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2025年数学中考复习
3.17 几何初步及相交线与平行线
基础知识
项目三 函数
考点要求
壹
1.点、线、面、角
(1)通过实物和模型,了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念.
(2)会比较线段的长短,理解线段的和、差,以及线段中点的意义.
(3)掌握基本事实:两点确定一条直线.
(4)掌握基本事实:两点之间线段最短.
(5)理解两点间距离的意义,能度量和表达两点间的距离.
(6)理解角的概念,能比较角的大小;认识度、分、秒等角的度量单位,能进行简单的单位换算,会计算角的和、差.
(7)能用尺规作图:作一个角等于已知角;作一个角的平分线.
2.相交线与平行线
(1)理解对顶角、余角、补角等概念,探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质.
(2)理解垂线、垂线段等概念,能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线.
(3)掌握基本事实:同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(4)理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离.
(5)识别同位角、内错角、同旁内角.
(6)理解平行线的概念.
(7)掌握平行线基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
(8)掌握平行线基本事实:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
(9)探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行.
(10)掌握平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.
(11)探索并证明平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补).
(12)了解平行于同一条直线的两条直线平行.
核心知识点
贰
两个基本事实
(1)直线的基本事实:两点确定一条 ;
(2)线段的基本事实:两点之间, 最短.
两点间的距离
连接两点间的线段的 .
知识点1 直线和线段
直线
线段
长度
线段的和与差
如图所示,在线段 ; .
线段的中点
如图所示,点 .
度分秒的换算 1周角=360°,1平角=180°,
1°=60,1'=60".
角的度分秒是60进制.
余角 (1)概念：如果两个角之和等于90°,那么这两个角互为余角.
(2)性质：同角(或等角)的余角相等
知识点2 角及角平分线
补角 (1)概念：如果两个角之和等于180°,那么这两个角互为补角.
(2)性质：同角(或等角)的补角相等。
角平分线 (1)性质：角平分线上的点到角两边的距离
相等；
(2)逆定理：在角的内部，到角两边的距离
相等的点在角的平分线上.
知识点3 相交线
1.三线八角
图示
对顶角 如图所示，∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与∠8.
性质：对顶角相等.
邻补角 如图所示，∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4,∠5与∠6等.
性质：邻补角之和等于180°
同位角 如图所示，∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8.
内错角 如图所示，∠2与∠8,∠3与∠5.
同旁内角 如图所示，∠2与∠5,∠3与∠8.
2.垂线
垂线段 过直线外一点作已知直线的垂线，该点到垂足之间的线段.
垂线段的性质 (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
线段的垂直 平分线 1.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等；
2.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
知识点4 平行线
平行公理及推论 (1)公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【温馨提示】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
平行线的性质和判定 同位角相等 两直线平行；
内错角相等 两直线平行；
同旁内角互补 两直线平行；
平行线 之间的距离
(1)概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离叫作这两条平行线间的距离.
（2）性质：两条平行线间的距离处处相等
知识点5 命题
命题
判断一件事情的语句叫作命题.
真命题
如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫作真命题.
假命题
如果题设成立,不能保证结论一定成立,这样的命题叫作假命题.
互逆命题
在两个命题中,如果一个命题的题设是另一个命题的结论,而一个命题的结论是另一个命题的题设,那么这两个命题叫作互逆命题.
考点攻坚
叁
考点1 角的有关概念及性质
(2023·云南)如图所示，直线与直线都相交.若,,则（ ）
例1
【解析】如图所示，
.故选D.
(2023·淮南)如图所示，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.如果,那么∠2的度数是（ ）
A.20° B.25° C.30° D.45°
考点2 平行线的性质和判定
例2
【解析】如图所示，
..故选A.
(2024·南京)下列命题是真命题的有( )个.
①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离;
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④有理数与数轴上的点一一对应;
⑤圆周率是一个无理数.
A.1 B.2 C.3 D.4
考点3 命题
例3
【解析】
①直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离,故原命题为假命题;②在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故原命题为假命题;③过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,故原命题为假命题;④实数与数轴上的点一一对应,故原命题为假命题;⑤圆周率是一个无理数,为真命题.故真命题的个数为1个,故选A.
