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培优提升五　运动图像与追及相遇问题
选择题1～10题，每小题8分，共80分。
基础对点练
题组一　运动学图像问题
1.如图甲所示的赛龙舟是端午节的传统活动，赛程总长度为s0，a、b两条龙舟从同一起点开始沿长直河道运动到同一终点线的过程中，位移s随时间t变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
b龙舟赢得了比赛
0～t1时间内，a、b两龙舟的平均速度相等
t1时刻，a龙舟的速度等于b龙舟的速度
t1～t2时间内，b龙舟的位移大于a龙舟的位移
2.如图是物体做直线运动的v－t图像，由图像可知，该物体(　　)
0～2 s内和0～4 s内的位移不相等
0～2 s内和0～4 s内的平均速度大小不相等
第1 s内和第4 s内的位移大小不相等
第3 s内和第4 s内的加速度不相同
3.(多选)赛龙舟是端午节的传统活动。下列v－t和s－t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有(　　)
A B C D
4.甲、乙两物体从同一点开始沿同一直线运动，甲的s－t图像和乙的v－t图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
0～2 s内甲做匀加速运动
第2.5 s和第3.5 s时甲物体速度方向不同
第2.5 s和第3.5 s时乙物体加速度方向不同
0～6 s内甲、乙的位移都为0
题组二　追及相遇问题
5.若运动员将足球以12 m/s的速度踢出，足球沿草地做加速度大小为2 m/s2的匀减速直线运动，踢出的同时运动员以恒定速度8 m/s去追足球，则运动员追上足球所需时间为(　　)
2 s 4 s 6 s 8 s
6.以两个质点同时同地点向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示，则(　　)
乙比甲运动得快
乙追上甲时距出发点40 m
4 s内，甲的平均速度大于乙的平均速度
在2 s末乙追上甲
7.甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v－t 图中(如图)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是(　　)
在0～10 s内两车逐渐靠近
在10～20 s内两车逐渐远离
在5～15 s内两车的位移相等
在t＝10 s时两车在公路上相遇
8.(多选)在青少年机器人大赛中，某小队以线上一点为原点，沿赛道向前建立直线坐标系，他们为机器人甲、乙编写的程序是，让他们的位移s(m)随时间t(s)变化的规律分别为s甲＝3t＋t2，s乙＝9t，则(　　)
从原点出发后的较短时间内，乙在前，甲在后
甲、乙相遇前，最大距离为9 m
两机器人在s＝54 m处相遇
8 s时，两机器人相遇
综合提升练
9.从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度—时间图像如图所示。在0～t0时间内，下列说法正确的是(　　)
Ⅰ、Ⅱ两个物体的加速度都在不断减小
Ⅰ物体的加速度不断增大，Ⅱ物体的加速度不断减小
Ⅰ物体的位移不断增大，Ⅱ物体的位移不断减小
Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是
10.(多选)(2024·福建厦门高一期中)甲、乙两物体同时从同一位置出发做直线运动，v－t图像如图所示，则(　　)
10～20 s内，乙的加速度为2 m/s2
0～20 s内，甲、乙的平均速度之比为8∶3
t＝10 s时，乙的速度方向发生改变
t＝20 s时，甲、乙相遇
11.(10分)如图甲所示，在一次爆破演习中，爆破队员点火后立即以最大加速度a向外奔跑8 m达最大速度v，然后以速度v向外做匀速运动，其速度－时间图像如图乙所示，若导火索的火焰顺着导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，为了使点火队员在导火索火焰烧到爆炸物以前能够跑到离点火处120 m远的安全地方处，问：
(1)(5分)队员奔跑时的最大加速度a多大；
(2)(5分)导火索至少需要多长才行。
培优加强练
12.(10分)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示。已知B车在第1 s内与A车的距离缩短s1＝12 m。
