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第3节　共点力的平衡
选择题1～10题，每小题8分，共80分。
基础对点练
题组一　物体的平衡状态　共点力的平衡条件
1.图中的树懒静止倒挂在树干上，则树干给树懒的力方向为(　　)
垂直于树干向上
沿树干向上
竖直向上
树干形变复杂，无法判断力的方向
2.(多选)下列说法正确的是(　　)
竖直向上抛出的物体到达最高点时，物体处于平衡状态
电梯匀速上升时，电梯中的人处于平衡状态
竖直弹簧上端固定，下端挂一个重物，平衡后用力F将重物拉下一段距离后突然撤去力F，重物仍处于平衡状态
随匀速上升的传送带一起向上运动的物体处于平衡状态
题组二　三力平衡问题
3.如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，下列关系正确的是(　　)
F＝ F＝mgtan θ
N＝ N＝mgtan θ
4.如图所示，设某运动员所举杠铃的总重为G，杠铃平衡时每只手臂与竖直线所成的夹角为30°，则他每只手臂承受的力为(　　)
G G
5.(多选)如图，一只小松鼠站在倾斜的树枝上保持静止状态，该树枝与水平方向的夹角为30°，松鼠所受重力大小为G。则下列结论正确的是(　　)
树枝对松鼠的支持力大小为G，方向竖直向上
树枝对松鼠的支持力大小为G，方向垂直树枝向上
树枝对松鼠的作用力大小等于G，方向竖直向上
树枝对松鼠的作用力大小等于G，方向竖直向上
题组三　多力平衡问题
6.如图所示，某工人正在修理草坪，推力F与水平方向成α角，割草机沿水平方向做匀速直线运动，则割草机所受阻力的大小为(　　)
Fsin α Fcos α
7.(2023·广东卷，2)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
Ff＝G F＝FN
Ff＝Gcos θ F＝Gsin θ
综合提升练
8.如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，轻绳一端固定在圆环的最高点A，另一端与小球相连，小球静止时位于环上的B点，此时轻绳与竖直方向的夹角为60°，则轻绳对小球的拉力大小为(重力加速度为g)(　　)
mg mg 2mg mg
9.(2024·浙江宁波市高一期末)如图所示，在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计。下列说法正确的是(　　)
悬绳对网兜的拉力大小为mgcos α
墙壁对足球的支持力大小为mgtan α
若悬绳长度变短，则悬绳对网兜的拉力变小
若悬绳长度变短，则墙壁对足球的支持力保持不变
10.(2022·广东卷·1)图是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1＝F2且∠AOB＝60°。下列关系式正确的是(　　)
F＝F1 F＝2F1
F＝3F1 F＝F1
11.(10分)同学们都有过擦黑板的经历，如图所示，一黑板擦(可视为质点)的质量为m＝0.2 kg，当手臂对黑板擦的作用力F＝10 N且F与黑板面所成角度为53°时，黑板擦恰好沿黑板表面缓慢竖直向上擦黑板(取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)。
(1)(3分)求黑板擦与黑板间的动摩擦因数μ；
(2)(3分)若作用力F方向保持不变，当F多大时能完成向下缓慢擦黑板的任务；
(3)(4分)比较两种情况，试判断哪次黑板擦得更干净，说明理由。
培优加强练
12.(10分)如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻强OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
(1)(3分)轻绳OA、OB中的张力大小；
(2)(3分)人受到的摩擦力
(3)(4分)若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
第3节　共点力的平衡
1.C　[树懒静止倒挂在树干上，则所受的重力与树干对它的作用力平衡，可知树干给树懒的力方向为竖直向上，选项C正确。]
2.BD　[选项A中，物体上升至最高点时速度为零，但合外力并不为零，所以物体不处于平衡状态，故选项A错误；选项B中，电梯中的人与电梯一起做匀速运动，合外力为零，人处于平衡状态，故选项B正确；选项C中，力F撤去后，重物所受合外力方向向上，重物不处于平衡状态，故选项C错误；选项D中，物体与传送带一起做匀速运动，合外力为零，物体处于平衡状态，故选项D正确。]
