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专题提升三　“弹簧—小球”模型与“滑块—曲面(光滑)”模型
选择题1～8题，每小题8分，共64分。
基础对点练
题组一　“弹簧—小球”模型
1.(多选)如图所示，小球A与小球B由轻弹簧连接，置于光滑水平面上。一颗子弹以水平初速度v0射入小球A，并在极短时间内嵌在其中。已知小球B的质量为2m，小球A与子弹的质量均是m，弹簧始终在弹性限度内，子弹射入小球以后的过程中，下列说法正确的是(　　)
子弹、小球A和小球B组成的系统动量守恒
子弹、小球A和小球B组成的系统总动能保持不变
当弹簧压缩至最短时，小球B动能最大
当弹簧压缩至最短时，弹簧的弹性势能最大
2.如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，都可视作质点，Q与轻质弹簧相连。设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生相互作用，在整个过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于(　　)
P的初动能 P的初动能的
P的初动能的 P的初动能的
3．(多选)如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧右端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x。现让弹簧右端连接另一质量为m的物体B(如图乙所示)，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则(　　)
物体A的质量为3m
物体A的质量为2m
弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv
弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv
题组二　“滑块—曲面”模型
4.如图所示，木块B静止在光滑的水平面上，木块上有半径为r＝0.4 m的光滑圆弧轨道，且圆弧轨道的底端与水平面相切，一可视为质点的物块A以水平向左的速度v0冲上木块，经过一段时间刚好运动到木块的最高点，随后再返回到水平面。已知两物块的质量满足mA＝mB＝1 kg。重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
物块A滑到最高点时的速度为零
物块A的初速度大小为4 m/s
物块A返回水平面时的速度为4 m/s
木块B的最大速度为2 m/s
5.(多选)如图所示，一质量为m、半径为R的四分之一光滑圆弧槽，放在光滑的水平面上，有一质量也为m的小球由槽顶端A静止释放，在其下滑至槽末端B的过程中，已知重力加速度为g，空气阻力忽略不计。则下列说法正确的是(　　)
若圆弧槽固定，小球的机械能守恒
若圆弧槽固定，小球滑至B点时对槽的压力大小为3mg
若圆弧槽不固定，小球和槽组成的系统动量守恒
圆弧槽固定和不固定情形下，小球滑到B点时的速度大小之比为1∶1
综合提升练
6.如图所示，物块A、B由轻弹簧相连，置于光滑水平地面上，轻弹簧处于压缩状态并被锁定，物块A与墙壁接触，物块B的质量为4 kg。某时刻解除锁定，物块A离开墙壁后，物块B的最大速度为4 m/s，最小速度为1 m/s，则下列说法正确的是(　　)
运动过程中物块A的最大速度为vm＝5 m/s
物块A的质量为2 kg
在物块A离开墙壁后物块A、B及弹簧组成的系统动量守恒，机械能不守恒
在物块A离开墙壁后弹簧的最大弹性势能为32 J
7．(多选)(2024·福建福州市高二联考期中)如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为M的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去。若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为v1、v2，作出图像如图乙所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
小球的质量为M
小球的质量为M
小球能够上升的最大高度为
小球运动到最高点时的速度为
8.(多选)如图所示，在光滑的水平面上放有两个小球A和B，mA＞mB，B球上固定一轻质弹簧。A球以速率v去碰撞静止的B球，则(　　)
A球的最小速率为零
B球的最大速率为v
当弹簧压缩到最短时，B球的速率最大
