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第1节　科学探究：力的合成
第1课时　共点力的合成　探究两个互成角度的力的合成规律
学习目标　1.知道共点力、合力、分力的概念。2.能通过实验探究两个互成角度的力的合成规律。3.练习应用作图法求两个力的合力。
知识点一　共点力的合成
某班师生在植树节给树浇水，如图所示，老师一人提着一桶水到现场，放下桶，然后小娟、小明共同提起该桶，准备给树浇水，老师的拉力为F，小娟、小明作用在桶上的力分别为F1、F2。
(1)F与F1、F2共同作用的效果相同吗？
(2)判断力F、F1、F2中哪些力是合力，哪些力是分力。
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
1.共点力：如果几个力同时作用在物体上的________，或它们的________相交于同一点，我们就把这几个力称为共点力。
2.合力与分力：当物体同时受到几个力的作用时，我们可用一个力来代替它们，且产生的____________相同。物理学中把这个力称为那几个力的________，那几个力则称为这个力的________。
3.力的合成：求几个力的________的过程。
4.合力与分力的关系
合力与分力之间是一种____________ 的关系，合力作用的效果与分力共同作用的________相同。
例1 关于合力和分力的说法正确的是(　　)
A.合力一定大于分力
B.合力和分力的作用效果相同
C.合力和分力可以作用在不同的物体上
D.合力和分力可以同时作用在物体上
归纳提升　合力与分力的三个特性
训练 (多选)如图所示，完全相同的两个吊灯，左边的吊灯只受一个A绳拉力的作用，右边的吊灯受到B绳和C绳的共同作用，两灯均处于静止状态，则下列说法正确的是(　　)
A.A绳对灯的拉力与灯的重力是等效的
B.B、C两绳对灯的拉力与A绳对灯的拉力等效
C.B绳对灯的拉力和C绳对灯的拉力可以看作A绳对灯拉力的分力
D.A绳的拉力等于B绳的拉力和C绳的拉力的和
知识点二　探究两个互成角度的力的合成规律
1.实验目的
(1)探究两个互成角度的共点力与其合力间的关系。
(2)学习用________的思想探究矢量合成的方法。
2.实验原理与设计
让两个互成角度的共点力F1和F2作用于某一物体，并产生明显的作用效果；然后用一个力F来代替F1和F2，产生________的作用效果。测出F1、F2和F，比较它们的大小和方向，找出其中的规律。
3.实验器材
木板、橡皮筋、细线、白纸、____________、图钉(若干)、铅笔、三角板、刻度尺。
4.实验步骤
(1)如图(a)所示，在铺有白纸的木板上，将橡皮筋一端用图钉固定于A点，另一端与两细线打一个________。两细线分别挂上测力计。
(2)如图(b)所示，分别用力拉两只测力计，用铅笔标出结点B被拉伸到的位置，记为O点。记下此时两只测力计的____________，并沿两细线标记出力的方向。
(3)如图(c)所示，用力拉一只测力计，同样将结点B拉到O处，记下此时测力计的示数F，并沿细线标记出力的方向。
(4)用力的图示画出F1、F2及F。
5.数据分析
用铅笔和刻度尺从结点O沿两条细绳方向画直线，按选定的标度作出这两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，将F1、F2、F的箭头用虚线连起来，看看三者符合什么规律？并以F1和F2为邻边作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线即为合力F′的图示。
6.实验结论
F是F1、F2的合力，F1、F2和F满足____________关系。即以表示互成角度的两共点力的有向线段为邻边作平行四边形，则两邻边间的对角线所对应的有向线段就表示这两个共点力的合力大小和方向，即合力与两分力间遵循平行四边形法则。
7.注意事项
(1)结点O
①定位O点时要力求准确。
②同一次实验中橡皮筋拉长后的O点必须保持不变。
(2)拉力
①用弹簧测力计测拉力时要使拉力沿弹簧测力计轴线方向。
②应使橡皮筋、弹簧测力计和细绳套位于与纸面平行的同一平面内。
③两个分力F1、F2间的夹角θ不要太大或太小。
(3)作图
①在同一次实验中，选定的比例要相同；
②严格按力的图示要求和几何作图法作出平行四边形，求出合力。
例2 如图甲所示，实验小组做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验，先将白纸贴在水平桌面上，然后将橡皮筋的一端用图钉固定在白纸上的O点，让橡皮筋处于原长。部分实验步骤如下：
(1)用一只弹簧测力计通过细绳将橡皮筋的P端拉至O1点，此时拉力的大小F可由弹簧测力计读出，弹簧测力计的示数如图乙所示，F的大小为________N。
(2)用两只弹簧测力计通过细绳同时拉橡皮筋的P端，再次将P端拉到O1点。此时观察到两个弹簧测力计的示数分别为F1＝2.50 N，F2＝2.60 N，方向如图丙中的虚线所示。
(3)用1 cm的线段表示1 N的力，以O1点为作用点，请用力的图示在图上画出这两个共点力的合力F合，F合的大小为________N(结果保留3位有效数字)。
(4)通过比较________这两个力的大小和方向，即可得出实验结论。
例3 某探究小组做“探究两个互成角度的力的合成规律”实验，将画有坐标轴(横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1 mm)的纸贴在水平桌面上，如图(a)所示。将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点(位于图示部分之外)，另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长。
(1)用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O，此时拉力F的大小可由测力计读出。测力计的示数如图(b)所示，F的大小为________N。
(2)撤去(1)中的拉力，橡皮筋P端回到A点；现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点。此时观察到两个拉力分别沿图(a)中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1＝4.2 N和F2＝5.6 N。
①用5 mm长度的线段表示1 N的力，以O为作用点，在图(a)中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合；
②F合的大小为________N，F合与拉力F的夹角的正切值为________。
随堂对点自测
1.(共点力的合成)(多选)关于F1、F2及它们的合力F，下列说法中正确的是(　　)
A.合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同
B.两力F1、F2一定是同种性质的力
C.两力F1、F2一定是同一个物体受到的力
D.两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力
2.(探究实验)某学生在“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验中，将橡皮条的一端固定在A点，另一端拴上两根细绳，每根细绳分别连着一个量程为5 N、最小分度为0.1 N的弹簧测力计。沿着两个不同的方向拉弹簧测力计，当橡皮条的活动端拉到O点时，两根细绳相互垂直(如图甲)，这时弹簧测力计的读数可从图中读出。
(1)由图可读得两个相互垂直的拉力大小为F1＝________N，F2＝________N。
(2)在方格纸上按作图法的要求画出这两个力及它们的合力，并求出合力的近似值F＝________N。
第1课时　共点力的合成　探究两个互成角度的
力的合成规律
知识点一
导学　提示　(1)相同　(2)F为F1和F2的合力，F1、F2为F的分力。
知识梳理
1.同一点　作用线　2.作用效果　合力　分力　3.合力　4.等效替代　效果
