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2025 届云南三校高考备考实用性联考卷（七）-双向细目表
数 学
题号 题型 分值 试题内容 难易程度
1 单项选择题 5 充要条件 0.90
2 单项选择题 5 复数的运算 0.90
3 单项选择题 5 集合的运算 0.8
4 单项选择题 5 三角函数的零点 0.80
5 单项选择题 5 偶函数求参 0.80
6 单项选择题 5 数列的最值 0.60
7 单项选择题 5 向量的综合应用 0.50
8 单项选择题 5 立体几何求线面角 0.40
9 多项选择题 6 正态分布 0.70
10 多项选择题 6 解三角形 0.65
11 多项选择题 6 曲线的方程的综合应用 0.35
12 填空题 5 向量 0.80
13 填空题 5 三角恒等变换 0.70
14 填空题 5 排列组合的综合应用 0.30
15 解答题 13 概率统计 0.70
16 解答题 15 函数与导数 0.70
17 解答题 15 立体集合 0.50
18 解答题 17 圆锥曲线（双曲线） 0.50
19 解答题 17 新定义（三角与数列综合） 0.25
达成 目标 优秀率 及格率 平均分 10% 50% 90
命题 试题以考查学生的数学基础知识、基本技能和基本思想方法为前提，以考查学生
思想 发现问题、提出问题、分析问题和解决问题得能力。试题涉及《普通高中数学教
材》必修和选择性必修的全部内容，试题难度兼顾不同类型的学生，综合考虑以
基础题为主，部分试题设置情境以考查学生核心素养，目的是获取学生数学思维
和素养水平的发展情况，指导后续复习备考计划的修改和优化。预估难度在 0.572025 届云南三校高考备考实用性联考卷（七）
数学评分细则
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C D D C B B
【解析】
2．依题意， 所以 故选 A．
3．因为 ，所以 ，A 中集合不合题意；B 中集合为 或
， 也 不 合 题 意 ， C 中 集 合 为 ， 满 足 题 意 ， D 中 集 合 为
，不合题意，故选 C．
4． 令 ，解得
，故选 D．
5．由题意可得 ，即 整理得
故选 D．
6．因为 所以 ，因为 所以 所以
公差 故当 时， ，当 时， ，所以当 时， 取得
最小值，即 中最小的项是 ，故选 C．
7． ， 即 的 圆 心 ， 半 径 为 ，
可 得 直 线 l 过 定 点
，椭圆方程 中， ， ，则
圆心 为椭圆的右焦点，线段 为 的直径(除去直线 与圆 M 相交
的 直 径 ） ， 连 接 ， 因 此
，
点 为椭圆 上任意一点，则 ， ，即
，所以 ，故选 B．
8．如图 1，由已知 和 都是等边三角形， 是 中
点， ， ，又 ， 平面
，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面
平面 ，同理平面 平面 ，所以 在平
面 内的射影是 ，所以 是 与平面 所成的
角，设 分别是 和 的外心，则 ，
图 1
，且 ，在平面 内过 作 ，过
作 ， 与 交于点 ，则 平面 ，同理 平面 ，
平面 ，则 ，所以 是四面体 外接球的球心，由已知
， ， 又 ， 所 以
，
由 对 称 性 知 ，
，所以直线 与平面 BCD 所成角的
正弦值为 ，故选 B．
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11
答案 ACD AC ABD
【解析】
9． 由 题 意 知 ， ， A： ， 故 A 正 确 ； B：
，
， 故 B 错 误 ； C：
， 人 ， 故 C 正 确 ； D：
，因为成绩服从标准正态分布，
，故 D 正确，故选 ACD．
10．对于 A 项，因为 ，所以 ，所以
，又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，故 A 项正确；对于 B 项，设 的外接圆的半径为 ，
由正弦定理可得 ，则 ，故 B 项错误；对于 C 项，由余弦定理可得
，即 ①．因为 ②，当且仅当 时，等
号成立，所以由①②得 ，当且仅当 时，等号成立，所以 的面积
， 则 C 项 正 确 ； 对 于 D 项 ， 由 正 弦 定 理 可 得
，则 ， ，所以
为锐角三角形，则 ，所以
，所以 ，所以 ，即 的取值
范围是 ，故 D 项错误，故选 AC．
11．选项 A：由曲线 ， ，若曲线为圆，需满足 和 系数相
等且无交叉项，展开原方程得： ，交叉项系数为 ，
无法消除，故曲线 C 无法为圆，选项 A 正确；选项 B：验证曲线关于点 对称，将点
替换为对称点 代入方程：
与原方程形式一致，故 均成立，选项 B 正确；选项 C：当 时，方程为
，整理为关于 y 的二次方程： ．判别式
，即得 解得 ，选项 C
错误；选项 D：当 时，方程为 ，渐近线为 ，
化简得 或 ，即得 或 ，所以直线 是曲线
的一条渐近线，选项 D 正确，故选 ABD．
