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15.4特殊的平行四边形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上．若A、D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系（ ）
A． B．
C． D．
4．菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝,则这个菱形的面积为( )
A．48 B． C． D．18
5．如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
7．将一个含30 °的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为（ ）
A．20° B．30° C．15° D．5°
8．中，，D为边的中点，则的长度是（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5
9．如图，在四边形ABCD中，AC＝16，BD＝12，且AC⊥BD，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，下列说法错误的是（ ）
A．四边形EFGH是矩形 B．四边形ABCD的面积是92
C．四边形EFGH的面积是48 D．四边形EFGH的周长是28
10．如图，四边形ABCD是长方形，AB=3，AD=4．已知A（﹣，﹣1），则点C的坐标是（　　）
A．（﹣3，） B．（，﹣3） C．（3，） D．（，3）
11．如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，若CD＝3，DE＝5，则AD=（　　）．
A．6 B．7 C．8 D．10
12．如图，在长方形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，则的长为（ ）
A．3 B．3.6 C．3.5 D．3.4
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点C在x轴正半轴上，以为边在x轴上方作矩形，若点B坐标为，平面内有一条直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，则k的值为 ．
14．如图中，阴影部分表示的四边形是 ．
15．如图所示，菱形ABCD中，AC,BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠ADO＝ °．

16．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝ ．
17．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2．
三、解答题
18．已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形．
(1)①求的值；
②判断的形状，并说明理由；
(2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
19．如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线和上．
(1)如果点A的横坐标为8，AD=10，求点D的坐标；
(2)如果点A在直线上运动，求点B所在直线的正比例函数解析式；
(3)当四边形OADC的面积为170时，求点C的坐标．
20．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，且．
（1）求菱形的周长；
（2）若，求的长．
21．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长．
22．如图，矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将它折叠，使点A与点C重合，折痕EF交AD于点E，交BC于点F，交AC于点O，连结AF，CE.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE＝8，△ABF的面积为9，求AB＋BF的值.
23．如图，在四边形中，为一条对角线，，，，为的中点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接，若平分，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
24．如图（1），是一张正方形纸片，E，F分别为的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图（2）的点），折痕交于点G，那么等于多少度？你能证明你的结论吗？
《15.4特殊的平行四边形的性质与判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B C C C C B D
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题.
【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵，
∴，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．B
【分析】连接BP，取CD的中点M，连接PM，根据折叠的性质，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，要求△GPQ的周长的最小值，只需求PM+PB的最小值，当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解．
【详解】解：连接BP，取CD的中点M，连接PM，
由折叠可知，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，
在Rt△BCG中，P是CG的中点，
∴BP＝PG＝GC，
∵Q是GH的中点，
∴QG＝GH，
∴△GPQ的周长＝PQ+QG+PG＝PM+GH+PB＝PM+PB+CD，
∵CD＝3，
∴△GPQ的周长＝PM+PB+，
当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小，
在Rt△BCM中，BM＝，
∴△GPQ的周长的最小值为.
故选B．
【点评】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
3．B
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质以及平行线的性质解答即可．
【详解】∵夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上，
∴∠BAD=90°，∠DFE=60°，
∵l1∥l2，A、D、F在一条直线上，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠DFE，
即∠1+90°=∠2+60°，
可得：∠2-∠1=30°，
故选B．
【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和等边三角形的性质以及平行线的性质解答．
4．B
【详解】试题解析：根据菱形的面积公式：
故选B.
5．C
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．
【详解】解：中，，，点为斜边上的中点，
；
故选：C
6．C
【分析】作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，证得DP＝PD′，推出PD+PF＝PD′+PF，又EF＝EA＝2是定值，即可推出当E、F、P、D′四点共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝ED′﹣EF即可得出结果．
【详解】作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，如图所示：
∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，AE＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝6，DD′＝2DC＝2AB＝8，
∴ED′＝ ＝ ＝10，
在△PCD和△PCD′中， ，
∴△PCD≌△PCD′(SAS)，
∴DP＝PD′，
∴PD+PF＝PD′+PF，
∵EF＝EA＝2是定值，
∴当E、F、P、D′四点共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝10﹣2＝8，
∴PF+PD的最小值为8，
故选C．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．
7．C
【分析】由BC=2AB=2BM，得到△ABM是等腰直角三角形，又根据四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，推出∠AFM=∠FMC=45°，因为∠MFE=60°，得到∠AFE=15°．
【详解】解：∵BC=2AB=2BM，
∴AB=BM，
∴∠AMB=45°，
∵∠AMF=90°，
∴∠FMC=45°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFM=∠FMC=45°，
∵∠MFE=60°，
∴∠AFE=15°．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟记定理．
8．C
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边上的中线的性质解决问题即可．
【详解】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝，
∵D为边的中点，
∴CD＝AB＝6.5．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．B
【分析】利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断选项A是否正确；由AC=8，BD=6，且AC⊥BD，可求出四边形EFGH和ABCD的面积，由此可判断选项CD是否正确；题目给出的数据求出四边形EFGH的周长，所以选项B不符合题意．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=AC，GH=AC，
∴EF=GH，同理EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵对角线AC、BD互相垂直，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形，故选项A正确，不符合题意；
∵AC=16，BD=12，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=AC BD=96，故选项B错误，符合题意；
∵四边形EFGH是矩形，且HG=AC=8，HE=BD=6，
∴四边形EFGH的面积6×8=48，故选项C正确，不符合题意；
∵EF=AC=8，HE=BD=6，
∴四边形EFGH的周长=2（6+8）=28，所以选项D正确，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及矩形的判断进行证明，是一道综合题．
10．D
【分析】由矩形的性质可知CD=AB= 3，BC=AD= 4，结合A点坐标即可求得C点坐标.
