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第10章 二元一次方程组的应用【十三大题型】
【苏科版2024】
【题型1 行程问题】 2
【题型2 工程问题】 2
【题型3 数字问题】 3
【题型4 年龄问题】 4
【题型5 分配问题】 5
【题型6 方案问题】 5
【题型7 销售、利润问题】 6
【题型8 和差倍分问题】 8
【题型9 图表信息问题】 9
【题型10 古代问题】 10
【题型11 几何问题】 11
【题型12 开放型问题】 12
【题型13 其他问题】 13
知识点：二元一次方程组的应用
【易错点剖析】
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【题型1 行程问题】
【例1】（23-24七年级·广西来宾·期中）某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为，超过的部分按每另行收费．小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了，付车费元．”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了，付车费元．”
(1)出租车的起步价是多少元？超过公里后每收费多少元？
(2)小明乘出租车从学校到汽车站走了，应付车费多少元？
【变式1-1】（23-24七年级·四川资阳·期中）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离．
【变式1-2】（23-24七年级·河南南阳·期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？
【变式1-3】（23-24七年级·山东泰安·期中）甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？
【题型2 工程问题】
【例2】（23-24七年级·吉林长春·期中）伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______；
(2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程．
【变式2-1】（2024七年级·全国·专题练习）一项工程，甲队独做需12天完成，乙队独做需15天完成，丙队独做需20天完成．按原计划，这项工程要在7天内完成，现在甲、乙两队先合作若干天，以后为加快进度，丙队同时加入这项工作，这样比原计划提前一天完成，求甲、乙两队先合作了多少天．
【变式2-2】（23-24七年级·广东梅州·期中）为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？
【变式2-3】（23-24七年级·河北邯郸·期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成．
(1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______．
(2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数．
【题型3 数字问题】
【例3】（23-24七年级·全国·课后作业）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
【变式3-1】（23-24七年级·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数．
【变式3-2】（23-24七年级·江西南昌·期末）《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．

【变式3-3】（23-24七年级·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方．
492357816
图1 02a
图2 m82016n
图3
图4
(1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______．
(2)如图3，则______．
(3)如图4，直接写出图中y的值是______．
【题型4 年龄问题】
【例4】（23-24七年级·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【变式4-1】（2024七年级·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【变式4-2】（23-24七年级·湖南常德·期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁．
【变式4-3】（23-24七年级·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【题型5 分配问题】
【例5】（23-24七年级·广东汕头·期末）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？
【变式5-1】（23-24七年级·河南南阳·期末）某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？
【变式5-2】（23-24七年级·广西贺州·期末）某校预计安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，求该校七年级男寄宿生有多少人？预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有多少间？
【变式5-3】（23-24七年级·山东威海·期末）某工厂生产两种产品，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，现要生产46件产品，26件产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？
【题型6 方案问题】
【例6】（23-24七年级·四川巴中·期中）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案．
【变式6-1】（23-24七年级·江西吉安·期末）春节快到了，学校“慈善小组”计划筹集善款购买面包，到福利院送给老人，已知购买2箱豆沙口味面包和2箱大枣口味面包共需110元；购买3箱豆沙口味面包和1箱大枣口味面包共需105元．
(1)求豆沙口味面包和大枣口味面包每箱的单价；
(2)若该小组计划用375元经费购买两种蛋糕且每种蛋糕最少1箱，经费恰好用完，共有几种购买方案；
【变式6-2】（23-24七年级·山东济宁·期末）某品牌推出西游记人偶摆件一上市就深受人们喜爱．已知3个A型摆件和4个B型摆件共需470元；2个A 型摆件和3个B 型摆件共需340元．
(1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元；
(2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买A型、B型两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件价格进行调整，其中A型摆件售价上涨，B型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？
【变式6-3】（23-24七年级·辽宁大连·期末）北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元．
(1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案．
【题型7 销售、利润问题】
【例7】（23-24七年级·江苏苏州·开学考试）今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元．
甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示：
一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分
折扣数 打九折 打八五折
乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金．
出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元
返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元
(1)求11月份两种取暖器各购进多少台？
(2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？
(3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？
【变式7-1】（23-24七年级·全国·单元测试）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A、B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元、求种植A、B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？
【变式7-2】（23-24七年级·福建厦门·期末）当季是西瓜成熟的季节，西瓜也具有解暑的作用，市场上西瓜的销量也与日俱增，某西瓜种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1000斤的麒麟瓜、黑美人西瓜这两个品种的西瓜进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：麒麟瓜每筐8斤，售价200元；黑美人西瓜每筐18斤，售价360元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜（筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐）．