例1 B　[合力与分力是等效替代关系，合力和分力的作用效果相同，但合力可以大于、等于或小于分力，故A错误，B正确；合力与分力是等效替代关系，不会同时作用在物体上，故C、D错误。]
训练 BC　[A绳产生的效果是使灯吊在空中，重力的效果是使灯有向下运动的趋势，则A绳对灯的拉力与灯的重力不是等效的，故A错误；A绳产生的效果是使灯吊在空中，B、C两绳产生的效果也是使灯吊在空中，所以A绳的拉力和B、C绳的拉力是等效的，故B正确；由于B、C两绳对灯的拉力与A绳对灯的拉力等效，则B、C两绳的拉力可以看作A绳拉力的分力，故C正确；B、C两绳对灯的拉力与A绳对灯的拉力等效，可以相互替代，但不能简单认为A绳的拉力等于B绳的拉力和C绳的拉力的和，故D错误。]
知识点二
1.(2)等效　2.同样　3.弹簧测力计　4.(1)结点B　(2)示数F1、F2　6.平行四边形　
例2 (1)4.30(4.28～4.32)
(3)见解析图　4.38(4.30～4.50)　(4)F和F合
解析　(1)弹簧测力计的最小刻度为0.1 N，则F的大小为4.30 N(4.28～4.32 N)。
(3)画出这两个共点力的合力F合如图所示。
由图可知F合的大小为4.38 N(4.30 ～4.50 N)。
(4)通过比较F和F合这两个力的大小和方向，即可得出实验结论。
例3 (1)4.0　(2)①见解析图 　②4.0　0.05
解析　(1)由题图(b)可知，该弹簧测力计最小分度值为0.2 N，故F的大小为4.0 N。
(2)①画出力F1、F2及F合的图示，如图所示。
②用刻度尺量出F合的线段长约为20 mm，所以F合大小为4.0 N，又拉力F的方向沿y轴负向，则F合与拉力F的夹角的正切值为
tan α＝＝0.05。
随堂对点自测
1.AC　[只有同一个物体受到的力才能合成，分别作用在不同物体上的力不能合成。合力F是对力F1、F2的等效替代，两力可以是不同性质的力，分析物体的受力时，合力与分力不能同时存在。所以选项A、C正确，B、D错误。]
2.(1)4.00　2.50　(2)见解析图　4.70
解析　(1)由题图甲可知，竖直方向上的弹簧测力计的读数为2.50 N，水平方向上的弹簧测力计的读数为4.00 N。读数要估读到最小刻度的后一位。
(2)因为读数2.50 N、4.00 N均是0.50 N的整数倍，所以选方格纸中一个小方格的边长表示0.50 N，应用平行四边形定则，即可画出两个力以及它们的合力，如图所示。
对角线长度约为9.4格，即合力约为4.70 N。(共43张PPT)
第1节　科学探究：力的合成
第4章　力与平衡
第1课时　共点力的合成　探究两个互成角度
的力的合成规律
1.知道共点力、合力、分力的概念。
2.能通过实验探究两个互成角度的力的合成规律。
3.练习应用作图法求两个力的合力。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　探究两个互成角度的力的合成规律
知识点一　共点力的合成
知识点一　共点力的合成
某班师生在植树节给树浇水，如图所示，老师一人提着一桶水到现场，放下桶，然后小娟、小明共同提起该桶，准备给树浇水，老师的拉力为F，小娟、小明作用在桶上的力分别为F1、F2。
(1)F与F1、F2共同作用的效果相同吗？
(2)判断力F、F1、F2中哪些力是合力，哪些力是分力。
提示　(1)相同　(2)F为F1和F2的合力，F1、F2为F的分力。
1.共点力：如果几个力同时作用在物体上的________，或它们的________相交于同一点，我们就把这几个力称为共点力。
2.合力与分力：当物体同时受到几个力的作用时，我们可用一个力来代替它们，且产生的__________相同。物理学中把这个力称为那几个力的______，那几个力则称为这个力的______。
3.力的合成：求几个力的______的过程。
4.合力与分力的关系
合力与分力之间是一种__________的关系，合力作用的效果与分力共同作用的效果相同。
同一点
作用线
作用效果
合力
分力
合力
等效替代
B
例1 关于合力和分力的说法正确的是(　　)
A.合力一定大于分力
B.合力和分力的作用效果相同
C.合力和分力可以作用在不同的物体上
D.合力和分力可以同时作用在物体上
解析　合力与分力是等效替代关系，合力和分力的作用效果相同，但合力可以大于、等于或小于分力，故A错误，B正确；合力与分力是等效替代关系，不会同时作用在物体上，故C、D错误。
归纳提升　合力与分力的三个特性
BC
训练 (多选)如图所示，完全相同的两个吊灯，左边的吊灯只受一个A绳拉力的作用，右边的吊灯受到B绳和C绳的共同作用，两灯均处于静止状态，则下列说法正确的是(　　)
A.A绳对灯的拉力与灯的重力是等效的
B.B、C两绳对灯的拉力与A绳对灯的拉力等效
C.B绳对灯的拉力和C绳对灯的拉力可以看作A绳对灯拉力的分力
D.A绳的拉力等于B绳的拉力和C绳的拉力的和
解析　A绳产生的效果是使灯吊在空中，重力的效果是使灯有向下运动的趋势，则A绳对灯的拉力与灯的重力不是等效的，故A错误；A绳产生的效果是使灯吊在空中，B、C两绳产生的效果也是使灯吊在空中，所以A绳的拉力和B、C绳的拉力是等效的，故B正确；由于B、C两绳对灯的拉力与A绳对灯的拉力等效，则B、C两绳的拉力可以看作A绳拉力的分力，故C正确；B、C两绳对灯的拉力与A绳对灯的拉力等效，可以相互替代，但不能简单认为A绳的拉力等于B绳的拉力和C绳的拉力的和，故D错误。
知识点二　探究两个互成角度的力的合成规律
1.实验目的
(1)探究两个互成角度的共点力与其合力间的关系。
(2)学习用______的思想探究矢量合成的方法。
2.实验原理与设计
让两个互成角度的共点力F1和F2作用于某一物体，并产生明显的作用效果；然后用一个力F来代替F1和F2，产生______的作用效果。测出F1、F2和F，比较它们的大小和方向，找出其中的规律。
3.实验器材
木板、橡皮筋、细线、白纸、____________、图钉(若干)、铅笔、三角板、刻度尺。
等效
同样
弹簧测力计
4.实验步骤
(1)如图(a)所示，在铺有白纸的木板上，将橡皮筋一端用图钉固定于A点，另一端与两细线打一个________。两细线分别挂上测力计。
(2)如图(b)所示，分别用力拉两只测力计，用铅笔标出结点B被拉伸到的位置，记为O点。记下此时两只测力计的________________，并沿两细线标记出力的方向。
(3)如图(c)所示，用力拉一只测力计，同样将结点B拉到O处，记下此时测力计的示数F，并沿细线标记出力的方向。
(4)用力的图示画出F1、F2及F。
结点B
示数F1、F2
5.数据分析
用铅笔和刻度尺从结点O沿两条细绳方向画直线，按选定的标度作出这两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，将F1、F2、F的箭头用虚线连起来，看看三者符合什么规律？并以F1和F2为邻边作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线即为合力F′的图示。
6.实验结论
F是F1、F2的合力，F1、F2和F满足____________关系。即以表示互成角度的两共点力的有向线段为邻边作平行四边形，则两邻边间的对角线所对应的有向线段就表示这两个共点力的合力大小和方向，即合力与两分力间遵循平行四边形法则。
平行四边形
7.注意事项
(1)结点O
①定位O点时要力求准确。
②同一次实验中橡皮筋拉长后的O点必须保持不变。
(2)拉力
①用弹簧测力计测拉力时要使拉力沿弹簧测力计轴线方向。
②应使橡皮筋、弹簧测力计和细绳套位于与纸面
平行的同一平面内。
③两个分力F1、F2间的夹角θ不要太大或太小。
(3)作图
①在同一次实验中，选定的比例要相同；
②严格按力的图示要求和几何作图法作出平行四边形，求出合力。
例2 如图甲所示，实验小组做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验，先将白纸贴在水平桌面上，然后将橡皮筋的一端用图钉固定在白纸上的O点，让橡皮筋处于原长。部分实验步骤如下：
(1)用一只弹簧测力计通过细绳将橡皮筋的P端拉至O1点，此时拉力的大小F可由弹簧测力计读出，弹簧测力计的示数如图乙所示，F的大小为________N。
(2)用两只弹簧测力计通过细绳同时拉橡皮筋的P端，再次将P端拉到O1点。此时观察到两个弹簧测力计的示数分别为F1＝2.50 N，F2＝2.60 N，方向如图丙中的虚线所示。