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号 12 13 14
答案 4 ；80
【解析】
12．由 可得
解得 ．
13． 所 以 即 原 式
原式 ．
14．依据乘法原理，选派方法共有 由表可知，五项工作获得的效益值总和
最大为 13+26+15+11+16=81，但不能同时取得，要使总和最大、甲可以承担 B 或 D 项工
作，丙只能承担 C 项工作，则丁不可以承担 C 项工作，所以丁承担 E 项工作；乙若承担
B 项 工 作 ， 则 甲 承 担 D 项 工 作 ， 戊 承 担 A 项 工 作 ， 此 时 效 益 值 总 和 为 ： 14
+26+15+13+11=79，乙若不承担 B 项工作，则乙承担 A 项工作，甲承担 B 项工作，则戊
承担 D 项工作，此时，效益值总和为：25+13+15+16+11=80，所以，完成五项工作后获
得的效益值总和最大是 80．
四、解答题（共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分 13 分）
解：（1） ……………………………………（1 分）
由参考数据 …………………（4 分）
所以 ……………………………………………（5 分）
故广告费投入 y 关于年销售量 x 的回归方程为 ．
………………………………………………………………（6 分）
（2）设 “在甲汽车店购买汽车”， “在乙汽车店购买汽车”，
“购买的是新能源汽车”， ……………………………………………（7 分）
………………………………………………………………（9 分）
由全概率公式得， .
……………………………………………………………（13 分）
16．（本小题满分 15 分）
解：（1）对函数
在 处的切线方程为 …………………………（2 分）
设
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
………………………………………………………………（4 分）
当且仅当 时，
与 只有一个公共点 ． …………………………（6 分）
（2） …………………………………（7 分）
若选①，则
易知 在 上单调递增，无最大值；
若选②，则令
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，
； ……………………………………………（15 分）
（第（2）小问选择①③酌情给分）
若选③，则令
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
无最大值．
17．（本小题满分 15 分）
（1）证明：建立如图 2 所示的空间直角坐标系 ，
则
…………………………………（2 分）
由 ，
得 ，
图 2
解得 ，即 ，
所以 ， ， ………………………………（4 分）
所以 ，又 ，
所以 ． ……………………………………………（5 分）
（2）解：由（1）得 ，则 ，
……………………………………………………………（6 分）
设平面 的一个法向量为 ，
则 令 ，得 ，
所以 ， ……………………………………………（9 分）
又平面 的一个法向量为 ， ………………………………（10 分）
所以 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ． ……………………………（12 分）
（ 3） 解 ： 由 题 意 知 ， 由 （ 2） 得 平 面 的 一 个 法 向 量 为
所以点 到平面 的距离为 ．
…………………………………………………………………（15 分）
18．（本小题满分 17 分）
解：（1）设动圆 的半径为 ，当动圆 与圆 、圆 都外切时，
所以
当动圆 与圆 、圆 都内切时，
所以 ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线，
…………………………………………………………（3 分）
所以 ， ，所以
所以曲线 的方程为 ． …………………………………………（5 分）
（2）设直线 交双曲线于点 ，并设 ，
所以 两式相减可得：
…………………………………………………………（7 分）
……………………………………………………………（9 分）
因为 为线段 的中点，
所以 ，
所以 ，所以直线 的方程为 ，
化简可得 ． ……………………………………………（11 分）
（3） ，设点
因为直线 CD 的斜率不为 0，故设 CD 的方程为
联立 得 ，
……………………………………………（13 分）
直线 的方程为
直线 的方程为
联立直线 与 可得
………………………………………………………（16 分）
又
故点 在定直线 上． …………………………………（17 分）
19．（本小题满分 17 分）
解：（1）因为
由②得
……………………………………………（2 分）
由①得
． ……………………………………………（4 分）
（2）由①得：
…
将上述等式相加，可得 ， ……………………………（6 分）
所以 ， 也满足此式，
故 .