(1)若这批西瓜全部售完，共收入21400元，请问麒麟瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐；
(2)当销售总收入为22840元时，若西瓜种植大户留下y（）筐麒麟瓜送人，其余的西瓜全部售出，求y的值．
【变式7-3】（23-24七年级·内蒙古乌兰察布·期末）近期，坐落于乌兰察布市高铁站南侧特莫沁路的“乌兰察布之夜”火爆出圈，景区内某内蒙古特色奶食品超市购进A、B两种奶食品销售，其中两种奶食品的进价、售价如下表：
类型 进价（元/袋） 售价（元/袋）
A种奶食品 20 30
B种奶食品 30 45
(1)该超市在5月份购进A、B两种奶食品共90袋，进货款恰好为2200元．
①求这两种奶食品各购进多少袋？
②据5月份的销售统计，两种奶食品的销售总额为1200元，求该超市5月份已售出奶食品的进货款为多少元？
(2)为刺激销量，超市决定在同时购进A、B两种奶食品且进货款仍为2200元的情况下，6月份增加购进C种奶食品作为赠品，进价为每袋10元，并推出了“买3袋A种奶食品送1袋C种奶食品，买3袋B种奶食品送2袋C种奶食品”的促销方案．若6月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种奶食品各多少袋？
【题型8 和差倍分问题】
【例8】（23-24七年级·陕西汉中·期末）某文具专卖店出售甲、乙两种自动铅笔，已知该店进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元．
(1)请分别求出甲、乙两种自动铅笔的进价；
(2)已知专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，小静在该专卖店购买甲种自动铅笔m（m≥0）支、乙种自动铅笔n（n≥0）支，共花费24元，小静有几种购买方案？
【变式8-1】（23-24七年级·上海宝山·期末）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？
【变式8-2】（23-24七年级·上海普陀·期末）甲仓库存粮比乙仓库存粮少5吨，现从甲仓库运出存粮30吨，从乙仓库运出存粮的40%，这时乙仓库所余粮食是甲仓库所余粮食的2倍，问甲、乙两仓库原各存粮多少吨？
【变式8-3】（23-24七年级·安徽六安·期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元．
(1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？
(2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？
【题型9 图表信息问题】
【例9】（23-24七年级·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示：
请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【变式9-1】（23-24七年级·河南濮阳·阶段练习）周末小明和妈妈外出共消费了元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干元，每瓶矿泉水元，那么他们买了______包饼干、______瓶矿泉水（ ）
项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水
支出金额单位：元
A．， B．， C．， D．，
【变式9-2】（23-24七年级·河北邢台·期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（ ）

A． B． C． D．
【变式9-3】（23-24七年级·全国·假期作业）在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图，那么小明的得分是多少？请写出解答过程．
【题型10 古代问题】
【例10】（2024·贵州遵义·模拟预测）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹（算筹是中国古代用来计数、列式和进行演算的一种工具）来记录的．在算筹计数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式，《九章算术》中的算筹图是坚排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（23-24七年级·陕西汉中·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗 六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？（列二元一次方程组解答）
【变式10-2】（2024·浙江金华·一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 里/小时．
【变式10-3】（23-24七年级·湖南邵阳·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人．
(1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
【题型11 几何问题】
【例11】（23-24七年级·山西吕梁·期末）综合与实践：设计制作纸盒方案
素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形．
素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料．
②制作纸盒后没有剩余材料．
（1）问题解决：为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个．
问题一：初探材料用量，请完善下表：
纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数）
m个横式无盖纸盒
n个竖式无盖纸盒 n
问题二：再探关系，请完善下表：
需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计
300
问题三：写出m，n之间满足的关系式： ；
（2）方案选择：用这300张纸板制作两种纸盒，并且材料没有剩余，得到的横式无盖纸盒的数量能否为竖式无盖纸盒数量的二倍，请你做出判断，写出详细的解答过程．
【变式11-1】（23-24七年级·山东济南·期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是 ．
【变式11-2】（23-24七年级·福建厦门·期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，则 ．
【变式11-3】（23-24七年级·浙江温州·期末）如图1，一个饮料瓶子的上半部分为圆柱，下半部分为长方体，如图2，瓶内装着一些饮料，当瓶子倒放时，液面的高度为 17cm，当瓶子正放时液面的高度为 14cm．如图3，现将瓶内一部分饮料倒满一杯 120ml的杯子，瓶子内剩余的饮料高 8cm，则该瓶子的容积为 ．
【题型12 开放型问题】
【例12】（23-24七年级·江苏南通·期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
【变式12-1】（23-24七年级·湖南邵阳·期末）小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min．
(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前路段小华步行所用时间是多少min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．
(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．
【变式12-2】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息：
（1）请设计一张表格，并把上述信息中的已知数量填进去；
（2）根据情境中的信息，提出一个问题，并用二元一次方程组解决这个问题．
【变式12-3】（23-24七年级·湖北十堰·期末）商场打折前，买1件A商品和1件B商品用了20元，买30件A商品和40件B商品用了680元．打折后，买100件A商品100件B商品用了1800元．请根据上述信息解决下列问题：
（1）打折前A、B两种商品的单价分别是多少？
（2）请在（1）的基础上提出一个能使题目剩余条件解决的问题，并加以解决．
【题型13 其他问题】
【例13】（23-24七年级·重庆·开学考试）在篮球比赛中，小明一共投了20个球，命中率为，总共得了32分．小刚投20个球得了17分．（小明、小刚均无罚球）
(1)小明各投进几个三分球和几个二分球？
(2)小刚可能的投篮情况是命中几个三分球，几个二分球？
【变式13-1】（23-24七年级·浙江金华·开学考试）某中学新建了一栋4层的教学楼，每层楼有8间教室，共有4道门可进出这栋大楼，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟内可以通过140名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过400名学生．
(1)平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在10分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．
【变式13-2】（23-24七年级·甘肃酒泉·期末）仅仅19个月，大学城创造了惊人的“广州速度”．2022年有了它，名牌高校A面向广东招生人数比2021年增加，名牌高校B面向广东招生人数比2021年增加；仅这两所名牌高校面向广东招生总人数就从2021年的5000人增加到2022年的7900人．
