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培优提升七　“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型
选择题1～8题，每小题10分，共80分。
基础对点练
题组一　“活结”与“死结”问题
1.手握轻杆，杆的另一端安装有一个轻质小滑轮C，支持着一根悬挂重物的绳子，如图所示。现保持滑轮C的位置不变，使杆向下转动一个角度，则杆对滑轮C的作用力将(　　)
变大 不变
变小 无法确定
2.如图所示，水平直杆OP右端固定于竖直墙上的O点，长为L＝2 m的轻绳一端固定于直杆P点，另一端固定于墙上O点正下方的Q点，OP长为d＝1.2 m，重为16 N的钩码由光滑挂钩挂在轻绳上处于静止状态，则轻绳的弹力大小为(　　)
10 N 12 N
16 N 20 N
3.如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则(　　)
F1的竖直分力大于F2的竖直分力
F1的竖直分力等于F2的竖直分力
F1的水平分力大于F2的水平分力
F1的水平分力等于F2的水平分力
4.如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于(　　)
45° 55° 60° 70°
题组二　“动杆”与“定杆”问题
5.如图所示，水平横梁一端插在墙壁内，另一端装一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝20 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)(　　)
100 N 100 N
200 N 200 N
6.如图所示，在水平天花板的A点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直。杆的下端有一个轻滑轮O。另一根细绳上端固定在该天花板的B点处，细绳跨过滑轮O，下端系一个重为G的物体。BO段细绳与天花板的夹角为θ＝30°。系统保持静止，不计一切摩擦，下列说法中正确的是(　　)
细绳BO对天花板的拉力大小是
a杆对滑轮的作用力大小是
a杆和细绳对滑轮的合力大小是G
a杆对滑轮的作用力大小是G
7.如图为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，轻杆的重力不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力分别为Fa、 Fb，则下列关系正确的是(　　)
Fa＝Fb Fa>Fb
Fa综合提升练
8.(多选)将砂桶P用细绳系在C点，如图所示，在两砂桶中装上一定质量的砂子，砂桶(含砂子)P、Q的总质量分别为m1、m2，系统平衡时，∠ACB＝90°、∠CAB＝60°，忽略滑轮的大小以及摩擦。则下列说法正确的是(　　)
m1∶m2＝1∶1
m1∶m2＝2∶1
若在两桶内增加相同质量的砂子，C点的位置上升
若在两桶内增加相同质量的砂子，C点的位置保持不变
9.(10分)如图所示，一重物被细绳a、b、c所悬挂，O′是三细绳的结点。细绳a跨过O点处的轻质定滑轮与轻质弹簧相连，轻质光滑定滑轮被轻质竖直硬杆固定在天花板上，整个装置处于静止状态，此时b绳保持水平，a绳与c绳夹角为120°，弹簧与竖直方向夹角为30°，弹簧处于弹性限度内，重物质量为2 kg，弹簧的劲度系数为100 N/m，重力加速度g取10 N/kg。求：
(1)(5分)弹簧的伸长量；
(2)(5分)悬挂小滑轮的轻质杆对滑轮的作用力大小。
10.(10分)绳OC与竖直方向成30°角，绳OB与水平方向成30°角，O为质量不计的光滑滑轮，已知物体B重1 000 N，物体A重400 N，物体A和B均静止，求：
(1)(3分)OB绳的拉力为多大？
(2)(3分)物体B所受地面的摩擦力f和支持力N分别为多大？
(3)(4分)OC绳的拉力为多大？
培优提升七　“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型
1.B　[以小滑轮为研究对象，进行受力分析可知，小滑轮受到三个力的作用：两绳的拉力和杆对小滑轮的作用力，由平衡条件可知，杆对滑轮C的作用力大小等于两绳拉力的合力，由于两绳的拉力不变，故杆对滑轮C的作用力不变，故B正确。]