【详解】∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB= 3，BC=AD= 4，
∵点A（﹣，﹣1），
∴点C的坐标为（﹣+3，﹣1+4），
即点C的坐标为（，3），
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质和坐标的平移，根据平移的性质解决问题是解答此题的关键．
11．B
【分析】解答本题首先通过勾股定理求出EC的长，然后利用角平分线的性质得出为等腰直角三角形，求出BE的长即可得出结果．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∵ED＝5，CD＝3，
∴EC2＝DE2﹣CD2＝25﹣9＝16，
∴CE＝4，
∵AD//BC，
∴∠AEB＝∠DAE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝CD＝3，
∴BC＝BE+EC＝7，
∴AD＝7，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及角平分线的性质，还涉及勾股定理，难度一般，属于基础题，熟练掌握矩形的性质以及角平分线的性质是解题的关键．
12．B
【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识，利用等积法求出的长是解题的关键．连接，交于点，根据翻折的性质知，，垂直平分，再说明，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：连接，交于点，
将沿折叠得到，
，，垂直平分，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：B．
13．
【分析】设l分别交AB、OC于点E、F，根据矩形的性质和B点的坐标设E的坐标为(a,1)，F的坐标为(b,0)，利用直线l平分矩形的面积可证得AE=CF，OF=BE，继而得出a，b的关系式，再利用点E、F均在l上即可求出k．
【详解】设l分别交AB、OC于点E、F，如图，
∵在矩形OABC中，顶点B的坐标为(4,1)，
∴OA=BC=1，AB=OC=4，
∴可设E的坐标为(a,1)，F的坐标为(b,0)，
又∵E、F在直线l上，
∴，，
∴，，
∵直线l分将矩形OABC的面积平分，
∴，
∵OA=BC，
∴，
又∵AB=AE+BE=OC=OF+FC，
∴AE=CF，OF=BE，AB=OC=4，
∴4-a=b，
∴，
解得，经检验符合要求，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的性质以及解分式方程等知识，利用好直线l将矩形OABC的面积平分这一信息是解答本题的关键．
14．正方形
【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键；
根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解；
【详解】解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形；
故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形，
所以阴影部分表示的四边形是正方形；
故答案为：正方形
15．35
【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，，求出∠CBO，根据平行线的性质求出∠ADO即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵∠BCO=55°，
∴∠CBO=90° 55°=35°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴∠ADO=∠CBO=35°，
故答案为35.