(1)设名牌高校A和名牌高校B在2021年面向广东招生的人数分别为x人、y人，则名牌高校A和名牌高校B在2022年面向广东招生的人数分别为__________人、__________人；（用x、y表示）
(2)求这两所名牌高校2022年面向广东招生的人数分别是多少？
【变式13-3】（23-24七年级·广西南宁·开学考试）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失．
(1)①甲同学用空杯先接了温水，温水的体积是 ；再接了开水，若混合后的水温为，则温水温度升高了 （用含有t的式子表示）．
②根据题目条件求出温水和开水混合后的温度t．
(2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间．
答案与解析
【苏科版2024】
【题型1 行程问题】 2
【题型2 工程问题】 4
【题型3 数字问题】 7
【题型4 年龄问题】 10
【题型5 分配问题】 13
【题型6 方案问题】 14
【题型7 销售、利润问题】 18
【题型8 和差倍分问题】 23
【题型9 图表信息问题】 26
【题型10 古代问题】 28
【题型11 几何问题】 31
【题型12 开放型问题】 35
【题型13 其他问题】 38
知识点：二元一次方程组的应用
【易错点剖析】
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【题型1 行程问题】
【例1】（23-24七年级·广西来宾·期中）某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为，超过的部分按每另行收费．小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了，付车费元．”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了，付车费元．”
(1)出租车的起步价是多少元？超过公里后每收费多少元？
(2)小明乘出租车从学校到汽车站走了，应付车费多少元？
【答案】(1)起步价为3元，超过3千米后每千米1.5元
(2)付费11.25元
【分析】（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元．根据他们的对话列出方程组并解答；
（2）8.5千米分两段收费：3千米、千米．根据（1）中的单价进行计算．
本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
【详解】（1）解：设出租车的起步价是元，超过千米后每千米收费元．
依题意得，，
解得．
答：出租车的起步价是元，超过千米后每千米收费元；
（2）解：（元）．
答：小明乘出租车从学校到汽车站走了，应付车费元．
【变式1-1】（23-24七年级·四川资阳·期中）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离．
【答案】甲、乙两地的距离为9千米．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解， 最后把两断路程相加即可．
【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
根据题意，得，
解得：，
∴，
∴甲、乙两地的距离为9千米．
【变式1-2】（23-24七年级·河南南阳·期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？
【答案】(1)甲每小时行4千米，乙每小时行5千米
(2)10分钟或30分钟
【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：20分钟×甲的速度+20分钟×乙的速度=3千米，3千米-30分钟×甲的速度=（3千米-30分钟×乙的速度）×2，依此列出方程求解即可，注意单位换算；
（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．
【详解】（1）解：设甲每小时行千米．
乙每小时行千米．
依题意：
解方程组得
答：甲每小时行4千米，乙每小时行5千米．
（2）相遇前：（3-1.5）÷（+）
=1.5÷
=10（分钟），
相遇后：（3+1.5）÷（+）
=4.5÷
=30（分钟）．
故在他们出发后10分钟或30分钟两人相距1.5千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．
【变式1-3】（23-24七年级·山东泰安·期中）甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？
【答案】他们至少需要6.75小时才能到达．
【分析】根据题意可让甲班学生从学校4乘汽车 出发至某处下车步行，汽车空车返回至某处，乙班同学此处上车，此处距离学校 ，根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学及步行的时间，甲班步行时间=汽车接乙班返回时间+乙班坐车时间列出两个方程，求方程组的解即可，然后根据时间即可得他们至少需要多少时间才能到达．
【详解】解：设甲班学生从学校乘汽车出发至处下车步行，乘车 ，空车返回至处，乙班同学于处上车，此时已步行了 ．
则
解得，．
则至少需要（小时）．
答：他们至少需要6.75小时才能到达．
【点睛】本题考查了二元一次方程组在路程问题中的应用，熟知路程问题的相关公式是解题的关键．
【题型2 工程问题】
【例2】（23-24七年级·吉林长春·期中）伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______；
(2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次方程的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和方程组．
（1）根据题意，可以列出方程，本题得以解决；
（2）根据题意，可以列出方程组，然后求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
故答案为：；
（2）解：由题意可得：，
解得，
答：甲、乙两个工程队分别整治河道75米、150米．
【变式2-1】（2024七年级·全国·专题练习）一项工程，甲队独做需12天完成，乙队独做需15天完成，丙队独做需20天完成．按原计划，这项工程要在7天内完成，现在甲、乙两队先合作若干天，以后为加快进度，丙队同时加入这项工作，这样比原计划提前一天完成，求甲、乙两队先合作了多少天．
【答案】甲、乙两队先合作了4天
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲、乙先合作做了天，丙队加入后又做了天，根据题意列出二元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设甲、乙先合作做了天，丙队加入后又做了天．根据题意，得
解得
答：甲、乙两队先合作了4天．
【变式2-2】（23-24七年级·广东梅州·期中）为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？
【答案】一班有个同学，领到有棵树苗；
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设一班有x个同学，领到有y棵树苗，根据数量列方程求解即可得到答案；
【详解】解：设一班有x个同学，领到有y棵树苗，由题意得，
，
解得，
答：一班有个同学，领到有棵树苗．
【变式2-3】（23-24七年级·河北邯郸·期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成．
(1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______．
(2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数．
【答案】(1)
(2)甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩．
【分析】（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组即可；
（2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组，再解方程组即可；
【详解】（1）解：设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，则
，
（2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，则
，整理得：，
解得：，
答：甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
【题型3 数字问题】
【例3】（23-24七年级·全国·课后作业）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5
(2)第一次他们拼成的两位数为45
(3)第二次拼成的两位数是54
【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y．
第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为．
根据题意得：
，
由②，得：③，
得：．
把代入①得：，
∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．
（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，
所以第一次他们拼成的两位数为45．
（3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是，
所以第二次拼成的两位数是54．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．