2.A　[设挂钩所在位置为N点，延长PN交墙于M点，如图所示，同一条绳子拉力相等，根据对称性可知两边的绳子与竖直方向的夹角相等，根据几何关系可知NM＝NQ，由几何关系知sin α＝＝＝＝，对钩码受力分析，根据平衡条件有2Tcos α＝mg，解得T＝10 N，故A正确。]
3.D　[对结点O受力分析可得，水平方向F1sin α＝F2sin β＝Fx，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项C错误，D正确；对结点O受力分析可得，竖直方向F1y＝F1cos α＝，F2y＝F2cos β＝，由于tan α＞tan β，所以F2y＞F1y，选项A、B错误。]
4.B　[O点受力如图，因为甲、乙物体质量相等，所以F1与F2大小相等，合成的平行四边形为菱形，α＝70°，则∠1＝∠2＝55°，且F1和F2的合力与F3等大反向，则β＝∠2＝55°，故B正确。]
5.C　[对与滑轮接触的绳子受力分析，如图所示，绳中拉力处处相等，有T1＝T2＝mg＝200 N，由几何知识知，滑轮对绳子的支持力N＝200 N，则滑轮受到绳子的作用力大小为200 N，故C正确。]
6.D　[对物体受力分析，根据平衡条件，有T＝G，同一根绳子拉力大小处处相等，故绳子对天花板的拉力大小也等于G，故A错误；对滑轮受力分析，如图所示，根据平衡条件，结合几何关系，有a杆对滑轮的作用力F＝T＝G，故B错误，D正确；由于滑轮处于平衡状态，所以a杆和细绳对滑轮的合力大小是零，故C错误。]
7.A　[对题图(a)中的A点受力分析，如图甲所示，由平衡条件可得
Fa＝Fa′＝2mgcos 30°＝mg
对题图(b)中的A点受力分析，如图乙，由平衡条件及几何关系可得tan 30°＝，则Fb＝Fb′＝mg，可得Fa＝Fb，故A正确，B、C、D错误。]
8.BC　[以结点C为研究对象，受力分析如图所示，其中F＝m1g，FB＝m2g，由力的平衡条件可知FA＝Fcos 30°＝m1gcos 30°，由几何关系可知FA＝，联立解得m1∶m2＝2∶1，选项A错误，B正确；由以上分析可知当砂桶(含砂子)P、Q的总质量的比值为2时，AC与BC保持垂直状态，C点的位置保持不变，而若在两桶内增加相同质量的砂子，则两砂桶(含砂子)质量的比值会小于2，则Q桶向下移动，C点的位置上升，选项C正确，D错误。]
9.(1)0.4 m　(2)40 N
解析　(1)以O′为研究对象，cO′绳张力大小等于重物的重力，根据三力平衡得a绳张力为
Fa＝＝40 N
则弹簧弹力F弹＝Fa＝40 N
根据胡克定律有F弹＝kx，可得弹簧的伸长量
x＝0.4 m。
(2)以小滑轮为研究对象，a绳和拉弹簧的绳子为同一根绳子，故张力大小相等，均为Fa，由几何关系可知，两绳夹角为90°，根据三力平衡得轻质杆对滑轮的作用力大小为
T杆＝F弹＝40 N。
10.(1)400 N　(2)200 N　800 N　(3)400 N
解析　(1)由于物体A静止，故OB绳的拉力
T＝GA＝400 N。
(2)对物体B受力分析，如图甲所示，
根据平衡条件，有N＋Tsin 30°＝GB
Tcos 30°＝f
联立解得N＝800 N，f＝200 N。
(3)对滑轮受力分析，受三个拉力，如图乙所示，
根据平衡条件，有
TOC＝2Tcos 30°＝400 N。
　
甲　　　　　　　　　乙培优提升七　“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型
学习目标　1.知道“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”的特点，并能正确对结点受力分析。2.灵活运用合成法、分解法、正交分解法处理平衡问题。
提升1　“活结”与“死结”模型
类型1　“活结”模型
模型结构 模型解读 模型特点
“活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”绳子上的张力大小处处相等
常见模型 力学关系和几何关系 端点A上下移动 挡板MN左右移动
①T1＝T2＝ ②l1cos θ＋l2cos θ＝d (l1＋l2)cos θ＝d cos θ＝(l＝l1＋l2，为绳长) d和l都不变，根据cos θ＝可知θ也不变，则T1和T2也不变 因为MN左右移动时，d变化，而l不变，根据cos θ＝可知θ将变化，则T1和T2也变化
常见模型 力学关系和几何关系 端点A左右移动 两物体质量比变化