3.A　[对小滑块进行受力分析，如图所示，将N沿水平方向和竖直方向进行分解，根据平衡条件，水平方向有Ncos θ＝F，竖直方向有Nsin θ＝mg，联立解得F＝，N＝，故A正确。]
4.B　[以杠铃为研究对象，受力分析如图所示，根据平衡条件得2Fcos 30°＝G，解得F＝G，则他每只手臂承受的力为G，故B正确。]
5.BD　[对树枝上的松鼠进行受力分析，如图所示。由平衡条件得树枝对松鼠的支持力大小为N＝Gcos 30°＝G，方向垂直树枝向上，故A错误，B正确；根据平衡条件可知，树枝对松鼠的作用力与松鼠的重力等大反向，即大于等于G，方向竖直向上，故C错误，D正确。]
6.B　[割草机沿水平方向做匀速直线运动，受到重力mg、推力F、地面的支持力N和阻力f，如图所示，四个力的合力为零，则有f＝Fcos α，故B正确。]
7.C　[如图所示，将重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，由平衡条件得，沿斜面方向Ff＝Gcos θ，垂直斜面方向F＝Gsin θ＋FN，故C正确，A、B、D错误。]
8.A　[对B点处的小球受力分析，如图所示，则有Tsin 60°＝Nsin 60°，Tcos 60°＋Ncos 60°＝mg，解得T＝N＝mg，A正确。]
9.B　[如图所示，足球处于静止状态，故由平衡条件可得悬绳对足球的拉力大小为F＝，墙壁对足球的弹力大小为N＝mgtan α，若悬绳变短，则角度α变大，悬绳对足球的拉力变大，墙壁对足球的支持力也变大，故B正确。]
10.D　[以O点为研究对象，受力分析如图所示，由几何关系可知θ＝30°，在竖直方向上，由平衡条件可得F1cos 30°＋F2cos 30°＝F，又F1＝F2，则F＝F1，故D正确，A、B、C错误。]
11.(1)0.5　(2)2 N　(3)见解析
解析　(1)当黑板擦缓慢向上滑动时，受力分析如图甲所示。
根据共点力的平衡条件可知
水平方向：N＝Fsin 53°
竖直方向：Fcos 53°＝f＋mg
又f＝μN，联立解得μ＝0.5。
(2)在黑板擦缓慢向下擦的过程中，
以黑板擦为研究对象进行受力分析，如图乙所示
根据共点力的平衡条件，
水平方向：N′＝F′sin 53°
竖直方向：F′cos 53°＋f′＝mg
又f′＝μN′，解得F′＝2 N。
(3)缓慢向上移动时摩擦力比缓慢向下移动时摩擦力更大，擦得更干净。
12.(1)m1g　m1g　(2)m1g　水平向左
(3)24 kg
解析　 (1)以结点O为研究对象，进行受力分析如图，根据共点力的平衡条件及几何关系得
FOA＝＝m1g
FOB＝m1gtan θ＝m1g。
(2)人在水平方向仅受绳OB的拉力和地面的摩擦力f的作用，根据平衡条件有
f＝FOB＝m1g，方向水平向左。
(3)人在竖直方向上受重力m2g和地面的支持力N的作用，因此有N＝m2g，则fmax＝μN＝μm2g＝180 N，要使人在水平面上不滑动，需满足Fmax＝m1g≤f′，解得m1≤24 kg，即物体甲的质量不能超过24 kg。第3节　共点力的平衡
学习目标　1.知道共点力的平衡条件，并会分析生产生活中的相关问题。2.能运用数学中的三角函数、几何关系等对力与平衡问题进行分析和推理。3.能从不同的角度解决力与平衡问题。
知识点一　物体的平衡状态　共点力的平衡条件
如图所示，甲图中的大石头受到几个力的作用而处于静止状态；乙图中的飞机做水平方向的匀速直线运动；丙图中的照相机静止在三脚架上。
(1)这三个物体都处于什么状态？
(2)物体若受多个共点力保持平衡，应满足什么条件？
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1.平衡状态：物体________或做____________运动时所处的状态。
2.共点力的平衡条件
其中Fx合和Fy合分别是将所受的力进行正交分解后，物体在x轴和y轴方向上所受的合力。
3.力的平衡
(1)若作用在物体上的几个共点力的合力为 ____，就达到了力的平衡。
(2)力平衡的三种情况：
【思考】 如图所示，篮球被抛出后做竖直上抛运动，当运动到最高点时速度为零，此时篮球是否处于平衡状态？
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例1 (2024·四川遂宁市期末)关于平衡状态，下列说法正确的是(　　)
