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专题二、胡不归问题
胡不归
从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路. 由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径 AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素,当他赶到家时,老人刚刚咽气,邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归 胡不归 …”
而如果先沿着驿道 AC 走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家 在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带 虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢
基础模型
特点：点A为直线上一定点,点B为直线外一定点,点P在直线上运动
问题：如何确定点P,使得kAP+BP(0结论分析
如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化
成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解
该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下：
一找：带有系数h的线段
二构:在点B异侧,构造以线段AP 为斜边的直角三角形:
以定点A为顶点作∠CAP,使得sin∠PAC=k;
过动点P作垂线构造 Rt△PAC:
三转化:化折为直,将kAP转化为PC:
四求解:使得kAP+BP=PC+BP,利用“垂线段最短”转化为求BD的长度.
典型题型：
如图，在 中，，，，若 是 边上的动点，则 的最小值是（ ）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，-3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则 的最小值是（ ）
A. 4
B.
C.
D.
如图，四边形 是菱形，，且 ， 为对角线 （不含 点）上任意一点，则 的最小值为______。
如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为______。
如图，中 ，，，为边 上一点，则 的最小值为______。
如图，在 中，，，半径为 的经过点 ， 是圆 的切线，且圆的直径 在线段 上，设点 是线段 上任意一点（不含端点），则 的最小值为______。
∠AOB = 30°, OM = 2, D为OB上动点，求MD + OD的最小值。
如图，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C。抛物线 的对称轴是 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B。
(1)求二次函数 的表达式；
(2)点 为线段 上的动点，求 的最小值；
(3)抛物线上是否存在点 ，过点 作 垂直x轴于点 ，使得以点 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。
如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 的坐标为 ，一次函数的图象与边 、、 轴分别交于点 、、，且，并且满足，点 是线段 上的一个动点。
(1) 求 的值；
(2) 连接 ，若 的面积与四边形 的面积之比为 1:3，求点 的坐标；
(3) 求的最小值。
参考答案：
【答案】D
【分析】过点C作射线CE，使 ，再过动点D作DF ⊥ CE，垂足为点F，连接AD，在Rt 中，当A、D、F在同一直线上，即时，AD + DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长。
【详解】解：过点C作射线CE，使 ，再过动点D作DF ⊥ CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：
在 中，，
当 在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长，此时，
是等边三角形，
在 中，，，
故选：D.
【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题。
【答案】A
【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 。根据，求出 的最小值即可解决问题。
【详解】解：过点 作 于 ，过点 作 于 。
∴二次函数 的图象与y轴交于点 ,
∴ ,
∴二次函数的解析式为 ，令 ，,
解得 或 ,
∴ ，,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ，,
∴ ,
∴ ,
设 ，则 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴∠PJC = 90°，
∴pJ = PC′
∴
∴DP + PJ ≥ DH，
∴DP + PJ ≥ ，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4。
故选：A。
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题。
【详解】如解图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 。四边形 是菱形，，
∴
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点B′，可证△ABB是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH = ，则，即当点B′、点C、点H三点共线时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解。
【详解】解：一次函数 分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点B（0，），
∴，，
∴，
作点B关于OA的对称点B′，连接AB′、BC，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴OB = OB’ =，
∴BB = 2，AB = AB = 2
∴AB = AB = BB，
∴△ABB是等边三角形，
∴AO ⊥ BB’，
∴∠BAO = ∠BAB = 30°，
∴CH ⊥ AB，
∴CH = AC，
∴2BC + AC = 2 ( BC + AC) = 2 ( BC + CH)，
∴当点B、点C、点H三点共线时，BC + CH有最小值，即2BC + AC有最小值。
此时，BH ⊥ AB，△ABB是等边三角形，
∴BH = AH =，∠BBH = 30°，
∴BH =，
∴2BC + AC的最小值为6。
故答案为：6。
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键。
【答案】6√3
【分析】作PH⊥AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=DP+PB=，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD+2PB有最小值，即可求解。
【详解】如图，过点P作PH ⊥ AD，交AD的延长线于H，
四边形 是平行四边形，
∴ ,
∴
∴
∴
∴ ,
∴
∴ 当点 、点 、点 三点共线时， 有最小值，即 有最小值，
此时 , , ,
∴ ,
则 最小值为 ,
故答案为：.