①角度：θ4＝2θ3＝2θ2＝4θ1 ②拉力：T＝MQg ③2MQcos θ2＝MP 两物体质量比不变，左右移动轻绳端点角度都不变 角度变化，但仍保持原有倍数关系
例1 (多选)(2024·河北石家庄高一期末)如图所示，光滑轻质挂钩下端悬挂质量为m的重物，跨在长度为L的轻绳上，开始时绳子固定在框架上等高的A、B两点，与水平方向的夹角为θ，绳子的拉力为F。现保持绳长不变，将绳子右端从B点沿竖直方向缓慢移至C点，再从C点沿水平方向向左缓慢移至D点。关于绳子拉力的变化。下列说法正确的是(　　)
A.从B移至C的过程中，拉力F变小
B.从B移至C的过程中，拉力F不变
C.从C移至D的过程中，拉力F不变
D.从C移至D的过程中，拉力F变小
训练1 水平横杆上套有圆环A，圆环A通过轻绳与重物B相连，轻绳绕过固定在横杆下光滑的定滑轮，轻绳通过光滑动滑轮挂着物体C，并在某一位置达到平衡，现将圆环A缓慢向右移动一段距离，系统仍保持静止，则下列说法正确的是(　　)
A.物体C的高度上升
B.AC段绳与横杆的夹角变小
C.横杆对环的支持力变小
D.轻绳对圆环的拉力不变
类型2　“死结”模型
模型结构 模型解读 模型特点
“死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 死结两侧的绳子张力不一定相等
例2 春节期间，大街上到处洋溢着节日的气息，一盏盏大红灯笼展现出节日的喜庆。如图所示，三根轻绳a、b、c将甲、乙两只灯笼悬挂起来并处于静止状态。轻绳a、c与竖直方向的夹角分别为37°和53°，轻绳b沿水平方向。已知甲灯笼的质量m甲＝1.2 kg，且sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)细绳a的拉力的大小F；
(2)乙灯笼的质量m乙。
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训练2 (鲁科版教材P110例题改编)如图所示用绳子将鸟笼挂在一根水平横梁上，绳子OA、OB和OC对结点O的拉力大小分别为FA、FB和FC，则下列判断正确的是(　　)
A.FA最大 B.FB最大
C.FC最大 D.FC＝FA＋FB
提升2　“动杆”与“定杆”模型
杆模型 特点 作用力
与转轴(铰链)相连的轻杆 杆作用力的方向一定沿杆
插入墙中固定的轻杆 杆作用力的方向不一定 沿杆
例3 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向的夹角为30°，在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体(都处于静止状态)，重力加速度为g，求：
(1)细绳AC段的张力TAC与细绳EG的张力TEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
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训练3 (2024·福建泉州德化一中高一期末)如图所示，轻杆AB的左端用铰链与竖直墙壁连接，轻杆CD的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为m1、m2的物体，另一端系于B点，图乙中两轻绳分别挂着质量为m3、m4的物体，另一端系于D点。四个物体均处于静止状态，图中轻绳OB、O′D与竖直方向的夹角均为θ＝30°，下列说法一定正确的是(　　)
A.m1∶m2＝1∶1 B.m1∶m2＝2∶
C.m3∶m4＝1∶1 D.m3∶m4＝2∶
随堂对点自测
1.(“死结”模型)如图所示，质量为2 kg的重物与一小段绳子连接，该段绳子与绳子AO和绳子BO连接于O点，重物静止。绳子AO与水平方向的夹角为30°，绳子BO水平，取重力加速度大小g＝10 m/s2，绳子均为理想轻绳，则绳子AO和绳子BO上的拉力大小分别为(　　)
A.40 N、20 N B.N、 N
C.10 N、10 N D.10 N、10 N
2.(“活结”模型)如图所示，钉子A和小定滑轮B均固定在竖直墙面上，它们相隔一定距离且处于同一高度，细线的一端系有一小沙桶D，另一端跨过定滑轮B与动滑轮C后固定在钉子A上。质量为m的小球E与轻质动滑轮C固定连接。初始时整个系统处于静止状态，滑轮C两侧细线的夹角为74°。现缓慢地往沙桶添加细沙，当系统再次平衡时，滑轮C两侧细线的夹角为106°。不计一切摩擦，已知cos 37°＝0.8，cos 53°＝0.6，则此过程中往沙桶D中添加的细沙质量为(　　)