A.当物体速度等于零时，一定处于平衡状态
B.运动的物体不可能处于平衡状态
C.物体处于平衡状态时所受合外力为0
D.当物体处于平衡状态时，一定不受外力作用
对平衡状态的理解
不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，即Δv＝0，则加速度a＝＝0。　　
知识点二　三力平衡问题
悬挂式广告挂牌如图所示，挂牌的重力为G，两侧绳与竖直方向的夹角都为θ，挂牌保持静止，有哪些方法能确定两侧绳的拉力大小？说说你的想法。
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三力平衡的处理方法
(1)力的合成法——一般用于受力个数为三个时
(2)正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时
例2 生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图所示，悬吊重物的细绳，其O点被一水平绳BO牵引，使悬绳AO段和竖直方向成θ角。若悬吊物所受的重力为G，则悬绳AO和水平绳BO所受的拉力各等于多少(用两种方法进行求解)
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训练1 如图所示，用细绳将重为G的球挂在光滑墙上，绳与竖直墙的夹角为θ，则(　　)
A.球对墙的压力大小为Gtan θ
B.球对墙的压力大小为Gsin θ
C.绳对球的拉力大小为Gcos θ
D.球对墙的压力的方向垂直墙面向右
知识点三　多力平衡问题
例3 (鲁科版教材P112节练习4改编)如图所示，拖把是生活中常用的清洁工具，有拖杆和拖把头构成，设某拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略，假设用该拖把在水平地板上拖地时，拖杆与竖直方向的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g，求：
(1)沿拖杆方向施加大小为F1＝mg的推力推拖把时，拖把头在水平地板上保持静止，求拖把头与水平地板间的摩擦力多大？
(2)在拖地过程中，若沿拖杆施加大小F2＝mg的推力推拖把，拖把头在水平地板上刚好做匀速直线运动，求拖把头与水平地板间的动摩擦因数。
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训练2 (2024·福建龙岩一中高一期末)如图所示，某同学用胶棉拖把擦黑板，拖把由拖杆和拖把头构成。设某拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略，拖把头与黑板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。该同学用沿拖杆方向的力F推拖把，让拖把头在竖直面内的黑板上匀速移动，此时拖杆与竖直方向的夹角为θ。则正确的是(　　)
A.黑板受到的压力N＝Fcos θ
B.拖把对黑板的摩擦力f＝μmg
C.下推时的推力F＝
D.上推和下推时的推力相等
随堂对点自测
1.(物体的平衡状态　共点力的平衡条件)下列关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是(　　)
A.如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B.如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C.如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D.如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相同
2.(三力平衡问题) (多选)如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小分别是(　　)
A.F1＝mgcos θ B.F1＝
C.F2＝mgsin θ D.F2＝
3.(多力平衡问题)如图，在倾角为37°的固定斜面上，一质量为10 kg的物块恰好沿斜面匀速下滑，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)物块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)若用平行于斜面向上的力拉着物块沿斜面匀速上滑，求拉力F的大小。
