资源简介

题型01 5类不等式解题技巧
（权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、
普通型糖水不等式与对数型糖水不等式）
技法01 权方和不等式的应用及解题技巧
在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式或基本不等式链来求最值，实际解题中往往会遇到题干复杂的题目，此时对于学生来说思路繁琐，计算量大，耗时较长且不易求解，而权方和不等式的优势极其明显，可以做到快速求解甚至秒解，常在小题中使用.
权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
广义上更为一般的权方和不等式，设 ,
若 或 , 则 ;
若 , 则 ;
上述两个不等式中的等号当且仅当 时取等
（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
1．求的最大值为
2．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．设，，若，则的最小值为 .
3．已知正实数，满足，则的最小值为 .
4．已知正数，，满足，则的最小值为
5．已知，求的最小值为
技法02 柯西不等式的应用及解题技巧
若不等式题目以选择填空推出时，通过柯西不等式，观察系数的关系，配凑出题设的问题，柯西不等式往往起到秒杀作用.
1.二维形式的柯西不等式
当且仅当 时，等号成立.)
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1) , 当且仅当 时，等号成立.)
(2) , 当且仅当 时，等号成立.)
(3) , 当且仅当 时，等号成立.)
3.扩展：
已知x，y，z满足，则的最小值为 .
1．用柯西不等式求函数的最大值为
A． B．3 C．4 D．5
2．已知、、，. 则的最小值是 .
1．函数的最小值为 ．
2．由柯西不等式，当时，求的最大值为（ ）
A．10 B．4 C．2 D．
3．设.则函数的最小值是 .
4．设非负实数、、满足．则的最小值为 ．
技法03 基本不等式链的应用及解题技巧
本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查.
基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立.
其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.
（2022·全国·新高考Ⅱ卷高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·贵州贵阳·一模）（多选）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·河北沧州·二模）（多选）已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·重庆渝中·模拟预测）（多选）已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
技法04 普通型糖水不等式的应用及解题技巧
在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.
糖水不等式定理:
若 , 则一定有
通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜;
2. 糖水不等式的倒数形式:
设 , 则有:
（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a1．（2024·全国模拟）（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”）
3． (用“”或“”填空)
1．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
(1)证明糖水不等式；
(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
若等比数列前 项和为 , 比较 与 的大小
技法05 对数型糖水不等式的应用及解题技巧
在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.
(1) 设 , 且 , 则有
(2) 设 , 则有
(3) 上式的倒数形式：设 , 则有
（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
1．比较大小: 与 的大小．
1．（2024·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ．
4．已知，且满足，则的最小值为 .
5．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 .
6．（多选）已知，，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若实数，则的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
8．已知实数x，y满足，且，的最小值为 .
9．设,则的最大值为 ．
10．已知，，，且，则的最大值为
A．3 B． C．18 D．9
21世纪教育网(www.21cnjy.com)题型01 5类不等式解题技巧
（权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、
普通型糖水不等式与对数型糖水不等式）
技法01 权方和不等式的应用及解题技巧
在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式或基本不等式链来求最值，实际解题中往往会遇到题干复杂的题目，此时对于学生来说思路繁琐，计算量大，耗时较长且不易求解，而权方和不等式的优势极其明显，可以做到快速求解甚至秒解，常在小题中使用.
权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
广义上更为一般的权方和不等式，设 ,
若 或 , 则 ;
若 , 则 ;
上述两个不等式中的等号当且仅当 时取等
（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
思路点拨：利用权方和不等式求解即可
思路详解：，所以实数a的取值范围是.
1．求的最大值为
思路详解：
当且仅当，即或时取等号，故答案为：.
2．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
思路详解：由权方和不等式，可知
==，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为2.故答案为：2.
1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】
（当且仅当，时取等号）.
故选:C.
2．设，，若，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，因为，，满足，
所以，，且，
则
，
当且仅当且，即时取得最小值.
故答案为：3.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
3．已知正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由，结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
因为为正实数，所以，
所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
4．已知正数，，满足，则的最小值为
【答案】
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数，满足，
所以，
当且仅当即时取等号.
故答案为：.
5．已知，求的最小值为
【答案】
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
当且仅当时取等号
故答案为：60
技法02 柯西不等式的应用及解题技巧
若不等式题目以选择填空推出时，通过柯西不等式，观察系数的关系，配凑出题设的问题，柯西不等式往往起到秒杀作用.
1.二维形式的柯西不等式
当且仅当 时，等号成立.)
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1) , 当且仅当 时，等号成立.)
(2) , 当且仅当 时，等号成立.)
(3) , 当且仅当 时，等号成立.)
3.扩展：
已知x，y，z满足，则的最小值为 .
思路点拨：利用柯西不等式求解即可
思路详解： 因为,
即,
所以最小值为，当且仅当时取等号.故答案为：.
1．用柯西不等式求函数的最大值为
A． B．3 C．4 D．5
思路详解：函数
当且仅当==时，即时等号成立，故该的最大值为4.
2．已知、、，. 则的最小值是 .
思路详解：由，即，
当，，，或，，时取等号,所以最小值是4.
1．函数的最小值为 ．
【答案】
【详解】注意到，．
则．
2．由柯西不等式，当时，求的最大值为（ ）
A．10 B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】利用柯西不等式可得，即求.
【详解】解：由柯西不等式，得，
当且仅当，即时，等号成立.
因为，所以，
则，故的最大值为.