【变式3-1】（23-24七年级·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数．
【答案】甲数是24，乙数是12
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲数为x，乙数为y，然后根据把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y，
根据题意，得
解得
答：甲数是24，乙数是12．
【变式3-2】（23-24七年级·江西南昌·期末）《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．

【答案】外圆和内圆空白处数字依次为2和9
【分析】设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设外圆空白处的数字为x，内圆空白处的数字为y，
则，整理得：
解得
答：外圆和内圆空白处数字依次为2和9．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式3-3】（23-24七年级·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方．
492357816
图1 02a
图2 m82016n
图3
图4
(1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______．
(2)如图3，则______．
(3)如图4，直接写出图中y的值是______．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t，分别用含有t的式子表示每一空格的数，再根据第三行的和等于第二行的和列方程求解即可；
（2）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组求得m、n的值，即可求解；
（3）根据第一行的和等于第三列的和可得关于x的一元二次方程，求得x的值，再根据第二行的和与对角线的和相等即可求解．
【详解】（1）解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t，
则每一空格如图所示，
0 2
3 a
∴，
∴，，
故答案为：；
（2）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴最左下角的数为：，
∴最中间的数为：或，
∴最右下角的数为：或，
∴，
解得，
∴，
故答案为：4；
（3）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴，
整理得，，
∵，
整理得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系列方程是解题的关键．
【题型4 年龄问题】
【例4】（23-24七年级·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2）（年）
（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
【变式4-1】（2024七年级·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【答案】大头儿子现在的年龄为10岁
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．
【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：，
解得：，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
【变式4-2】（23-24七年级·湖南常德·期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁．
【答案】29
【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄 学生今年的年龄=学生今年的年龄；老师42岁 老师今年的年龄=老师今年的年龄 学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答．
【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，
由题意得：，
解得：，
故数学老师今年的年龄是29岁，
故答案为：29．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【变式4-3】（23-24七年级·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得
解得
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
【题型5 分配问题】
【例5】（23-24七年级·广东汕头·期末）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？
【答案】用钢材制作A部件，制作B部件，恰好配成这种仪器160套
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系、列方程组是解题的关键．
设应用钢材做A部件，钢材做B部件，再根据等量关系“共有钢材”和“一个A部件和三个B部件刚好配成套”列方程组求解即可．
【详解】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件，由题意得，
，解得：，
刚好配成：（套）．
答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，刚好配成160套．
【变式5-1】（23-24七年级·河南南阳·期末）某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？
【答案】安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，根据生产车间有18名工人，每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，由题意，得：
，
解得：；
答：安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名．
【变式5-2】（23-24七年级·广西贺州·期末）某校预计安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，求该校七年级男寄宿生有多少人？预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有多少间？
【答案】该校七年级男寄宿生有394人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有65间
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该校七年级男寄宿生有x人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间，根据“若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设该校七年级男寄宿生有x人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间，
根据题意得：，
解得：．
答：该校七年级男寄宿生有394人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有65间．
【变式5-3】（23-24七年级·山东威海·期末）某工厂生产两种产品，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，现要生产46件产品，26件产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？
【答案】需甲种钢板10块，乙种钢板8块．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设需甲种钢板x块，乙种钢板y块，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，根据要生产46件产品，26件产品，据此列出二元一次方程组，解出甲、乙两种钢板的数量即可．
【详解】解：设需甲种钢板x块，乙种钢板y块，
根据题意得
解得，
∴需甲种钢板10块，乙种钢板8块．
【题型6 方案问题】
【例6】（23-24七年级·四川巴中·期中）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案．
【答案】(1)1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨
(2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
【分析】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）由“现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合a、b均为非负整数，即可得出各租车方案．
【详解】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，
由题意得： ，
解得：，
答：1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨；
（2）由题意得：，
∴，
又∵a、b均为非负整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【变式6-1】（23-24七年级·江西吉安·期末）春节快到了，学校“慈善小组”计划筹集善款购买面包，到福利院送给老人，已知购买2箱豆沙口味面包和2箱大枣口味面包共需110元；购买3箱豆沙口味面包和1箱大枣口味面包共需105元．
