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2024-2025学年安徽省天一大联考高一下学期3月调研考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法错误的是( )
A. 向量与向量长度相等
B.
C. 若向量与共线，与共线，则与共线
D. 任一向量平移后都和原向量相等
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是单位向量，若，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
7.已知为所在平面内一点，且，若表示面积，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面四边形中，，，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，且在区间上单调递减，则( )
A. 在上单调递减且无最小值 B. 在上单调递增且无最大值
C. 在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数 D. 的图象关于直线对称
10.已知的外接圆半径为，内角，，所对的边分别是，，，，，则( )
A. 是锐角三角形 B. 是钝角三角形
C. D. 面积的最大值为
11.定义平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量，，则对于任意的向量，，，下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
13.高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水如图所示，，，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得，，三点的俯角分别为，，，计划沿直线开通穿山隧道，现已测得，，三条线段的长度分别为，，，则隧道的长度为 ．
14.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
Ⅰ当与的夹角为钝角时，求实数的取值范围
Ⅱ若，，且，，三点共线，求实数的值．
16.本小题分
已知向量，满足，，且与的夹角为．
Ⅰ若，求实数的值
Ⅱ求与的夹角的余弦值．
17.本小题分
在年春晚的舞台设计中，有一个“灵蛇”造型的灯光图案，其形状可以近似看作由函数的图象组成，其中，，下面是该函数的部分图象．
Ⅰ求的解析式
Ⅱ将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象，若在时有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
Ⅰ设函数，求在区间上的值域
Ⅱ设，证明：的图象是中心对称图形
Ⅲ若函数，且在区间上有零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
Ⅰ求
Ⅱ求的面积
Ⅲ以为坐标原点，以的方向为轴正方向，垂直于的直线为轴使点在轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值．
参考答案
1.
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8.
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14.
15.解：Ⅰ因为，．
所以，，
因为与的夹角为钝角，
所以解得且，
故的取值范围为
Ⅱ，，
因为，，三点共线，
所以，
所以，得．
16.解：因为，所以，
即，即，
所以，解得；
Ⅱ因为，
，
所以，
即与的夹角的余弦值为．
17.解：Ⅰ设的最小正周期为．
根据题图，由三角函数图象的对称性，
可得解得
由，得，又，所以．
故．
由，得，，
所以，
又因为，所以，
所以
Ⅱ将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变
得到函数的图象
要使在时有两个不同的实数解，
需在时有两个不同的实数解，
即需函数的图象与直线在时有两个不同的交点，
画出函数的部分图象与直线，
如图，
因为，所以，
由图可知，，
解得，
故实数的取值范围是．
18.Ⅰ解：
，
当时，单调递增，
又，，
故F在区间上的值域为．
Ⅱ证明：因为，
所以，
故H的图象关于点对称
Ⅲ解：由题意得，
设，当时，，
则在区间上有零点等价于函数在区间上有零点，
即在时有实数解，
即在时有实数解，
即在时有实数解．
设，则，，
易知在时单调递增，
且当时，，当时，，
所以，
故实数的取值范围是
19.解：Ⅰ因为，
所以，
因为，所以，
由正弦定理得，所以．
Ⅱ由可得A.
因为，
所以，即，
两边同时除以，得，
由于，当且仅当时等号成立，
而，当且仅当时等号成立，
所以，
此时，，所以，即，
所以的面积．
Ⅲ由Ⅱ可知，，，所以，所以题中所建坐标系如图所示，
则，，，，
所以，
即，
故可设为变量，
则，
所以的最小值为．
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