(1)(5分)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；
(2)(5分)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离s0应满足什么条件？
培优提升五　运动图像与追及相遇问题
1.B　[赛程总长度为s0，根据位移—时间图线可知，a龙舟用时较短，则a龙舟赢得了比赛，故A错误；0～t1时间内，两龙舟的位移相同，由＝可知，a、b两龙舟的平均速度相等，故B正确；位移—时间图像的斜率表示速度，在t1时刻a龙舟的图像斜率更大，则a龙舟的速度大于b龙舟的速度，故C错误；在t1～t2时间内，两龙舟的起点相同，a先到达位置s0，则a龙舟的位移大于b龙舟的位移，故D错误。]
2.B　[0～2 s内物体的位移s2＝＝1.5 m，则平均速度 2＝＝0.75 m/s。0～4 s内物体的位移s4＝1.5 m＝s2，则平均速度4＝＝0.375 m/s，A错误，B正确；第1 s内和第4 s内位移大小均为0.5 m，C错误；第3 s内和第4 s内加速度均为－1 m/s2，D错误。]
3.BD　[从v－t图像上看，由于所有龙舟出发点相同，故只要存在甲龙舟与其他龙舟从出发到某时刻图线与t轴所围图形面积相等，就存在船头并齐的情况，故A错误，B正确；从s－t图像上看，图像的交点即代表两龙舟船头并齐，故D正确，C错误。]
4.D　[0～2 s内甲做匀速直线运动，故A错误；第2.5 s和第3.5 s时甲物体速度方向相同，故B错误；第2.5 s和第3.5 s时乙物体加速度方向相同，故C错误；由题图可知，甲从原点出发，又回到原点，位移为0；题图乙的图线与t轴所围的面积表示位移，t轴上下面积相等，说明总位移为0，故0～6 s内甲、乙的位移都为0，故D正确。]
5.B　[设足球的初速度为v0，运动员的速度为v，经时间t追上，则有v0t－at2＝vt，代入数据解得t＝4 s，此时足球的速度为v1＝v0－at＝4 m/s，还未停止运动，符合匀减速运动规律，故运动员追上足球所需时间为4 s，B正确。]
6.B　[甲做匀速直线运动，乙做匀加速直线运动，前2 s乙的速度小于甲，而2 s后乙的速度大于甲，即2 s后乙比甲运动得快，A错误；2 s末两者的速度相等，但两者图线与坐标轴围成的面积不相等，即此时两者没相遇，4 s时两个质点的位移相等，乙追上甲，此时两质点的位移均为10 m/s×4 s＝40 m，B正确，D错误；4 s内两者的位移相等，所用时间相等，所以两者的平均速度相等，C错误。]
7.C　[在0～10 s内，乙车的速度一直比甲车大，两车应逐渐远离，则A错误；在10～20 s内，甲车的速度一直比乙车大，两车逐渐靠近，则B错误；在5～
15 s内，两图像与坐标轴的面积相等，则两车的位移相等，则C正确；在t＝10 s时两车速度相等，相距最远，则D错误。]
8.ABC　[根据位移公式s＝v0t＋at2与s甲＝3t＋t2比较系数可得甲的初速度为v1＝3 m/s，a＝2 m/s2，乙做速度为v2＝9 m/s的匀速直线运动，根据位移关系式可知从原点出发后的较短时间内，乙在前，甲在后，故A正确；当速度相等时相距最远，则有v1＋at＝v2，代入数据可得t＝3 s，则这段时间内甲运动的位移为s1＝3×3 m＋32 m＝18 m，乙的位移为s2＝27 m，距离为Δs＝s2－s1＝9 m，故B正确；相遇时位移相等，则有3t＋t2＝9t，解得t＝6 s，则乙运动的位移为s＝9×6 m＝54 m，故C正确，D错误。]
9.A　[v－t图像的切线斜率表示物体的加速度，由题图可知，两物体的加速度都在不断减小，A项正确，B项错误；两物体在0～t0时间内的速度均为正值，故两物体沿正方向运动的位移都在不断增大，C项错误；＝只适用于匀变速直线运动，D项错误。]
10.AB　[v－t图像斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，所以10～20 s内，乙的加速度为a2＝＝2 m/s2，故A正确；甲是匀速直线运动，所以0～20 s内甲的平均速度为1＝20 m/s，乙的平均速度为0～20 s内总位移与总时间的比值，则乙的位移s2＝×10 m/s×10 s＋×20 m/s×10 s＝150 m，2＝＝7.5 m/s，所以＝，故B正确；t＝10 s时，乙的速度减小为零，10 s前后速度都是正方向，所以10 s时方向并未发生改变，故C错误；t＝20 s时，甲的位移为s1＝20 m/s×20 s＝400 m，乙的位移为s2＝150 m，由于二者从同一位置同时出发，所以t＝20 s时甲、乙未相遇，故D错误。]