(1)求豆沙口味面包和大枣口味面包每箱的单价；
(2)若该小组计划用375元经费购买两种蛋糕且每种蛋糕最少1箱，经费恰好用完，共有几种购买方案；
【答案】(1)豆沙粽子、大枣粽子每箱的单价为25元，30元．
(2)共有2种购买方案
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解本题要弄懂题意，找出题中的关系式，
（1）设豆沙粽子、大枣粽子每箱的价格分别为元，元．根据等量关系列方程即可．
（2）根据计划用375元经费购买两种粽子，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】（1）设豆沙粽子、大枣粽子每箱的价格分别为元，元，
得：，
解得：，
答：豆沙粽子、大枣粽子每箱的单价为25元，30元．
（2）设购买豆沙粽子箱、大枣粽子箱，
根据题意，有．整理，得，
，均为正整数，
可取5或10．
共有2种购买方案．
【变式6-2】（23-24七年级·山东济宁·期末）某品牌推出西游记人偶摆件一上市就深受人们喜爱．已知3个A型摆件和4个B型摆件共需470元；2个A 型摆件和3个B 型摆件共需340元．
(1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元；
(2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买A型、B型两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件价格进行调整，其中A型摆件售价上涨，B型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？
【答案】(1)A型摆件售价50元一个，B型摆件售价80元一个
(2)购买方案为有两种：第一种：购买A型摆件16个，B型摆件6个；第二种：购买A型摆件8个，B型摆件13个．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、求解二元一次方程的正整数解的知识，明确题意列出二元一次方程组是解答本题的关键．
（1）设A型摆件售价x元一个，B型摆件售价y元一个，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设购买A型摆件a个，B型摆件b个，a、b均为正整数，根据题意有等式，即有，根据a、b均为正整数，即可作答．
【详解】（1）解：设A型摆件售价x元一个，B型摆件售价y元一个，
根据题意有：，
解得：，
答：A型摆件售价50元一个，B型摆件售价80元一个；
（2）解：设购买A型摆件a个，B型摆件b个，根据题意可知a、b均为正整数，
根据题意有等式：，
整理得：，
即：，
∵a、b均为正整数，
∴一定是7的倍数，
∴b可以为6和13，
∴相应的a可以为16和8，
故购买方案为有两种：第一种：购买A型摆件16个，B型摆件6个；第二种：购买A型摆件8个，B型摆件13个．
【变式6-3】（23-24七年级·辽宁大连·期末）北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元．
(1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案．
【答案】(1)A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元；
(2)①购进8件A型飞船模型和2 件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型
【分析】（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可；
（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型， 根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案；
【详解】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意，得 ，
解得 ，
即A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元；
（2）解：设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，得
，
则，
∵a，b均为正整数，
∴当时，；
当时，；
当时，，
故所有购买方案如下：①购进8件A型飞船模型和2 件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，有理数四则混合计算的实际应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．
【题型7 销售、利润问题】
【例7】（23-24七年级·江苏苏州·开学考试）今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元．
甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示：
一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分
折扣数 打九折 打八五折
乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金．
出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元
返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元
(1)求11月份两种取暖器各购进多少台？
(2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？
(3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？
【答案】(1)长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台
(2)元
(3)节约元或元
【分析】（1）长虹取暖器和格力取暖器的总量是，两种日光灯的总价是，可得方程组，即可得解；
（2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元根据题意可得：长虹取暖器销售额格力取暖器销售额总销售额，根据等量关系列出等式即可；
（3）通过已知条件计算出乙生产厂家一次性购买的总支出，然后，在甲乙两家购买总支出-乙生产厂家一次性购买的总支出节约金额，注意分类讨论，在乙厂家支付的元的原价是否小于元．
【详解】（1）解：设长虹取暖器购进x台，则格力取暖器购进y台．
由题意得：，
解得：
答：长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台．
（2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：
解得：，
答：长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多元．
（3）当购买甲厂家台，共支付．
设在甲厂家购买了z台，则．
解得：．
若在乙厂家支付的元的原价小于元，
则可节约元．
若在乙厂家支付的元的原价大于元，
则可节约元．
答：商场可节约元或元．
【点睛】本题主要是考查二元一次方程组的应用，在应用中结合实际情况考虑物品的损耗和最终利润问题，切记：单价数量总价，(售价进价数量利润，利用公式解决问题．
【变式7-1】（23-24七年级·全国·单元测试）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A、B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元、求种植A、B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？
【答案】种植种蔬菜每亩收入0.4万元，种蔬菜每亩收入0.6万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案．
【详解】设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元，
根据题意得：，
解得：，
答：种植种蔬菜每亩收入0.4万元，种蔬菜每亩收入0.6万元．
【变式7-2】（23-24七年级·福建厦门·期末）当季是西瓜成熟的季节，西瓜也具有解暑的作用，市场上西瓜的销量也与日俱增，某西瓜种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1000斤的麒麟瓜、黑美人西瓜这两个品种的西瓜进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：麒麟瓜每筐8斤，售价200元；黑美人西瓜每筐18斤，售价360元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜（筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐）．
(1)若这批西瓜全部售完，共收入21400元，请问麒麟瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐；
(2)当销售总收入为22840元时，若西瓜种植大户留下y（）筐麒麟瓜送人，其余的西瓜全部售出，求y的值．
【答案】(1)麒麟瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐
(2)9
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用：