(3)用1 cm的线段表示1 N的力，以O1点为作用点，请用力的图示在图上画出这两个共点力的合力F合，F合的大小为________N(结果保留3位有效数字)。
(4)通过比较________这两个力的大小和方向，即可得出实验结论。
解析　(1)弹簧测力计的最小刻度为0.1 N，则F的大小为4.30 N(4.28～4.32 N)。
(3)画出这两个共点力的合力F合如图所示。
由图可知F合的大小为4.38 N(4.30 ～4.50 N)。
(4)通过比较F和F合这两个力的大小和方向，即可得出实验结论。
答案　(1)4.30(4.28～4.32)(3)见解析图　4.38(4.30～4.50)　(4)F和F合
例3 某探究小组做“探究两个互成角度的力的合成规律”实验，将画有坐标轴(横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1 mm)的纸贴在水平桌面上，如图(a)所示。将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点(位于图示部分之外)，另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长。
(1)用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O，此时拉力F的大小可由测力计读出。测力计的示数如图(b)所示，F的大小为________N。
(2)撤去(1)中的拉力，橡皮筋P端回到A点；现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点。此时观察到两个拉力分别沿图(a)中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1＝4.2 N和F2＝5.6 N。
①用5 mm长度的线段表示1 N的力，以O为作用点，在图(a)中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合；
②F合的大小为________N，F合与拉力F的夹角的正切值为________。
解析　(1)由题图(b)可知，该弹簧测力计最小分度值为0.2 N，故F的大小为4.0 N。
(2)①画出力F1、F2及F合的图示，如图所示。
②用刻度尺量出F合的线段长约为20 mm，所以F合大小为4.0 N，又拉力F的方向沿y轴负向，则F合与拉力F的夹角的正切值为
答案　(1)4.0　(2)①见解析图 　②4.0　0.05
随堂对点自测
2
AC
1.(共点力的合成)(多选)关于F1、F2及它们的合力F，下列说法中正确的是(　　)
A.合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同
B.两力F1、F2一定是同种性质的力
C.两力F1、F2一定是同一个物体受到的力
D.两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力
解析　只有同一个物体受到的力才能合成，分别作用在不同物体上的力不能合成。合力F是对力F1、F2的等效替代，两力可以是不同性质的力，分析物体的受力时，合力与分力不能同时存在。所以选项A、C正确，B、D错误。
2.(探究实验)某学生在“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验中，将橡皮条的一端固定在A点，另一端拴上两根细绳，每根细绳分别连着一个量程为5 N、最小分度为0.1 N的弹簧测力计。沿着两个不同的方向拉弹簧测力计，当橡皮条的活动端拉到O点时，两根细绳相互垂直(如图甲)，这时弹簧测力计的读数可从图中读出。
(1)由图可读得两个相互垂直的拉力大小为F1＝________N，F2＝________N。
(2)在方格纸上按作图法的要求画出这两个力及它们的合力，并求出合力的近似值F＝________N。
答案　(1)4.00　2.50　(2)见解析图　4.70
解析　(1)由题图甲可知，竖直方向上的弹簧测力计的读数为2.50 N，水平方向上的弹簧测力计的读数为4.00 N。读数要估读到最小刻度的后一位。
(2)因为读数2.50 N、4.00 N均是0.50 N的整数倍，所以选方格纸中一个小方格的边长表示0.50 N，应用平行四边形定则，即可画出两个力以及它们的合力，如图所示。
对角线长度约为9.4格，即合力约为4.70 N。
课后巩固训练
3
C
1.以下说法正确的是________。
A.分力与合力同时作用在物体上
B.作用在不同物体上的两个力F1、F2也可以合成
C.共点力不一定作用于物体上的同一点
D.作用于同一物体上的所有力都是共点力
解析　为研究方便，可采用分力与合力的等效代替对物体进行研究，并非分力与合力同时作用在物体上，故A错误；只有同一个物体受到的力才能合成，B错误；作用在同一物体上，延长线或反向延长线相交于同一点的几个力称为共点力，这几个力并非一定要作用在同一点，故C正确；若物体不能看成质点，作用在物体上的各个力不一定都相交于同一点，故D错误。
基础对点练
C
2.(2024·福建师范大学附中高一期末)请完成“探究两个互成角度的力的合成规律”实验的相关内容。
(1)如图甲所示，在铺有白纸的水平木板上，橡皮条一端固定在A点，另一端拴两个细绳套。
(2)如图乙所示，用两个弹簧测力计互成角度地拉橡皮条，使绳与橡皮条的结点伸长到某位置并记为O点，记下此时弹簧测力计的示数F1和F2及________。该过程中的下列实验要求必要的是________。
A.弹簧测力计需要在实验前进行校零
B.两个弹簧测力计必须完全相同
C.拉线方向应与木板平面平行
(3)如图丙所示，用一个弹簧测力计拉橡皮条，使绳与橡皮条的结点拉到O点，记下此时弹簧测力计的示数F＝________N和细绳的方向。本实验采用的科学方法是________。
A.理想实验法 B.控制变量法
C.等效替代法 D.建立物理模型法
(4)如图丁所示，已按一定比例作出了F1、F2和F的图示，请用作图法作出F1和F2的合力。
答案　(2)方向　AC　(3)3.00　C　(4)见解析图
解析　(2)根据实验要求，需要记录弹簧测力计的示数F1和F2及方向。
为使结果准确，弹簧测力计需要在实验前进行校零，故A正确；两个弹簧测力计只需示数准确、量程合适即可，不需要完全相同，故B错误；为使力作用在同一平面，减小误差，拉线方向应与木板平面平行，故C正确。
(3)由题图丙知，弹簧测力计示数为3.00 N；本实验用一个弹簧测力计的拉力效果代替两个弹簧测力计的拉力效果，使用的等效替代法，故C正确。
(4)根据平行四边形定则，作出合力F′，如图所示。
3.某同学用如图甲所示的装置“探究两个互成角度的力的合成规律”。将一木板竖直放在铁架台和轻弹簧所在平面后，其部分实验操作如下，请完成下列相关内容：
(1)如图甲，在木板上记下悬挂两个钩码时弹簧末端的位置O。
(2)卸下钩码然后将两细绳套系在弹簧下端，用两弹簧测力计将轻弹簧末端拉到同一位置O，记录细绳套AO、BO的________及两弹簧测力计相应的读数。图乙中B弹簧测力计的读数为________ N。
(3)该同学在坐标纸上画出两弹簧测力计拉力FA、FB的大小和方向，如图所示，请在图中作出FA、FB的合力F。
答案　(2)方向　11.40　(3)见解析图
解析　(2)根据实验原理可知，本实验要记录两分力的大小、方向及合力的大小、方向，其中大小通过弹簧测力计的读数获得，方向通过细绳套方向获得，故需要记录AO、BO的方向；根据弹簧测力计的读数规则可知，题图乙中B弹簧测力计的读数为11.40 N。
(3)以两条表示力的有向线段为邻边作平行四边形，再作出两邻边所夹对角线，即合力F，如图所示。
4.在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，实验装置及过程如图甲、乙、丙所示，E为橡皮筋原长时小圆环的位置，O为实验时小圆环被拉至的位置。
(1)图丁中弹簧测力计的示数为________N。
(2)在实验过程中，必须记录的有________。
A.甲图中E的位置 B.乙图中O的位置
C.OB、OC的方向 D.弹簧测力计的示数
(3)下列选项中，与本实验要求相符的是________。