11.(1)4 m/s2　(2)12.8 cm
解析　(1)从图像可知人在0～2 s内做匀加速运动，其加速度a＝＝4 m/s2。
(2)由图像知，队员加速奔跑时用时t＝2 s，位移为
s1＝t＝8 m
做匀速运动的距离
Δs＝120 m－8 m＝112 m
所需的时间为t1，t1＝＝＝14 s
由此可得队员跑到安全距离所用的总时间为
t2＝t＋t1＝2 s＋14 s＝16 s
导火索的长度至少为
s＝v′t2＝0.8 cm/s×16 s＝12.8 cm。
12.(1)12 m/s　3 m/s2　(2)s0>36 m
解析　(1)在t1＝1 s时A车刚启动，两车间缩短的距离
s1＝vBt1
解得B车的速度vB＝12 m/s
A车的加速度a＝＝3 m/s2。
(2)两车的速度相等时，两车的距离达到最小，对应于v－t图像的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则
s＝vB(t1＋t2)＝36 m
若A、B两车不会相撞，则两车的距离s0应满足s0>36 m。培优提升五　运动图像与追及相遇问题
学习目标　1.知道一般直线运动和匀变速直线运动的s－t图像和v－t图像中坐标、斜率、截距、交点的含义，能根据图像分析加速度、位移等量及物体的运动。
2.掌握追及相遇问题的分析思想和方法。
提升1　运动图像问题
1.v－t图像与s－t图像的比较
　　种类 内容　　 v－t图像 s－t图像
图线斜率 表示加速度 表示速度
图线与时间轴所围面积 表示位移 无意义
两图线交点坐标　 表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点 表示相遇
相同点 表示物体做的都是直线运动
2.注意事项
(1)无论是s－t图像还是v－t图像都只能描述直线运动。
(2)s－t图像和v－t图像都不表示物体运动的轨迹。
(3)s－t图像和v－t图像的形状由s与t、v与t的函数关系决定。
(4)根据斜率判断物体的运动状况，根据s－t图像斜率判断速度变化情况，根据v－t图像斜率判断加速度变化情况。
题型1　v－t图像与s－t图像的比较
例1 (多选)物体甲的s－t图像和物体乙的v－t图像分别如图所示，则这两物体的运动情况是(　　)
A.甲在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
B.甲在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
C.乙在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
D.乙在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，平均速率为1 m/s
v－t图像和s－t图像的应用技巧
(1)确认是v－t图像还是s－t图像。
(2)理解并熟记五个对应关系
①斜率与加速度或速度对应。
②纵截距与初速度或初始位置对应。
③横截距对应速度或位移为零的时刻。
④交点对应速度或位置相同。
⑤拐点对应运动状态发生改变。　　
题型2　v－t图像的理解及应用
例2 某款无人机进行调试时，某段过程中运动的v－t图像如图所示。取竖直向上为正方向，对无人机在该过程中的运动，下列判断正确的是(　　)
A.0～5 s内匀速上升
B.10 s末上升到最高点
C.第12 s内的加速度大小为6 m/s2
D.前10 s内的平均速度与前12 s内的平均速度相同
用v－t图像巧得三个运动量
训练 (2024·福建厦门高一期中)厦门地铁1号线被称为“最美海景地铁”，列车跨海飞驰，乘客在车厢内可观赏窗外美丽的海景。设列车从高崎站至集美学村站做直线运动，运动的v－t图像如图所示，总位移为s，总时间为t0，最大速度为vm，加速过程与减速过程的加速度大小相等，则下列说法正确的是(　　)
A.加速运动时间大于减速运动时间
B.从高崎站至集美学村站的平均速度为
C.匀速运动时间为－t0
D.加速运动时间为－t0
提升2　追及相遇问题
1.追及相遇问题
两物体在同一直线上一前一后运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及相遇问题，讨论追及相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置。
2.追及相遇问题的分析方法
追及相遇问题中的一个条件、两个关系和三点技巧
3.解答追及相遇问题常用的三种方法
物理 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，画出物体运动的示意图