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第3节　共点力的平衡
知识点一
导学　提示　(1)保持静止或匀速直线运动状态。
(2)物体所受的合力为零。
知识梳理
1.静止　匀速直线　2.0　0　0　3.(1)0　
[思考] 提示　篮球在最高点时速度为零，但加速度不为零，不是平衡状态。
例1 C　[物体速度等于零时，不一定处于平衡状态，如火箭发射瞬间，速度为零但加速度很大，故A错误；匀速直线运动状态和静止状态都是平衡态，故运动的物体也可以处于平衡状态，故B错误；物体处于平衡状态时所受合外力为0，故C正确；当物体处于平衡状态时，所受合外力为0，不是不受外力作用，故D错误。]
知识点二
导学　提示　方法1：利用合成法。根据共点力平衡的条件可知，挂牌所受三个共点力的合力为零，即任意两个力的合力与第三个力等大反向，这样就可以利用解三角形的知识，确定绳的拉力大小。
方法2：正交分解法。因为挂牌所受三个共点力的合力为零，所以将各力沿两个互相垂直的方向正交分解后，有Fx＝0，Fy＝0，由方程即可确定绳的拉力大小。
方法3：利用分解法。挂牌保持静止时，其重力有两个效果，就是沿绳使挂牌向两侧拉绳。将重力沿两侧绳的方向分解，利用解三角形的知识，也可确定绳的拉力大小。
例2 　Gtan θ
解析　方法一　合成法
如图所示，取O点为研究对象进行受力分析，由共点力的平衡条件可知F4＝F3＝G
由图示几何关系可知
悬绳AO所受的拉力F1＝＝
水平绳BO所受的拉力F2＝F4tan θ＝Gtan θ。
方法二　正交分解法
如图所示，以O为原点建立直角坐标系，取O点为研究对象进行受力分析，设悬绳AO和水平绳BO上的拉力分别为F1、F2，由共点力的平衡条件和几何关系可知，
在x方向上F2＝F1x＝F1sin θ①
在y方向上F3＝F1y＝F1cos θ＝G②
由①②式解得F1＝，F2＝Gtan θ。
训练1 A　[如图所示，将重力按作用效果分解，有T＝F1＝，N＝F2＝Gtan θ，可知球对墙的压力的方向垂直墙面向左，故A正确，B、C、D错误。]
知识点三
例3 (1)0.3mg　(2)
解析　(1)沿拖杆方向施加大小为F1＝mg的推力推拖把时，拖把头在水平地板上保持静止，水平方向根据受力平衡可得
f＝F1sin 37°＝mg×0.6＝0.3mg。
(2)在拖地过程中，若沿拖杆施加大小F2＝mg的推力推拖把，拖把头在水平地板上刚好做匀速直线运动，根据受力平衡可得
f′＝F2sin 37°＝mg×0.6＝mg
N＝mg＋F2cos 37°＝mg＋mg×0.8＝2mg
又f′＝μN
联立解得拖把头与水平地板间的动摩擦因数为
μ＝＝＝。
训练2 C　[下推时，对拖把头受力分析，由平衡条件有mg＝Fcos θ＋f，N＝Fsin θ，又f＝μN，解得F＝，上推时，对拖把受力分析，由平衡条件有mg＋f＝Fcos θ，N＝Fsin θ，又f＝μN，解得F＝，可知上推和下推时推力不相等，故C正确，D错误；由上面分析可知上推和下推时推力不相同，黑板对拖把的支持力也不相同，故拖把对黑板的压力也不相同；同理可知拖把对黑板的摩擦力不相同，故A、B错误。]
随堂对点自测
1.C　[物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，选项A错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，不处于平衡状态，选项B错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，选项C正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个力的合力与第三个力等大反向，选项D错误。]
2.BD　[由力的平行四边形定则，作出F1、F2的合力F12，如图所示，又由平衡条件得F12＝mg，则由几何关系得F1＝，F2＝，故B、D正确，A、C错误。]
3.(1)0.75　(2)120 N
解析　(1)把重力沿斜面和垂直于斜面正交分解，由平衡条件有
f＝mgsin 37°
N＝mgcos 37°
又f＝μN
联立以上三式解得μ＝tan 37°＝0.75。
(2)由平衡条件有沿斜面方向
F＝mgsin 37°＋f′
