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山东省菏泽市牡丹区2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题
1．（2024七下·牡丹期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·牡丹期中）探究小组的同学在做“测量小车从不同高度下滑的时间”的实验时，得到如下数据：
支撑物高度（单位：厘米） 10 20 30 40 50 60 70 80 90
小车下滑时间（单位：秒） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41
根据实验数据，判断下列说法正确的是（ ）
A．当支撑物的高度为时，小车下滑的时间可能为1.45秒
B．支撑物的高度每增加，小车下滑的时间都将减少0.09秒
C．当支撑物的高度为时，小车下滑的时间可能为1.35秒
D．当支撑物的高度为时，小车下滑的时间可能为1.30秒
3．（2024七下·牡丹期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·牡丹期中）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
5．（2024七下·牡丹期中）若，，则的值为（ ）
A．-6 B． C．10 D．16
6．（2024七下·牡丹期中）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
7．（2024七下·牡丹期中）长方形的周长为24，其中一边为（其中），面积为y，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七下·牡丹期中）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为，则宽为（ ）
A． B．1 C． D．
9．（2024七下·牡丹期中）如图，下列条件： ①∠DCA=∠CAF，②∠C =∠EDB，③∠BAC+∠C=180°，④∠GDE +∠B=180°．其中能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
10．（2024七下·牡丹期中）已知点P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024七下·牡丹期中） ．
12．（2024七下·牡丹期中）声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：
气温x/℃ 0 5 10 15 20
音速y/（米/秒） 331 334 337 340 343
（1）此表反映的是变量随变化的 ．
（2）用x表示y的关系式为 ．
13．（2024七下·牡丹期中）如图，，，垂足为．若，则 ．
14．（2024七下·牡丹期中）如图，是一个大正方形，分成四部分，其面积分别为，，，．那么，原大正方形的边长为．
15．（2024七下·牡丹期中）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 °．
16．（2024七下·牡丹期中）观察、归纳：
：
；
；
……
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
（1） .
（2）计算 .
17．（2024七下·牡丹期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·牡丹期中）如图，已知四边形中，，，那么与，与的关系如何，试证明你的结论．
19．（2024七下·牡丹期中）圆柱的底面半径是2cm，当圆柱的高h（cm）由大到小变化时，圆柱的体积V（）随之发生变化.
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？
（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积为V与高h之间的关系式？
（3）当h由5cm变化到10cm时，V是怎样变化的？
（4）当时，v的值等于多少？
20．（2024七下·牡丹期中）如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D，F分别为垂足，G是AB上一点，且∠1＝∠2.试说明：∠AGD＝∠ABC.
21．（2024七下·牡丹期中）先观察下列各式，再解答后面问题：
；
；
；
；
（1）乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
（2）根据以上各式呈现的规律，用一个公式表示出来.
（3）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果.
①________；②_______
22．（2024七下·牡丹期中）如图，直线与相交于A、D两点，与相交于E、C、B、F，如果，说明．
23．（2024七下·牡丹期中）某公交车每月的支出费用为7000元，票价为每人2元（不考虑任何优惠），设每月有x人乘坐该公交车，每月的收入与支出的差额为y元
（1）请直接写出y与x之间的关系式；
（2）列表表示：当x的值分别为3000，3300，3600，3900，4200，4500时，y的值；
（3）该公交车每天早上6∶00开班，晚上21∶00收班，其中除去午餐1小时外，其余时间都在正常运行，且每一个往返准点运行120分钟．若每月按30天计算，求该公交车每次往返平均需乘坐多少人，每月盈利可达到3080元？
24．（2024七下·牡丹期中）我们学过的乘法公式可以借助于图形来帮助解释、理解、记忆．
（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式：
（2）请用两种不同的方法探究代数式、、ab的数量关系．
方法一：代数方法．
方法二：拼图的方法．（用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个正方形，画出你拼摆过程中能说明这几个式子数量关系的草图．）
（3）利用（2）中结论，当，时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：由，
故选：C．
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，根据乘方的计算法则：，直接进行计算，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A中，由表格信息可得：随支撑物的高度逐渐升高，小车下滑的时间逐渐减少，
而，故A错误，不符合题意；
B中，支撑物的高度每增加， 小车下滑的时间减少的值不确定，故B错误，不符合题意；
∵由表格信息可得：；
∴，∴，
∴C正确，符合题意，D错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了函数的表示方法，表格法的应用，由表格法表示的函数，获取信息，结合函数的增加性，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案．
3．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：依题意，，
故选：D．
【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算， 其中单项式乘以多项式，就是根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ，根据法则进行展开运算，即可得到答案．
4．【答案】A
【知识点】角的运算；同位角的概念
【解析】【解答】解：如图，过点作平行于，则，
，，
，
，
故选：A．
【分析】本题考查了平行线的性质，过点作平行于，得到，得出和，结合，进而得到与的关系，得出答案.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法运算法则：，进行计算，即可得到答案．
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定；作图-平行线
【解析】【解答】解；∵∠DPF=∠BAF，
∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．
故选A．
【分析】本题主要考查了基本作图与平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行，结合∠DPF=∠BAF，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得长方形的周长为24，一边长为x，
∴另一边为，
∴面积．
故选：C.
