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（江苏省新高考）2025年高三毕业考试数学模拟卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．如图，已知，，，，则（ ）
B． C． D．
4．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ）
A．第85百分位数为18 B．众数为12
C．中位数为17 D．平均成绩为14
5．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（ ）
B． C． D．
7．已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（ ）
B． C． D．
8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，为锐角，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆台的上、下底面圆的半径分别为，体积为，MN是该圆台的一条母线，A，B是该圆台下底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线MN与底面所成的角为
B．该圆台侧面展开图扇环的圆心角为
C．若该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为
D．若∥平面，则三棱锥体积的最大值为
11．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．在上单调递减
D．不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 .
13．已知拋物线，的焦点分别为，一条平行于轴的直线分别与交于两点．若，则四边形的周长为 ．
14．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记，则m的最小值为 ，m小于100的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
16．（15分）
已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．
17．（15分）
北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为.
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为.
（i）请写出与的递推关系；
（ii）设，求证：.
18．（17分）
若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线．
(1)当时，求函数与在公共点处的切线方程；
(2)求的最小值；
(3)求证：当时，．
19．（17分）
双曲线，射线和射线分别与交于点和点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)作射线（异于与分别交于点，记的面积为．
①求证：；
②若，且，记，证明：．中小学教育资源及组卷应用平台
（江苏省新高考）2025年高三毕业考试数学模拟卷
解析卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，，
∴结合数轴可知：.
故选：A.
2．已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A
3．如图，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，而，
所以.
故选：B
4．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ）
A．第85百分位数为18 B．众数为12
C．中位数为17 D．平均成绩为14
【答案】A
【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20，
对于A：因为，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故A正确；
对于B：众数为17，故B错误；
对于C：中位数为：，故C错误；
对于D：平均数，故D错误；
故答案为：A.
5．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，
所以，
设等比数列的公比为q，
由题意知，，
所以，
化简，得，解得或舍去，
所以
故选：
6．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在中，，
又，则，设，则，
在中，由正弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，
即，又，解得，则，
所以，
故选：B
7．已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，由，得，，
由双曲线定义，，
在中，，
由余弦定理可得，
得，整理得，
解得，所以，，．
在由余弦定理，
得，
整理得，则．
故选：D.
8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，，，由，
可得，可得，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，则，可得，
令，其中，则，
当时，，即函数在上递减，
当时，，即函数在上递增，
所以，，即实数的取值范围是.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，为锐角，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】，为锐角，，可得到，①
，得，②，
由①②，又，得，
则，B正确；
，C正确；
又，，，从而，D正确；
由B知，则有，，
又，，则，所以，则A错误.
故选：
10．已知圆台的上、下底面圆的半径分别为，体积为，MN是该圆台的一条母线，A，B是该圆台下底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线MN与底面所成的角为
B．该圆台侧面展开图扇环的圆心角为
C．若该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为
D．若∥平面，则三棱锥体积的最大值为
【答案】ABD
【详解】设圆台的高为，，
则，解得，
可得圆台的母线长为，
将圆台补成圆锥，可知圆锥的母线长为，即圆锥的轴截面为等边三角形，
对于选项A：所以直线MN与底面所成的角为，故A正确；
对于选项B：该圆台侧面展开图扇环的圆心角为，故B正确；
对于选项C：因为，
可知该圆台的外接球的球心O即为，半径即为，
所以球O的表面积为，故C错误；
对于选项D：设，连接，
因为∥，可知四点共面，
若∥平面，则平面，且平面平面，
可得∥，可知为平行四边形，则，
可知点为的中点，
取的中点，设，则，
因为，
则，
当且仅当时，取到最大值，
又因为三棱锥体积，
所以三棱锥体积的最大值为，故D正确；
故选：ABD.
11．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．在上单调递减
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【详解】因为，
取可得，
所以，A错误；
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
由，
用替换可得，，
所以，即，
所以函数为奇函数，B正确；
任取，，
则，
又当时，，且，
所以，故，
所以函数在上单调递减，C正确；
因为，
所以不等式可化为，
所以，又函数在上单调递减，
所以，
所以，所以不等式的解集为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 .
【答案】
【详解】已知，，所以
因为函数在上单调递减，
而函数在上单调递减，所以
由此可得不等式组，解得
则的最大值为
故答案为：
13．已知拋物线，的焦点分别为，一条平行于轴的直线分别与交于两点．若，则四边形的周长为 ．
【答案】12
【详解】设，则，将坐标分别代入，
可得，即，所以，
由焦半径公式可得，，
由可得，即，所以，
所以，
又，则，
，
所以四边形的周长为.
故答案为：
14．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记，则m的最小值为 ，m小于100的概率为 .
【答案】 47
【详解】由中的对称性，不妨令，要最小，
百位必相邻，的百位为4，的百位为3；
对于十位，的十位尽可能的大，为6，的十位尽可能的小，为1；
同理的个为5，的个位为2，因此，所以m的最小值为47；
要m小于100，百位必相邻，且较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制，分两步：
取百位的概率为；取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给作十位，
而的十位大于的十位与的十位小于的十位的概率相等，此步符合要求的概率为，
所以m小于100的概率为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥，
因为平面平面，为交线，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为平面平面，为交线，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，则，，
设，，则，，
设平面的一个法向量为，
，
令得，故，
直线与平面所成角的正弦值为，
即，
化简得，负值舍去，则，
平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
，
所以平面与平面夹角余弦值为.
16．（15分）
已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．
【详解】（1）设等差数列公差为成等比数列，则，
所以，解得或（舍去），所以；
（2）设，当时，单调递减，
，所以，由（1）可知，
则有，所以不等式恒立．
（3）因为，所以要证，
只需证：，
根据（2）可知，那么，
，
所以.
17．（15分）
北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为.
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为.
（i）请写出与的递推关系；
（ii）设，求证：.
【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件，
依题意，，，，
则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率；
记第二天选择路线散步的人数为，则，
则，，
，，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
故的数学期望．
（2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率；
当第天选择路线时，第天选择路线的概率，
所以.
（ii）由（i）知，则，而，
于是数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，即，，
当时，，而，
所以；
当时，，而，
所以，
所以.
18．（17分）
若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线．
(1)当时，求函数与在公共点处的切线方程；
(2)求的最小值；
(3)求证：当时，．
【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点
，，切点
与在公共点处的切线方程为．
（2）设为与的一个公共点，
，由，代入①，
，
令
当时，在区间单调递增；
当时，在单调递减，当时，，，
当且仅当时取“”，．
（3）由（2）知，
证：时，，
即证：对恒成立
令，
当时，在上单调递减；当时，在单调递增,
当时，，故函数在时取最小值，
，证毕！
19．（17分）
双曲线，射线和射线分别与交于点和点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)作射线（异于与分别交于点，记的面积为．
①求证：；
②若，且，记，证明：．
【详解】（1）双曲线，
双曲线的离心率.
（2）①证明：由题意将与双曲线联立，，
化简得，，
，
同理将与双曲线联立，，同理可得，
同理
，，．
从而可证．
②由（1）可知，当时，且，
直线方程为：，且，
则到的距离，
，
令，则，
令，解得，
当时，单调递增；当时，单调递增，
，，
又因为时，，
．
从而可证．

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