垂直斜面方向有N＝mgcos 37°
又f′＝μN
解得F＝120 N。(共44张PPT)
第3节　共点力的平衡
第4章　力与平衡
1.知道共点力的平衡条件，并会分析生产生活中的相关问题。2.能运用数学中的三角函数、几何关系等对力与平衡问题进行分析和推理。
3.能从不同的角度解决力与平衡问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　三力平衡问题
知识点一　物体的平衡状态　共点力的平衡条件
知识点三　多力平衡问题
知识点一　物体的平衡状态　共点力的平衡条件
如图所示，甲图中的大石头受到几个力的作用而处于静止状态；乙图中的飞机做水平方向的匀速直线运动；丙图中的照相机静止在三脚架上。
(1)这三个物体都处于什么状态？
(2)物体若受多个共点力保持平衡，应满足什么条件？
提示　(1)保持静止或匀速直线运动状态。
(2)物体所受的合力为零。
1.平衡状态：物体______或做__________运动时所处的状态。
2.共点力的平衡条件
静止
匀速直线
0
0
0
其中Fx合和Fy合分别是将所受的力进行正交分解后，物体在x轴和y轴方向上所受的合力。
3.力的平衡
(1)若作用在物体上的几个共点力的合力为 ____，就达到了力的平衡。
(2)力平衡的三种情况：
0
【思考】
如图所示，篮球被抛出后做竖直上抛运动，当运动到最高点时速度为零，此时篮球是否处于平衡状态？
提示　篮球在最高点时速度为零，但加速度不为零，不是平衡状态。
C
例1 (2024·四川遂宁市期末)关于平衡状态，下列说法正确的是(　　)
A.当物体速度等于零时，一定处于平衡状态
B.运动的物体不可能处于平衡状态
C.物体处于平衡状态时所受合外力为0
D.当物体处于平衡状态时，一定不受外力作用
解析　物体速度等于零时，不一定处于平衡状态，如火箭发射瞬间，速度为零但加速度很大，故A错误；匀速直线运动状态和静止状态都是平衡态，故运动的物体也可以处于平衡状态，故B错误；物体处于平衡状态时所受合外力为0，故C正确；当物体处于平衡状态时，所受合外力为0，不是不受外力作用，故D错误。
知识点二　三力平衡问题
悬挂式广告挂牌如图所示，挂牌的重力为G，两侧绳与竖直方向的夹角都为θ，挂牌保持静止，有哪些方法能确定两侧绳的拉力大小？说说你的想法。
提示　方法1：利用合成法。根据共点力平衡的条件可知，挂牌所受三个共点力的合力为零，即任意两个力的合力与第三个力等大反向，这样就可以利用解三角形的知识，确定绳的拉力大小。
方法2：正交分解法。因为挂牌所受三个共点力的合力为零，所以将各力沿两个互相垂直的方向正交分解后，有Fx＝0，Fy＝0，由方程即可确定绳的拉力大小。
方法3：利用分解法。挂牌保持静止时，其重力有两个效果，就是沿绳使挂牌向两侧拉绳。将重力沿两侧绳的方向分解，利用解三角形的知识，也可确定绳的拉力大小。
三力平衡的处理方法
(1)力的合成法——一般用于受力个数为三个时
(2)正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时
例2 生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图所示，悬吊重物的细绳，其O点被一水平绳BO牵引，使悬绳AO段和竖直方向成θ角。若悬吊物所受的重力为G，则悬绳AO和水平绳BO所受的拉力各等于多少(用两种方法进行求解)
解析　方法一　合成法
如图所示，取O点为研究对象进行受力分析，由共点力的平衡条件可知F4＝F3＝G
由图示几何关系可知
水平绳BO所受的拉力F2＝F4tan θ＝Gtan θ。
方法二　正交分解法
如图所示，以O为原点建立直角坐标系，取O点为研究对象进行受力分析，设悬绳AO和水平绳BO上的拉力分别为F1、F2，由共点力的平衡条件和几何关系可知，
在x方向上F2＝F1x＝F1sin θ①
在y方向上F3＝F1y＝F1cos θ＝G②
A
训练1 如图所示，用细绳将重为G的球挂在光滑墙上，绳与竖直墙的夹角为θ，则(　　)
A.球对墙的压力大小为Gtan θ
B.球对墙的压力大小为Gsin θ
C.绳对球的拉力大小为Gcos θ
D.球对墙的压力的方向垂直墙面向右
知识点三　多力平衡问题
例3 (鲁科版教材P112节练习4改编)如图所示，拖把是生活中常用的清洁工具，有拖杆和拖把头构成，设某拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略，假设用该拖把在水平地板上拖地时，拖杆与竖直方向的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8，重力加速度为g，求：
