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第四章　因式分解
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　 　）
A.m2－2m－3＝m（m－2）－3
B.x2－8x＋16＝（x－4）2
C.（x＋5）（x－2）＝x2＋3x－10
D.6ab＝2a·3b
2.多项式x2－1与x2－2x＋1的公因式是（　 　）
A.x＋1 B.x－1
C.x2－1 D.（x－1）2
3.下列因式分解正确的是（　 　）
A.x3－x＝x（x2－1）
B.x2＋y2＝（x＋y）（x－y）
C.（a＋4）（a－4）＝a2－16
D.m2＋4m＋4＝（m＋2）2
4.利用因式分解简便计算57×101＋44×101－101正确的是（　 　）
A.101×（57＋44）＝101×101＝10 201
B.101×（57＋44－1）＝101×100＝10 100
C.101×（57＋44＋1）＝101×102＝10 302
D.101×（57＋44－101）＝101×0＝0
5.已知9x2－mxy＋16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（　 　）
A.12 B.±12
C.24 D.±24
6.如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2－ab的值为（　 　）
A.70 B.60
C.130 D.140
7.若m是任意正整数，则能够整除多项式（4m＋5）2－9的代数式是（　 　）
A.8 B.m
C.m－1 D.2m－1
8.已知a＝2 022x＋2 021，b＝2 022x＋2 022，c＝2 022x＋2 023，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值为（　 　）
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题（每小题5分，共25分）
9.因式分解：m2n－n2m＝ .
10.若x2＋ax－24＝（x＋2）（x－12），则a的值为 .
11.已知a2－1＝2 023×2 025，且a为正整数，则a＝ .
12.已知甲、乙两人完成因式分解x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果为（x＋6）（x－2）；乙看错了b的值，分解的结果为（x－8）·（x＋4），那么因式分解x2＋ax＋b的正确结果为 .
13.如图，用若干张长方形和正方形卡片拼成一个大长方形，使它的面积为a2＋5ab＋4b2，则它的长为 ，宽为 .
三、解答题（共35分）
14.（9分）因式分解：
（1）2a2b－8b；
（2）－xy3＋10xy2－25xy；
（3）（a＋b）－2a（a＋b）＋a2（a＋b）.
15.（6分）先因式分解，再求值：2（a－3）2－a＋3，其中a＝2.
16.（8分）已知a，b，c为三角形ABC的三边长，且a3－a2b＋5ac－5bc＝0，试判断三角形ABC的形状.
17.（12分）阅读下列解题过程：
因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，
则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2.
再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2.
上述解题过程用到的是整体思想.整体思想是数学解题中常用的一种方法.请你解答下列问题：
（1）因式分解：1＋2（x－y）＋（x－y）2＝ ；
（2）因式分解：（x2－6x）（x2－6x＋18）＋81；
（3）若n为正整数，试证明代数式（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1的值一定是某一个整数的平方.第四章　因式分解
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　B　）
A.m2－2m－3＝m（m－2）－3
B.x2－8x＋16＝（x－4）2
C.（x＋5）（x－2）＝x2＋3x－10
D.6ab＝2a·3b
2.多项式x2－1与x2－2x＋1的公因式是（　B　）
A.x＋1 B.x－1
C.x2－1 D.（x－1）2
3.下列因式分解正确的是（　D　）
A.x3－x＝x（x2－1）
B.x2＋y2＝（x＋y）（x－y）
C.（a＋4）（a－4）＝a2－16
D.m2＋4m＋4＝（m＋2）2
4.利用因式分解简便计算57×101＋44×101－101正确的是（　B　）
A.101×（57＋44）＝101×101＝10 201
B.101×（57＋44－1）＝101×100＝10 100
C.101×（57＋44＋1）＝101×102＝10 302
D.101×（57＋44－101）＝101×0＝0
5.已知9x2－mxy＋16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（　D　）
A.12 B.±12
C.24 D.±24
6.如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2－ab的值为（　B　）
A.70 B.60
C.130 D.140
7.若m是任意正整数，则能够整除多项式（4m＋5）2－9的代数式是（　A　）
A.8 B.m
C.m－1 D.2m－1
8.已知a＝2 022x＋2 021，b＝2 022x＋2 022，c＝2 022x＋2 023，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值为（　D　）
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题（每小题5分，共25分）
9.因式分解：m2n－n2m＝　mn（m－n）　.
10.若x2＋ax－24＝（x＋2）（x－12），则a的值为　－10　.
11.已知a2－1＝2 023×2 025，且a为正整数，则a＝　2 024　.
12.已知甲、乙两人完成因式分解x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果为（x＋6）（x－2）；乙看错了b的值，分解的结果为（x－8）·（x＋4），那么因式分解x2＋ax＋b的正确结果为　（x－6）（x＋2）　.
13.如图，用若干张长方形和正方形卡片拼成一个大长方形，使它的面积为a2＋5ab＋4b2，则它的长为　a＋4b　，宽为　a＋b　.
三、解答题（共35分）
14.（9分）因式分解：
（1）2a2b－8b；
解：原式＝2b（a2－4）
＝2b（a－2）（a＋2）.
（2）－xy3＋10xy2－25xy；
解：原式＝－xy（y2－10y＋25）
＝－xy（y－5）2.
（3）（a＋b）－2a（a＋b）＋a2（a＋b）.
解：原式＝（a＋b）（1－2a＋a2）
＝（a＋b）（a－1）2.
15.（6分）先因式分解，再求值：2（a－3）2－a＋3，其中a＝2.
解：原式＝2（a－3）2－（a－3）
＝（a－3）[2（a－3）－1]
＝（a－3）（2a－7）.
当a＝2时，原式＝（2－3）×（4－7）＝3.
16.（8分）已知a，b，c为三角形ABC的三边长，且a3－a2b＋5ac－5bc＝0，试判断三角形ABC的形状.
解：三角形ABC是等腰三角形.理由如下：
∵a3－a2b＋5ac－5bc＝0，
∴（a3－a2b）＋（5ac－5bc）＝0，
∴a2（a－b）＋5c（a－b）＝0，
∴（a2＋5c）（a－b）＝0.
∵a＞0，c＞0，
∴a2＋5c＞0，
∴a－b＝0，
∴a＝b.
∵a，b，c为三角形ABC的三边长，
∴三角形ABC是等腰三角形.
17.（12分）阅读下列解题过程：
因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，
则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2.
再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2.
上述解题过程用到的是整体思想.整体思想是数学解题中常用的一种方法.请你解答下列问题：
（1）因式分解：1＋2（x－y）＋（x－y）2＝　（x－y＋1）2　；
（2）因式分解：（x2－6x）（x2－6x＋18）＋81；
解：（2）令A＝x2－6x，则原式＝A（A＋18）＋81＝A2＋18A＋81＝（A＋9）2.
故（x2－6x）（x2－6x＋18）＋81＝（A＋9）2＝（x－3）4.
（3）若n为正整数，试证明代数式（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1的值一定是某一个整数的平方.
（3）证明：（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1
＝（n2＋3n）[（n＋1）（n＋2）]＋1
＝（n2＋3n）（n2＋3n＋2）＋1
＝（n2＋3n）2＋2（n2＋3n）＋1
＝（n2＋3n＋1）2.
∵n为正整数，
∴n2＋3n＋1也为正整数，
∴代数式（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1的值一定是某一个整数的平方.

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