A.两细绳OB、OC夹角越大越好
B.读数时，视线应正对弹簧测力计的刻度
C.实验时，只需保证两次橡皮筋伸长量相同即可
(4)某次实验记录纸如图戊所示，拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点，拉力F的方向过P点；三个力的大小分别为F1＝2.70 N、F2＝2.30 N和F＝4.00 N。得出正确实验结论后，请根据实验结论和图中给出的标度：①在图中作出F1和F2的合力；②根据作图法求出该合力为________N。
答案　(1)2.35　(2)BCD　(3)B
(4)①见解析图　②4.00
解析　(1)弹簧测力计最小分度为0.1 N，读数要读到0.01 N，题图中读数为2.35 N。
(2)必须要记录的有F、F1和F2的大小和方向，力的大小通过弹簧测力计读出，两次都要将小圆环拉到O点位置，所以必须记录的有B、C、D。
(3)两细绳OB、OC夹角要适当大一些，但不能过大，故A错误；读数时，视线应正对弹簧测力计的刻度，故B正确；实验时，不仅需保证两次橡皮筋伸长量相同，还必须都是沿GO方向伸长至O点才行，故C错误。
(4)①由于标度已经选定，作图时要保证表示F1、F2的线段长度为标度的2.7倍和2.3倍，作图如下；
②量出作图法求出的合力长度约为标度的4.00倍，所以合力大小为4.00 N。
5.某学校实验小组设计了一个“探究两个互成角度力的合成规律”的实验，装置如图甲所示，在竖直放置的木板上部附近两侧，固定两个力传感器，同一高度放置两个可以移动的定滑轮，两根细绳跨过定滑轮分别与两力传感器连接，在两细绳连接的结点O下方悬挂钩码，力传感器1、2的示数分别为F1、F2，调节两个定滑轮的位置可以改变两细绳间的夹角。实验中使用若干相同的钩码，每个钩码质量均为50 g，重力加速度取10 m/s2。
(1)关于该实验，下列说法正确的是________。
A.实验前需要用重垂线调整木板使其竖直
B.本实验采用的科学方法是控制变量法
C.实验时需要保证∠AOB等于90°，以便于用勾股定理
计算合力
D.每次实验都必须保证结点O位置不变
(2)关于实验数据记录的说法正确的是________。
A.实验时不需要记录结点O的位置，但需要记录三段绳子
的方向
B.实验时需要记录结点O的位置，但不需要记录三段绳子
的方向
C.实验时需要记录两传感器的示数
D.实验时需记录钩码的个数
(3)若某次测量数据为F1＝2.5 N，F2＝2.0 N，两力的方向如乙图中虚线所示，用图示法在乙图中作出F1、F2的合力F(他们选择的标度为1 cm，长度代表力的大小为1 N)，并求出合力F的大小为________(结果保留1位小数)。
答案　(1)A　(2)ACD　(3)3.2 N
解析　(1)为避免摩擦力的影响，实验前需要用重垂线调整木板使其竖直，以保证细绳中的拉力等于钩码所受重力，故A正确；本实验采用的科学方法是等效替代法，故B错误；实验时不需要保证∠AOB等于90 °，可以用图示法求合力F，故C错误；该装置中结点的位置对实验结果没有影响，每次实验不需要保证结点O位置不变，故D错误。
(2)实验时不需要记录结点O的位置，但需要记录三段绳子的方向，故A正确，B错误；实验时需要记录两传感器的示数和钩码的个数，故C、D正确。
(3)根据平行四边形法则作图，如图所示，合力F的大小为3.2 N。第1课时　共点力的合成探究两个互成角度的力的合成规律
温馨提示：此系列题卡，非选择题每空2分，分值不同题空另行标注
1.(8分)以下说法正确的是________。
A.分力与合力同时作用在物体上
B.作用在不同物体上的两个力F1、F2也可以合成
C.共点力不一定作用于物体上的同一点
D.作用于同一物体上的所有力都是共点力
2.(8分)(2024·福建师范大学附中高一期末)请完成“探究两个互成角度的力的合成规律”实验的相关内容。
(1)如图甲所示，在铺有白纸的水平木板上，橡皮条一端固定在A点，另一端拴两个细绳套。
(2)如图乙所示，用两个弹簧测力计互成角度地拉橡皮条，使绳与橡皮条的结点伸长到某位置并记为O点，记下此时弹簧测力计的示数F1和F2及________(1分)。该过程中的下列实验要求必要的是________(1分)。
A.弹簧测力计需要在实验前进行校零
B.两个弹簧测力计必须完全相同
C.拉线方向应与木板平面平行
(3)如图丙所示，用一个弹簧测力计拉橡皮条，使绳与橡皮条的结点拉到O点，记下此时弹簧测力计的示数F＝________N和细绳的方向。本实验采用的科学方法是________。
A.理想实验法
B.控制变量法
C.等效替代法
D.建立物理模型法
(4)如图丁所示，已按一定比例作出了F1、F2和F的图示，请用作图法作出F1和F2的合力。(2分)
3.(8分)某同学用如图甲所示的装置“探究两个互成角度的力的合成规律”。将一木板竖直放在铁架台和轻弹簧所在平面后，其部分实验操作如下，请完成下列相关内容：
(1)如图甲，在木板上记下悬挂两个钩码时弹簧末端的位置O。
(2)卸下钩码然后将两细绳套系在弹簧下端，用两弹簧测力计将轻弹簧末端拉到同一位置O，记录细绳套AO、BO的________及两弹簧测力计相应的读数。图乙中B弹簧测力计的读数为________ N。
(3)该同学在坐标纸上画出两弹簧测力计拉力FA、FB的大小和方向，如图所示，请在图中作出FA、FB的合力F(4分)。
4.(8分)在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，实验装置及过程如图甲、乙、丙所示，E为橡皮筋原长时小圆环的位置，O为实验时小圆环被拉至的位置。
(1)图丁中弹簧测力计的示数为________N。
(2)在实验过程中，必须记录的有________。
A.甲图中E的位置 B.乙图中O的位置
C.OB、OC的方向 D.弹簧测力计的示数
(3)下列选项中，与本实验要求相符的是________。
A.两细绳OB、OC夹角越大越好
B.读数时，视线应正对弹簧测力计的刻度
C.实验时，只需保证两次橡皮筋伸长量相同即可
(4)某次实验记录纸如图戊所示，拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点，拉力F的方向过P点；三个力的大小分别为F1＝2.70 N、F2＝2.30 N和F＝4.00 N。得出正确实验结论后，请根据实验结论和图中给出的标度：①在图中作出F1和F2的合力；②根据作图法求出该合力为________N。
5.(8分)某学校实验小组设计了一个“探究两个互成角度力的合成规律”的实验，装置如图甲所示，在竖直放置的木板上部附近两侧，固定两个力传感器，同一高度放置两个可以移动的定滑轮，两根细绳跨过定滑轮分别与两力传感器连接，在两细绳连接的结点O下方悬挂钩码，力传感器1、2的示数分别为F1、F2，调节两个定滑轮的位置可以改变两细绳间的夹角。实验中使用若干相同的钩码，每个钩码质量均为50 g，重力加速度取10 m/s2。
(1)关于该实验，下列说法正确的是________。
A.实验前需要用重垂线调整木板使其竖直
B.本实验采用的科学方法是控制变量法
C.实验时需要保证∠AOB等于90°，以便于用勾股定理计算合力
D.每次实验都必须保证结点O位置不变
(2)关于实验数据记录的说法正确的是________。
A.实验时不需要记录结点O的位置，但需要记录三段绳子的方向
B.实验时需要记录结点O的位置，但不需要记录三段绳子的方向
C.实验时需要记录两传感器的示数
D.实验时需记录钩码的个数
(3)若某次测量数据为F1＝2.5 N，F2＝2.0 N，两力的方向如乙图中虚线所示，用图示法在乙图中作出F1、F2的合力F(他们选择的标度为1 cm，长度代表力的大小为1 N)(2分)，并求出合力F的大小为________(结果保留1位小数)。
第1课时　共点力的合成 探究两个互成角度的力的合成规律
1.C
解析　[为研究方便，可采用分力与合力的等效代替对物体进行研究，并非分力与合力同时作用在物体上，故A错误；只有同一个物体受到的力才能合成，B错误；作用在同一物体上，延长线或反向延长线相交于同一点的几个力称为共点力，这几个力并非一定要作用在同一点，故C正确；若物体不能看成质点，作用在物体上的各个力不一定都相交于同一点，故D错误。]
2.(2)方向　AC　(3)3.00　C　(4)见解析图