两球的动能最小值为eq \f(mv2,2（mA＋mB）)
9．(16分)(2024·江苏泰州市高二统考期末)如图所示，在水平面上依次放置小物块A以及曲面劈B，其中A的质量为m，B的质量M＝3m，曲面劈B的曲面下端与水平面相切，且曲面劈B足够高，所有的摩擦均不计。现给A一个正对B曲面的初速度，使A冲上曲面劈，已知物块A到达最大高度时速度为v1，随后从曲面劈B上滑离，重力加速度大小为g。求：
(1)(4分)A的初速度v0；
(2)(6分)A到达最大高度H；
(3)(6分)A从曲面劈B上滑离的速度v2。
培优加强练
10．(20分)(2024·陕西咸阳市高二统考期中)如图所示，滑块A、B、C位于光滑水平面上，已知A的质量mA＝1 kg，B的质量mB＝mC＝2 kg。滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块以v0＝3 m/s的速度水平向右运动，通过弹簧与静止的滑块B相互作用(无机械能损失)，直至分开未与C相撞。整个过程弹簧没有超过弹性限度，求：
(1)(5分)弹簧被压缩到最短时，B滑块的速度大小；
(2)(5分)弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能；
(3)(5分)从A与弹簧相互作用开始到A与弹簧分开，该过程中弹簧给滑块B的冲量；
(4)(5分)若弹簧被压缩到最短时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞过程时间极短，求B、C粘在一起瞬间的速度大小及整个系统损失的机械能。
专题提升三　“弹簧—小球”模型与“滑块—曲面(光滑)”模型
1.AD　[子弹、小球A和小球B组成的系统水平方向受到合外力为零，则系统动量守恒，故A正确；子弹射入木块以后的过程中，由于弹簧的弹性势能发生变化，可知子弹、小球A和小球B组成的系统总动能发生变化，故B错误；当弹簧再次恢复原长时，小球B的速度最大，小球B的动能最大，故C错误；当子弹、小球A和B速度相等时，弹簧压缩到最短，弹簧的弹性势能最大，故D正确。]
2.B　[把小滑块P和Q以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒，在整个过程中，当小滑块P和Q的速度相等时，弹簧的弹性势能最大。以P的初速度方向为正方向，设小滑块P的初速度为v0，两滑块的质量均为m，则mv0＝2mv，解得v＝，P的初动能Ek0＝mv，弹簧具有的最大弹性势能Ep＝mv－×2mv2＝mv＝Ek0，故选项B正确。]
3.AC　[对题图甲，设物体A的质量为M，由机械能守恒定律可得，弹簧压缩x时弹性势能Ep＝Mv；对题图乙，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，A、B组成的系统动量守恒，弹簧达到最大压缩量时，A、B速度相等，由动量守恒定律有M·2v0＝(M＋m)v，由能量守恒定律有Ep＝M(2v0)2－(M＋m)v2，联立解得M＝3m，Ep＝mv，选项A、C正确，B、D错误。]
4.B　[物块A刚好运动到木块B的最高点时，两者达到共速，设此时速度为v，对物块A和木块B组成的系统，由机械能守恒定律得mAv＝mAgr＋(mA＋mB)v2，在水平方向上，由动量守恒定律得mAv0＝(mA＋mB)v，解得v0＝4 m/s，v＝2 m/s，选项A错误，B正确；当物块A返回到水平面时，木块B的速度最大，由机械能守恒定律得mAv＝mAv＋mBv，在水平方向上，由动量守恒定律得mAv0＝mAv1＋mBv2，解得v1＝0，v2＝4 m/s，选项C、D错误。]
5.AB　[若圆弧槽固定，小球下滑过程中只有重力做功，小球的机械能守恒，A正确；若圆弧槽固定，小球滑至B点时的速度为mgR＝mv，小球下滑的过程中做圆周运动有N－mg＝meq \f(v,R)，解得N＝3mg，根据牛顿第三定律可知小球滑至B点时对槽的压力大小为3mg，B正确；若圆弧槽不固定，小球和槽组成的系统在水平方向动量守恒，C错误；圆弧槽不固定的情形下，小球滑到B点时的速度为v，取水平向右为正 －mv＋mv＝0，根据系统机械能守恒有mgR＝×2mv2，解得圆弧槽不固定的情形下，小球滑到B点时的速度为v＝，再结合选项B，可知圆弧槽固定和不固定情形下，小球滑到B点时的速度之比为∶1，D错误。]