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识。构造直角三角形是解题的关键。
【答案】
【分析】 过点 作关于 的平行线，过点 作 垂直于该平行线于 ，可将 转化为 ，此时 就等于 ，当 共线时，即为所要求的最小值。
【详解】 解：如图所示，过点 作关于 的平行线，过点 作 垂直于该平行线于 ，
∵ ，∠，，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ 当 、、 三点共线，即在图中 在 位置， 在 位置的时候有 最小，
∴ 当 、、 三点共线时， 有最小值，
此时
∴ 的最小值为 ，
故答案为 。
【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将 进行转换。
【答案】
【详解】思路引领：（胡不归经典）作 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，当 时，（此时点 即为点 ） 的值最小，最小值是 的长。
答案详解：如图，
作 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，
所以当 时，（此时点 即为点 ）
的值最小，最小值是 的长，
∴在 中，，
∴ ,
∴ .
答： 的最小值为 .
【答案】(1)抛物线表达式为：；
(2) 的最小值是；
(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似。
【分析】(1) 先求的直线与x轴，y轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为，然后将点C的坐标代入即可求得a的值，从而得抛物线的表达式；
(2) 如图1，作∠OAE=30°，交y轴于E，过点P作PH⊥AE于H，当C、P、H三点共线时，AP+2PC的值最小，根据直角三角形含30度角的性质可得CH的长，从而可得结论；
(3) 首先可证明△ABC是直角三角形，且有AC=2BC，然后分三种情况讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（-3，2）时，△MAN∽△ABC；③当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系。
【详解】(1) 中，当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，
∴C（0，2），A（-4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=-\frac{3}{2}对称，
∴点B的坐标为（1，0）。
∴抛物线过A（-4，0），B（1，0），
可设抛物线表达式为,
又：抛物线过点C（0，2），
∴2=-4a，
∴a=，
∴抛物线表达式为：；
(2) 如图1，作∠OAE=30°，交y轴于E，过点P作PH⊥AE于H，
②如图3，根据抛物线的对称性，当 (-3, 2) 时，；
③如图4，当 在第四象限时，设 ，则 ,
∴ ,
当 时，，即 ,
整理得：,
解得：，,
∴ ；
当 时，，即 ,
整理得：,
解得：，,
∴ .
综上所述：存在 或 或 或 ，使得以点 为顶点的三角形与 相似。
【点睛】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，还考查了轴对称-最短路径问题，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质。
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
【分析】(1) 利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用特定系数法即可求解；
(2) 首先求出四边形在的面积，再根据条件求出和的面积，即可解决问题；
(3) 过点作上x轴交于点，则，即可转化为求的最小值。作点关于一次函数的对称点，过点作x轴的重线交x轴于点，交一次函数于点，即的最小值为。算出长度即可。
【详解】(1) 解：在 中，令 ，则 ,
∴ 点 的坐标为 ,
∵ , ,
∴ ,
把 代入 中得：
解得：;
(2) 解：由 (1) 得一次函数为 , , ,
∴ , , ,
∴ ,
∴ 的面积与四边形 的面积之比为 1:3,
∴ 的面积与四边形 的面积之比为 1:4,
∴ ,
设点 的横坐标为 ，则 ,
解得：,
把 代入 中得：,
∴ ;
(3) 解：如图所示，过点 作 轴交于点 ,
∵ ∠DFO = 30°,
∴ ,
∴ ,
作点O关于一次函数的对称点O, 且OO与直线DF交于Q点, 过点O作x轴的垂线交x轴于点N,
∴ ,
∴ ,
当O、M、N在同一直线时OM + MN最小,
即的最小值为,
∴ ∠DFO = 30°,
∴ ∠ODF = 60°, ∠DOQ = 30°, ∠OON = 90° - 30° = 60°,
在Rt ODQ中, DQ = OD = ,
∴
在Rt ONO中, ∠OON = 30°,
∴ 的最小值为.
【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积、直角三角形的性质以及勾股定理，属于中考压轴题。

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