又f′＝μN
联立解得拖把头与水平地板间的动摩擦因数为
C
训练2 (2024·福建龙岩一中高一期末)如图所示，某同学用胶棉拖把擦黑板，拖把由拖杆和拖把头构成。设某拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略，拖把头与黑板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。该同学用沿拖杆方向的力F推拖把，让拖把头在竖直面内的黑板上匀速移动，此时拖杆与竖直方向的夹角为θ。则正确的是(　　)
随堂对点自测
2
C
1.(物体的平衡状态　共点力的平衡条件)下列关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是(　　)
A.如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B.如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C.如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D.如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相同
解析　物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，选项A错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，不处于平衡状态，选项B错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，选项C正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个力的合力与第三个力等大反向，选项D错误。
BD
2.(三力平衡问题) (多选)如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小分别是(　　)
3.(多力平衡问题)如图，在倾角为37°的固定斜面上，一质量为10 kg的物块恰好沿斜面匀速下滑，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)物块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)若用平行于斜面向上的力拉着物块沿斜面匀速上滑，
求拉力F的大小。
答案　(1)0.75　(2)120 N
解析　(1)把重力沿斜面和垂直于斜面正交分解，由平衡条件有
f＝mgsin 37°
N＝mgcos 37°
又f＝μN
联立以上三式解得μ＝tan 37°＝0.75。
(2)由平衡条件有沿斜面方向
F＝mgsin 37°＋f′
垂直斜面方向有N＝mgcos 37°
又f′＝μN
解得F＝120 N。
课后巩固训练
3
C
题组一　物体的平衡状态　共点力的平衡条件
1.图中的树懒静止倒挂在树干上，则树干给树懒的力方向为(　　)
基础对点练
A.垂直于树干向上
B.沿树干向上
C.竖直向上
D.树干形变复杂，无法判断力的方向
解析　树懒静止倒挂在树干上，则所受的重力与树干对它的作用力平衡，可知树干给树懒的力方向为竖直向上，选项C正确。
BD
2.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.竖直向上抛出的物体到达最高点时，物体处于平衡状态
B.电梯匀速上升时，电梯中的人处于平衡状态
C.竖直弹簧上端固定，下端挂一个重物，平衡后用力F将重物拉下一段距离后突然撤去力F，重物仍处于平衡状态
D.随匀速上升的传送带一起向上运动的物体处于平衡状态
解析　选项A中，物体上升至最高点时速度为零，但合外力并不为零，所以物体不处于平衡状态，故选项A错误；选项B中，电梯中的人与电梯一起做匀速运动，合外力为零，人处于平衡状态，故选项B正确；选项C中，力F撤去后，重物所受合外力方向向上，重物不处于平衡状态，故选项C错误；选项D中，物体与传送带一起做匀速运动，合外力为零，物体处于平衡状态，故选项D正确。
A
题组二　三力平衡问题