函数 判断法 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到位移s与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况
图像 分析法 将两个物体运动的速度—时间关系图线或位移—时间关系图线画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题
角度1　速度小者追速度大者
例3 一辆汽车在十字路口等红灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远，此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
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角度2　速度大者追速度小者
例4 汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来。现汽车在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，求：
(1)汽车制动时的加速度大小；
(2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？
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随堂对点自测
1.(运动图像问题)(多选)做直线运动的某物体的v－t 图像如图所示。由图像可知(　　)
A.前10 s物体的加速度为0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为－1 m/s2
B.15 s末物体回到出发点
C.前15 s内物体的位移为37.5 m
D.前10 s内物体的平均速度为2.5 m/s
2.(追及相遇问题)大雾天气会影响驾驶员安全驾驶，因此开车在路上时如遇大雾应该保持车距、控制车速。某大雾天，一辆小汽车在水平直线公路上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现前方一货车正以36 km/h的速度匀速行驶。小汽车驾驶员经过1 s反应时间后开始刹车(假设在反应时间内汽车的车速不变)，刹车的加速度大小为2 m/s2，小汽车恰好没撞上货车，那么小汽车驾驶员刚发现货车时距货车的距离为(　　)
A.30 m B.35 m C.40 m D.45 m
3.(追及相遇问题)(多选)A、B两物体在同一直线上运动的v－t图像如图所示，已知在第4 s末两物体相遇，则下列说法正确的是(　　)
A.两物体从同一地点出发
B.出发时A在B前方4 m处
C.两物体运动过程中，A的加速度小于B的加速度
D.第4 s末两物体相遇之后，两物体可能再次相遇
培优提升五　运动图像与追及相遇问题
提升1
例1 AC　[根据s－t图像的斜率表示速度可知，甲在整个t＝6 s时间内一直沿正方向运动，运动方向一直不变，做匀速直线运动，通过的总位移大小为s甲＝2 m－(－2 m)＝4 m，故A正确，B错误；根据v－t图像与时间轴所围的面积表示位移可知，乙在0～3 s内沿负方向做匀减速直线运动，位移为s1＝×(－2 m/s)×3 s＝－3 m；3 s 后沿正方向做匀加速直线运动，位移为s2＝×2 m/s×3 s＝3 m；则总位移为s乙＝s1＋s2＝0，故C正确，D错误。]
例2 C　[0～5 s内， v－t图线是向上的倾斜直线，加速度不变，无人机匀加速上升，A错误；图线在t轴上方，表示物体沿正方向运动，在t轴下方，表示物体沿负方向运动，由图可知0～11 s内无人机上升，11～12 s内无人机下降，则11 s末上升到最高点，B错误；由于v－t图线的斜率表示加速度，可知第12 s内的加速度为a＝＝－6 m/s2，加速度大小为6 m/s2，C正确；根据v－t图线与时间轴所围的面积表示位移，可知10～12 s内位移为0，则前10 s内的位移与前12 s内的位移相同，但所用时间不等，前10 s内的平均速度较大，D错误。]
训练 C　[加速过程与减速过程的加速度大小相等，速度变化量大小相等，则加速运动的时间等于减速运动的时间，故A错误；从高崎站至集美学村站的平均速度＝>，故B错误；设匀速运动时间为t，v－t图像的面积代表位移，总位移s＝(t＋t0)vm，解得t＝－t0，故C正确，D错误。]
提升2