A.m B.m C.m D.m
3.(“动杆”与“定杆”模型)(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，OB水平；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，另一端O′光滑；一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA＝30°，以下说法正确的是(　　)
A.图甲轻杆中弹力大小为mg
B.图乙轻杆中弹力大小为mg
C.图甲轻杆中弹力与细线OB中拉力的合力方向一定沿竖直方向
D.图乙中∠B′O′A′不可能等于30°
培优提升七　“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型
提升1
例1 BD　[轻绳的右端从B点移到直杆最上端C过程中，设两绳的夹角为2α，以滑轮为研究对象，根据平衡条件得2Fcos α＝mg，则绳子的拉力F＝，设绳子总长为L，两直杆间的距离为s，由数学知识可得sin α＝，L、s不变，则α保持不变，所以在轻绳的右端从B点移到C的过程中，拉力F不变，故B正确，A错误；轻绳的右端从C点移到D点过程中，α变小，cos α变大，则F减小，故D正确，C错误。]
训练1 D　[物体B保持静止，受重力和拉力，根据平衡条件，轻绳拉力大小处处相同，等于B的重力，保持不变，轻绳对圆环的拉力不变，D正确；圆环A缓慢向右移动一段距离，重物C受重力和两侧绳子的拉力，始终平衡，拉力和重力大小都不变，根据平衡条件，动滑轮两侧绳子夹角保持不变，滑轮位置的变化情况如图所示，所以重物C必定下降，重物B上升，连接A的轻绳与水平方向夹角不变，横杆对环的支持力也一定不变，A、B、C错误。]
例2 (1)15 N　(2)0.675 kg
解析　对甲、乙灯笼受力分析，如图所示。
(1)甲受力平衡，根据共点力平衡条件有
Fsin 37°＝Fb
Fcos 37°＝m甲g，解得F＝15 N，Fb＝9 N。
(2)对乙灯笼，根据共点力平衡条件有
Fcsin 53°＝Fb′＝Fb，Fccos 53°＝m乙g
解得m乙＝0.675 kg。
训练2 C　[对结点受力分析，如图所示，根据平衡条件有FA＝FCsin 60°＝FC，FB＝FCcos 60°＝FC，可知FA、FB都比FC小，且FA＋FB≠FC，故C正确。]
提升2
例3 (1)　(2)M1g，方向与水平方向成30°指向右上方　(3)M2g，方向水平向右
解析　题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图(a)和图(b)所示。
(1)由题知，图(a)中，细绳AC段的拉力
TAC＝TCD＝M1g
图(b)中由平衡条件得TEGsin 30°＝FGF＝M2g
可得TEG＝2M2g，所以＝。
(2)图(a)中，TAC、NC、M1g三个力之间的夹角都为120°，根据平衡条件有NC＝TAC＝M1g
方向与水平方向成30°指向右上方。
(3)图(b)中，根据平衡条件有
TEGsin 30°＝M2g，TEGcos 30°＝NG
所以NG＝＝M2g，方向水平向右。
训练3 B　[图甲中，OB绳的张力为T＝m1g，对B点受力分析，由平衡条件可得m2g＝Tcos θ＝m1gcos θ，则m1∶m2＝2∶，故A错误，B正确；CD杆固定在墙上，杆的弹力方向不确定，则m3、m4的比例不确定，故C、D错误。]
随堂对点自测
1.A　[对O点受力分析，由共点力的平衡条件得FAOsin 30°＝mg，FAOcos 30°＝FBO，联立解得FAO＝40 N，FBO＝20 N，故A正确，B、C、D错误。]
2.C　[设初始时沙桶和沙的质量为m1，再次平衡时沙桶和沙的质量为m2，则添加细沙前后根据平衡条件有m1gcos 37°＝mg，m2gcos 53°＝mg，解得m1＝m，m2＝m，则添加的细沙质量为Δm＝m2－m1＝m，C正确。]
3.AC　[由于图甲中轻杆OA为“定杆”，其O端光滑，可以视为活结，则两侧细线中拉力大小相等，都等于mg，由力的平衡条件可知，图甲轻杆中弹力为F甲＝2mgcos 45°＝mg，故A正确；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，为“动杆”，另一端O′光滑，可以视为活结，O′两侧细线中拉力相等，“动杆”中弹力方向沿“动杆”方向，“动杆”O′A′中弹力大小等于O′两侧细线中拉力的合力大小，两细线夹角不确定，轻杆中弹力无法确定，∠B′O′A′可能等于30°，故B、D错误；根据共点力的平衡条件，图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细绳的拉力方向相反，即竖直向上，故C正确。](共44张PPT)