6.A　[在物块A离开墙壁后，物块A、B及弹簧组成的系统不受摩擦力，合外力为零，机械能守恒，动量守恒，故C错误；由题意可知物块A离开墙壁瞬间物块B的速度为v0＝4 m/s，物块B的速度最小值为vB＝1 m/s，物块B的速度最小时，弹簧第一次恢复原长，物块A的速度最大，取向右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得mBv0＝mAvm＋mBvB，mBv＝mAv＋mBv，解得mA＝2.4 kg，vm＝5 m/s，故A正确，B错误；分析从物块A离开墙壁后物块A、B的运动过程，弹性势能最大时物块A、B的共同速度为v共，根据动量守恒定律得mBv0＝(mA＋mB)v共，解得v共＝2.5 m/s，根据机械能守恒定律得mBv＝Ep＋(mA＋mB)v，解得Ep＝12 J，故D错误。]
7.AD　[设小球刚刚冲上滑块圆弧面时的速度为v0，小球和滑块组成的系统水平方向动量守恒，则有mv0＝mv1＋Mv2，可得v2＝v0－v1，由图乙可得v2＝b－v1，所以有v0＝b，＝，得小球的质量为m＝M，v0＝a，故A正确，B错误；小球上升到最大高度时，小球竖直方向速度为零，小球和滑块速度相等，取向右为正方向，根据动量守恒定律有mv0＝(M＋m)v，设小球上升的最大高度为h，根据能量守恒定律有mgh＝mv－(M＋m)v2，两式联立得h＝，小球上升到最高点的速度为v＝，故C错误，D正确。]
8.BD　[A球与弹簧接触后，弹簧被压缩，弹簧对A球产生向左的弹力，对B球产生向右的弹力，故A球做减速运动，B球做加速运动，当B球的速度等于A球的速度时弹簧的压缩量最大，此后A球继续减速，B球速度继续增大，弹簧压缩量减小，当弹簧恢复原长时，B球速度最大，A球速度最小，此过程动量守恒、机械能守恒，则有mAv＝mAv1＋mBv2，mAv2＝mAv＋mBv，解得v1＝v，v2＝v，因为mA＞mB，所以A球的最小速率不为零，B球的最大速率为v，故A、C错误，B正确；两球共速时，弹簧压缩到最短，弹性势能最大，此时两球动能最小，根据动量守恒定律有mAv＝(mA＋mB)v共，Ek＝(mA＋mB)v，联立可得Ek＝eq \f(mv2,2（mA＋mB）)，故D正确。]
9.(1)4v1　(2)eq \f(6v,g)　(3)－2v1
解析　(1)物块A到达最大高度时，A、B共速，均为v1，由动量守恒定律得mv0＝(m＋M)v1，解得v0＝v1＝4v1。
(2)A到达最大高度时，由能量守恒定律得
mv＝(m＋M)v＋mgH
解得H＝eq \f(M（M＋m）v,2m2g)＝eq \f(6v,g)。
(3)A从曲面劈B上滑离时，由动量守恒定律和能量守恒定律得mv0＝mv2＋Mv3，mv＝mv＋Mv
解得v2＝v1＝－2v1。
10.(1)1 m/s　(2)3 J　(3)4 N·s　(4)0.5 m/s　0.5 J
解析　(1)对A、B系统，A、B速度相等时，弹簧被压缩到最短，根据动量守恒定律有mAv0＝(mA＋mB)v1，解得v1＝1 m/s。
(2)弹簧被压缩到最短时，根据能量守恒定律有mAv＝Ep＋(mA＋mB)v，解得Ep＝3 J。
(3)从A与弹簧相互作用开始到A与弹簧分开，B一直加速，B与弹簧分开后，B的速度最大，根据动量守恒定律和能量守恒定律有mAv0＝mAvA＋mBvB，mAv＝mAv＋mBv
解得vB＝2 m/s，则弹簧给滑块B的冲量
I＝Δp＝mBvB＝4 N·s。
(4)弹簧被压缩到最短时，B速度为v1＝1 m/s，此时B与C发生完全非弹性碰撞，对B、C组成的系统，由动量守恒定律得mBv1＝(mB＋mC)v2
解得v2＝0.5 m/s
只有B与C发生非弹性碰撞，有机械能损失，对B、C组成的系统，则损失的系统机械能为
ΔE＝mBv－(mB＋mC)v＝0.5 J。专题提升三　“弹簧—小球”模型与“滑块—曲面(光滑)”模型
学习目标　1.能利用动量守恒和能量守恒分析两类模型。2.能灵活运用动量守恒定律、动能定理、能量守恒定律解决相关问题。
提升一　“弹簧—小球”模型
如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球B，左端与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球A以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问：
(1)弹簧的弹性势能什么情况下最大？最大为多少？
(2)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧长度如何变化？
(3)弹簧第一次恢复原长时，系统的动量和是否守恒？系统的总动能是否变化？你有什么启发？
