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2024-2025学年安徽省A10联盟高二下学期3月阶段考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
2.下列求导运算错误的是( )
A. B.
C. D.
3.设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则( )
A. B. C. D.
4.“点在圆外”是“直线与圆相交”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在数列中，，，记为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
6.已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.记等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
8.若函数，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，则( )
A. 有个零点 B. 的极大值为
C. 当时， D. 的图象关于点中心对称
10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是( )
A. 若，则，，成等比数列
B. 若为等差数列，则为等差数列
C. 若为等比数列，则为等差数列
D. 若，，，则为等比数列
11.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，抛物线的准线为，点在抛物线上，直线过点且与交于，两点，则( )
A. 若点的坐标为，则的最小值为
B. 以线段为直径的圆与直线相离
C. 点到直线的最小距离为
D. 可能为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知各项均不为零的数列，其前项和是，且若为递增数列，，则的取值范围是 ．
14.过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，
当时，求的最小值
若，试讨论的单调性．
16.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间
如果函数的导数为，且在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前项和．
17.本小题分
如图，在正四棱锥中，，为侧棱的中点．
求证：
求点到平面的距离
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围
是否存在过原点的曲线的切线若存在，求出切线方程若不存在，说明理由
求证：当时，对恒成立．
19.本小题分
已知数列满足，，
求数列的通项公式
令，求数列的前项和
令，记数列的前项和中所有奇数项的和为，求证：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

14.．
15.解：当时，，则，，
令，解得令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
由题意得，，．
当时，令，解得或令，解得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减
当时，恒成立，所以函数在上单调递增
当时，令，解得或令，解得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减．
16.解：
，
令，解得，
因此函数的单调递增区间是；
由题意得，，
令，解得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
17.解：连接，交于点，连接，
由正四棱锥的性质，得，平面，平面，
所以又，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，即，
令，得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离．
由得，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，得平面的一个法向量为．
所以，，
即平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：由题意得，，则当时，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，故．
因为当时，当时，，所以当方程有两个不同的实数根时，的取值范围为
不存在，
理由：假设曲线存在过原点的切线，设切点坐标为，则该切线斜率为，即该切线方程为，
若切线经过原点，则，整理得，该方程无解，故过原点不存在曲线的切线．
设，则令，得或．
若，则，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，因为，所以在上成立．
若，则
当，，则在上单调递增，在上单调递减，此时在上成立．
当，，则在上单调递减，此时在上成立．
综上，当时，对恒成立．
19.解：因为，所以，
因为，所以，即．
因为，所以数列是以为首项以为公比的等比数列．
所以．
由得，，
则，
，
相减得
，
所以．
由题意得，，
则，，，，
则．
构造函数，，则，
在上单调递减，，
当时，，即恒成立．
令，则，即，
，，，．
以上各式相加得，
综上，
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