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质的应用，注意：菱形的对角线互相垂直，菱形的对边平行．
16．120．
【详解】试题分析：根据题意可得，AB和菱形的两边构成的三角形是等边三角形，可得∠A=60°，所以，∠1=120°
解：如图，连接AB．
∵菱形的边长=15cm，AB=BC=15cm
∴△AOB是等边三角形
∴∠ABO=60°，
∴∠AOD="120°"
∴∠1=120°．
故答案为120．
考点：菱形的性质．
17．
【详解】解：∵E是AB的中点，
∴AE=1，
∵DE丄AB，
∴DE=．
∴菱形的面积为：2×=2．
故答案为2．
18．(1)①②等边三角形，理由见解析
(2)
(3)在轴上存在一点，使得是等腰三角形，点坐标为或或或
【分析】（1）求出与y轴的交点即可求出b的值，由轴对称的性质求出点D的坐标，由勾股定理求出，的长即可判断的形状；
（2）设点关于直线的对称点为，求出点的坐标，连接，则与直线的交点为点，则当、、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，与联立求出点P的坐标，进而可求出点F的坐标；
（3）分3种情况求解即可．
【详解】（1）解：①令，则，
，
直线经过点，
；
②是等边三角形，理由如下：
令，则，
解得，
，
点关于轴的对称点是点，
，
，，，
是等边三角形；
（2）解：，
直线，
令，则，
，
设点关于直线的对称点为，
，
，
，
，
，
连接，则与直线的交点为点，
，
的周长，
当、、三点共线时，的周长最小，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得，
，
轴，
，
，
四边形是正方形，
；
（3）解：在轴上存在一点，使得是等腰三角形，理由如下：
设，
，，，
当时，，
解得或，
或；
当时，，
解得，
；
当时，，
解得或舍，
；
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，正方形的性质，轴对称的性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用点A的横坐标代入求出点A的坐标即可求出答案．
（2）由图，根据正方形性质可知点横坐标与点横坐标相等，点纵坐标与点纵坐标相等，根据函数解析式可设，表示出点，求出，即可得出答案．
（3）由（2）中可得的坐标，再利用已知正方形的面积即可求出答案．
【详解】（1）解：把代入中得，
，即点的坐标为，
又，
∴点的坐标为．
（2）由题意可设点B所在直线的解析式为,, ,
则点的坐标为，
由，
得，整理得，
∴，代入解析式得，，
解得，
∴点B所在直线的正比例函数解析式为．
（3）由（2）可得，，
∴，
解得或（舍去），
∴点C的坐标为．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象及性质、正方形的性质，解题关键在于熟练掌握正比例函数图象上的点的特征及正方形的性质．
20．（1）8；（2）2．
【分析】（1）根据菱形的边长相等即可求出周长；（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分可求出AO的长，进而利用勾股定理可求出DO，BD的长.
【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴菱形ABCD的周长为：8；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2
∴AC⊥BD，AO＝1，∴BO，∴BD＝2
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的相关性质是本题解题的关键.
21．（1）四边形是垂美四边形，理由见解析；（2），证明见解析；（3）．
【分析】（1）连接，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线是线段的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可得证；
（2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可；
（3）设分别交于点，交于点，连接，先证明，得到，再根据角的和差可证，即，从而可得四边形是垂美四边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得．
【详解】证明：（1）四边形是垂美四边形，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，即，
∴四边形是垂美四边形；
（2）猜想，证明如下：
∵四边形是垂美四边形，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
，
∴；
（3）如图，设分别交于点，交于点，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由（2）得：，
∵是的斜边，且，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
解得或（不符题意，舍去），
故的长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键．
22．(1)见解析;(2)10.
【分析】（1）当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，由OA=OC，得∠AOE=∠COF=90°，由题意得AD∥BC，∠EAO=∠FCO，可证明△AOE≌△COF，从而得出∴四边形AFCE是菱形．
（2）根据四边形AFCE是菱形，得出AF=AE=8，在Rt△ABF中，利用勾股定理得AB2+BF2=AF2，AB2+BF2=82，即可得出（AB+BF）2-2AB BF=64①，根据△ABF的面积为9，可求得AB BF=18②，再由①、②得：（AB+BF）2=100，得出AB+BF=10．
【详解】（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形,
又∵EA=EC
∴平行四边形AFCE是菱形.
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=8，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴AB2+BF2=64，∴（AB+BF）2-2AB·BF=64①，
∵△ABF的面积为9，
∴AB·BF=9，
∴AB·BF=18②，
由①、②得：（AB+BF）2=100，
∵AB+BF＞0，
∴AB+BF=10.
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质的综合运用．
23．(1)证明见解析；
(2)，，理由见解析
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
（1）先证明是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一般证明一组邻边相等，即可得到结论；
（2）由平行线的性质和角平分线的定义，得到，进而得出，再根据直角三角形斜边中点和菱形的性质，证明是等边三角形，得出，从而得到，，推出，再利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，为的中点，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，为的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：
∵，平分，
∴，
∴，
在中，为的中点，
，
由（1）可知，四边形为菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
∴，即，
∴在中，，
∴．
24．，证明见解析．
【分析】连接，根据正方形的性质可得，，，又由、分别为、的中点，即可证得四边形是矩形，由此即可证得EF垂直平分CD，根据垂直平分线的性质可得，再结合折叠的性质即可证得为等边三角形，由此即可求得的度数，进而即可求得的度数．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，
、分别为、的中点，
，
，
∵，，，
四边形是矩形，
，
，
又∵点是的中点，
∴EF垂直平分CD，
∴，
∵折叠，
∴，，
又∵，
∴，
为等边三角形，
，
，
．
【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及折叠的性质等相关知识．此题难度适中，解题的关键是灵活应用相关图形的判定与性质．
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