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第五章二元一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是（ ）
A．1元 B．3元 C．5元 D．7元
2．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值是（ ）
A．5 B．2 C． D．
3．下列各式是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知是关于、的二元一次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．用加减法解方程组时，得（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x，y的方程组的解互为相反数，则m的值等于（ ）
A．1 B．0 C． D．2
7．用加减法解方程组时，消去y应为（ ）
A． B．
C． D．
8．《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B． C． D．
9．甲、乙两人相距300米，若两人同时相向而行，则需3分钟相遇；如果两人同时同向而行，那么半小时后甲追上乙，则甲、乙两人的速度是（ ）
A．55米/分，40米/分 B．55米/分，45米/分
C．50米/分，45米/分 D．50米/分，45米/分
10．已知方程组，则的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
11．新冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播。所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护。为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
12．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备用160元全部购买A，B两种奖品若干个，那么可以购买B种奖品 个．
14．若，则 ， ， ．
15．用大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案．如果点A的坐标为，那么小长方形的宽为 ．
16．已知是二元一次方程的一个解，则 ．
17．已知方程，用关于x的代数式表示y，则 ．
三、解答题
18．解方程组：
(1)
(2)
19．解方程组
20．解方程组
(1)
(2)
21．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得：，即．③
得：．④
①-④得：，代入③得．
所以这个方程组的解是．
(1)请你运用小明的方法解方程组．
(2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是______．
22．（1）观察发现：
解方程组
将①整体代入②，得，解得．
将代入①，解得．
所以原方程组的解是．
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法解答．
请直接写出方程组的解为________；
（2）实践运用：
请用“整体代入法”解方程组：．
23．列方程解决问题
某文具店出售的部分文具的单价如下表：
种类 单价
红黑双色中性笔 10元/支
黑色笔芯 6元/盒
红色笔芯 8元/盒
“双11”期间，因活动促销，黑色笔芯五折销售，红色笔芯七五折销售．小杰在此期间共购进红黑双色中性笔2支，红色笔芯与黑色笔芯共10盒，共花去74元．
(1)小杰黑色笔芯与红色笔芯各买多少盒？
(2)小杰此次购买比按原价购买共节约多少钱？
24．小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求：
(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？
(2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？
《第五章二元一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A A A C C C B A
题号 11 12
答案 B A
1．D
【分析】设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，根据“晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元”，可得出关于x，y，z的三元一次方程组，解之即可得出的值．
【详解】解：设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，
根据题意，得，
，得：，③
，得：，④
，得，
∴，
∴晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是7元．
故选：D．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
2．C
【分析】将代入二元一次方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：是关于，的二元一次方程的一个解，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解的定义是解题的关键．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．
3．A
【分析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【详解】解：A．方程符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，选项符合题意；
B．方程不是整式方程，选项不符合题意；
C．不是方程，选项不符合题意；
D．方程中所含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
4．A
【分析】根据二元一次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是关于、的二元一次方程，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，一般地，形如且a、b是常数的方程叫做二元一次方程．
5．A
【分析】本题考查了解二元一次方程，利用可得，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：，
得，
故选：A．
6．C
【分析】由方程组的解互为相反数可知y=-x，代入方程组可求出m．
【详解】解：∵方程组的解互为相反数，
∴y=-x，
∴，
解得m=-1．
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟知解二元一次方程组的步骤．
7．C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握加减消元法的应用是解题的关键．
根据①中y的系数是3，②中y的系数是，判断出要求消去y，则应①的二倍与②的和即可解答．
【详解】解：用加减法解方程组时，若要求消去y，则应．
故选：C．
8．C
【分析】设绳长为x尺，根据水井的深度不变，得出关于x的一元一次方程即可解答．
【详解】解：若设绳长、井深分别为x、y尺，
则符合题意的方程组是，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
9．B
【分析】设甲、乙两人的速度分别是x米/分，y米/分，根据“两人同时相向而行，则需3分钟相遇；如果两人同时同向而行，那么半小时后甲追上乙”列出二元一次方程组，解方程组可得答案．
【详解】解：设甲、乙两人的速度分别是x米/分，y米/分，
由题意得：，
解得：，
∴甲、乙两人的速度分别是55米/分，45米/分，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，列出二元一次方程组是解题的关键．
10．A
【分析】原方程组左右两边同时相加后再两边同时除以2可以得解．　
【详解】解：原方程组左右两边同时相加可得：
∴
故选：A．　
【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握等式的基本性质及方程的变形是解题关键．　
11．B
【分析】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，根据小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买）列出二元一次方程，根据A，B两种型号的医用外科口罩都买得到x的取值范围，从而求出二元一次方程的正整数解即可．
【详解】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，由题意可得：
，
解得 ，
，A，B两种型号的医用外科口罩都买，
，
所有购买方案为 ， ， ，
有3种购买方案，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键．
12．A
【分析】根据代入消元法的定义，把①代入②就是把②中的y换成用x表示，即可求解.