3.如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，下列关系正确的是(　　)
B
4.如图所示，设某运动员所举杠铃的总重为G，杠铃平衡时每只手臂与竖直线所成的夹角为30°，则他每只手臂承受的力为(　　)
BD
5.(多选)如图，一只小松鼠站在倾斜的树枝上保持静止状态，该树枝与水平方向的夹角为30°，松鼠所受重力大小为G。则下列结论正确的是(　　)
B
题组三　多力平衡问题
6.如图所示，某工人正在修理草坪，推力F与水平方向成α角，割草机沿水平方向做匀速直线运动，则割草机所受阻力的大小为(　　)
解析　割草机沿水平方向做匀速直线运动，受到重力mg、推力F、地面的支持力N和阻力f，如图所示，四个力的合力为零，则有f＝Fcos α，故B正确。
C
7.(2023·广东卷，2)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
A.Ff＝G B.F＝FN
C.Ff＝Gcos θ D.F＝Gsin θ
解析　如图所示，将重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，由平衡条件得，沿斜面方向Ff＝Gcos θ，垂直斜面方向F＝Gsin θ＋FN，故C正确，A、B、D错误。
A
8.如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，轻绳一端固定在圆环的最高点A，另一端与小球相连，小球静止时位于环上的B点，此时轻绳与竖直方向的夹角为60°，则轻绳对小球的拉力大小为(重力加速度为g)(　　)
综合提升练
解析　对B点处的小球受力分析，如图所示，则有Tsin 60°＝Nsin 60°，Tcos 60°＋Ncos 60°＝mg，解得T＝N＝mg，A正确。
B
9.(2024·浙江宁波市高一期末)如图所示，在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计。下列说法正确的是(　　)
A.悬绳对网兜的拉力大小为mgcos α
B.墙壁对足球的支持力大小为mgtan α
C.若悬绳长度变短，则悬绳对网兜的拉力变小
D.若悬绳长度变短，则墙壁对足球的支持力保持不变
D
10.(2022·广东卷·1)图是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1＝F2且∠AOB＝60°。下列关系式正确的是(　　)
11.同学们都有过擦黑板的经历，如图所示，一黑板擦(可视为质点)的质量为m＝0.2 kg，当手臂对黑板擦的作用力F＝10 N且F与黑板面所成角度为53°时，黑板擦恰好沿黑板表面缓慢竖直向上擦黑板(取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)。
(1)求黑板擦与黑板间的动摩擦因数μ；
(2)若作用力F方向保持不变，当F多大时能完成向下缓慢擦黑板的任务；
(3)比较两种情况，试判断哪次黑板擦得更干净，说明理由。
答案　(1)0.5　(2)2 N　(3)见解析
解析　(1)当黑板擦缓慢向上滑动时，受力分析如图甲所示。
根据共点力的平衡条件可知
水平方向：N＝Fsin 53°
竖直方向：Fcos 53°＝f＋mg
又f＝μN，联立解得μ＝0.5。
(2)在黑板擦缓慢向下擦的过程中，
以黑板擦为研究对象进行受力分析，如图乙所示
根据共点力的平衡条件，
水平方向：N′＝F′sin 53°
竖直方向：F′cos 53°＋f′＝mg
又f′＝μN′，解得F′＝2 N。
(3)缓慢向上移动时摩擦力比缓慢向下移动时摩擦力更大，擦得更干净。
培优加强练
12.如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻强OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
(1)轻绳OA、OB中的张力大小；
(2)人受到的摩擦力；
(3)若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数为
μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大
不能超过多少？
解析　 (1)以结点O为研究对象，进行受力分析如图，根据共点力的平衡条件及几何关系得

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