解析　(2)根据实验要求，需要记录弹簧测力计的示数F1和F2及方向。
为使结果准确，弹簧测力计需要在实验前进行校零，故A正确；两个弹簧测力计只需示数准确、量程合适即可，不需要完全相同，故B错误；为使力作用在同一平面，减小误差，拉线方向应与木板平面平行，故C正确。
(3)由题图丙知，弹簧测力计示数为3.00 N；本实验用一个弹簧测力计的拉力效果代替两个弹簧测力计的拉力效果，使用的等效替代法，故C正确。
(4)根据平行四边形定则，作出合力F′，如图所示。
3.(2)方向　11.40　(3)见解析图
解析　(2)根据实验原理可知，本实验要记录两分力的大小、方向及合力的大小、方向，其中大小通过弹簧测力计的读数获得，方向通过细绳套方向获得，故需要记录AO、BO的方向；根据弹簧测力计的读数规则可知，题图乙中B弹簧测力计的读数为11.40 N。
(3)以两条表示力的有向线段为邻边作平行四边形，再作出两邻边所夹对角线，即合力F，如图所示。
4.(1)2.35　(2)BCD　(3)B　(4)①见解析图　②4.00
解析　(1)弹簧测力计最小分度为0.1 N，读数要读到0.01 N，题图中读数为2.35 N。
(2)必须要记录的有F、F1和F2的大小和方向，力的大小通过弹簧测力计读出，两次都要将小圆环拉到O点位置，所以必须记录的有B、C、D。
(3)两细绳OB、OC夹角要适当大一些，但不能过大，故A错误；读数时，视线应正对弹簧测力计的刻度，故B正确；实验时，不仅需保证两次橡皮筋伸长量相同，还必须都是沿GO方向伸长至O点才行，故C错误。
(4)①由于标度已经选定，作图时要保证表示F1、F2的线段长度为标度的2.7倍和2.3倍，作图如下；
②量出作图法求出的合力长度约为标度的4.00倍，所以合力大小为4.00 N。
5.(1)A　(2)ACD　(3)3.2 N
解析　(1)为避免摩擦力的影响，实验前需要用重垂线调整木板使其竖直，以保证细绳中的拉力等于钩码所受重力，故A正确；本实验采用的科学方法是等效替代法，故B错误；实验时不需要保证∠AOB等于90 °，可以用图示法求合力F，故C错误；该装置中结点的位置对实验结果没有影响，每次实验不需要保证结点O位置不变，故D错误。
(2)实验时不需要记录结点O的位置，但需要记录三段绳子的方向，故A正确，B错误；实验时需要记录两传感器的示数和钩码的个数，故C、D正确。
(3)根据平行四边形法则作图，如图所示，合力F的大小为3.2 N。第2课时　平行四边形定则　　　　　　　　　　　　　　　　
选择题1～10题，每小题8分，共80分。
基础对点练
题组一　平行四边形定则
1.两个共点力F1和F2的合力大小为6 N，则F1和F2的大小不可能是(　　)
F1＝2 N，F2＝9 N F1＝4 N，F2＝8 N
F1＝2 N，F2＝8 N F1＝2 N，F2＝7 N
2.若F1、F2是F的两个分力，下列图中正确表示F1、F2和F三者关系的是(　　)
A B C D
3.如图所示，F1、F2为两个相互垂直的共点力，F是它们的合力。已知F1的大小等于3 N，F的大小等于5 N。若改变F1、F2的夹角，则它们的合力的大小还可能是(　　)
0 4 N 8 N 12 N
4.如图所示，两人同时用大小相等的力沿不同方向拉小船，下列几种情况中，合力最大的是(　　)
A B C D
5.水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重为100 N的重物，∠CBA=30°。如图所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为(　　)
100 N 86.6 N
50 N 20 N
题组二　多个共点力的合成
6.下列各组共点力中合力不可能为零的是(　　)
2 N，3 N，4 N 4 N，5 N，10 N
10 N，12 N，21 N 10 N，10 N，10 N
7.设有三个力同时作用在质点P上，它们的大小和方向相当于正六边形的两条边和一条对角线，如图所示，这三个力中最小的力的大小为F，则这三个力的合力大小为(　　)
3F 4F 5F 6F
8.如图所示，三个大小相等的力F作用于同一点O，则合力最大的是(　　)
A. B C D
综合提升练
9.(2024·陕西西安高一期末)如图所示为一个“Y”形弹弓，两相同的橡皮条一端固定在弹弓上，另一端连接轻质裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的伸长量为L，橡皮条之间夹角为60°，则发射瞬间裹片对弹丸的作用力为(　　)
kL 2kL kL 2kL
10.(多选)(鲁科版教材P102节练习7改编)医生在治疗腿脚骨折时，常用如图所示的牵引方法。为了使脚所受的拉力减小，可采取的方法是(　　)
只增加绳的长度
只减小重物的质量
只将病人的脚向左移动
只将两定滑轮的间距增大
11.(8分)如图所示，一条小船在河中心向正东方向行驶，船上挂起一风帆，帆受侧向风作用，风力大小F1为100 N，方向为东偏南30°，为了使船受到的合力恰能沿正东方向，岸上一人用一根绳子拉船，绳子方向与河岸垂直，求出风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小。
培优加强练
12.(12分)如图所示，在水平地面上放一质量为1 kg的木块，木块与地面间的动摩擦因数为0.6，在水平方向上对木块同时施加相互垂直的两个拉力F1、F2，已知F1＝3 N、F2＝4 N，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，则：
(1)(3分)F1与F2的合力是多少；
(2)(3分)木块受到的摩擦力为多少；
(3)(3分)若将图中F1顺时针转90°，此时F1与F2的合力又是多少；
(4)(3分)若将图中F2顺时针转90°，此时木块受的摩擦力大小为多少。
第2课时　平行四边形定则
1.A　[选项A中两个力的合力范围为7～11 N，选项A不可能，符合题意；选项B中两个力的合力范围为4～12 N，选项B可能，不符合题意；选项C中两个力的合力范围为6～10 N，选项C可能，不符合题意；选项D中两个力的合力范围为5～9 N，选项D可能，不符合题意。]
2.B　[根据平行四边形定则可知，应以表示F1、F2的有向线段为邻边作平行四边形，表示F的有向线段为对角线，F的起点与两个分力F1、F2的起点相同，故选项B正确，A、C、D错误。]
3.B　[由题意得F2＝＝4 N，故F1、F2的合力大小范围为1 N≤F≤7 N，选项B正确。]
4.A　[合力与分力遵循平行四边形定则，两分力夹角越小，合力越大，故选项A正确。]
5.A　[轻绳跨过滑轮，BC段、BD段拉力相等，F1＝F2＝mg＝100 N，夹角为120°，根据平行四边形定则，二力合成如图所示，由于F1＝F2，且两力夹角为120°，则F1、F2的合力F＝F1＝F2＝100 N，即绳子对滑轮的作用力大小为100 N，故A正确。]
6.B　[2 N和3 N的力的合力范围是1 N≤F≤5 N，当两力的合力为4 N时，方向与第三个力方向相反时，它们三个力的合力为零，故A错误；4 N和5 N的力合成时最大值为9 N，故不可能与10 N的力合成为零，故B正确；10 N和12 N的力的合力范围是2 N≤F≤22 N，当两力的合力为21 N时，它们三个力的合力可能为零，故C错误；10 N和10 N的力的合力范围是0 N≤F≤20 N，当两力的合力为10 N时，它们三个力的合力可能为零，故D错误。]
7.A　[由题意得F1＝F2＝F，由几何关系得F3＝2F，又F1、F2夹角为120°，故F1、F2的合力大小为F，方向与F3相同，因此三个力的合力大小为3F，故A正确。]
8.B　[A中合力大小为FA＝F(－1)；B中合力大小为FB＝F；C中合力大小为FC＝0；D中合力大小为FD＝2Fcos30°－F＝F(－1)，故B正确。]
9.A　[每根橡皮条产生的弹力大小为F＝kL，弹力方向的夹角为60°，则合力为
F合＝2Fcos 30°＝kL，故A正确。]
10.BD　[脚所受拉力为两绳的合力，如图所示，合力大小为F＝2Tcos θ，又T＝mg，联立解得F＝2mgcos θ，可知增大θ角或减小重物的质量都会使脚所受的合力减小，故B、D正确。]
11.50 N　50 N