培优提升七　“活结”与“死结”、“动杆”
与“定杆”模型
第4章　力与平衡
1.知道“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”的特点，并能正确对结点受力分析。
2.灵活运用合成法、分解法、正交分解法处理平衡问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　“动杆”与“定杆”模型
提升1　“活结”与“死结”模型
提升1　“活结”与“死结”模型
类型1　“活结”模型
模型结构 模型解读 模型特点
“活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”绳子上的张力大小处处相等
常见模型 力学关系和几何关系 端点A上下移动 挡板MN左右移动
模型结构 模型解读 模型特点
①T1＝T2＝ ②l1cos θ＋l2cos θ＝d (l1＋l2)cos θ＝d cos θ＝(l＝l1＋l2，为绳长) d和l都不变，根据cos θ＝可知θ也不变，则T1和T2也不变 因为MN左右移动时，d变化，而l不变，根据cos θ＝可知θ将变化，则T1和T2也变化
模型结构 模型解读 模型特点
常见模型 力学关系和几何关系 端点A左右移动 两物体质量比变化
①角度：θ4＝2θ3＝2θ2＝4θ1 ②拉力：T＝MQg ③2MQcos θ2＝MP 两物体质量比不变，左右移动轻绳端点角度都不变 角度变化，但仍保持原有倍数关系
BD
例1 (多选)(2024·河北石家庄高一期末)如图所示，光滑轻质挂钩下端悬挂质量为m的重物，跨在长度为L的轻绳上，开始时绳子固定在框架上等高的A、B两点，与水平方向的夹角为θ，绳子的拉力为F。现保持绳长不变，将绳子右端从B点沿竖直方向缓慢移至C点，再从C点沿水平方向向左缓慢移至D点。关于绳子拉力的变化。下列说法正确的是(　　)
A.从B移至C的过程中，拉力F变小
B.从B移至C的过程中，拉力F不变
C.从C移至D的过程中，拉力F不变
D.从C移至D的过程中，拉力F变小
D
训练1 水平横杆上套有圆环A，圆环A通过轻绳与重物B相连，轻绳绕过固定在横杆下光滑的定滑轮，轻绳通过光滑动滑轮挂着物体C，并在某一位置达到平衡，现将圆环A缓慢向右移动一段距离，系统仍保持静止，则下列说法正确的是(　　)
A.物体C的高度上升
B.AC段绳与横杆的夹角变小
C.横杆对环的支持力变小
D.轻绳对圆环的拉力不变
解析　物体B保持静止，受重力和拉力，根据平衡条件，轻绳拉力大小处处相同，等于B的重力，保持不变，轻绳对圆环的拉力不变，D正确；圆环A缓慢向右移动一段距离，重物C受重力和两侧绳子的拉力，始终平衡，拉力和重力大小都不变，根据平衡条件，动滑轮两侧绳子夹角保持不变，滑轮位置的变化情况如图所示，所以重物C必定下降，重物B上升，连接A的轻绳与水平方向夹角不变，横杆对环的支持力也一定不变，A、B、C错误。
类型2　“死结”模型
模型结构 模型解读 模型特点
“死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 死结两侧的绳子张力不一定相等
例2 春节期间，大街上到处洋溢着节日的气息，一盏盏大红灯笼展现出节日的喜庆。如图所示，三根轻绳a、b、c将甲、乙两只灯笼悬挂起来并处于静止状态。轻绳a、c与竖直方向的夹角分别为37°和53°，轻绳b沿水平方向。已知甲灯笼的质量m甲＝1.2 kg，且sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)细绳a的拉力的大小F；
(2)乙灯笼的质量m乙。
解析　对甲、乙灯笼受力分析，如图所示。
(1)甲受力平衡，根据共点力平衡条件有
Fsin 37°＝Fb
Fcos 37°＝m甲g，解得F＝15 N，Fb＝9 N。
(2)对乙灯笼，根据共点力平衡条件有
Fcsin 53°＝Fb′＝Fb，Fccos 53°＝m乙g
解得m乙＝0.675 kg。
答案　(1)15 N　(2)0.675 kg
C