(4)小球B的速度什么情况下最大，最大为多少？A球的速度是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 如图所示，两滑块A、B位于光滑水平面上，已知A的质量mA＝2 kg，B的质量mB＝3 kg。滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块A以v0＝5 m/s的速度水平向右运动，通过弹簧与静止的滑块B相互作用(整个过程弹簧没有超过弹性限度)，直至分开。求：
(1)滑块通过弹簧相互作用过程中弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块B的最大动能；
(3)滑块A的动能最小时，弹簧的弹性势能。
　
　
　
　
　
　
　
例2 如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接。并且静止在光滑的水平面上。现使m1瞬间获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得(　　)
A.在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s且弹簧都是处于压缩状态
B.从t3到t4时刻弹簧由压缩状态逐渐恢复原长
C.两物块的质量之比为m1∶m2 ＝1∶2
D.在t2时刻两物块的动量大小之比为p1∶p2＝1∶2
对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则系统动量守恒。若接触面光滑，弹簧和物体组成的系统机械能守恒。
(1)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。
(2)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。
提升二　“滑块—曲面(光滑)”模型
如图所示，有一质量为m的小球，以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道。已知圆弧轨道的质量为2m，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g，试分析：
(1)在相互作用的过程中，小球和轨道组成的系统机械能是否守恒？总动量是否守恒？
(2)小球到达最高点时，小球与轨道的速度有什么关系？最大高度为多少？
(3)小球与轨道分离时两者的速度分别是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 (多选)如图所示，在光滑水平面上停放质量为m装有弧形槽的小车。现有一质量也为m的小球以v0的水平速度沿切线水平的槽口向小车滑去(不计摩擦)，到达某一高度后，小球又返回小车右端，则(　　)
A.小球在小车上到达最高点时的速度大小为
B.小球离车后，对地将向右做平抛运动
C.小球离车后，对地将做自由落体运动
D.此过程中小球对车做的功为mv
例4 (多选)(2024·吉林通化市高二统考期末)质量为M、右侧曲面光滑的木块静止在光滑的水平地面上，木块右端非常薄，与地面平滑连接。质量为m的小球从静止开始沿木块的曲面下滑，小球起始位置距离地面的高度为h，重力加速度为g。若M＝2m，则(　　)
A.小球下滑的过程中，木块一直向左加速运动
B.小球下滑的过程中，小球减少的机械能为mgh
C.小球滑落至地面时，小球的速度为
D.小球滑落至地面时，木块的速度为
在滑块—曲(光滑)面模型中，若滑块始终未脱离曲面
1.当滑块上升到最大高度时，滑块与曲面具有共同水平速度v共。此时滑块的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能)。
2.当滑块返回最低点时，滑块与曲面分离。水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(相当于完成了弹性碰撞)。
3.核心方法为动量守恒、机械能守恒，即“双守恒”。　　
随堂对点自测
1.(“弹簧—小球”模型)如图所示，在光滑的水平面上，有两个小球A和B，球A的质量为2m，球B的质量为m，两球之间用处于原长状态的轻质弹簧相连，开始小球B静止，小球A以速度v0向右运动，求这以后的运动过程中，弹簧获得的最大弹性势能为(　　)
A.mv B.mv
C.mv D.mv
2.(“滑块—曲面”模型)(2024·河北唐山十中期中)质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是一个四分之一的光滑圆弧轨道，轨道下端切线水平。质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，重力加速度为g，如图所示。已知小球不从小车上端离开小车，小球滑上小车又滑下，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，则m∶M的值为(　　)
