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广东省广州市执信中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·广州期中）9的算术平方根是（　　）
A． ﹣3 B．±3 C．3 D．
2．（2024七下·广州期中）若点的坐标为，则点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024七下·广州期中）已知是二元一次方程ax+y=2的一个解，则a的值为（　　）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
4．（2024七下·广州期中）将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·广州期中）下列各式计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．（2024七下·广州期中）估算的值(　　)
A．在6与7之间 B．在5与6之间 C．在4与5之间 D．在3与4之间
7．（2024七下·广州期中）下列命题中，假命题是（　　）
A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．对顶角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．如果，那么
8．（2024七下·广州期中）“践行垃圾分类 助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我比你多收集了7节废电池.”乙说：“如果你给我9节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”设甲收集了节废电池，乙收集了节废电池，根据题意可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
9．（2024七下·广州期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折党，折痕分别为若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·广州期中）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·广州期中）比较大小：　 　2.(填“>”“<"或“=”).
12．（2024七下·广州期中）若，则　 　.
13．（2024七下·广州期中）如图，将沿平移得到，若，则的长是　 　．
14．（2024七下·广州期中）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则　 　.
15．（2024七下·广州期中）已知点到两坐标轴的距离相等，则a的值为　 　.
16．（2024七下·广州期中）如图，在四边形ABCD中，如果，，是边上一点，平分交边于点E，平分交边于点．以下四个结论中正确的是　 　．(填写序号)
①，
②，
③若，则平分，
④若，则．
17．（2024七下·广州期中）计算
18．（2024七下·广州期中）解列方程组
19．（2024七下·广州期中）填空，完成下列说理过程：
已知：如图，点E，F分别在线段AB，CD上，，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴（______）．
∵（已知），
∴（______）．
∴____________（______）．
∴（______）．
20．（2024七下·广州期中）已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求
（1）该正数是多少？
（2）的算术平方根．
21．（2024七下·广州期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点A平移到点D的位置，B，C点平移后的对应点分别是E，F．
（1）画出平移后的；
（2）连接，则这两条线段之间的关系是______；
（3）的面积为______．
22．（2024七下·广州期中）在平面直角坐标系中，对于点P，给出如下定义：
点P的“第Ⅰ类变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；
点P的“第Ⅱ类变换”：将点P向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．
（1）①点A的坐标为，对点A进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标为　 　；
②点B为平面内一点，若对点B进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点，则对点B进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为　 　；
（2）点C在x轴上，若对点C进行a次“第Ⅰ类变换”，再进行b次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在x轴上，直接用等式表示a与b的数量关系为　 　；
（3）点P的坐标，对点P进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点Q，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
23．（2024七下·广州期中）在平面直角坐标系中，已知，
（1） ， ， ．
（2）如图，点在线段上，线段轴，、P、Q在一条直线上，点从点出发，沿轴正方向平移，若，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，点在四边形内，若，求点Q的坐标．
24．（2024七下·广州期中）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元．
（1）求m和n的值；
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？
25．（2024七下·广州期中）如图，过点作直线分别与直线相交于E、F两点，的角平分线交直线于点，射线交直线于点．设，，其中满足．
（1）____________，____________．
（2）求证：．
（3）过点作直线分别交直线于点，交直线于点，且不与重合，不与重合，作的角平分线交线段于点，探究与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：9的算术平方根是3．故答案为：C．
【分析】一个正数的算术平方根就是其正的平方根，据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：因为点的坐标为，所以符号特征为，故点位于第四象限，
故答案为：D．
【分析】根据象限的符号特征判断即可．
3．【答案】D
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
4．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；同位角的概念
【解析】【解答】解：标出字母，如图
∵AB∥CD，
∴∠2=∠CEM，
∵∠1+90°+∠CEM=180°，
∴∠1+90°+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2=40°，
∴∠1=90°-40°=50°，
故选：C．
【分析】本题考查了平行线的基本性质，由AB∥CD，得到∠2=∠CEM，求得∠1+∠2=90°，结合∠2=40°，求得∠1的度数，得到答案.
5．【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：A. ，故此选项错误不合题意；
B. ，故此选项错误不合题意；
C. ，故此选项正确符合题意；
D. ，故此选项错误不合题意；
故答案为：C．
【分析】根据算术平方根和立方根的定义即可求解.
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：B．
【分析】根据夹逼法进行无理数的估算，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A正确，所以是真命题；
B：B正确，所以是真命题；
C：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，是假命题；
D：D正确，是真命题。
故答案为：C.