例3 (1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
解析　方法一　用运动学公式求解。
(1)汽车开动后速度由0逐渐增大，而自行车的速度不变。当汽车的速度小于自行车的速度时，两车的距离将越来越大，而一旦汽车的速度加速到超过自行车的速度时，两车的距离就将缩小。因此两者速度相等时两车相距最远(以上分析紧紧抓住了“速度关系”及“位移关系”)，有
v汽＝at＝v自
所以t＝＝＝2 s
Δs＝v自t－at2＝6 m/s×2 s－×3 m/s2×(2 s)2＝6 m。
(2)汽车追上自行车时，两车位移相等，
则v自t′＝
代入数据解得t′＝4 s
故v′＝at′＝3 m/s2×4 s＝12 m/s。
方法二　用数学中求极值的方法来求解。
(1)设汽车在追上自行车之前经时间t两车相距最远。
因为Δs＝s1－s2＝v自t－at2
所以Δs＝6t－t2
由二次函数求极值条件知
t＝＝2 s时，Δs最大
所以Δs＝6t－t2＝6 m。
(2)同方法一中的(2)。
方法三　用图像求解。
(1)自行车和汽车的v－t图像如图所示，因为图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图像可以看出：相遇之前，t时刻两车速度相等时，自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(阴影部分)达到最大。
所以t＝＝＝2 s
Δs＝v自t－at2
＝6 m/s×2 s－×3 m/s2×(2 s)2＝6 m。
(2)由图可看出：在t时刻以后，当自行车与汽车的v－t图像围成的三角形面积与标有阴影的三角形面积相等时，两车的位移相等(即相遇)。所以由图得相遇时，t′＝2t＝4 s，v′＝2v自＝12 m/s。
例4 (1)0.5 m/s2　(2)不会相撞　4 m
解析　(1)汽车制动时的加速度大小
a＝＝0.5 m/s2。
(2)当汽车减速到与货车共速时，所需的时间
t0＝＝28 s
此时间内汽车运动的位移
s1＝＝364 m
此时间内货车运动的位移为
s2＝vBt0＝168 m
Δs＝s1－s2＝196 m<200 m，所以两车不会相撞。
此时两车相距最近，最近距离
s＝s0－Δs＝200 m－196 m＝4 m。
随堂对点自测
1.ACD　[在v－t图像中，图线斜率表示加速度，故前10 s物体的加速度为a1＝＝＝0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为a2＝＝－1 m/s2，故A正确；v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移，故物体在前15 s内的位移为s＝×5 m/s×15 s＝37.5 m，B错误，C正确；前10 s内物体的平均速度＝＝＝2.5 m/s，故D正确。]
2.B　[两车共速时有v0－at＝v货，解得t＝5 s，小汽车驾驶员刚发现货车时距货车的距离为Δs＝v0Δt＋v0t－at2－v货(t＋Δt)，解得Δs＝35 m，故B正确。]
3.BC　[由v－t图像与t轴所围的“面积”表示位移大小可知，两物体在0～4 s内的位移不相等，而在第4 s末相遇，可知出发点不同，A错误；sA＝×4 m/s×
4 s＝8 m，sB＝×6 m/s×4 s＝12 m，已知在第4 s末相遇，则出发时A在B前方4 m处，B正确；由于A图线的斜率小于B图线的斜率，可知A的加速度小于B的加速度，C正确；相遇后A的速度始终小于B的速度，所以两物体不会再次相遇，D错误。](共51张PPT)
培优提升五　运动图像与追及相遇问题
第2章　匀变速直线运动
1.知道一般直线运动和匀变速直线运动的s－t图像和v－t图像中坐标、斜率、截距、交点的含义，能根据图像分析加速度、位移等量及物体的运动。
2.掌握追及相遇问题的分析思想和方法。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　追及相遇问题
提升1　运动图像问题
提升1　运动图像问题
1.v－t图像与s－t图像的比较
　　种类 内容　　 v－t图像 s－t图像
图线斜率 表示加速度 表示速度
图线与时间轴所围面积 表示位移 无意义
两图线交点坐标　 表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点 表示相遇
相同点 表示物体做的都是直线运动
2.注意事项
(1)无论是s－t图像还是v－t图像都只能描述直线运动。
(2)s－t图像和v－t图像都不表示物体运动的轨迹。
(3)s－t图像和v－t图像的形状由s与t、v与t的函数关系决定。