A.1∶3 B.1∶4
C.3∶5 D.2∶3
专题提升三　“弹簧—小球”模型与“滑块—曲面(光滑)”模型
提升一
导学　提示　(1)当两个小球速度相同时，弹簧最短，弹簧的弹性势能最大。
由动量守恒定律得m1v0＝(m1＋m2)v
由能量守恒定律得m1v＝(m1＋m2)v2＋Epmax
解得Epmax＝eq \f(m1m2v,2（m1＋m2）)。
(2)如图所示，两球共速后，A减速，B加速，A、B间的距离增大，故弹簧的压缩量减小，弹簧的长度增加。
INCLUDEPICTURE"L63A.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\2024(秋)物理 选择性必修 第一册 鲁科版\\学生WORD文档\\L63A.tif" \* MERGEFORMATINET
(3)系统的动量守恒，系统的总动能不变；全程满足弹性碰撞规律。
(4)当弹簧恢复原长时，小球B的速度最大，
由动量守恒定律得m1v0＝m1v1＋m2v2
由能量守恒定律得m1v＝m1v＋m2v
解得v2＝，v1＝v0。
例1 (1)15 J　(2)24 J　(3) J
解析　(1)当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，此时滑块A和B的速度相同。选取向右为正方向，根据动量守恒定律有mAv0＝(mA＋mB)v，解得v＝2 m/s。
根据机械能守恒定律知，弹簧的最大弹性势能等于滑块A、B损失的动能，即Ep＝mAv－(mA＋mB)v2
解得Ep＝15 J。
(2)当A、B分离时，弹簧恢复原长，滑块B的速度最大，动能最大，由动量守恒定律和能量守恒定律得mAv0＝mAvA＋mBvB
mAv＝mAv＋mBv
解得vA＝－1 m/s，vB＝4 m/s
则滑块B的最大动能Ek＝mBv＝24 J。
(3)当A的速度为零时，滑块A的动能最小，根据动量守恒定律mAv0＝mAvA′＋mBvB′(vA′＝0)，解得vB′＝ m/s
弹簧的弹性势能Ep′＝mAv－mBvB′2，解得Ep′＝ J。
例2 C　[由题图乙可知t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，总动能最小，根据系统机械能守恒可知，此时弹性势能最大，t1时刻弹簧处于压缩状态，t3时刻弹簧处于伸长状态，故A错误；结合题图乙可知两物块的运动过程，开始时m1逐渐减速，m2逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被压缩至最短，然后弹簧逐渐恢复原长，m2继续加速，m1先减速为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长状态，因为此时两物块速度相反，所以弹簧的长度将逐渐增大，m2减速，m1先减速，速度减为0后，反向加速，t3时刻，两物块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此从t3到t4过程中弹簧由伸长状态恢复原长，故B错误；根据系统动量守恒，从0到t1时刻有m1v1＝(m1＋m2)v2，将v1＝3 m/s，v2＝1 m/s代入得m1∶m2＝1∶2，故C正确；在t2时刻，m1的速度为v1′＝－1 m/s，m2的速度为v2′＝2 m/s，又m1∶m2＝1∶2，则动量大小之比为p1∶p2＝1∶4，故D错误。]
提升二
导学　提示　(1)整个过程中系统的机械能守恒，系统水平方向动量守恒，竖直方向上动量不守恒，故总动量不守恒。
(2)当小球上升到最高点时，小球和轨道的速度相同。取初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mv0＝3mv
由能量守恒定律得mv＝×3mv2＋mgh，解得h＝eq \f(v,3g)。
(3)设小球离开轨道时的速度为v1，轨道的速度为v2，由动量守恒定律有mv0＝mv1＋2mv2
根据机械能守恒定律有mv＝mv＋×2mv
联立以上两式可得v1＝－v0，v2＝v0。
例3 AC　[当小球沿弧形槽上升到最大高度时，小球与小车具有相同的速度，根据系统水平方向动量守恒可得mv0＝2mv，解得v＝，故A正确；设小球离开小车时，小球的速度为v1，小车的速度为v2，整个过程中动量守恒、机械能守恒，得mv0＝mv1＋mv2，mv＝mv＋mv，联立解得v1＝0，v2＝v0，即小球与小车分离后二者交换速度，所以小球与小车分离后做自由落体运动，故B错误，C正确；小球对车做的功为W＝mv＝mv，故D错误。]