解析　如图所示，以F1、F2为邻边作平行四边形，使合力F沿正东方向，
则F＝F1cos 30°
＝100 N×＝50 N
F2＝F1sin 30°＝100 N×＝50 N。
12.(1)5 N　(2)5 N　(3)1 N　(4)6 N
解析　(1)根据平行四边形定则，可得两个拉力的合力大小F＝ N＝5 N。
(2)木块受到的最大静摩擦力fmax＝μN＝μmg＝6 N＞F，因此没拉动，根据二力平衡，可得木块受到的静摩擦力等于两个拉力的合力，即为5 N。
(3)将图中F1顺时针转90°时，两个拉力的合力大小为
F′＝4 N－3 N＝1 N。
(4)若将图中F2顺时针转90°，此时两个拉力的合力为F″＝3 N＋4 N＝7 N>fmax＝
6 N，木块开始滑动，摩擦力为滑动摩擦力，大小为6 N。第2课时　平行四边形定则
学习目标　1.掌握力的平行四边形定则，并知道它是矢量运算的普遍规则。2.会应用作图法和计算法求合力的大小。3.体会合力与分力在作用效果上的等效替代思想。
知识点一　平行四边形定则
1.平行四边形定则：若以表示互成角度的两共点力的____________为邻边作平行四边形，则两邻边间的对角线所对应的这条有向线段就表示这两个共点力____________________，这就是共点力合成所遵循的平行四边形定则。
2.矢量和标量的进一步理解
我们所学习过的矢量有位移、速度、加速度等，相加时遵循________________。标量有时间、路程、质量、密度、压强等，相加时遵循________相加法则。
角度1　合力与分力的关系
例1 (鲁科版教材P102节练习4改编)两个共点力的大小分别为F1＝15 N，F2＝8 N，它们的合力大小不可能等于(　　)
A.9 N B.25 N C.8 N D.21 N
归纳提升　合力与分力的大小关系
大小不变的两个力的合成
最大值 两分力同向时，合力最大，Fmax＝F1＋F2
最小值 两分力反向时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|，其方向与较大的分力方向相同
合力范围 |F1－F2|≤F≤F1＋F2
说明 ①夹角θ越大，合力就越小；②合力可能大于某一分力，可能小于某一分力，也可能等于某一分力
角度2　合力的求解
例2 如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头。其中一人用了450 N的拉力，另一个人用了600 N的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求它们的合力(试用作图法和计算法)，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。
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合力的求解方法
(1)作图法
根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
(2)计算法
可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。　　
例3 两个大小相等的共点力F1和F2，当它们之间的夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为(　　)
A.40 N B.10 N
C.20 N D.10 N
归纳提升　求合力的三种特殊情况
类型 作图 合力的计算
两分力相互垂直 大小： F＝ 方向：tan θ＝
两分力等大，夹角为θ 大小：F＝2F1cos 方向：F与F1夹角为 (当θ＝120°时，F＝F2＝F1)
合力与其中一个 分力垂直 大小：F＝ 方向：sin θ＝(θ为F与较大的分力的夹角)
训练1 如图所示，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行。已知两人手臂对桶的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶总重为G，则下列说法中正确的是(　　)
A.当θ＝0°时，F＝G B.当 θ＝120° 时，F＝G
C.当θ＝90°时，F＝G D.θ越大，F越小
知识点二　多个共点力的合成
如图所示，三个共点力F1、F2与F3作用在同一个点上，其中，F1与F2共线且反向，F3与F1垂直，F1＝6 N、F2＝2 N，F3＝3 N，如何求三个力的合力呢？
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1.合成方法：多个力的合成的基本方法仍是平行四边形定则。具体做法是先任选两个分力求出它们的合力，用求得的结果再与第三个分力求合力，直到将所有分力的合力求完。
2.合成技巧：求解多分力的合力时，一般常见的合成技巧如下：
(1)将共线的分力合成(方向相同或相反)。
(2)将相互垂直的分力合成。
(3)两分力大小相等，夹角为120°时，合力大小等于分力大小，方向沿它们夹角的角平分线方向。
【思考】
三个分力合成时，合力的最大值和最小值分别为多大？
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例4 如图所示，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两邻边和三条对角线。已知F1＝10 N，则这五个力的合力大小为多少？
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平行四边形定则的推广
(1)三角形定则
如图甲所示，两分力为F1与F2、合力为F的平行四边形，可演变为图乙，称为三角形定则合成图，即将两分力F1、F2首尾相接，则合力F就是由F1的始端指向F2的末端的有向线段所表示的力。　　
(2)多边形定则
如果是多个力合成，则由三角形定则的推广可得到多边形定则，如图丙为三个力F1、F2、F3的合成图，F为其合力。
训练2 如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成封闭的直角三角形。下列四个图中，这三个力的合力最大的是(　　)
随堂对点自测
1.(合力与分力的关系)(多选)对两个大小不等的共点力进行合成，则(　　)
A.合力一定大于每个分力
B.合力可能同时垂直于两个分力
C.合力的方向可能与一个分力的方向相反
D.两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，夹角越小，合力越大
2.(两个共点力的合成)两个大小相等同时作用于同一物体的共点力，当它们间的夹角为120°时，其合力大小为F；当它们间的夹角为60°时，合力的大小为(　　)
A.F B.F C.F D.2F
3.(多个共点力的合成)如图所示，F1＝F3＝3 N，F2＝4 N，它们之间的夹角都是120°，则这三个力的合力大小为(　　)
A.1 N 　　　 B.5 N
C.7 N 　　　 D.10 N
第2课时　平行四边形定则
知识点一
1.有向线段　合力的大小和方向　2.平行四边形定则　代数
例1 B　[F1、F2的合力范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故7 N≤F≤23 N，不在此范围的是25 N，故B正确。]
例2 750 N，与较小拉力的夹角为53°
解析　方法1　作图法
用图示中的线段表示150 N的力。用一个点O代表牌匾，依题意作出力的平行四边形，如图所示，
用刻度尺量出平行四边形的对角线长为图示线段的5倍，故合力大小为F＝150×
5 N＝750 N，用量角器量出合力F与F1的夹角θ＝53°。
方法2　计算法
设F1＝450 N，F2＝600 N，合力为F，
由于F1与F2间的夹角为90°，根据勾股定理得
F＝＝750 N，合力F与F1的夹角θ的正切值tan θ＝＝＝
所以θ＝53°。
例3 B　[当两个力之间的夹角为90°时，如图甲所示，根据平行四边形定则可知F1＝F2＝10 N。当这两个力的夹角为120°时，如图乙所示，根据平行四边形定则可知F合＝F1＝F2＝10 N，故B正确。]