训练2 (鲁科版教材P110例题改编)如图所示用绳子将鸟笼挂在一根水平横梁上，绳子OA、OB和OC对结点O的拉力大小分别为FA、FB和FC，则下列判断正确的是(　　)
A.FA最大 B.FB最大
C.FC最大 D.FC＝FA＋FB
提升2　“动杆”与“定杆”模型
杆模型 特点 作用力
与转轴(铰链)相连的轻杆 杆作用力的方向一定沿杆
插入墙中固定的轻杆 杆作用力的方向不一定
沿杆
例3 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向的夹角为30°，在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体(都处于静止状态)，重力加速度为g，求：
(1)细绳AC段的张力TAC与细绳EG的张力TEG
之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
解析　题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图(a)和图(b)所示。
(1)由题知，图(a)中，细绳AC段的拉力
TAC＝TCD＝M1g
图(b)中由平衡条件得TEGsin 30°＝FGF＝M2g
(2)图(a)中，TAC、NC、M1g三个力之间的夹角都为120°，根据平衡条件有
NC＝TAC＝M1g
方向与水平方向成30°指向右上方。
(3)图(b)中，根据平衡条件有
TEGsin 30°＝M2g，TEGcos 30°＝NG
训练3 (2024·福建泉州德化一中高一期末)如图所示，轻杆AB的左端用铰链与竖直墙壁连接，轻杆CD的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为m1、m2的物体，另一端系于B点，图乙中两轻绳分别挂着质量为m3、m4的物体，另一端系于D点。四个物体均处于静止状态，图中轻绳OB、O′D与竖直方向的夹角均为θ＝30°，下列说法一定正确的是(　　)
B
随堂对点自测
2
A
1.(“死结”模型)如图所示，质量为2 kg的重物与一小段绳子连接，该段绳子与绳子AO和绳子BO连接于O点，重物静止。绳子AO与水平方向的夹角为30°，绳子BO水平，取重力加速度大小g＝10 m/s2，绳子均为理想轻绳，则绳子AO和绳子BO上的拉力大小分别为(　　)
C
2.(“活结”模型)如图所示，钉子A和小定滑轮B均固定在竖直墙面上，它们相隔一定距离且处于同一高度，细线的一端系有一小沙桶D，另一端跨过定滑轮B与动滑轮C后固定在钉子A上。质量为m的小球E与轻质动滑轮C固定连接。初始时整个系统处于静止状态，滑轮C两侧细线的夹角为74°。现缓慢地往沙桶添加细沙，当系统再次平衡时，滑轮C两侧细线的夹角为106°。不计一切摩擦，已知cos 37°＝0.8，cos 53°＝0.6，则此过程中往沙桶D中添加的细沙质量为(　　)
AC
3.(“动杆”与“定杆”模型)(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，OB水平；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，另一端O′光滑；一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA＝30°，以下说法正确的是(　　)
课后巩固训练
3
B
题组一　“活结”与“死结”问题
1.手握轻杆，杆的另一端安装有一个轻质小滑轮C，支持着一根悬挂重物的绳子，如图所示。现保持滑轮C的位置不变，使杆向下转动一个角度，则杆对滑轮C的作用力将(　　)
基础对点练
A.变大 B.不变 C.变小 D.无法确定
解析　以小滑轮为研究对象，进行受力分析可知，小滑轮受到三个力的作用：两绳的拉力和杆对小滑轮的作用力，由平衡条件可知，杆对滑轮C的作用力大小等于两绳拉力的合力，由于两绳的拉力不变，故杆对滑轮C的作用力不变，故B正确。
A
2.如图所示，水平直杆OP右端固定于竖直墙上的O点，长为L＝2 m的轻绳一端固定于直杆P点，另一端固定于墙上O点正下方的Q点，OP长为d＝1.2 m，重为16 N的钩码由光滑挂钩挂在轻绳上处于静止状态，则轻绳的弹力大小为(　　)
A.10 N B.12 N C.16 N D.20 N
解析　设挂钩所在位置为N点，延长PN交墙于M点，如图所示，
D
3.如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则(　　)