例4 AD　[小球下滑过程中，木块受到小球的挤压力，压力有水平向左的分量，直到小球滑落至地面，所以木块一直向左加速运动，故A正确；小球和木块组成的系统水平方向动量守恒，由动量守恒定律得0＝mv1－Mv2，小球滑落至地面时，根据机械能守恒定律有mgh＝mv＋Mv，解得v1＝2，v2＝，小球下滑的过程中，小球减少的机械能为ΔE＝mgh－mv＝mgh，故B、C错误，D正确。]
随堂对点自测
1.A　[两球具有共同速度时，弹簧的弹性势能最大，规定向右为正方向，根据动量守恒定律与能量守恒定律，则有2mv0＝(m＋2m)v，Ep＝×2mv－(m＋2m)v2，解得Ep＝mv，故A正确。]
2.C　[设小球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律可得
mv0＝Mv1－mv2
对整体由机械能守恒定律可得mv＝Mv＋mv
又＝，联立解得＝，故C正确。](共49张PPT)
专题提升三　“弹簧—小球”模型与“滑块—
曲面(光滑)”模型
第1章 动量及其守恒定律
1.能利用动量守恒和能量守恒分析两类模型。
2.能灵活运用动量守恒定律、动能定理、能量守恒定律解决相关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升二　“滑块—曲面(光滑)”模型
提升一　“弹簧—小球”模型
提升一　“弹簧—小球”模型
如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球B，左端与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球A以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问：
(1)弹簧的弹性势能什么情况下最大？最大为多少？
(2)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧长度如何变化？
(3)弹簧第一次恢复原长时，系统的动量和是否守恒？系统的总动能是否变化？你有什么启发？
(4)小球B的速度什么情况下最大，最大为多少？A球的速度是多少？
提示　(1)当两个小球速度相同时，弹簧最短，弹簧的弹性势能最大。
由动量守恒定律得m1v0＝(m1＋m2)v
(2)如图所示，两球共速后，A减速，B加速，A、B间的距离增大，故弹簧的压缩量减小，弹簧的长度增加。
(3)系统的动量守恒，系统的总动能不变；全程满足弹性碰撞规律。
(4)当弹簧恢复原长时，小球B的速度最大，
由动量守恒定律得m1v0＝m1v1＋m2v2
例1 如图所示，两滑块A、B位于光滑水平面上，已知A的质量mA＝2 kg，B的质量mB＝3 kg。滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块A以v0＝5 m/s的速度水平向右运动，通过弹簧与静止的滑块B相互作用(整个过程弹簧没有超过弹性限度)，直至分开。求：
(1)滑块通过弹簧相互作用过程中弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块B的最大动能；
(3)滑块A的动能最小时，弹簧的弹性势能。
解析　(1)当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，此时滑块A和B的速度相同。选取向右为正方向，根据动量守恒定律有
mAv0＝(mA＋mB)v，解得v＝2 m/s。
根据机械能守恒定律知，弹簧的最大弹性势能等于滑块A、B损失的动能，即
(2)当A、B分离时，弹簧恢复原长，滑块B的速度最大，动能最大，由动量守恒定律和能量守恒定律得mAv0＝mAvA＋mBvB
解得vA＝－1 m/s，vB＝4 m/s
C
例2 如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接。并且静止在光滑的水平面上。现使m1瞬间获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得(　　)
A.在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s且弹簧都是处于压缩状态
B.从t3到t4时刻弹簧由压缩状态逐渐恢复原长
C.两物块的质量之比为m1∶m2 ＝1∶2