专项训练
肆
达标训练
1.(2023·甘肃兰州)如图，直线与相交于点,则（ ）
A.40° B.50° C.55° D.60°
B
2.(2023·广州)如图所示，直线被直线所截，已知,则的大小为(B )
A.40° B.50° C.70° D.130°
3.(2023·台州)如图为商场某品牌椅子的侧面图，,与地面平行，,则（A）
A.70° B.65° C.60° D.50°
4.(2024·山东)如图,,点O在直线上,将三角板的直角顶点放在点处,三角板的两条直角边分别与交于两点,若,则的大为( B )
A.34° B.44° C.46° D.54°
5.(2023·嘉兴)如图所示，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是(B )
6.(2023·武汉)如图所示，直线,于点.若,则的度数是( )
A.60° B.30° C.40° D.70°
B
7.(2023·黄冈)如图所示，在四边形中，,,点在的延长线上，连接.
(1)求证：;
(2)若,平分,直接写出△的形状.
7.(1)证明：
(2)解：△是等边三角形，理由如下.∴平分,
,,△是等边三角形.
答案
提升训练
8.(2023·西安)如图所示，直线,直线分别交于点的平分线交于点,,则(B)
A.70° B.110° C.120° D.140°
9.(2024·九江)近几年中学生近视的现象越来越严重,为保护视力,某公司推出了护眼灯,其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示,其中经使用发现,当时,台灯光线最佳.则此时的度数为(C )
A.126° B.136° C.144° D.154°
10.(2023·湘潭)我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是( )
A.反证法 B.比较法 C.综合法 D.分析法
A
课堂练习
伍
1.(2023·怀化)下图中用量角器测得的度数是(C)
A.50° B.80° C.130° D.150°
2.(2023·南京)如图所示，,,则的大小为( )
C
A.36° B.44° C.54° D.63°
3.将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子，这一生活经验运用到的数学知识是( )
A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线
C.线段最短 D.对顶角相等
B
4.(2023·青岛)如图所示,直线,被直线所截,.,则的度数为( )
A.48°
B.58°
C.68°
D.78
B
5.(2023·赣州)如图,平面镜放置在水平地面上,墙面于点,一束光线照射到镜面上,反射光线为,点上,若,则的度数为( )
A.35°
B.45°
C.55°
D.65°
C
6. 如图所示,过直线外一点作已知直线的平行线,其依据是( )
A. 两点确定一条直线
B. 内错角相等,两直线平行
C. 同位角相等,两直线平行
D. 同旁内角互补,两直线平行
C
7.如图所示，将木条,与钉在一起，,若要使木条与平行，则的度数应为( )
A.142° B.90° C.48° D.42°
C
8. 下列命题是真命题的是( )
A. 相等的两个角是对顶角
B. 如果两个角互为邻补角,那么这两个角一定相等
C. 同位角相等
D. 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
D
9.(2024·甘孜)已知为对顶角,,则 °.
10.(2023·黄山)一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知,则的度数为 35° .
35
11. 如图所示,.
(1)求的度数;
(2)若平分,求的度数.
答案 11.(1)40° (2)50°
12.如图所示,在三角形中,,过点于点,若,则的长可能是(C )
A.3 B.2.5
C.2 D.1.5
13. 在同一平面内,已知直线两两平行,且直线的距离为3cm,直线的距离为4cm,则直线的距离为( )
A.3cm 或4cm B.1cm
C.7cm D.7cm 或1cm
14.(2023·石家庄)在同一平面内,过直线的垂线,再过,则直线的位置关系是(C)
A. 相交 B. 相交且垂直
C. 平行 D. 不能确定
D
15.如图所示,把长方形按如图所示折叠后,点分别落在处.若,则的度数是( )
A.114°
B.115°
C.116°
D.120°
B
16.(2023·广州)光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中射向空气时,要发生折射.由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图,,,则( C )
A.165°
B.155°
C.105°
D.90°
17.(2023·丹东)将一个三角尺()按如图所示的位置摆放，直线b,若,则的度数是 .
50°
18.(2024·成都)在中,,.若是锐角三角形,则边长的取值范围是 .
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