【分析】分别判断各选项的正确性，判断命题的真假，得出答案。
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：甲比乙多收集了7节废电池，
；
若甲给乙9节废电池，则乙的废电池数量就是甲的2倍，
．
根据题意可列方程组为．
故答案为：D．
【分析】根据两人收集废电池数量间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组．
9．【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵翻折前后角度不变，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，根据折叠的性质，得到，再由，得到，得到，进而求得的度数，得到答案．
10．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；探索规律-点的坐标规律
11．【答案】>
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
故答案为：>．
【分析】根据立方根的定义可得，再进行比较即可
12．【答案】1.62
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根的变化规律：被开方数小数点每移动两位，则它的算术平方根小数点就向相同方向移动一位即可求解．
13．【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移可得：，
∴．
故答案为：2.
【分析】本题主要考查了平移的性质，以及线段的和差．根据平移的性质，得到，结合，进行计算，即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
①②，得：，
解得：，
把，代入①得：，
解得：，
方程组的解为：，
关于，的二元一次方程组 的解也是二元一次方程的解，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】先用加减消元法求解二元一次方程组，再将方程组得解代入二元一次方程，即可求解的值．
15．【答案】或
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴点的横、纵坐标可能相等也可能互为相反数，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【分析】本题考查了点的坐标，根据到两坐标轴的距离相等，得到点的横、纵坐标可能相等也可能互为相反数，列出方程，求得a的值，即可得到答案.
16．【答案】①③
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的概念
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先化简绝对值、计算平方根、立方根，再计算加减即可求解．
18．【答案】解：，由，得，
由，得，
解得．
把代入①，得，
解得，
∴原方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，加减消元法是指两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，据此求得方程组的解，即可得到答案.
19．【答案】证明：∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；AF；ED；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据直线平行，同位角和内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，反之亦成立，结合推理过程，以及等量代换，即可得到答案.
20．【答案】（1）解：由题意，得：，解得：；∴；
∴该正数是：49；
（2）解：∵b的立方根是，∴；
∴，
∴．
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程，求出的值，将其代入代数式，进行运算，即可得到答案；
（2）根据题意，先求出，将其代入代数式，求出的值，结合算术平方根的求法，即可得到答案．
（1）解：由题意，得：，解得：；
∴；
∴该正数是：49；
（2）解：∵b的立方根是，
∴；
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：如图，即为所作；
（2）平行
（3）
【知识点】三角形的面积；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）由点A和点D的位置，得出平移方式为“向右平移4个格，向上平移1个格”，确定出点B和C点平移后的对应点E和F，顺次连接D，E，F三点，即可得到答案；
（2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行，即可得出；
（3）根据正方形和三角形的面积公式，结合正方形的面积减去3个三角形的面积，列出算式，即可得到答案.
22．【答案】（1）①；②
（2）
（3）解：不存在，理由如下：设经过次“第1类变换”，经过次“第Ⅱ类变换”，使得点恰好在轴上，
点的坐标，对点进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点，点恰好在轴上，
，
，
为非负整数，
不合题意舍去，
不存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上．
【知识点】点的坐标；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）①点的坐标为，
点进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标，
故答案为：；
②点进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点，
点坐标为，
点进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为，
故答案为：；
解：（2）设点，
点进行次“第Ⅰ类变换”，再进行次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在轴上，
，
，
故答案为：；
【分析】
（1）①利用点的“第Ⅰ类变换”的定义，即可求得点进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标，得到答案；
②利用点的“第Ⅰ类变换”的定义，以及点的“第Ⅱ类变换”的定义，求得变换后点的坐标，即可得到答案；
（2）利用点的“第Ⅰ类变换”的定义和点的“第Ⅱ类变换”的定义，列出方程，化简得到，即可求解；
（3）利用点的“第Ⅰ类变换”的定义和点的“第Ⅱ类变换”的定义，列出方程，求得m的值，结合为非负整数，即可得到答案.
（1）解：①点的坐标为，
点进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标，
故答案为：；
②点进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点，
点坐标为，
点进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为，
故答案为：；
（2）设点，
点进行次“第Ⅰ类变换”，再进行次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在轴上，
，
，
故答案为：；
（3）不存在，理由如下：
设经过次“第1类变换”，经过次“第Ⅱ类变换”，使得点恰好在轴上，
点的坐标，对点进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点，点恰好在轴上，
，
，
为非负整数，
不合题意舍去，
不存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上．
23．【答案】（1），，
（2）解：设，
，
，
，
，
，
解得．
点．
（3）解：由（2）得，点，设，
，
，
由，得，，
，
∵，
，
点在四边形的内部，
，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，；
【分析】（1）根据A，B，C的坐标，结合平面直角坐标系中两点间的距离公式，即可求解；
（2）设，得到，结合梯形的面积公式，求得的表达式，结合面积比，列出方程，求得n的值，得出点M的坐标，即可得到答案；
（3）设，求得，由，分别求得，，
，根据，得到，列出关于m的方程，求得m的值，即可得到点Q的坐标.