【分析】根据题意得到长方形另一边为，结合长方形面积公式，列出代数式，即可求解．
8．【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意，可得图象面积为，
因为长方形的长为，
所以宽为：=.
故选：C
【分析】本题主要考查了长方形的面积公式，以及整式除法法则，根据题意，先求得长方形的面积，集合长方形的面积除以长，结合整式的运算法则，准确计算，即可得到答案.
9．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①当∠DCA=∠CAF时，AB∥CD，符合题意；②当∠C=∠EDB时，AC∥DB，不合题意；
③当∠BAC+∠C=180°时，AB∥CD，符合题意；
④当∠GDE+∠B=180°时，
又∵∠GDE+∠EDB=180°，
∴∠B=∠EDB，
∴AB∥CD，符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查的是平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合题意，逐项分析判断，即可得到答案.
10．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；D选项中的封闭图形为圆，y为定中，所以D选项不正确；A选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．
故选：A．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，PM总上等于半径，对D项进行判断，即可得到正确答案.
11．【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的运算法则，同底数幂的除法运算法则是：同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此运算，即可得到答案.
12．【答案】音速、气温；
【知识点】函数解析式；用关系式表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由已知可得出此表反映的是变量音速随气温变化的情况．
故答案为：音速、气温；
（2）设，则
，
；
故答案为：．
【分析】（1）根据题设中表格的数据，得出此表反映的是变量音速随气温变化的情况，即可得到答案．
（2）根据题意，设，分别取，结合表格中的数据，列出方程组，求得k和b的值，即可得出函数的解析式，得到答案.
13．【答案】40°
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=50°，
∴∠1=∠2（对顶角相等），
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2=50°，
又∵EG⊥AB，
∴∠E=90°-∠3=90°-∠50°=40°．
故答案为：40°．
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的关系，由∠1和∠2是对顶角相等，∠2和∠3为同位角，根据两直线平行，同位角相等，求得∠3，在直角三角形中，根据两锐角互余，即可求解．
14．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，根据四部分的面积和为a2+2ab+b2，得到（a+b）2，进而得到正方形的边长为（a+b），即可得到答案．
15．【答案】20
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，
∴MN//CD，
∵∠EGB＝100°，
∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，
∴至少要旋转20°．
【分析】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转的性质，过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，得到MN//CD，求得∠EGB＝100°，结合∠BGN=∠EGB-∠EGN，进行计算，即可得到答案.
16．【答案】；．
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）；
；
；
根据以上等式的规律可得：
；
（2）
故答案为：，．
【分析】（1）根据题设中的算式，归纳总结得到一般性规律，写出结果，即可得到答案；
（2）由（1）中，各个式子的计算规律，即可得到化简结果，得到答案.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】单项式乘单项式；整式的混合运算；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据多项式的运算法则，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式，即可得到答案；
（2）根据多项式的运算法则，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，最后计算多项式除以单项式，即可得到答案．
（1）解：原式
；
（2）原式
．
18．【答案】解：答：．证明：∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴．
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【分析】本题考查了平行性的性质，以及同角的补角的性质，由，，得到，证得，同理证得，即可求解.