训练1 B　[设小娟、小明的手臂对水桶的拉力大小为F，根据对称性可知，两人对水桶的拉力大小相等，有2Fcos ＝G，解得F＝。当θ＝0°时，F＝，当θ为120°时，F＝G，当θ＝90°时，F ＝ G；当θ越大时，F越大，故A、C、D错误，B正确。]
知识点二
导学　提示　由于F1与F2共线且反向，我们可以先求F1、F2的合力为F12＝F1－F2＝6 N－2 N＝4 N，又由于F3与F12垂直，则F12与F3的合力为F＝＝ N＝5 N。
[思考] 提示　(1)最大值：三个力方向相同时，合力最大，Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值：若|F1－F2|≤Fmin≤F1＋F2，则合力的最小值为零；若Fmin不在|F1－F2|～(F1＋F2)范围内，则合力的最小值不可能为零，等于三个力中最大的力减去另外两个力的大小之和。
例4 30 N
解析　法一：利用三角形定则
将力F2、F3平移到F5与F1、F4与F1的尾端之间，如图(a)所示。F3、F4的合力等于F1，F5、F2的合力也等于F1，则这五个力的合力大小为3F1＝30 N。
法二：利用对称性
根据对称性，可知F2和F3的夹角为120°，它们的大小相等，合力在其夹角的平分线上，由几何关系可知，合力的大小等于其分力的大小，故力F2和F3的合力大小为F23＝＝5 N，如图(b)所示。同理，F4和F5的合力也在其角平分线上，由图中几何关系可知F45＝15 N，故这五个力的合力大小为F＝F1＋F23＋F45＝
30 N。
训练2 C　[由三角形定则可知，A中F3、F2的合力F23与F1相同，故三个力的合力的大小为2F1；同理，B中F2、F3的合力F23与F1大小相等，方向相反，故三个力的合力大小为0；C中F1、F3的合力F13与F2相同，故三个力的合力的大小为2F2；D中F1、F2的合力F12与F3相同，故三个力的合力的大小为2F3，因为F2是直角三角形的斜边，所以F2最大，故合力最大的是C图，C正确。]
随堂对点自测
1.CD　[不在同一条直线上的两个力合成时，遵循平行四边形定则，合力可能大于、小于或等于任意一个分力，故A错误；表示合力的有向线段是表示两分力的有向线段为邻边的平行四边形的对角线，而对角线不可能同时垂直于两个边，故B错误；当两分力方向相反时，则合力可以与一个分力的方向相反，故C正确；两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，其合力随两分力夹角的减小而增大，故D正确。]
2.C　[两个大小相等同时作用于同一物体的共点力，当它们间的夹角为120°时，其合力大小为F，则这两个力大小均为F，当它们间的夹角为60°时，如图，则合力为F合＝2Fcos 30°＝F，故C正确，A、B、D错误。]
3.A　[由题意，根据平行四边形定则知，F1与F3的合力大小为3 N，方向与F2相反，则三个力的合力大小为1 N，故A正确。](共40张PPT)
第1节　科学探究：力的合成
第4章　力与平衡
第2课时　平行四边形定则
1.掌握力的平行四边形定则，并知道它是矢量运算的普遍规则。
2.会应用作图法和计算法求合力的大小。
3.体会合力与分力在作用效果上的等效替代思想。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　多个共点力的合成
知识点一　平行四边形定则
知识点一　平行四边形定则
1.平行四边形定则：若以表示互成角度的两共点力的__________为邻边作平行四边形，则两邻边间的对角线所对应的这条有向线段就表示这两个共点力__________________，这就是共点力合成所遵循的平行四边形定则。
2.矢量和标量的进一步理解
我们所学习过的矢量有位移、速度、加速度等，相加时遵循________________。标量有时间、路程、质量、密度、压强等，相加时遵循______相加法则。
有向线段
合力的大小和方向
平行四边形定则
代数
B
角度1　合力与分力的关系
例1 (鲁科版教材P102节练习4改编)两个共点力的大小分别为F1＝15 N，F2＝8 N，它们的合力大小不可能等于(　　)
A.9 N B.25 N C.8 N D.21 N
解析　F1、F2的合力范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故7 N≤F≤23 N，不在此范围的是25 N，故B正确。
归纳提升　合力与分力的大小关系
大小不变的两个力的合成
最大值 两分力同向时，合力最大，Fmax＝F1＋F2
最小值 两分力反向时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|，其方向与较大的分力方向相同
合力范围 |F1－F2|≤F≤F1＋F2
说明 ①夹角θ越大，合力就越小；②合力可能大于某一分力，可能小于某一分力，也可能等于某一分力
角度2　合力的求解
例2 如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头。其中一人用了450 N的拉力，另一个人用了600 N的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求它们的合力(试用作图法和计算法)，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。
解析　方法1　作图法
用图示中的线段表示150 N的力。用一个点O代表牌匾，依题意作出力的平行四边形，如图所示，
用刻度尺量出平行四边形的对角线长为图示线段的5倍，故合力大小为F＝150×5 N＝750 N，用量角器量出合力F与F1的夹角θ＝53°。
方法2　计算法
设F1＝450 N，F2＝600 N，合力为F，
由于F1与F2间的夹角为90°，根据勾股定理得
所以θ＝53°。
答案　750 N，与较小拉力的夹角为53°
合力的求解方法
(1)作图法
根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
(2)计算法
可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。　　
B
归纳提升　求合力的三种特殊情况
训练1 如图所示，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行。已知两人手臂对桶的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶总重为G，则下列说法中正确的是(　　)
A.当θ＝0°时，F＝G B.当 θ＝120° 时，F＝G
C.当θ＝90°时，F＝G D.θ越大，F越小
B
知识点二　多个共点力的合成
如图所示，三个共点力F1、F2与F3作用在同一个点上，其中，F1与F2共线且反向，F3与F1垂直，F1＝6 N、F2＝2 N，F3＝3 N，如何求三个力的合力呢？
1.合成方法：多个力的合成的基本方法仍是平行四边形定则。具体做法是先任选两个分力求出它们的合力，用求得的结果再与第三个分力求合力，直到将所有分力的合力求完。
2.合成技巧：求解多分力的合力时，一般常见的合成技巧如下：
(1)将共线的分力合成(方向相同或相反)。
(2)将相互垂直的分力合成。
(3)两分力大小相等，夹角为120°时，合力大小等于分力大小，方向沿它们夹角的角平分线方向。
【思考】
三个分力合成时，合力的最大值和最小值分别为多大？
提示　(1)最大值：三个力方向相同时，合力最大，Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值：若|F1－F2|≤Fmin≤F1＋F2，则合力的最小值为零；若Fmin不在|F1－F2|～(F1＋F2)范围内，则合力的最小值不可能为零，等于三个力中最大的力减去另外两个力的大小之和。
例4 如图所示，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两邻边和三条对角线。已知F1＝10 N，则这五个力的合力大小为多少？
解析　法一：利用三角形定则
将力F2、F3平移到F5与F1、F4与F1的尾端之间，如图(a)所示。F3、F4的合力等于F1，F5、F2的合力也等于F1，则这五个力的合力大小为3F1＝30 N。
法二：利用对称性
答案　30 N