(4)根据斜率判断物体的运动状况，根据s－t图像斜率判断速度变化情况，根据v－t图像斜率判断加速度变化情况。
AC
题型1　v－t图像与s－t图像的比较
例1 (多选)物体甲的s－t图像和物体乙的v－t图像分别如图所示，则这两物体的运动情况是(　　)
A.甲在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
B.甲在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
C.乙在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
D.乙在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，平均速率为1 m/s
v－t图像和s－t图像的应用技巧
(1)确认是v－t图像还是s－t图像。
(2)理解并熟记五个对应关系
①斜率与加速度或速度对应。
②纵截距与初速度或初始位置对应。
③横截距对应速度或位移为零的时刻。
④交点对应速度或位置相同。
⑤拐点对应运动状态发生改变。　　
题型2　v－t图像的理解及应用
例2 某款无人机进行调试时，某段过程中运动的v－t图像如图所示。取竖直向上为正方向，对无人机在该过程中的运动，下列判断正确的是(　　)
A.0～5 s内匀速上升
B.10 s末上升到最高点
C.第12 s内的加速度大小为6 m/s2
D.前10 s内的平均速度与前12 s内的平均速度相同
C
用v－t图像巧得三个运动量
训练 (2024·福建厦门高一期中)厦门地铁1号线被称为“最美海景地铁”，列车跨海飞驰，乘客在车厢内可观赏窗外美丽的海景。设列车从高崎站至集美学村站做直线运动，运动的v－t图像如图所示，总位移为s，总时间为t0，最大速度为vm，加速过程与减速过程的加速度大小相等，则下列说法正确的是(　　)
C
提升2　追及相遇问题
1.追及相遇问题
两物体在同一直线上一前一后运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及相遇问题，讨论追及相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置。
2.追及相遇问题的分析方法
追及相遇问题中的一个条件、两个关系和三点技巧
3.解答追及相遇问题常用的三种方法
物理 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，画出物体运动的示意图
函数 判断法 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到位移s与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况
图像 分析法 将两个物体运动的速度—时间关系图线或位移—时间关系图线画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题
角度1　速度小者追速度大者
例3 一辆汽车在十字路口等红灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远，此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
解析　方法一　用运动学公式求解。
(1)汽车开动后速度由0逐渐增大，而自行车的速度不变。当汽车的速度小于自行车的速度时，两车的距离将越来越大，而一旦汽车的速度加速到超过自行车的速度时，两车的距离就将缩小。因此两者速度相等时两车相距最远(以上分析紧紧抓住了“速度关系”及“位移关系”)，有v汽＝at＝v自，
(2)汽车追上自行车时，两车位移相等，
代入数据解得t′＝4 s
故v′＝at′＝3 m/s2×4 s＝12 m/s。
方法二　用数学中求极值的方法来求解。
(1)设汽车在追上自行车之前经时间t两车相距最远。
方法三　用图像求解。
(1)自行车和汽车的v－t图像如图所示，因为图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图像可以看出：相遇之前，t时刻两车速度相等时，自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(阴影部分)达到最大。
(2)由图可看出：在t时刻以后，当自行车与汽车的v－t图像围成的三角形面积与标有阴影的三角形面积相等时，两车的位移相等(即相遇)。所以由图得相遇时，t′＝2t＝4 s，v′＝2v自＝12 m/s。
