了新的 15 楼电梯房，有 5 件大家具，搬家总共花费 380 元，小波的搬家距离有多远？
【答案】（1）3.5x+21.5；2.5x+46.5
（2）解：运输费为：39+3.5×(15-5)= 74(元)
搬运费为：50+22+30×3=162(元)，
∴搬家总费用为：74+162=236(元)，
答：需要搬家费用为236元
（3）解：搬运费为：50+2×22+22+5×30=266(元)，
则运输费为：380-266=114(元)>39+3.5×20=109(元)，
∴搬家距离超过25公里，
设小波家的搬家距离为x公里，
依题意得：39+3.5×20+2.5(x-25)= 114，
解得：x=27，
答：小波的搬家距离为27公里
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用
24．（2025七上·宁波期末）如图①，直角三角尺 和直角三角尺 的顶点 重合，且顶点 在一条直线上， ，保持三角尺 不动，将三角尺 绕顶点 顺时针旋转，点 落在射线 上时停止旋转．
（1）如图②，当三角尺 绕顶点 顺时针旋转 时，则 　 　°　 　。
（2）如图③，当三角尺 顺时针旋转任意角度 ，且 在 上方时， 与 大小之间有何数量关系？并说明理由．
（3）如图④，若三角尺 的旋转速度为 秒，当 在 下方时，那么多少秒后 是 的两倍．
【答案】（1）95；80°
（2）解：结论：∠CAD-∠BAE=15°，
理由：由题图得，
∠CAD=135°-α°，∠BAE=120°-α°，
∠CAD-∠BAE=135°-α°-(120°-α°)=15°
（3）解：设旋转时间为t秒，则旋转角度为5t°，
∵AB在AE下方，
∴∠BAE=5t°-120°，此时t>24，
①当在AC在AD上方时，如下图，
∠CAD=135°-5t°，
∴当∠BAE=2∠CAD时，
5t°-120°=2(135°-5t°)，
解得t=26秒，符合题意.
②当在AC在AD下方时，如下图，
∠CAD=5t°-135°，
∴当∠BAE=2∠CAD时，
5t°-120°=2(5t°-135°)，
解得t=30秒，符合题意，
综上，26秒或30秒后，∠BAE是∠CAD的两倍
【知识点】角的运算；旋转的性质；补角
【解析】【解答】解：(1)当三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转40°时，
∠CAE=180°-40°=140°，
∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=140°-45°=95°，
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=140°-60°=80°，
故答案为：95，80°.
【分析】(1)根据旋转的及补角的性质可得∠CAE=180°-40°=140°，再结合三角尺中角的度数分别求出么∠CAD和∠BAE的度数即可；
(2)由题意得∠CAD=135°-α°，∠BAE=120°-α°，再求出∠CAD-∠BAE的度数即可；
(3)设旋转时间为t秒，则旋转角度为5t°，分为当在AC在AD上方时及当在AC在AD下方时，分别求解即可.
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