19．【答案】（1）解：依题意，自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积；
（2）解：依题意，体积与高之间的关系式；
（3）解：依题意，当时，；
当时，．
当越来越大时，也越来越大；
（4）解：当时，．
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【分析】（1）由 圆柱的高h（由大到小变化时，圆柱的体积V随之发生变化，结合函数的定义，即可可得答案；
（2）根据题意，结合圆柱的体积公式，列出代数式，即可得到答案；
（3）由（2）的函数解析式，分别求得和时，的值，进而得到答案；
（4）由（2）的函数解析式，把，代入计算求值，即可得到答案.
（1）解：依题意，自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积；
（2）解：依题意，体积与高之间的关系式；
（3）解：依题意，当时，；
当时，．
当越来越大时，也越来越大；
（4）解：当时，．
20．【答案】解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠1.
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DBC，
∴GD∥BC，∴∠AGD＝∠ABC.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】本题考查的知识点是平行线的判定与性质，由BD⊥AC，EF⊥AC，证得BD∥EF，得到∠DBC＝∠1，结合∠1＝∠2，得到GD∥BC，结合平行线的同位角相等，即可证得∠AGD＝∠ABC.
21．【答案】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为：
两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项；
（2）解：公式为：
（3）①；②
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（3）①
；
②
；
故答案为：①；②.
【分析】（1）根据题设中的算式，得到乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律，即可作答；
（2）根据（1）中呈现的规律，列出算式，进行化简，即可得到答案；
（3）根据（2）中的公式，代入数值，进行计算，即可得到答案．
（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为：
两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项；
（2）解：公式为：
（3）解：①
；
②
；
故答案为：①；②
22．【答案】解：∵∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据角的等量代换，得出，证得根据，得到，证得，结合平行线的内错角相等，即可得证.
23．【答案】（1）；
（2）解：结合，列表如下：
3000 3300 3600 3900 4200 4500
200 800 1400 2000
（3）解：∵该公交车每天早上6∶00开班，晚上21∶00收班，其中除去午餐1小时外，其余时间都在正常运行，且每一个往返准点运行120分钟．∴每天往返次数为：（次），
则一个月往返次数为：（次），
设该公交车每次往返平均需乘坐人，
则，
解出，
∴每个往返平均有24人乘坐，该公交车的盈利可达到3080元．
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）∵票价为每人2元（不考虑任何优惠），每月有x人乘坐该公交车，∴收入为元，
∵公交车每月的支出费用为7000元，且每月的收入与支出的差额为y元，
∴；
【分析】（1）根据每月的收入与支出的差额为y元，收入为元，支出为7000元，列出函数解析式，即可作答．
（2）分别把x的值为3000，3300，3600，3900，4200，4500，代入函数解析式，求得对应的的值，再运用列表方式表示出来，即可作答．
（3）算出一个月往返次数为，设该公交车每次往返平均需乘坐人，由，代入关系式，进行计算，即可得到答案．
24．【答案】（1）解：图1、阴影部分的面积：
各个部分之和的面积等于大正方形面积
即；
图2、阴影部分的面积：；
图3、阴影部分的面积：．
故答案为：，，．
（2）解：代数法：∵，
则；
拼图法：如图4：
，
，
∴．
（3）解：，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）观察题图，结合长方形的面积公式，分别求得图1，图2和图3中图形的面积，进而得出乘法公式，得到答案；
（2）通过计算阴影部分的面积，发现三组量间关系，即可得到答案；
（3）将， 代入（2）的结论，求得的值，即可得到答案.
（1）解：图1、阴影部分的面积：
各个部分之和的面积等于大正方形面积
即；
图2、阴影部分的面积：；
图3、阴影部分的面积：．
故答案为：，，．
（2）解：代数法：
∵，
则；
拼图法：如图4：
，
，
∴．
（3）解：，，
．
1 / 1山东省菏泽市牡丹区2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题
1．（2024七下·牡丹期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：由，
故选：C．
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，根据乘方的计算法则：，直接进行计算，即可求解.