答案　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
角度2　速度大者追速度小者
例4 汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来。现汽车在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，求：
(1)汽车制动时的加速度大小；
(2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？
解析　(1)汽车制动时的加速度大小
(2)当汽车减速到与货车共速时，所需的时间
此时间内货车运动的位移为
s2＝vBt0＝168 m
Δs＝s1－s2＝196 m<200 m，所以两车不会相撞。
此时两车相距最近，最近距离
s＝s0－Δs＝200 m－196 m＝4 m。
答案　(1)0.5 m/s2　(2)不会相撞　4 m
随堂对点自测
2
ACD
1.(运动图像问题)(多选)做直线运动的某物体的v－t 图像如图所示。由图像可知(　　 )
A.前10 s物体的加速度为0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为
－1 m/s2
B.15 s末物体回到出发点
C.前15 s内物体的位移为37.5 m
D.前10 s内物体的平均速度为2.5 m/s
B
2.(追及相遇问题)大雾天气会影响驾驶员安全驾驶，因此开车在路上时如遇大雾应该保持车距、控制车速。某大雾天，一辆小汽车在水平直线公路上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现前方一货车正以36 km/h的速度匀速行驶。小汽车驾驶员经过1 s反应时间后开始刹车(假设在反应时间内汽车的车速不变)，刹车的加速度大小为2 m/s2，小汽车恰好没撞上货车，那么小汽车驾驶员刚发现货车时距货车的距离为(　　)
A.30 m B.35 m C.40 m D.45 m
BC
3.(追及相遇问题)(多选)A、B两物体在同一直线上运动的v－t图像如图所示，已知在第4 s末两物体相遇，则下列说法正确的是(　　)
A.两物体从同一地点出发
B.出发时A在B前方4 m处
C.两物体运动过程中，A的加速度小于B的加速度
D.第4 s末两物体相遇之后，两物体可能再次相遇
课后巩固训练
3
B
题组一　运动学图像问题
1.如图甲所示的赛龙舟是端午节的传统活动，赛程总长度为s0，a、b两条龙舟从同一起点开始沿长直河道运动到同一终点线的过程中，位移s随时间t变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
基础对点练
A.b龙舟赢得了比赛
B.0～t1时间内，a、b两龙舟的平均速度相等
C.t1时刻，a龙舟的速度等于b龙舟的速度
D.t1～t2时间内，b龙舟的位移大于a龙舟的位移
B
2.如图是物体做直线运动的v－t图像，由图像可知，该物体(　　)
A.0～2 s内和0～4 s内的位移不相等
B.0～2 s内和0～4 s内的平均速度大小不相等
C.第1 s内和第4 s内的位移大小不相等
D.第3 s内和第4 s内的加速度不相同
BD
3.(多选)赛龙舟是端午节的传统活动。下列v－t和s－t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有(　　)
解析　从v－t图像上看，由于所有龙舟出发点相同，故只要存在甲龙舟与其他龙舟从出发到某时刻图线与t轴所围图形面积相等，就存在船头并齐的情况，故A错误，B正确；从s－t图像上看，图像的交点即代表两龙舟船头并齐，故D正确，C错误。
D
4.甲、乙两物体从同一点开始沿同一直线运动，甲的s－t图像和乙的v－t图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.0～2 s内甲做匀加速运动
B.第2.5 s和第3.5 s时甲物体速度方向不同
C.第2.5 s和第3.5 s时乙物体加速度方向不同
D.0～6 s内甲、乙的位移都为0
解析　0～2 s内甲做匀速直线运动，故A错误；第2.5 s和第3.5 s时甲物体速度方向相同，故B错误；第2.5 s和第3.5 s时乙物体加速度方向相同，故C错误；由题图可知，甲从原点出发，又回到原点，位移为0；题图乙的图线与t轴所围的面积表示位移，t轴上下面积相等，说明总位移为0，故0～6 s内甲、乙的位移都为0，故D正确。
B