（1）设麒麟瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐，根据“用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜，且全部售出后共收入21400元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设麒麟瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了筐，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，均为正整数，即可求出结论．
【详解】（1）解：设麒麟瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐，
根据题意得：，
解得：．
答：麒麟瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐；
（2）设麒麟瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了筐，
根据题意得：，
∴．
又∵x，y，均为正整数，
∴．
答：y的值为9．
【变式7-3】（23-24七年级·内蒙古乌兰察布·期末）近期，坐落于乌兰察布市高铁站南侧特莫沁路的“乌兰察布之夜”火爆出圈，景区内某内蒙古特色奶食品超市购进A、B两种奶食品销售，其中两种奶食品的进价、售价如下表：
类型 进价（元/袋） 售价（元/袋）
A种奶食品 20 30
B种奶食品 30 45
(1)该超市在5月份购进A、B两种奶食品共90袋，进货款恰好为2200元．
①求这两种奶食品各购进多少袋？
②据5月份的销售统计，两种奶食品的销售总额为1200元，求该超市5月份已售出奶食品的进货款为多少元？
(2)为刺激销量，超市决定在同时购进A、B两种奶食品且进货款仍为2200元的情况下，6月份增加购进C种奶食品作为赠品，进价为每袋10元，并推出了“买3袋A种奶食品送1袋C种奶食品，买3袋B种奶食品送2袋C种奶食品”的促销方案．若6月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种奶食品各多少袋？
【答案】(1)①A种奶食品购进50袋，B种奶食品购进40袋；②该超市5月份已售出奶食品的进货款为800元
(2)购进A种奶食品33袋，B种奶食品39袋，C种奶食品37袋或购进A种奶食品66袋，B种奶食品18袋，C种奶食品34袋
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键．
（1）①设A种奶食品购进x袋，B种奶食品购进y袋，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可，
②设5月份售出A种奶食品m袋，B种奶食品n袋．根据题意有，化简得，则．
（2）设6月份该超市购进A种奶食品a袋，B种奶食品b袋，则购进C种奶食品袋，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合a，b均为正整数，即可得出各进货方案．
【详解】（1）解：①设A种奶食品购进x袋，B种奶食品购进y袋．
依题意，得
解得
答：A种奶食品购进50袋，B种奶食品购进40袋．
②设5月份售出A种奶食品m袋，B种奶食品n袋．
依题意，得，
化简得，
∴．
答：该超市5月份已售出奶食品的进货款为800元．
（2）设6月份该超市购进A种奶食品a袋，B种奶食品b袋，则购进C种奶食品袋．
依题意，得，
化简，得，所以．
又因为a，b，均为正整数，
所以a既是3的整数倍，又是11的整数倍，b是3的整数倍，
所以或
当，时，；
当，时，．
答：购进A种奶食品33袋，B种奶食品39袋，C种奶食品37袋或购进A种奶食品66袋，B种奶食品18袋，C种奶食品34袋．
【题型8 和差倍分问题】
【例8】（23-24七年级·陕西汉中·期末）某文具专卖店出售甲、乙两种自动铅笔，已知该店进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元．
(1)请分别求出甲、乙两种自动铅笔的进价；
(2)已知专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，小静在该专卖店购买甲种自动铅笔m（m≥0）支、乙种自动铅笔n（n≥0）支，共花费24元，小静有几种购买方案？
【答案】(1)甲、乙两种自动铅笔的进价分别为3元，5元
(2)小静一共有三种购买方案
【分析】（1）设甲、乙两种自动铅笔的进价分别为x元，y元，然后根据进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元，列出方程组求解即可；
（2）先求出甲、乙两种自动铅笔新的售价分别为4元、6元，即可推出，再由m、n都是自然数，进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两种自动铅笔的进价分别为x元，y元，
由题意得：，
解得，
∴甲、乙两种自动铅笔的进价分别为3元，5元，
答：甲、乙两种自动铅笔的进价分别为3元，5元；
（2）解：∵专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，
∴甲、乙两种自动铅笔新的售价分别为4元、6元，
∴，
∴即，
∵m、n都是自然数，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴小静一共有三种购买方案，
答：小静一共有三种购买方案．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程（组）求解．
【变式8-1】（23-24七年级·上海宝山·期末）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？
【答案】男生人、女生人
【分析】设该兴趣小组有男生人、女生人，根据题意的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案．
【详解】解：设该兴趣小组有男生人、女生人，
根据题意得：解这个方程组得：
经检验符合实际，
答：该兴趣小组有男生人、女生人．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是仔细审题，得出方程组．
【变式8-2】（23-24七年级·上海普陀·期末）甲仓库存粮比乙仓库存粮少5吨，现从甲仓库运出存粮30吨，从乙仓库运出存粮的40%，这时乙仓库所余粮食是甲仓库所余粮食的2倍，问甲、乙两仓库原各存粮多少吨？
【答案】甲仓库原来存粮45吨，乙仓库原来存粮50吨
【分析】设甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨，由题意：甲仓库存粮比乙仓库存粮少5吨，从甲仓库运出存粮30吨，从乙仓库运出存粮的，这时乙仓库所余粮食是甲仓库所余粮食的2倍，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨，
由题意得：，
解得：，
答：甲仓库原来存粮45吨，乙仓库原来存粮50吨．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出二元一次方程组．
【变式8-3】（23-24七年级·安徽六安·期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元．
(1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？
(2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？
【答案】(1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元
(2)在网店B购买更省钱
【分析】（1）设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元，再根据两种资料单价和为200元列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求结合所给的折扣分别计算出两个网店的花费即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元
（2）解：网店A的花费为元，
网店B的花费为元，
∵，
∴在网店B购买更省钱．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求出两种资料的单价是解题的关键．
【题型9 图表信息问题】
【例9】（23-24七年级·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示：
请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，
由题意得，
解得，
则（元），（元），
答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元．
【变式9-1】（23-24七年级·河南濮阳·阶段练习）周末小明和妈妈外出共消费了元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干元，每瓶矿泉水元，那么他们买了______包饼干、______瓶矿泉水（ ）
项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水
支出金额单位：元
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】设他们买了包饼干，瓶矿泉水，利用，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均数正整数，即可出结论．
【详解】解：设他们买了包饼干，瓶矿泉水，
根据题意得：，
又，均为正整数，
，
他们买了包饼干，瓶矿泉水．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式9-2】（23-24七年级·河北邢台·期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量克．根据这两个等量关系式可列一个方程组，进行求解即可．