2．（2024七下·牡丹期中）探究小组的同学在做“测量小车从不同高度下滑的时间”的实验时，得到如下数据：
支撑物高度（单位：厘米） 10 20 30 40 50 60 70 80 90
小车下滑时间（单位：秒） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41
根据实验数据，判断下列说法正确的是（ ）
A．当支撑物的高度为时，小车下滑的时间可能为1.45秒
B．支撑物的高度每增加，小车下滑的时间都将减少0.09秒
C．当支撑物的高度为时，小车下滑的时间可能为1.35秒
D．当支撑物的高度为时，小车下滑的时间可能为1.30秒
【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A中，由表格信息可得：随支撑物的高度逐渐升高，小车下滑的时间逐渐减少，
而，故A错误，不符合题意；
B中，支撑物的高度每增加， 小车下滑的时间减少的值不确定，故B错误，不符合题意；
∵由表格信息可得：；
∴，∴，
∴C正确，符合题意，D错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了函数的表示方法，表格法的应用，由表格法表示的函数，获取信息，结合函数的增加性，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案．
3．（2024七下·牡丹期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：依题意，，
故选：D．
【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算， 其中单项式乘以多项式，就是根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ，根据法则进行展开运算，即可得到答案．
4．（2024七下·牡丹期中）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
【答案】A
【知识点】角的运算；同位角的概念
【解析】【解答】解：如图，过点作平行于，则，
，，
，
，
故选：A．
【分析】本题考查了平行线的性质，过点作平行于，得到，得出和，结合，进而得到与的关系，得出答案.
5．（2024七下·牡丹期中）若，，则的值为（ ）
A．-6 B． C．10 D．16
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法运算法则：，进行计算，即可得到答案．
6．（2024七下·牡丹期中）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【知识点】平行线的判定；作图-平行线
【解析】【解答】解；∵∠DPF=∠BAF，
∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．
故选A．
【分析】本题主要考查了基本作图与平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行，结合∠DPF=∠BAF，即可求解.
7．（2024七下·牡丹期中）长方形的周长为24，其中一边为（其中），面积为y，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得长方形的周长为24，一边长为x，
∴另一边为，
∴面积．
故选：C.
【分析】根据题意得到长方形另一边为，结合长方形面积公式，列出代数式，即可求解．
8．（2024七下·牡丹期中）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为，则宽为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意，可得图象面积为，
因为长方形的长为，
所以宽为：=.
故选：C
【分析】本题主要考查了长方形的面积公式，以及整式除法法则，根据题意，先求得长方形的面积，集合长方形的面积除以长，结合整式的运算法则，准确计算，即可得到答案.
9．（2024七下·牡丹期中）如图，下列条件： ①∠DCA=∠CAF，②∠C =∠EDB，③∠BAC+∠C=180°，④∠GDE +∠B=180°．其中能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①当∠DCA=∠CAF时，AB∥CD，符合题意；②当∠C=∠EDB时，AC∥DB，不合题意；
③当∠BAC+∠C=180°时，AB∥CD，符合题意；
④当∠GDE+∠B=180°时，
又∵∠GDE+∠EDB=180°，
∴∠B=∠EDB，
∴AB∥CD，符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查的是平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合题意，逐项分析判断，即可得到答案.
10．（2024七下·牡丹期中）已知点P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；D选项中的封闭图形为圆，y为定中，所以D选项不正确；A选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．
故选：A．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，PM总上等于半径，对D项进行判断，即可得到正确答案.
11．（2024七下·牡丹期中） ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的运算法则，同底数幂的除法运算法则是：同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此运算，即可得到答案.