题组二　追及相遇问题
5.若运动员将足球以12 m/s的速度踢出，足球沿草地做加速度大小为2 m/s2的匀减速直线运动，踢出的同时运动员以恒定速度8 m/s去追足球，则运动员追上足球所需时间为(　　)
A.2 s B.4 s C.6 s D.8 s
B
6.以两个质点同时同地点向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示，则(　　)
A.乙比甲运动得快
B.乙追上甲时距出发点40 m
C.4 s内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在2 s末乙追上甲
解析　甲做匀速直线运动，乙做匀加速直线运动，前2 s乙的速度小于甲，而2 s后乙的速度大于甲，即2 s后乙比甲运动得快，A错误；2 s末两者的速度相等，但两者图线与坐标轴围成的面积不相等，即此时两者没相遇，4 s时两个质点的位移相等，乙追上甲，此时两质点的位移均为10 m/s×4 s＝40 m，B正确，D错误；4 s内两者的位移相等，所用时间相等，所以两者的平均速度相等，C错误。
C
7.甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v－t 图中(如图)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是(　　)
A.在0～10 s内两车逐渐靠近
B.在10～20 s内两车逐渐远离
C.在5～15 s内两车的位移相等
D.在t＝10 s时两车在公路上相遇
解析　在0～10 s内，乙车的速度一直比甲车大，两车应逐渐远离，则A错误；在10～20 s内，甲车的速度一直比乙车大，两车逐渐靠近，则B错误；在5～15 s内，两图像与坐标轴的面积相等，则两车的位移相等，则C正确；在t＝10 s时两车速度相等，相距最远，则D错误。
ABC
8.(多选)在青少年机器人大赛中，某小队以线上一点为原点，沿赛道向前建立直线坐标系，他们为机器人甲、乙编写的程序是，让他们的位移s(m)随时间t(s)变化的规律分别为s甲＝3t＋t2，s乙＝9t，则(　 　)
A.从原点出发后的较短时间内，乙在前，甲在后
B.甲、乙相遇前，最大距离为9 m
C.两机器人在s＝54 m处相遇
D.8 s时，两机器人相遇
A
9.从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度—时间图像如图所示。在0～t0时间内，下列说法正确的是(　　)
综合提升练
AB
10.(多选)(2024·福建厦门高一期中)甲、乙两物体同时从同一位置出发做直线运动，v－t图像如图所示，则(　　)
A.10～20 s内，乙的加速度为2 m/s2
B.0～20 s内，甲、乙的平均速度之比为8∶3
C.t＝10 s时，乙的速度方向发生改变
D.t＝20 s时，甲、乙相遇
11.如图甲所示，在一次爆破演习中，爆破队员点火后立即以最大加速度a向外奔跑8 m达最大速度v，然后以速度v向外做匀速运动，其速度－时间图像如图乙所示，若导火索的火焰顺着导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，为了使点火队员在导火索火焰烧到爆炸物以前能够跑到离点火处120 m远的安全地方处，问：
(1)队员奔跑时的最大加速度a多大；
(2)导火索至少需要多长才行。
答案　(1)4 m/s2　(2)12.8 cm
做匀速运动的距离
Δs＝120 m－8 m＝112 m
由此可得队员跑到安全距离所用的总时间为
t2＝t＋t1＝2 s＋14 s＝16 s
导火索的长度至少为
s＝v′t2＝0.8 cm/s×16 s＝12.8 cm。
培优加强练
12.如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示。已知B车在第1 s内与A车的距离缩短s1＝12 m。
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离s0应满足什么
条件？
答案　(1)12 m/s　3 m/s2　(2)s0>36 m
解析　(1)在t1＝1 s时A车刚启动，两车间缩短的距离s1＝vBt1
解得B车的速度vB＝12 m/s
(2)两车的速度相等时，两车的距离达到最小，对应于v－t图像的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则

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