【详解】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克．
由题意列方程组得：，
解方程组得：．
即：每块巧克力的质量是20克．
故选：B．
【点睛】题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程组是关键．
【变式9-3】（23-24七年级·全国·假期作业）在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图，那么小明的得分是多少？请写出解答过程．
【答案】76分
【分析】设掷中A区得x分，掷中B区得y分，根据小华和小芳的得分列出二元一次方程组，再通过变形直接得到小明的得分．
【详解】解：设掷中A区得x分，掷中B区得y分，
依题意，得，
，得．
答：小明的得分为76分．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际问题，解决此题的关键是读懂题目，理清数量之间的关系．
【题型10 古代问题】
【例10】（2024·贵州遵义·模拟预测）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹（算筹是中国古代用来计数、列式和进行演算的一种工具）来记录的．在算筹计数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式，《九章算术》中的算筹图是坚排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据图1和其方程组判断出图形所表示的数字是关键，根据图1和其方程组判断出“”表示1，“”表示10，“”上面一横表示5，列出图2所示方程求解，即可解题．
【详解】
解：由题知，“”表示1，“”表示10，“”上面一横表示5，把图2所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是，
，
图2所表示的方程组中的值为3，
将代入中，有，解得，
将，代入中，有，解得，
被墨水所覆盖的图形为：．
故选：C．
【变式10-1】（23-24七年级·陕西汉中·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗 六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？（列二元一次方程组解答）
【答案】甲有羊63只，乙有羊45只
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍可得方程；根据甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同可得方程，据此列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲有羊x只，乙有羊y只，
根据题意，得
解得，
答：甲有羊63只，乙有羊45只．
【变式10-2】（2024·浙江金华·一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 里/小时．
【答案】60
【分析】设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】戴宗顺风行走的速度为：（里/小时），
戴宗逆风行走的速度为：（里/小时），
设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，
由题意得：
解得：
∴设戴宗的速度为60里/小时，
答：戴宗的速度为60里/小时．
故答案为：60．
【点睛】本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系．
【变式10-3】（23-24七年级·湖南邵阳·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人．
(1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
【答案】(1)该店有客房间，房客有人；
(2)应选择一次性定客房间更合算．
【分析】（）设该店有客房间，房客有人，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；
（）分别求出每间客房住人，定客房间需付的房费与一次性定客房间需付的房费，比较即可判断求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人，
由题意得，，
解得，
答：该店有客房间，房客有人；
（2）解：若每间客房住人，则需要定客房间，需付房费元，
若一次性定客房间，需付房费元，
∵，
∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性定客房间更合算．
【题型11 几何问题】
【例11】（23-24七年级·山西吕梁·期末）综合与实践：设计制作纸盒方案
素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形．
素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料．
②制作纸盒后没有剩余材料．
（1）问题解决：为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个．
问题一：初探材料用量，请完善下表：
纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数）
m个横式无盖纸盒
n个竖式无盖纸盒 n
问题二：再探关系，请完善下表：
需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计
300
问题三：写出m，n之间满足的关系式： ；
（2）方案选择：用这300张纸板制作两种纸盒，并且材料没有剩余，得到的横式无盖纸盒的数量能否为竖式无盖纸盒数量的二倍，请你做出判断，写出详细的解答过程．
【答案】（1）问题一：见表格；问题二：见表格；问题三： 300；（2）不能，理由见解析；
【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用；
（1）问题1：根据横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形，列出代数式即可．
问题2：根据横式无盖纸盒与竖式无盖纸盒所需，和1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，列出代数式即可．
问题3：根据纸板总用量为300张，得到m，n之间满足的关系式；
（2）假设能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍，再根据（1）中问题3得到的二元一次方程，列出二元一次方程组，根据解的情况即可作出判断．
【详解】（1）问题一：初探材料用量，请完善下表：
纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数）
m个横式无盖纸盒
n个竖式无盖纸盒 n
问题二：再探关系，请完善下表：
需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计
300
问题三：；
（2）解：不能
假设能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍，
则可得方程组：，
解得，
为纸盒的数量，
为正整数，
∴不符合题意，
∴假设错误．
答：不能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍．
【变式11-1】（23-24七年级·山东济南·期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是 ．
【答案】120厘米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，
根据题意得：，
解得：，
则每个小长方形的周长（厘米），
故答案为：120厘米．
【变式11-2】（23-24七年级·福建厦门·期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为，然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为，
根据图1得：，
根据图2得：，
联立解得，
∴，
则．
故答案为：12．
【变式11-3】（23-24七年级·浙江温州·期末）如图1，一个饮料瓶子的上半部分为圆柱，下半部分为长方体，如图2，瓶内装着一些饮料，当瓶子倒放时，液面的高度为 17cm，当瓶子正放时液面的高度为 14cm．如图3，现将瓶内一部分饮料倒满一杯 120ml的杯子，瓶子内剩余的饮料高 8cm，则该瓶子的容积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查长方体和圆柱的体积公式，等积公式等相关知识，得到 是解题关键.
设长方体的底面积为圆柱的底面积根据题意可知，， 整理得，根据题意可知，解得由此可算出瓶子的容积.
【详解】设长方体的底面积为圆柱的底面积
根据题意可知，，整理得，
根据题意可知，，
解得
∴该瓶子的容积为
故答案为： .
【题型12 开放型问题】
【例12】（23-24七年级·江苏南通·期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨 ( 本题的答案不唯一)，答案：6.5吨.
【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．
【详解】解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨 ( 本题的答案不唯一)
设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．
根据题意,得，
解得.
则x+y=4+2.5=6.5(吨).