12．（2024七下·牡丹期中）声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：
气温x/℃ 0 5 10 15 20
音速y/（米/秒） 331 334 337 340 343
（1）此表反映的是变量随变化的 ．
（2）用x表示y的关系式为 ．
【答案】音速、气温；
【知识点】函数解析式；用关系式表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由已知可得出此表反映的是变量音速随气温变化的情况．
故答案为：音速、气温；
（2）设，则
，
；
故答案为：．
【分析】（1）根据题设中表格的数据，得出此表反映的是变量音速随气温变化的情况，即可得到答案．
（2）根据题意，设，分别取，结合表格中的数据，列出方程组，求得k和b的值，即可得出函数的解析式，得到答案.
13．（2024七下·牡丹期中）如图，，，垂足为．若，则 ．
【答案】40°
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=50°，
∴∠1=∠2（对顶角相等），
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2=50°，
又∵EG⊥AB，
∴∠E=90°-∠3=90°-∠50°=40°．
故答案为：40°．
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的关系，由∠1和∠2是对顶角相等，∠2和∠3为同位角，根据两直线平行，同位角相等，求得∠3，在直角三角形中，根据两锐角互余，即可求解．
14．（2024七下·牡丹期中）如图，是一个大正方形，分成四部分，其面积分别为，，，．那么，原大正方形的边长为．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，根据四部分的面积和为a2+2ab+b2，得到（a+b）2，进而得到正方形的边长为（a+b），即可得到答案．
15．（2024七下·牡丹期中）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 °．
【答案】20
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，
∴MN//CD，
∵∠EGB＝100°，
∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，
∴至少要旋转20°．
【分析】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转的性质，过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，得到MN//CD，求得∠EGB＝100°，结合∠BGN=∠EGB-∠EGN，进行计算，即可得到答案.
16．（2024七下·牡丹期中）观察、归纳：
：
；
；
……
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
（1） .
（2）计算 .
【答案】；．
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）；
；
；
根据以上等式的规律可得：
；
（2）
故答案为：，．
【分析】（1）根据题设中的算式，归纳总结得到一般性规律，写出结果，即可得到答案；
（2）由（1）中，各个式子的计算规律，即可得到化简结果，得到答案.
17．（2024七下·牡丹期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】单项式乘单项式；整式的混合运算；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据多项式的运算法则，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式，即可得到答案；
（2）根据多项式的运算法则，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，最后计算多项式除以单项式，即可得到答案．
（1）解：原式
；
（2）原式
．
18．（2024七下·牡丹期中）如图，已知四边形中，，，那么与，与的关系如何，试证明你的结论．
【答案】解：答：．证明：∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴．
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【分析】本题考查了平行性的性质，以及同角的补角的性质，由，，得到，证得，同理证得，即可求解.
19．（2024七下·牡丹期中）圆柱的底面半径是2cm，当圆柱的高h（cm）由大到小变化时，圆柱的体积V（）随之发生变化.
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？
（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积为V与高h之间的关系式？
（3）当h由5cm变化到10cm时，V是怎样变化的？
（4）当时，v的值等于多少？
【答案】（1）解：依题意，自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积；
（2）解：依题意，体积与高之间的关系式；
（3）解：依题意，当时，；
当时，．
当越来越大时，也越来越大；
（4）解：当时，．
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【分析】（1）由 圆柱的高h（由大到小变化时，圆柱的体积V随之发生变化，结合函数的定义，即可可得答案；
（2）根据题意，结合圆柱的体积公式，列出代数式，即可得到答案；
（3）由（2）的函数解析式，分别求得和时，的值，进而得到答案；
（4）由（2）的函数解析式，把，代入计算求值，即可得到答案.
（1）解：依题意，自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积；
（2）解：依题意，体积与高之间的关系式；
（3）解：依题意，当时，；
当时，．
当越来越大时，也越来越大；
（4）解：当时，．
20．（2024七下·牡丹期中）如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D，F分别为垂足，G是AB上一点，且∠1＝∠2.试说明：∠AGD＝∠ABC.
【答案】解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠1.
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DBC，
∴GD∥BC，∴∠AGD＝∠ABC.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】本题考查的知识点是平行线的判定与性质，由BD⊥AC，EF⊥AC，证得BD∥EF，得到∠DBC＝∠1，结合∠1＝∠2，得到GD∥BC，结合平行线的同位角相等，即可证得∠AGD＝∠ABC.
