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专题一、费马点最值问题
费马点
皮耶·德·费马,17 世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学,费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”“费马大定理”等。
今天的问题不是费马提出来的，而是他解决的,故而叫费马点.
基础模型：
问题：P是△ABC（最大内角小于120°）内一点，当点P在何处时，PA+PB+PC的和最小
结论：当PA+PB+PC的和最小时,点P满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°
证明:如图,将△CBP绕点C逆时针旋转60°得到△CFE,连接PE，BF
∴，，，。
∵ 。
∴， 均为等边三角形。
∴ 。
∴。
∴当 四点共线时， 的值最小，最小值为 的长。
此时 。
。
。
∴ 。
提升模型：
问题：P是△ABC（最大内角等于120°）内一点，P在何处时，PA+PB+PC的和最小
结论：当PA+PB+PC的和最小时,点P与最大角顶点重合
证明：如图，在 中，令 ，在 内取一点 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转至 ，使得 三点共线。
∴ ，
∴ ，
∴ ∠ECP = 180° - ∠ECF - ∠PCA = 180° - ∠PCB - ∠PCA = 180° -
∠ACB ≤ 60°,
在三角形中, 由于小角对小边,
∴ EP ≤ PC,
∴ PB + PC + PA ≥ EF + EP + PA ≥ FA.
∴ 当 P 点与 C 点重合时, PB + PC + PA 的值最小, 即 C 点为费马点.
经典题目：
如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）
A． B． C． D．
如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为 ．
如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ．
如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝ ．
问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：
问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是
如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ．
在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
（2）如图2，求BE+AE+DE的最小值．

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到．
①若，则点与点之间的距离是______；
②当，，时，求的大小；
(2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值．
参考答案
1．D
【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．
【详解】解：如图，
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．
∴BF=BG=FG，．
∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．
根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBH=180°-120°=60°，
∴∠BEH=30°，
∵BC=4，
∴BE=4，
∴BH=2，EH=2，在Rt△EHC中，
∵EH2+HC2=EC2，
∴EC=4．
∵∠CBE=120°，
∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，
∴EF=BF=FG，
∴EF=CE=，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．
【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．
【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示，
则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，
∴△APP′是等边三角形，
∴AP=PP′，
∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，
∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB cos∠BAC=2×cos30°=，
∴CB′=，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
3．
【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值；
【详解】
解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，
由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，
∴AM＝MM′，
∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，
∴D′M、MM′、ME共线时最短，
由于点E也为动点，
∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝
∴MA＋MD＋ME的最小值为，
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．
【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论．
【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，
∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，
∴△BQN是等边三角形，
∴BQ=QN，
∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，
此时，如图2，连接MC
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD=60°，
∴BD=QD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，
∴x=，
∴x=3+，
∴PD=3+．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题．
5．
【分析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题.
【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵PA=PA，
∴△BAP≌△CAP（SAS），
∴PC=PB，
∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA=PG，
∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2，
∴CM=2，
∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，
∴∠MAC=90°，
∴AM=AC=2，
作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-，
∴BC=．
故答案为．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题
6．
【分析】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，易知△MOP为等边三角形，继而得到点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得.
【详解】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，
显然△MOP为等边三角形，
∴，OM＋OG＝OP＋PQ，
∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，
此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，
过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，
∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，
∵MQ＝MG＝4，
∴AQ＝AM＝MQ cos45°=4，
∴NQ＝，
故答案为.
【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.
7．/
【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
当点四点共线且时，取得最小值，
∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将绕点顺时针旋转得到，得到是解题的关键．
8．（1）①补图见解析；②；（2）
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；
②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4 x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长；
【详解】（1）①如图△DCF即为所求；

②∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，
∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4 x，
∴y＝（4 x）2＋x2＝2x2 8x＋160（0＜x≤4）．
即y＝2（x 2）2＋8，
∵2＞0，
∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，
当x＝4时，y最大值＝16，
∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．

由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，
∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，
∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，
∴FH＝AF＝，AH＝＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝，
∴BE＋AE＋ED的最小值为．
【点睛】本题考查作图 旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．+
【分析】以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN；根据当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，进而求得PA+PB+PC的最小值．
【详解】证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．
由旋转可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=PM+MN+PC；
（3）当AC=BC=1时，AB=2，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=AB==CQ，NQ=，
此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=+
10．(1)①3；②150°；
(2)
【分析】（1）①根据旋转的性质即可求出的值；
②先证△ABP≌，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小；
（2）将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，先求出，然后证明为等边三角形，当B、P、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可．
【详解】（1）①如图，将绕A逆时针旋转60°，
则，，
∴为等边三角形，
；
②∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，
又∵是等边三角形，
∴∠PAC+=60°，
∴∠BAP=，
在△ABP与中，，
∴△ABP≌（SAS），
∴
∴，，
，
又∵旋转，∴；
（2）如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，
则，
在中，，
，
，
又∵，
，，
过作⊥BC交BC的延长线于点D，
则，
，
（30°所对的直角边等于斜边的一半），
，
，为等边三角形，
当B、P、、四点共线时，和最小，
在中，，
，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形解决问题．

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