A.F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B.F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C.F1的水平分力大于F2的水平分力
D.F1的水平分力等于F2的水平分力
B
4.如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于(　　)
A.45° B.55° C.60° D.70°
解析　O点受力如图，因为甲、乙物体质量相等，所以F1与F2大小相等，合成的平行四边形为菱形，α＝70°，则∠1＝∠2＝55°，且F1和F2的合力与F3等大反向，则β＝∠2＝55°，故B正确。
C
题组二　“动杆”与“定杆”问题
5.如图所示，水平横梁一端插在墙壁内，另一端装一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝20 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)(　　)
解析　对与滑轮接触的绳子受力分析，如图所示，绳中拉力处处相等，有T1＝T2＝mg＝200 N，由几何知识知，滑轮对绳子的支持力N＝200 N，则滑轮受到绳子的作用力大小为200 N，故C正确。
D
6.如图所示，在水平天花板的A点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直。杆的下端有一个轻滑轮O。另一根细绳上端固定在该天花板的B点处，细绳跨过滑轮O，下端系一个重为G的物体。BO段细绳与天花板的夹角为θ＝30°。系统保持静止，不计一切摩擦，下列说法中正确的是(　　)
解析　对物体受力分析，根据平衡条件，有T＝G，同一根绳子拉力大小处处相等，故绳子对天花板的拉力大小也等于G，故A错误；对滑轮受力分析，如图所示，根据平衡条件，结合几何关系，有a杆对滑轮的作用力F＝T＝G，故B错误，D正确；由于滑轮处于平衡状态，所以a杆和细绳对滑轮的合力大小是零，故C错误。
A
7.如图为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，轻杆的重力不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力分别为Fa、 Fb，则下列关系正确的是(　　)
A. Fa＝Fb B. Fa>Fb
C. FaBC
8.(多选)将砂桶P用细绳系在C点，如图所示，在两砂桶中装上一定质量的砂子，砂桶(含砂子)P、Q的总质量分别为m1、m2，系统平衡时，∠ACB＝90°、∠CAB＝60°，忽略滑轮的大小以及摩擦。则下列说法正确的是(　　)
综合提升练
A.m1∶m2＝1∶1
B.m1∶m2＝2∶1
C.若在两桶内增加相同质量的砂子，C点的位置上升
D.若在两桶内增加相同质量的砂子，C点的位置保持不变
9.如图所示，一重物被细绳a、b、c所悬挂，O′是三细绳的结点。细绳a跨过O点处的轻质定滑轮与轻质弹簧相连，轻质光滑定滑轮被轻质竖直硬杆固定在天花板上，整个装置处于静止状态，此时b绳保持水平，a绳与c绳夹角为120°，弹簧与竖直方向夹角为30°，弹簧处于弹性限度内，重物质量为2 kg，弹簧的劲度系数为100 N/m，重力加速度g取10 N/kg。求：
综合提升练
(1)弹簧的伸长量；
(2)悬挂小滑轮的轻质杆对滑轮的作用力大小。
解析　(1)以O′为研究对象，cO′绳张力大小等于重物的重力，根据三力平衡得a绳张力为
则弹簧弹力F弹＝Fa＝40 N
根据胡克定律有F弹＝kx，可得弹簧的伸长量
x＝0.4 m。
10.绳OC与竖直方向成30°角，绳OB与水平方向成30°角，O为质量不计的光滑滑轮，已知物体B重1 000 N，物体A重400 N，物体A和B均静止，求：
(1)OB绳的拉力为多大？
(2)物体B所受地面的摩擦力f和支持力N分别为多大？
(3)OC绳的拉力为多大？
解析　(1)由于物体A静止，故OB绳的拉力
T＝GA＝400 N。
(2)对物体B受力分析，如图甲所示，
甲
根据平衡条件，有N＋Tsin 30°＝GB
Tcos 30°＝f
(3)对滑轮受力分析，受三个拉力，如图乙所示，
乙
根据平衡条件，有

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