21．（2024七下·牡丹期中）先观察下列各式，再解答后面问题：
；
；
；
；
（1）乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
（2）根据以上各式呈现的规律，用一个公式表示出来.
（3）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果.
①________；②_______
【答案】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为：
两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项；
（2）解：公式为：
（3）①；②
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（3）①
；
②
；
故答案为：①；②.
【分析】（1）根据题设中的算式，得到乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律，即可作答；
（2）根据（1）中呈现的规律，列出算式，进行化简，即可得到答案；
（3）根据（2）中的公式，代入数值，进行计算，即可得到答案．
（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为：
两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项；
（2）解：公式为：
（3）解：①
；
②
；
故答案为：①；②
22．（2024七下·牡丹期中）如图，直线与相交于A、D两点，与相交于E、C、B、F，如果，说明．
【答案】解：∵∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据角的等量代换，得出，证得根据，得到，证得，结合平行线的内错角相等，即可得证.
23．（2024七下·牡丹期中）某公交车每月的支出费用为7000元，票价为每人2元（不考虑任何优惠），设每月有x人乘坐该公交车，每月的收入与支出的差额为y元
（1）请直接写出y与x之间的关系式；
（2）列表表示：当x的值分别为3000，3300，3600，3900，4200，4500时，y的值；
（3）该公交车每天早上6∶00开班，晚上21∶00收班，其中除去午餐1小时外，其余时间都在正常运行，且每一个往返准点运行120分钟．若每月按30天计算，求该公交车每次往返平均需乘坐多少人，每月盈利可达到3080元？
【答案】（1）；
（2）解：结合，列表如下：
3000 3300 3600 3900 4200 4500
200 800 1400 2000
（3）解：∵该公交车每天早上6∶00开班，晚上21∶00收班，其中除去午餐1小时外，其余时间都在正常运行，且每一个往返准点运行120分钟．∴每天往返次数为：（次），
则一个月往返次数为：（次），
设该公交车每次往返平均需乘坐人，
则，
解出，
∴每个往返平均有24人乘坐，该公交车的盈利可达到3080元．
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）∵票价为每人2元（不考虑任何优惠），每月有x人乘坐该公交车，∴收入为元，
∵公交车每月的支出费用为7000元，且每月的收入与支出的差额为y元，
∴；
【分析】（1）根据每月的收入与支出的差额为y元，收入为元，支出为7000元，列出函数解析式，即可作答．
（2）分别把x的值为3000，3300，3600，3900，4200，4500，代入函数解析式，求得对应的的值，再运用列表方式表示出来，即可作答．
（3）算出一个月往返次数为，设该公交车每次往返平均需乘坐人，由，代入关系式，进行计算，即可得到答案．
24．（2024七下·牡丹期中）我们学过的乘法公式可以借助于图形来帮助解释、理解、记忆．
（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式：
（2）请用两种不同的方法探究代数式、、ab的数量关系．
方法一：代数方法．
方法二：拼图的方法．（用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个正方形，画出你拼摆过程中能说明这几个式子数量关系的草图．）
（3）利用（2）中结论，当，时，求的值．
【答案】（1）解：图1、阴影部分的面积：
各个部分之和的面积等于大正方形面积
即；
图2、阴影部分的面积：；
图3、阴影部分的面积：．
故答案为：，，．
（2）解：代数法：∵，
则；
拼图法：如图4：
，
，
∴．
（3）解：，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）观察题图，结合长方形的面积公式，分别求得图1，图2和图3中图形的面积，进而得出乘法公式，得到答案；
（2）通过计算阴影部分的面积，发现三组量间关系，即可得到答案；
（3）将， 代入（2）的结论，求得的值，即可得到答案.
（1）解：图1、阴影部分的面积：
各个部分之和的面积等于大正方形面积
即；
图2、阴影部分的面积：；
图3、阴影部分的面积：．
故答案为：，，．
（2）解：代数法：
∵，
则；
拼图法：如图4：
，
，
∴．
（3）解：，，
．
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