（1）解：∵，
∴，，；
（2）设，
，
，
，
，
，
解得．
点．
（3）由（2）得，点，
设，
，
，
由，得，，
，
∵，
，
点在四边形的内部，
，
，
．
24．【答案】（1）解：依题意得：，
解得：．
答：m的值为80，n的值为60．
（2）解：依题意得：，∴，
∴．
答：该商场可获利1200元．
（3）解：设该日销售A款足球a个，B款足球b个，依题意得：，
又∵a，b均为正整数，b为3的倍数，
∴或．
答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，列出关于m，n的二元一次方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）利用总价=单价×数量，得出关于x，y的二元一次方程，变形为，将其代入，进行计算，即可得到答案；
（3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，根据总利润=每个足球的销售利润×销售数量，得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．．
25．【答案】（1）
（2）证明：如图，过作，
，，
，
，
，
，
，
．
，，
．
（3）解：设，，分别平分，
，
同理可得，，
当点在线段上时，如图所示：
过点S作，，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
当点在点的左侧时，过点作，如图所示：
同理可得，，
，
，
当点在点的右侧时，过点作，，如图所示：
同理可得，，，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）∵，
，
解得：；
【分析】（1）利用偶次式和根式的非负性，得出方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）过作，利用平行线的性质，结合，求得的度数，再由求得，得到，证得，进而证得，得到答案；
（3）设，，根据角平分线的性质，求得，以及，分当点在点与点之间，点在点的左侧和点在点的右侧，三种情况讨论，分别解答，即可得到答案．
（1）解：∵，
，
解得：；
（2）证明：如图，过作，
，，
，
，
，
，
，
．
，，
．
（3）设，，
分别平分，
，
同理可得，，
当点在线段上时，如图所示：
过点S作，，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
当点在点的左侧时，过点作，如图所示：
同理可得，，
，
，
当点在点的右侧时，过点作，，如图所示：
同理可得，，，
．
1 / 1广东省广州市执信中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·广州期中）9的算术平方根是（　　）
A． ﹣3 B．±3 C．3 D．
【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：9的算术平方根是3．故答案为：C．
【分析】一个正数的算术平方根就是其正的平方根，据此解答即可.
2．（2024七下·广州期中）若点的坐标为，则点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：因为点的坐标为，所以符号特征为，故点位于第四象限，
故答案为：D．
【分析】根据象限的符号特征判断即可．
3．（2024七下·广州期中）已知是二元一次方程ax+y=2的一个解，则a的值为（　　）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】D
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
4．（2024七下·广州期中）将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；同位角的概念
【解析】【解答】解：标出字母，如图
∵AB∥CD，
∴∠2=∠CEM，
∵∠1+90°+∠CEM=180°，
∴∠1+90°+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2=40°，
∴∠1=90°-40°=50°，
故选：C．
【分析】本题考查了平行线的基本性质，由AB∥CD，得到∠2=∠CEM，求得∠1+∠2=90°，结合∠2=40°，求得∠1的度数，得到答案.
5．（2024七下·广州期中）下列各式计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：A. ，故此选项错误不合题意；
B. ，故此选项错误不合题意；
C. ，故此选项正确符合题意；
D. ，故此选项错误不合题意；
故答案为：C．
【分析】根据算术平方根和立方根的定义即可求解.
6．（2024七下·广州期中）估算的值(　　)
A．在6与7之间 B．在5与6之间 C．在4与5之间 D．在3与4之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：B．
【分析】根据夹逼法进行无理数的估算，即可求解.
7．（2024七下·广州期中）下列命题中，假命题是（　　）
A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．对顶角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．如果，那么
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A正确，所以是真命题；
B：B正确，所以是真命题；
C：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，是假命题；
D：D正确，是真命题。
故答案为：C.
【分析】分别判断各选项的正确性，判断命题的真假，得出答案。
8．（2024七下·广州期中）“践行垃圾分类 助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我比你多收集了7节废电池.”乙说：“如果你给我9节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”设甲收集了节废电池，乙收集了节废电池，根据题意可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：甲比乙多收集了7节废电池，
；
若甲给乙9节废电池，则乙的废电池数量就是甲的2倍，
．
根据题意可列方程组为．
故答案为：D．
【分析】根据两人收集废电池数量间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组．
9．（2024七下·广州期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折党，折痕分别为若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵翻折前后角度不变，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，根据折叠的性质，得到，再由，得到，得到，进而求得的度数，得到答案．
10．（2024七下·广州期中）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；探索规律-点的坐标规律
11．（2024七下·广州期中）比较大小：　 　2.(填“>”“<"或“=”).