D.在t2时刻两物块的动量大小之比为p1∶p2＝1∶2
解析　由题图乙可知t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，总动能最小，根据系统机械能守恒可知，此时弹性势能最大，t1时刻弹簧处于压缩状态，t3时刻弹簧处于伸长状态，故A错误；结合题图乙可知两物块的运动过程，开始时m1逐渐减速，m2逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被压缩至最短，然后弹簧逐渐恢复原长，m2继续加速，m1先减速为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长状态，因为此时两物块速度相反，所以弹簧
的长度将逐渐增大，m2减速，m1先减速，速度减为0后，反向加速，t3时刻，两物块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此从t3到t4过程中弹簧由伸长状态恢复原长，故B错误；根据系统动量守恒，从0到t1时刻有m1v1＝(m1＋m2)v2，将v1＝3 m/s，v2＝1 m/s代入得m1∶m2＝1∶2，故C正确；在t2时刻，m1的速度为v1′＝－1 m/s，m2的速度为v2′＝2 m/s，又m1∶m2＝1∶2，则动量大小之比为p1∶p2＝1∶4，故D错误。
对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则系统动量守恒。若接触面光滑，弹簧和物体组成的系统机械能守恒。
(1)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。
(2)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。　　
提升二　“滑块—曲面(光滑)”模型
如图所示，有一质量为m的小球，以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道。已知圆弧轨道的质量为2m，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g，试分析：
(1)在相互作用的过程中，小球和轨道组成的系统机械能
是否守恒？总动量是否守恒？
(2)小球到达最高点时，小球与轨道的速度有什么关系？最大高度为多少？
(3)小球与轨道分离时两者的速度分别是多少？
提示　(1)整个过程中系统的机械能守恒，系统水平方向动量守恒，竖直方向上动量不守恒，故总动量不守恒。
(2)当小球上升到最高点时，小球和轨道的速度相同。取初速度方向为正方向，由动量守恒定律得
mv0＝3mv
(3)设小球离开轨道时的速度为v1，轨道的速度为v2，由动量守恒定律有mv0＝mv1＋2mv2
根据机械能守恒定律有
AC
AD
随堂对点自测
2
A
1.(“弹簧—小球”模型)如图所示，在光滑的水平面上，有两个小球A和B，球A的质量为2m，球B的质量为m，两球之间用处于原长状态的轻质弹簧相连，开始小球B静止，小球A以速度v0向右运动，求这以后的运动过程中，弹簧获得的最大弹性势能为(　　)
B
2.(“滑块—曲面”模型)(2024·河北唐山十中期中)质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是一个四分之一的光滑圆弧轨道，轨道下端切线水平。质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，重力加速度为g，如图所示。已知小球不从小车上端离开小车，小球滑上小车又滑下，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，则m∶M的值为(　　)
A.1∶3 B.1∶4
C.3∶5 D.2∶3
课后巩固训练
3
AD
题组一　“弹簧—小球”模型
1.(多选)如图所示，小球A与小球B由轻弹簧连接，置于光滑水平面上。一颗子弹以水平初速度v0射入小球A，并在极短时间内嵌在其中。已知小球B的质量为2m，小球A与子弹的质量均是m，弹簧始终在弹性限度内，子弹射入小球以后的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.子弹、小球A和小球B组成的系统动量守恒
B.子弹、小球A和小球B组成的系统总动能保持不变
C.当弹簧压缩至最短时，小球B动能最大
D.当弹簧压缩至最短时，弹簧的弹性势能最大
基础对点练
