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2025年数学中考复习
4.23 多边形与平行四边形
基础知识
项目四 三角形
考点要求
壹
1.四边形
了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线;探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
2.平行四边形
(1)理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念,以及它们之间的关系;了解四边形的不稳定性;
(2)探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分;探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(3)理解两条平行线之间距离的概念,能度量两条平行线之间的距离.
核心知识点
贰
知识点1 多边形的性质
性质 (1)内角和公式：n(n≥3)边形的内角和等
(2)多边形的外角和等于360°,与多边形的边数无关；
(3)对角线：过n(n≥3)边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形共有 条对角线.
知识点2 正多边形的性质
正多边形的性质
(1)正多边形的各边相等,各角相等.
(2)正边形的每一个内角为 ,每一个外角为 ;
(3)正多边形的边数=360°÷每个外角的度数;
(4)对称性:对于正边形,当为 时,是轴对称图形;当为 时,既是轴对称图形,又是中心对称图形;正边形有条对称轴;
(5)正边形有 个外接圆和 个内切圆,它们是同心圆,正边形的中心角等于它的任意一个外角.
【温馨提示】一个多边形只有同时满足各边相等、各角相等这两个条件才能成为正多边形,如:正四边形只有正方形,矩形和菱形只满足其中一个条件,不是正四边形.
任意正整数
偶数
1
1
知识点3 平行四边形的概念与性质
概念
两组对边分别平行且相等的四边形叫作平行四边形.
图形
性质
(1)边:两组对边分别平行,∥,∥ ;两组对边分别相等: ;
(2)角:两组对角分别相等, ;邻角互补:;
(3)对角线:对角线相互平分,, ;
(4)对称性:平行四边形是中心对称图形,而不是轴对称图形,对称中心是对角线的交点.
知识点4 平行四边形的判定
判定定理
(1)两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形,即:
四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形,即:→四边形是平行四边形;
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形,即:
→四边形是平行四边形;
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形,即:→四边形是平行四边形;
(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,即:∥,→四边形是平行四边形.
图形
面积 S=底×高=AB·DE.
知识点5 平行四边形的面积
考点攻坚
叁
考点1 多边形的性质
例1
(2022·崇左)如图所示,四边形的内角和等于（ ）
A.180°
B.270°
C.360°
D.540°
【解析】运用四边形内角和知识可知为360°,选C.
(2022·青岛)如图所示是一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形内角和是（ ）
A.900° B.720°
C.540° D.360
考点2 正多边形的性质
例2
【解析】本题考查了多边形的内角和公式的灵活运用.熟悉多边形的内角和公式是解本题的关键.边形的内角和公式为,再根据内角和公式计算即可.
.因此五边形的内角和是.故选C.
考点3 平行四边形的概念与性质
(2022·东莞)如图所示，在 中，,对角线与相交于点,,则的周长为 .
例3
【解析】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关健是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题.根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题。∴四边形ABCD是平行四边形。
考点4 平行四边形的判定
(2023· 湖南)如图所示，在四边形中，,若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是( )
例4
A.AD=BC B.∠ABD=∠BDC C.AB=AD D.∠A=∠C
【解析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键。根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解。
A选项，根据AB//CD,AD=BC,不能判断四边形ABCD为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B选项，∵AB//CD,∴∠ABD=∠BDC,不能判断四边形ABCD为平四边形，故该选项不正确，不符合题意；
C选项，∵AB//CD,AB=AD,不能判断四边形ABCD为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意
D选项，∵AB//CD,∴∠ABC+∠C=180°。∠A=∠C,∠ABC十∠A=180。∴AD//BC。∴四边形ABCD为平形四边形。故该选项正确，符合题意。故选D。
专项训练
肆
1.(2023·敦煌)如图1所示是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图2所示是八角形空窗的示意图，它的一个外角( A)
A.45° B. 60° C.110 ° D.135°
2.(2022·鹰潭)如图所示,在平行四边形中,连接,已知,则（C）
A.80° B.100°
C.120° D.140°
3.(2022·河北)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是（ ）
D
4.(2024·常州)如图,在四边形中,,.
(1)求证:四边形是平行四边形.
(2)若,求四边形的面积.
答案
答案
5.(2023·山东)如图所示，正八边形的边长为4,以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 (结果保留).
6
提升训练
6.(2023·安徽)如图所示，正五边形内接于 ,连接,,则( )
A.60°
B.54°
C.48°
D.36°
D
课堂练习
伍
1.(2024·天水)在中,对角线交于点,若,,,的周长为( )
A.13
B.16
C.18
D.21
A
2.(2023·东莞)如图所示，在平行四边形中，,,将线段水平向右平移个单位长度得到线段,若四边形为菱形时，则的值为(B )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2023·长沙)下列命题正确的是(A)
A. 正方形的对角线相等且互相平分
B. 对角互补的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线互相垂直
D. 一组邻边相等的四边形是菱形
4. 如图所示,过对角线的交点,交,交,若的周长为18,1.5,则四边形的周长为( )
A.14
B.13
C.12
D.10
C
5. 如图所示,的中位线,过点交的延长线于点,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
B
6.(2023·成都)如图所示,半径为5的扇形中,,上一点,,,垂足分别为,若,则图中阴影部分面积为( )
︵
B
A. B. D.
7.如图,在中,点的坐标分别为(2,0),(0,1),(1,2),则的周长为 .
8.(2023·荆州)如图所示,在菱形中,为菱形的对角线,,,点中点,则的长为 .
5
9.在,这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明.
如图所示，已知，四边形是平行四边形，对角线相交于点上， (填写序号).
求证：.
答案
10.(2024·丹东)如图, 在中,,,,的角平分线,点上一动点,点的中点,连接,则的最小值是(B)
A. 2 B.2 C. 4 D.4
11.(2023· 牡丹江)如图所示, 在平面直角坐标系中,菱形的顶点在轴上,,,,,将菱形绕点旋转90°后,得到菱形,则点的坐标是 或 .
12.(2023·湖南)如图所示,在中,点分别为的中点,点在线段上,连接,点分别为的中点.
(1)求证:四边形为平行四边形;
(2),,,求线段的长度.
答案
12.(1)证明：∵点D、E分别为AB,AC的中点。
∴DE∥BC,DE=BC.
∵点G,F分别为BH,CH的中点,GF∥BC,GF=BC
∴GF∥DE,GF=DE,∴四边形DEFG为平行四边形；
(2)解：四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF=2,
∵DG⊥BH,∠DGB=90°
∵BD=3,BG===。
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