【答案】>
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
故答案为：>．
【分析】根据立方根的定义可得，再进行比较即可
12．（2024七下·广州期中）若，则　 　.
【答案】1.62
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根的变化规律：被开方数小数点每移动两位，则它的算术平方根小数点就向相同方向移动一位即可求解．
13．（2024七下·广州期中）如图，将沿平移得到，若，则的长是　 　．
【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移可得：，
∴．
故答案为：2.
【分析】本题主要考查了平移的性质，以及线段的和差．根据平移的性质，得到，结合，进行计算，即可得到答案.
14．（2024七下·广州期中）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则　 　.
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
①②，得：，
解得：，
把，代入①得：，
解得：，
方程组的解为：，
关于，的二元一次方程组 的解也是二元一次方程的解，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】先用加减消元法求解二元一次方程组，再将方程组得解代入二元一次方程，即可求解的值．
15．（2024七下·广州期中）已知点到两坐标轴的距离相等，则a的值为　 　.
【答案】或
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴点的横、纵坐标可能相等也可能互为相反数，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【分析】本题考查了点的坐标，根据到两坐标轴的距离相等，得到点的横、纵坐标可能相等也可能互为相反数，列出方程，求得a的值，即可得到答案.
16．（2024七下·广州期中）如图，在四边形ABCD中，如果，，是边上一点，平分交边于点E，平分交边于点．以下四个结论中正确的是　 　．(填写序号)
①，
②，
③若，则平分，
④若，则．
【答案】①③
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的概念
17．（2024七下·广州期中）计算
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先化简绝对值、计算平方根、立方根，再计算加减即可求解．
18．（2024七下·广州期中）解列方程组
【答案】解：，由，得，
由，得，
解得．
把代入①，得，
解得，
∴原方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，加减消元法是指两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，据此求得方程组的解，即可得到答案.
19．（2024七下·广州期中）填空，完成下列说理过程：
已知：如图，点E，F分别在线段AB，CD上，，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴（______）．
∵（已知），
∴（______）．
∴____________（______）．
∴（______）．
【答案】证明：∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；AF；ED；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据直线平行，同位角和内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，反之亦成立，结合推理过程，以及等量代换，即可得到答案.
20．（2024七下·广州期中）已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求
（1）该正数是多少？
（2）的算术平方根．
【答案】（1）解：由题意，得：，解得：；∴；
∴该正数是：49；
（2）解：∵b的立方根是，∴；
∴，
∴．
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程，求出的值，将其代入代数式，进行运算，即可得到答案；
（2）根据题意，先求出，将其代入代数式，求出的值，结合算术平方根的求法，即可得到答案．
（1）解：由题意，得：，解得：；
∴；
∴该正数是：49；
（2）解：∵b的立方根是，
∴；
∴，
∴．
21．（2024七下·广州期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点A平移到点D的位置，B，C点平移后的对应点分别是E，F．
（1）画出平移后的；
（2）连接，则这两条线段之间的关系是______；
（3）的面积为______．
【答案】（1）解：如图，即为所作；
（2）平行
（3）
【知识点】三角形的面积；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）由点A和点D的位置，得出平移方式为“向右平移4个格，向上平移1个格”，确定出点B和C点平移后的对应点E和F，顺次连接D，E，F三点，即可得到答案；
（2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行，即可得出；
（3）根据正方形和三角形的面积公式，结合正方形的面积减去3个三角形的面积，列出算式，即可得到答案.