解析　子弹、小球A和小球B组成的系统水平方向受到合外力为零，则系统动量守恒，故A正确；子弹射入木块以后的过程中，由于弹簧的弹性势能发生变化，可知子弹、小球A和小球B组成的系统总动能发生变化，故B错误；当弹簧再次恢复原长时，小球B的速度最大，小球B的动能最大，故C错误；当子弹、小球A和B速度相等时，弹簧压缩到最短，弹簧的弹性势能最大，故D正确。
B
2.如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，都可视作质点，Q与轻质弹簧相连。设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生相互作用，在整个过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于(　　)
AC
B
题组二　“滑块—曲面”模型
4.如图所示，木块B静止在光滑的水平面上，木块上有半径为r＝0.4 m的光滑圆弧轨道，且圆弧轨道的底端与水平面相切，一可视为质点的物块A以水平向左的速度v0冲上木块，经过一段时间刚好运动到木块的最高点，随后再返回到水平面。已知两物块的质量满足mA＝mB＝1 kg。重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.物块A滑到最高点时的速度为零
B.物块A的初速度大小为4 m/s
C.物块A返回水平面时的速度为4 m/s
D.木块B的最大速度为2 m/s
AB
5.(多选)如图所示，一质量为m、半径为R的四分之一光滑圆弧槽，放在光滑的水平面上，有一质量也为m的小球由槽顶端A静止释放，在其下滑至槽末端B的过程中，已知重力加速度为g，空气阻力忽略不计。则下列说法正确的是(　　)
A.若圆弧槽固定，小球的机械能守恒
B.若圆弧槽固定，小球滑至B点时对槽
的压力大小为3mg
C.若圆弧槽不固定，小球和槽组成的系统动量守恒
D.圆弧槽固定和不固定情形下，小球滑到B点时的速度大小之比为1∶1
A
综合提升练
6.如图所示，物块A、B由轻弹簧相连，置于光滑水平地面上，轻弹簧处于压缩状态并被锁定，物块A与墙壁接触，物块B的质量为4 kg。某时刻解除锁定，物块A离开墙壁后，物块B的最大速度为4 m/s，最小速度为1 m/s，则下列说法正确的是(　　)
A.运动过程中物块A的最大速度为vm＝5 m/s
B.物块A的质量为2 kg
C.在物块A离开墙壁后物块A、B及弹簧组成的系统动量守恒，机械能不守恒
D.在物块A离开墙壁后弹簧的最大弹性势能为32 J
AD
BD
9.(2024·江苏泰州市高二统考期末)如图所示，在水平面上依次放置小物块A以及曲面劈B，其中A的质量为m，B的质量M＝3m，曲面劈B的曲面下端与水平面相切，且曲面劈B足够高，所有的摩擦均不计。现给A一个正对B曲面的初速度，使A冲上曲面劈，已知物块A到达最大高度时速度为v1，随后从曲面劈B上滑离，重力加速度大小为g。求：
(1)A的初速度v0；
(2)A到达最大高度H；
(3)A从曲面劈B上滑离的速度v2。
培优加强练
10.(2024·陕西咸阳市高二统考期中)如图所示，滑块A、B、C位于光滑水平面上，已知A的质量mA＝1 kg，B的质量mB＝mC＝2 kg。滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块以v0＝3 m/s的速度水平向右运动，通过弹簧与静止的滑块B相互作用(无机械能损失)，直至分开未与C相撞。整个过程弹簧没有超过弹性限度，求：
(1)弹簧被压缩到最短时，B滑块的速度大小；
(2)弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能；
(3)从A与弹簧相互作用开始到A与弹簧分开，
该过程中弹簧给滑块B的冲量；
(4)若弹簧被压缩到最短时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞过程时间极短，求B、C粘在一起瞬间的速度大小及整个系统损失的机械能。
答案　(1)1 m/s　(2)3 J　(3)4 N·s (4)0.5 m/s　0.5 J
解析　(1)对A、B系统，A、B速度相等时，弹簧被压缩到最短，根据动量守恒定律有
mAv0＝(mA＋mB)v1
解得v1＝1 m/s。
解得vB＝2 m/s，则弹簧给滑块B的冲量I＝Δp＝mBvB＝4 N·s。
(4)弹簧被压缩到最短时，B速度为v1＝1 m/s，此时B与C发生完全非弹性碰撞，对B、C组成的系统，由动量守恒定律得mBv1＝(mB＋mC)v2
解得v2＝0.5 m/s

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