答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．
【变式12-1】（23-24七年级·湖南邵阳·期末）小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min．
(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前路段小华步行所用时间是多少min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．
(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．
【答案】(1)3000m，10min
(2)见解析
【分析】（1）设小华家里离学校有x m，前路段小华步行所用时间是y min．根据“用两种方式表示出前路段的路程“、“小华从家里到学校一共用了22min”列出方程组并解答即可；
（2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？利用速度、时间以及路程的关系列出方程组．
【详解】（1）解：设小华家里离学校有m，前路段小华步行所用时间是min． 根据题意得，

解得
答：小华家里离学校有3000m，前路段小华步行所用时间是10min．
（2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？
设小华从家里到学校去上学步行了sm，小华骑自行所用时间是多少tmin，根据题意得，
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
【变式12-2】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息：
（1）请设计一张表格，并把上述信息中的已知数量填进去；
（2）根据情境中的信息，提出一个问题，并用二元一次方程组解决这个问题．
【答案】（1）设计如下表格．见解析；（2）答案不唯一，例如，甲、乙两种商品零售单价分别是多少元？甲商品零售单价是每件2元，乙商品零售单价是每件3元．
【分析】（1）根据题意绘制表格，并把相关数据填入即可；
（2）设甲商品零售单价为x元/件，乙商品零售单价为y元/件，根据题意列二元一次方程组并求解即可．
【详解】解：
（1）可设计如下表格．
销售单价（元/件） 数量（件） 金额（元）
甲商品 3
乙商品 2
合计 5 12
（2）答案不唯一，例如，甲、乙两种商品零售单价分别是多少元？
设甲商品零售单价为元/件，乙商品零售单价为元/件．
根据题意，得，
解得 ；
答：甲商品零售单价是每件2元，乙商品零售单价是每件3元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
【变式12-3】（23-24七年级·湖北十堰·期末）商场打折前，买1件A商品和1件B商品用了20元，买30件A商品和40件B商品用了680元．打折后，买100件A商品100件B商品用了1800元．请根据上述信息解决下列问题：
（1）打折前A、B两种商品的单价分别是多少？
（2）请在（1）的基础上提出一个能使题目剩余条件解决的问题，并加以解决．
【答案】（1）打折前，A商品的单价是12元，B商品的单价是8元；（2）打折后，买100件A商品和100件B商品比打折前节约200元．
【分析】(1)设打折前，A商品的单价是x元，B商品的单价是y元，根据买1件A商品和1件B商品用了20元，买30件A商品和40件B商品用了680元．列方程组可求出x和y；
(2)答案不唯一．设问恰当，解答合理即可．
【详解】解：(1)设打折前，A商品的单价是x元，B商品的单价是y元，依题意有
解得.
答：打折前，A商品的单价是12元，B商品的单价是8元．
(2)答案不唯一．如：打折后，买100件A商品和100件B商品比打折前节约多少钱？
当x＝12，y＝8时，100x+100y﹣1800＝200．
答：打折后，买100件A商品和100件B商品比打折前节约200元．
故答案为(1)打折前，A商品的单价是12元，B商品的单价是8元；(2)打折后，买100件A商品和100件B商品比打折前节约200元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及理解题意的能力，关键是求出每件A商品和B商品的价格，从而可求出解．
【题型13 其他问题】
【例13】（23-24七年级·重庆·开学考试）在篮球比赛中，小明一共投了20个球，命中率为，总共得了32分．小刚投20个球得了17分．（小明、小刚均无罚球）
(1)小明各投进几个三分球和几个二分球？
(2)小刚可能的投篮情况是命中几个三分球，几个二分球？
【答案】(1)8个三分球和4个二分球
(2)1个三分球，7个二分球；或者3个三分球，4个二分球；或者5个三分球，1个二分球
【分析】本题考查方程的实际应用：
（1）设二分球个数为x，则三分球个数为，根据“得了32分”列方程，解方程即可；
（2）设小刚命中a个三分球，b个二分球，则，，令为0到6的整数，根据对应的b的值是否为整数，可判断是否满足条件．
【详解】（1）解：小明投中个数为（个），
设二分球个数为x，则三分球个数为，
，
解得，
即二分球个数为4个，
三分球个数为：（个）．
答：小明投进8个三分球和4个二分球．
（2）解：设小刚命中a个三分球，b个二分球，则，，
当时，，不是自然数，排除；
当时，，符合条件；
当时，，不是自然数，排除；
当时，，符合条件；
当时，，不是自然数，排除；
当时，，不是自然数，排除；
当时，，不符合条件，排除；
答：小刚可能的投篮情况是命中1个三分球，7个二分球；或者3个三分球，4个二分球；或者5个三分球，1个二分球．
【变式13-1】（23-24七年级·浙江金华·开学考试）某中学新建了一栋4层的教学楼，每层楼有8间教室，共有4道门可进出这栋大楼，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟内可以通过140名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过400名学生．
(1)平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在10分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．
【答案】(1)平均每分钟一道正门可以通过60名学生，一道侧门可以通过40名学生
(2)建造的这4道门符合安全规定
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生，根据“同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟内可以通过140名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过400名学生”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用学生总人数每间教室最多的学生数每层教室的间数楼层数可求出这栋大楼最多拥有学生数，再利用10分钟可通过的学生数时间道门每分钟可通过的学生数即可求出10分钟可通过学生数，将二者进行比较后即可得出结论．
【详解】（1）设平均每分钟一道正门可以通过

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