22．（2024七下·广州期中）在平面直角坐标系中，对于点P，给出如下定义：
点P的“第Ⅰ类变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；
点P的“第Ⅱ类变换”：将点P向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．
（1）①点A的坐标为，对点A进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标为　 　；
②点B为平面内一点，若对点B进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点，则对点B进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为　 　；
（2）点C在x轴上，若对点C进行a次“第Ⅰ类变换”，再进行b次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在x轴上，直接用等式表示a与b的数量关系为　 　；
（3）点P的坐标，对点P进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点Q，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②
（2）
（3）解：不存在，理由如下：设经过次“第1类变换”，经过次“第Ⅱ类变换”，使得点恰好在轴上，
点的坐标，对点进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点，点恰好在轴上，
，
，
为非负整数，
不合题意舍去，
不存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上．
【知识点】点的坐标；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）①点的坐标为，
点进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标，
故答案为：；
②点进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点，
点坐标为，
点进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为，
故答案为：；
解：（2）设点，
点进行次“第Ⅰ类变换”，再进行次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在轴上，
，
，
故答案为：；
【分析】
（1）①利用点的“第Ⅰ类变换”的定义，即可求得点进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标，得到答案；
②利用点的“第Ⅰ类变换”的定义，以及点的“第Ⅱ类变换”的定义，求得变换后点的坐标，即可得到答案；
（2）利用点的“第Ⅰ类变换”的定义和点的“第Ⅱ类变换”的定义，列出方程，化简得到，即可求解；
（3）利用点的“第Ⅰ类变换”的定义和点的“第Ⅱ类变换”的定义，列出方程，求得m的值，结合为非负整数，即可得到答案.
（1）解：①点的坐标为，
点进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标，
故答案为：；
②点进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点，
点坐标为，
点进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为，
故答案为：；
（2）设点，
点进行次“第Ⅰ类变换”，再进行次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在轴上，
，
，
故答案为：；
（3）不存在，理由如下：
设经过次“第1类变换”，经过次“第Ⅱ类变换”，使得点恰好在轴上，
点的坐标，对点进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点，点恰好在轴上，
，
，
为非负整数，
不合题意舍去，
不存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上．
23．（2024七下·广州期中）在平面直角坐标系中，已知，
（1） ， ， ．
（2）如图，点在线段上，线段轴，、P、Q在一条直线上，点从点出发，沿轴正方向平移，若，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，点在四边形内，若，求点Q的坐标．
【答案】（1），，
（2）解：设，
，
，
，
，
，
解得．
点．
（3）解：由（2）得，点，设，
，
，
由，得，，
，
∵，
，
点在四边形的内部，
，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，；
【分析】（1）根据A，B，C的坐标，结合平面直角坐标系中两点间的距离公式，即可求解；
（2）设，得到，结合梯形的面积公式，求得的表达式，结合面积比，列出方程，求得n的值，得出点M的坐标，即可得到答案；
（3）设，求得，由，分别求得，，
，根据，得到，列出关于m的方程，求得m的值，即可得到点Q的坐标.
（1）解：∵，
∴，，；
（2）设，
，
，
，
，
，
解得．
点．
（3）由（2）得，点，
设，
，
，
由，得，，
，
∵，
，
点在四边形的内部，
，
，
．
24．（2024七下·广州期中）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元．
（1）求m和n的值；
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？
【答案】（1）解：依题意得：，
解得：．
答：m的值为80，n的值为60．
（2）解：依题意得：，∴，
∴．
答：该商场可获利1200元．
（3）解：设该日销售A款足球a个，B款足球b个，依题意得：，
又∵a，b均为正整数，b为3的倍数，
∴或．
答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，列出关于m，n的二元一次方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）利用总价=单价×数量，得出关于x，y的二元一次方程，变形为，将其代入，进行计算，即可得到答案；
（3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，根据总利润=每个足球的销售利润×销售数量，得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．．
25．（2024七下·广州期中）如图，过点作直线分别与直线相交于E、F两点，的角平分线交直线于点，射线交直线于点．设，，其中满足．
（1）____________，____________．
（2）求证：．
（3）过点作直线分别交直线于点，交直线于点，且不与重合，不与重合，作的角平分线交线段于点，探究与的数量关系．
【答案】（1）
（2）证明：如图，过作，
，，
，
，
，
，
，
．
，，
．
（3）解：设，，分别平分，
，
同理可得，，
当点在线段上时，如图所示：
过点S作，，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
当点在点的左侧时，过点作，如图所示：
同理可得，，
，
，
当点在点的右侧时，过点作，，如图所示：
同理可得，，，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）∵，
，
解得：；
【分析】（1）利用偶次式和根式的非负性，得出方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）过作，利用平行线的性质，结合，求得的度数，再由求得，得到，证得，进而证得，得到答案；
（3）设，，根据角平分线的性质，求得，以及，分当点在点与点之间，点在点的左侧和点在点的右侧，三种情况讨论，分别解答，即可得到答案．
（1）解：∵，
，
解得：；
（2）证明：如图，过作，
，，
，
，
，
，
，
．
，，
．
（3）设，，
分别平分，
，
同理可得，，
当点在线段上时，如图所示：
过点S作，，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
当点在点的左侧时，过点作，如图所示：
同理可得，，
，
，
当点在点的右侧时，过点作，，如图所示：
同理可得，，，
．
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