【详解】解：
把①代入②得：，
即，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了代入消元法，解题的关键在于能够熟练掌握代入消元法的定义.
13．4或8
【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出两种奖品的单价，设可以购买A种奖品m个，B种奖品n个，利用总价=单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出n的值．
【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．
设可以购买A种奖品m个，B种奖品n个，
根据题意得：，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴或，
∴可以购买B种奖品4或8个．
故答案为：4或8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
14． 1
【分析】本题主要考查绝对值非负性，解三元一次方程组；根据绝对值非负性列出三元一次方程组，计算求解即可．
【详解】解：根据题意得：
由②得
把代入③
得：
把，代入①
解得：
故答案为：，1，．
15．
【分析】设长方形的长为x，宽为y，根据点A的坐标列出关于x、y的二元一次方程组，然后解方程组，即可作答．本题考查二元一次方程组的应用、坐标与图形，根据点A坐标，结合图形，列出方程组是解答的关键．
【详解】解：设长方形的长为x，宽为y，
∵点A的坐标为，
∴，
解得：，
故答案为：
16．
【分析】将代入中即可得出答案．
【详解】解：根据题意将代入中，
得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．
17．
【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数，熟练掌握解二元一次方程的方法．把x看作已知数求出y即可．
【详解】解：，
移项得：，
解得：．
故答案为：
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用加减消元法进行解方程，得，解出的代入①，算出，即可作答．
（2）先把进行去分母处理，再运用加减消元法进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：
得，解得．
把代入①，
得
解得，
故原方程组的解为
（2）解：
得，
得，
得，解得，
把代入②，得
解得，
故原方程组的解为
19．
【分析】先用加减消元法消去z，变为关于x、y的二元一次方程组，解三元一次方程组即可．
【详解】解：，
②①，得：，
③②，得：，
解方程组，
得：，
将代入①，得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用消元法把三元化为二元，再解二元一次方程组．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据二元一次方程组的代入消元法即可求解；
（2）根据二元一次方程组的加减消元法即可求解．
【详解】（1）解：
把①代入②得：，解得，
把代入①得：
∴方程组的解是
（2）解：
得：，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组的方法，灵活运用消元的方法是解题的关键．
21．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据题意，利用例题方法求解即可；
（2）根据题意，利用例题方法求解即可得．
【详解】（1）解：，
得：，即，
得：，
得：，即，
将代入得，
所以这个方程组得解是；
（2）解：，
得：，即，
得：，
得：，解得，
将代入得：，
所以这个方程组得解是，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键．
22．（1）；（2）
【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．
（1）利用整体代入法解方程组即可；
（2）利用整体代入法解方程组即可．
【详解】解：
由①得：③，
将③代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为；
（2）
由①得，
将③代入②得：，
解得，
将代入③，得，
解得，
则原方程组的解为．
23．(1)黑笔芯2盒，红笔芯8盒
(2)共节约22元
【分析】（1）先计算黑笔芯，红笔芯促销后的价格，再列方程求解即可；
（2）先计算出降价前所需的总费用，再减去优惠后的价格，求解即可．
【详解】（1）解：促销后：黑笔芯：元/盒，红笔芯：，
设黑笔芯盒，红笔芯盒，
由②得③代入①，
，
，代入①中得，
∴，，
故，
答：黑笔芯2盒，红笔芯8盒；
（2）解：
（元），
（元），
答：共节约22元．
【点睛】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，能够根据题意找出等量关系，并列出方程组求解即可．
24．(1)2倍
(2)20圈
【详解】（1）设哥哥的速度为米/秒，小勇的速度为米/秒，环形跑道的周长为米，依题意，得
∴．
答：哥哥的速度是小勇速度的2倍．
（2）设哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了圈，则哥哥跑了圈，依题意，得
，解得．
答：哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了20圈．
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