平行四边形定则的推广
(1)三角形定则
如图甲所示，两分力为F1与F2、合力为F的平行四边形，可演变为图乙，称为三角形定则合成图，即将两分力F1、F2首尾相接，则合力F就是由F1的始端指向F2的末端的有向线段所表示的力。
(2)多边形定则
如果是多个力合成，则由三角形定则的推广可得到多边形定则，如图丙为三个力F1、F2、F3的合成图，F为其合力。　　
C
训练2 如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成封闭的直角三角形。下列四个图中，这三个力的合力最大的是(　　)
解析　由三角形定则可知，A中F3、F2的合力F23与F1相同，故三个力的合力的大小为2F1；同理，B中F2、F3的合力F23与F1大小相等，方向相反，故三个力的合力大小为0；C中F1、F3的合力F13与F2相同，故三个力的合力的大小为2F2；D中F1、F2的合力F12与F3相同，故三个力的合力的大小为2F3，因为F2是直角三角形的斜边，所以F2最大，故合力最大的是C图，C正确。
随堂对点自测
2
CD
1.(合力与分力的关系)(多选)对两个大小不等的共点力进行合成，则(　　)
A.合力一定大于每个分力
B.合力可能同时垂直于两个分力
C.合力的方向可能与一个分力的方向相反
D.两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，夹角越小，合力越大
解析　不在同一条直线上的两个力合成时，遵循平行四边形定则，合力可能大于、小于或等于任意一个分力，故A错误；表示合力的有向线段是表示两分力的有向线段为邻边的平行四边形的对角线，而对角线不可能同时垂直于两个边，故B错误；当两分力方向相反时，则合力可以与一个分力的方向相反，故C正确；两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，其合力随两分力夹角的减小而增大，故D正确。
C
A
3.(多个共点力的合成)如图所示，F1＝F3＝3 N，F2＝4 N，它们之间的夹角都是120°，则这三个力的合力大小为(　　)
A.1 N 　　　 B.5 N
C.7 N 　　　 D.10 N
解析　由题意，根据平行四边形定则知，F1与F3的合力大小为3 N，方向与F2相反，则三个力的合力大小为1 N，故A正确。
课后巩固训练
3
A
题组一　平行四边形定则
1.两个共点力F1和F2的合力大小为6 N，则F1和F2的大小不可能是(　　)
A.F1＝2 N，F2＝9 N B.F1＝4 N，F2＝8 N
C.F1＝2 N，F2＝8 N D.F1＝2 N，F2＝7 N
解析　选项A中两个力的合力范围为7～11 N，选项A不可能，符合题意；选项B中两个力的合力范围为4～12 N，选项B可能，不符合题意；选项C中两个力的合力范围为6～10 N，选项C可能，不符合题意；选项D中两个力的合力范围为5～9 N，选项D可能，不符合题意。
基础对点练
B
2.若F1、F2是F的两个分力，下列图中正确表示F1、F2和F三者关系的是(　　)
解析　根据平行四边形定则可知，应以表示F1、F2的有向线段为邻边作平行四边形，表示F的有向线段为对角线，F的起点与两个分力F1、F2的起点相同，故选项B正确，A、C、D错误。
B
3.如图所示，F1、F2为两个相互垂直的共点力，F是它们的合力。已知F1的大小等于3 N，F的大小等于5 N。若改变F1、F2的夹角，则它们的合力的大小还可能是(　　)
A.0 B.4 N C.8 N D.12 N
A
4.如图所示，两人同时用大小相等的力沿不同方向拉小船，下列几种情况中，合力最大的是(　　)
解析　合力与分力遵循平行四边形定则，两分力夹角越小，合力越大，故选项A正确。
A
5.水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重为100 N的重物，∠CBA=30°。如图所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为(　　)
A.100 N B.86.6 N C.50 N D.20 N
解析　轻绳跨过滑轮，BC段、BD段拉力相等，F1＝F2＝
mg＝100 N，夹角为120°，根据平行四边形定则，二力合
成如图所示，由于F1＝F2，且两力夹角为120°，则F1、
F2的合力F＝F1＝F2＝100 N，即绳子对滑轮的作用力大小
为100 N，故A正确。
B
题组二　多个共点力的合成
6.下列各组共点力中合力不可能为零的是(　　)
A.2 N，3 N，4 N B.4 N，5 N，10 N
C.10 N，12 N，21 N D.10 N，10 N，10 N
解析　2 N和3 N的力的合力范围是1 N≤F≤5 N，当两力的合力为4 N时，方向与第三个力方向相反时，它们三个力的合力为零，故A错误；4 N和5 N的力合成时最大值为9 N，故不可能与10 N的力合成为零，故B正确；10 N和12 N的力的合力范围是2 N≤F≤22 N，当两力的合力为21 N时，它们三个力的合力可能为零，故C错误；10 N和10 N的力的合力范围是0 N≤F≤20 N，当两力的合力为10 N时，它们三个力的合力可能为零，故D错误。
A
7.设有三个力同时作用在质点P上，它们的大小和方向相当于正六边形的两条边和一条对角线，如图所示，这三个力中最小的力的大小为F，则这三个力的合力大小为(　　)
A.3F B.4F
C.5F D.6F
解析　由题意得F1＝F2＝F，由几何关系得F3＝2F，又F1、F2夹角为120°，故F1、F2的合力大小为F，方向与F3相同，因此三个力的合力大小为3F，故A正确。
B
8.如图所示，三个大小相等的力F作用于同一点O，则合力最大的是(　　)
A
9.(2024·陕西西安高一期末)如图所示为一个“Y”形弹弓，两相同的橡皮条一端固定在弹弓上，另一端连接轻质裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的伸长量为L，橡皮条之间夹角为60°，则发射瞬间裹片对弹丸的作用力为(　　)
综合提升练
BD
10.(多选)(鲁科版教材P102节练习7改编)医生在治疗腿脚骨折时，常用如图所示的牵引方法。为了使脚所受的拉力减小，可采取的方法是(　　)
A.只增加绳的长度
B.只减小重物的质量
C.只将病人的脚向左移动
D.只将两定滑轮的间距增大
解析　脚所受拉力为两绳的合力，如图所示，
合力大小为F＝2Tcos θ，又T＝mg，联立解得F＝2mgcos θ，可知增大θ角或减小重物的质量都会使脚所受的合力减小，故B、D正确。
11.如图所示，一条小船在河中心向正东方向行驶，船上挂起一风帆，帆受侧向风作用，风力大小F1为100 N，方向为东偏南30°，为了使船受到的合力恰能沿正东方向，岸上一人用一根绳子拉船，绳子方向与河岸垂直，求出风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小。
解析　如图所示，以F1、F2为邻边作平行四边形，使合力F沿正东方向，
则F＝F1cos 30°
培优加强练
12.如图所示，在水平地面上放一质量为1 kg的木块，木块与地面间的动摩擦因数为0.6，在水平方向上对木块同时施加相互垂直的两个拉力F1、F2，已知F1＝
3 N、F2＝4 N，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，则：
(1)F1与F2的合力是多少；
(2)木块受到的摩擦力为多少；
(3)若将图中F1顺时针转90°，此时F1与F2的合力又是多少；
(4)若将图中F2顺时针转90°，此时木块受的摩擦力大小为多少。
答案　(1)5 N　(2)5 N　(3)1 N　(4)6 N
(2)木块受到的最大静摩擦力fmax＝μN＝μmg＝6 N＞F，因此没拉动，根据二力平衡，可得木块受到的静摩擦力等于两个拉力的合力，即为5 N。
(3)将图中F1顺时针转90°时，两个拉力的合力大小为F′＝4 N－3 N＝1 N。
(4)若将图中F2顺时针转90°，此时两个拉力的合力为F″＝3 N＋4 N＝7 N>fmax＝6 N，木块开始滑动，摩擦力为滑动摩擦力，大小为6 N。

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