故选：D
3．设.则函数的最小值是 .
【答案】
【详解】由已知条件及柯西不等式有
①
则.
式①中等号成立的条件为,即,,.
代入已知等式有,解得.
因此,当,,时, .
4．设非负实数、、满足．则的最小值为 ．
【答案】
【详解】首先，．
则．
当且仅当时，．
技法03 基本不等式链的应用及解题技巧
本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查.
基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立.
其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.
（2022·全国·新高考Ⅱ卷高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
思路点拨：基本不等式链求解即可
思路详解：由基本不等式链: ,
可得（R），
对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确
因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
【答案】：BC．
1．（2024·贵州贵阳·一模）（多选）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
思路详解：A.，当时，等号成立，故A正确；
B.，当时，等号成立，故B正确；
C.，故C正确；
D.，当时等号成立，故D正确 .
1．（2024·河北沧州·二模）（多选）已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由不等式的性质可判断；由代入消元结合函数的最值可判断C；由已知结合基本不等式及相关结论可判断D.
【详解】因为，
所以的符号不确定，
由不等式的性质知成立，
但不一定成立，故A正确，B错误；
因，故C正确；
因为，所以，所以，故D错误.
故选：AC.
2．（2024·重庆渝中·模拟预测）（多选）已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D.
【详解】A：由，得，
即，得，
解得，当且仅当时等号成立，故A错误；
B：由选项A的分析知，故B正确；
C：由，得，即，
所以，
得，当且仅当时等号成立，故C正确；
D：由，得，即，
所以，得，
当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：BC
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
技法04 普通型糖水不等式的应用及解题技巧
在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.
糖水不等式定理:
若 , 则一定有
通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜;
2. 糖水不等式的倒数形式:
设 , 则有:
（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a思路点拨：利用糖水不等式求解即可
思路详解：【法一】
,
又 ，用排除法, 选 A 。
【法二】 ，
若,
但 ,
综上所述，.
1．（2024·全国模拟）（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
思路详解：【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有:
【法二】，故B正确；
【答案】BCD
2．试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”）
思路详解：依题意.
3． (用“”或“”填空)
思路详解：因为，所以可得：
1．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
(1)证明糖水不等式；
(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由作差法证明；
（2）由糖水不等式变形证明．
【详解】（1），
因为，所以，
所以，即．
（2）因为是三角形的三边，所以，
由（1）知，
同理，
所以，
又，
所以
所以原不等式成立．
若等比数列前 项和为 , 比较 与 的大小
【答案】
【解析】
;
故 。
技法05 对数型糖水不等式的应用及解题技巧
在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.
(1) 设 , 且 , 则有
(2) 设 , 则有
(3) 上式的倒数形式：设 , 则有
（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
思路点拨：利用对数型糖水不等式求解即可
思路详解：因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 .
所以 , 即 , 选 A.
1．比较大小: 与 的大小．
思路详解：【法一】 。
【法二】
【法三】对数型糖水不等式直接可得
1．（2024·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用放缩法可得，利用作商比较法可得，进而可得，可得结论.
【详解】，
所以则，
又，
所以，所以.
故选：D.
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取两个中间值和，由，，即可比较三者大小.
【详解】，，，
因此．
故选：C．
3．（2024·重庆·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.
【详解】由对数函数的性质知，
，
，
所以，，；
当时，，
所以
，
取，则，
所以
，即，
综上，.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：.
1．（2024·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对，，进行变形，构造，，求导后得到其单调性，从而判断出，，的大小.
【详解】，，，
令，，
，
因为，所以，
令，，在上恒成立，在上单调递增，
故，所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，即，
故选：D.
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.
【详解】
所以.
故选：C.
3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ．
【答案】8
【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.
【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立，
又，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
4．已知，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由权方不等式，结合已知等式进行求解即可.
【详解】由权方和不等式，可知，
，当且仅当时取等号，
即当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
5．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 .
【答案】
【详解】解法一：设，
可解得，
从而
，
当且仅当时取等号.
故答案为：．
解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：，
，
所以，当且仅当时取等号.
故答案为：．
6．（多选）已知，，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式可直接得到A正确；由，，根据基本不等式知BC正误；将化为，结合，根据二次函数最值可确定D正确.
【详解】对于A，，，，（当且仅当时取等号），A正确；
对于B，（当且仅当，即时取等号），B错误；
对于C，（当且仅当时取等号），C正确；
对于D，，
，，则当，即，时，，
，D正确.
故选：ACD.
7．若实数，则的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
【答案】B
【分析】直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】根据柯西不等式：，即，
当且仅当，，时等号成立.
故选：B.
【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.
8．已知实数x，y满足，且，的最小值为 .
【答案】/1.6
【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系.
【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：有当且仅当时取等号.
证明：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号，
要证只须证，
因则=
当且仅当时，即时取等号.
不妨令,整理得，
则解得则 ，
当且仅当时等式成立，由解得：，即当时，的最小值为.
故答案为：
9．设,则的最大值为 ．
【答案】
【详解】由两边同时加上
得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），
从而有（当且仅当,即时，“=”成立）
故填：.
考点：基本不等式.
【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.
10．已知，，，且，则的最大值为
A．3 B． C．18 D．9
【答案】B
【分析】先利用柯西不等式求得的最大值，由此求得的最大值.
【详解】由柯西不等式得：
，所以，当且仅当时，等号成立，故选B.
【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