由②得， ，
，
…
将上述等式相加，可得 ，
………………………………………………………………………（8 分）
所以 ．
而 也满足此式，故 ．
……………………………………………………………………（10 分）
（3）由（2）知 ， …………………………………………（11 分）
，
所以
………………………………………………………………（14 分）
当且仅当 时， ， 上式取得等号，
即当 时，均有 ，
所以当 时， ； ………………………………………（15 分）
当 时， ； ……………………………………………（16 分）
当 时， ． ……………………………………………（17 分）6.已知数列{an是等差数列，其前n项和为Sn,若a3+a1o>0,Su<0,则数列{Sn}中最
2025届云南三校高考备考实用性联考卷（七)
小的项是
数学
A.Sa
B.Ss
C.S
D.S7
7已知点P为椭圆G片-1上任盘点，直线4(m+24(m+1y2m4=0与0M
注意事项：
x2+y2-4x+3=0交于A,B两点，则PA·PB的取值范围是
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
A.[2,34]
B.[3,35]
C.[2,36]
D.[4,36]
题卡上填写清楚，
8.在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BD中点，将△ABD绕直线BD翻折
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
到△A'BD,使得四面体A'BCD外接球的表面积为16π，则此时直线A'E与平面BCD
用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效，
所成角的正弦值为
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟」
A29
c
D.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的)
中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得
1.“a>b”是“a2>b2”的()条件.
0分)
A.充分不必要
B.必要不充分
9.已知在一次数学测验中，某校1000名学生的成绩服从正态分布N(100,100),其中
C.充要
D.既不充分也不必要
90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（参考数
据：①P(u-2设复数：满足1行+21，则：
u+3o)=0.9973.)
A.平均分为100
A.⑩
B.2
B.及格率超过86%
2
C.得分在(70,130]内的人数约为997
C.5
0.2
5
D.得分低于80的人数和优秀的人数大致相等
3.已知集合A={1,2,3,4,5,且A∩B=A,则集合B可以是
10.设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=√3，且(2b-c)cosA=
acosC,则下列结论正确的是
A.{2,3,4
B.{xx2>1
C.{x3*>1}
D.{xlog2(x-1)<3}
A4号
B.△ABC的外接圆的半径是2
4.函数f(x)=cosx-sin2x在区间(0,3π)上的零点个数为
A.4
B.5
C.△4BC的面积的最大值是3,3
D.2b-c的取值范围是(-√3,25)
4
C.6
D.7
11.已知曲线C:（x-y)2+入(y-1)2=5,入∈R,则下列选项正确的是
5.已知函数x)=x4)
1)2
A.HA∈R,曲线C均不为圆
+ln(e+a)是偶函数，则a=
B.H入eR,曲线C都关于点(1,1)中心对称
1
8.2
C.当入=1时，x∈[1-√5,1+5]
C.0
D.1
D.当入=-1时。直线)'是曲线C的一条新近线
数学·第1页（共4页）
数学·第2页（共4页）》

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