资源简介

第2节　振动的描述
选择题1～9题，每小题8分，共72分。
基础对点练
题组一　简谐运动的描述
1．(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是(　　)
振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
周期和频率的乘积是一个常数
振幅增加，周期必然增加，而频率减小
做简谐运动的物体，其频率与振幅无关
2．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)
1∶1　1∶1 1∶1　1∶2
1∶4　1∶4 1∶2　1∶2
题组二　简谐运动的位移图像
3．如图所示，光滑直杆上弹簧连接的小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。以O点为原点，选择由O指向B为正方向，建立Ox坐标轴。小球经过A点时开始计时，经过0.5 s首次到达B点。则小球在第一个周期内的振动图像为(　　)
A B C D
4．(2024·广东肇庆市期末)某振子做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
该简谐运动的振幅为10 cm
t＝2 s时，振子的动能为零
0～2 s内，振子通过的路程为5 cm
t＝3 s时，振子的加速度最大
5．(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　)
物体的振动周期是2×10－2 s
第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
物体的振动频率为25 Hz
物体的振幅是10 cm
题组三　简谐运动的位移公式
6．(多选)某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝3sin cm，则(　　)
质点的振幅为3 m
质点振动的周期为3 s
质点振动的周期为 s
t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
7．(2024·广东广州市期末)扬声器是语音和音乐的播放装置，在生活中无处不在。如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是(　　)
t＝1×10－3 s时刻纸盆中心的位移最大
t＝2×10－3 s时刻纸盆中心的加速度最大
在0～2×10－3 s之间纸盆中心的速度方向不变
纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.0×10－4cos(50πt)m
综合提升练
8．如图甲所示，光滑水平面上一质量为m的弹簧振子，以O点为平衡位置在A、B两点间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，已知0.2 s时振子速度大小为v。则(　　)
振子离开平衡位置的最大距离为20 cm
0.4 s时振子的加速度方向向右
0.6 s时振子的速度方向向右
在0.2 s到1 s时间内，弹簧对振子弹力的冲量大小为2mv
9．(多选)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动，以向右为正方向。振动物体的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。下列判断正确的是(　　)
t＝0.8 s时，振动物体的速度方向向左
振动物体做简谐运动的表达式为
x＝12sin(1.25πt) cm
t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振动物体的加速度相同
从t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体的速度逐渐增大
10．(12分)如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，绘图笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像。取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离表示时间，得到的振动图像如图乙所示。
(1)(4分)为什么必须匀速拖动纸带？
(2)(4分)刚开始计时时，振子处在什么位置？t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是多少？
(3)(4分)若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图像上1 s处和3 s处对应纸带上两点间的距离是多少？
培优加强练
11．(16分)如图甲所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达C点。
(1)(8分)写出小球的振动方程，并在图乙中画出小球在第一个周期内的x－t图像；
(2)(8分)求5 s内小球通过的路程及5 s末小球的位移。
第2节　振动的描述
1.BD　[振幅是标量，A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，B正确；简谐运动的周期和频率由系统本身决定，与振幅没有关系，C错误，D正确。]
2.B　[弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，则振幅之比为1∶2，对于同一振动系统，振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关，则周期之比为1∶1，故B正确。]
3.C　[小球经过A时开始计时，即t＝0时小球的位移为负向最大，经过0.5 s首次到达B点，位移为正向最大，且周期为T＝1 s，C正确，A、B、D错误。]
4.D　[该简谐运动的振幅为5 cm，A错误；t＝2 s时，振子经过平衡位置，振子动能最大，B错误；0～2 s内，振子经过的路程为10 cm，C错误；t＝3 s时，振子偏离平衡位置最远，振子加速度为正向最大，D正确。]
5.BCD　[由题图可知，物体周期为T＝4×10－2 s，A错误；在第2个10－2 s内，即在1×10－2 s到2×10－2 s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝＝ Hz＝25 Hz，C正确；由题图可知，物体的振幅为10 cm，D正确。]
6.BD　[根据题意可知，振幅为3 cm，A错误；根据题意可知，圆频率为ω＝ rad/s，周期T＝＝3 s，故B正确，C错误；t＝0.75 s时，代入解得x＝0，质点回到平衡位置，故D正确。]
7.A　[t＝1×10－3 s时刻纸盆中心的位移最大，故A正确；t＝2×10－3 s时刻纸盆中心位于平衡位置，加速度为零，故B错误；在0～2×10－3 s之间纸盆中心的速度方向先沿正方向再沿负方向，故C错误；纸盆中心做简谐运动的方程为x＝Asin ＝1.0×10－4sin(500πt)m，故D错误。]
8.D　[根据题图乙可知振子离开平衡位置的最大距离为10 cm，故A错误；根据题图乙可知0.4 s时振子的位移为正向最大，根据a＝－可知加速度方向向左，故B错误；根据题图乙可知0.6 s时振子正从位移为正的位置向平衡位置运动，其速度为负，即方向向左，故C错误；在0.2 s时振子速度大小为v，根据题图乙结合对称性可知1 s时速度为－v，根据动量定理可知在0.2 s到1 s时间内，弹簧对振子弹力的冲量大小为I＝2mv，故D正确。]
9.ABD　[t＝0.8 s时，x－t图像中图线切线的斜率为负，说明振动物体的速度为负，即速度方向向左，A正确；由题图乙可知，ω＝＝ rad/s＝1.25π rad/s，振幅为A＝12 cm，振动物体做简谐运动的表达式为x＝Asin ωt＝12sin(1.25πt) cm，B正确；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振动物体分别在正向最大位移处和负向最大位移处，位移方向相反，其加速度方向相反，C错误；从t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体由正向最大位移处向平衡位置靠近，速度逐渐增大，D正确。]
10.(1)在匀速运动的条件下，可以用纸带运动的距离表示时间　(2)左侧最大位移处　零
(3)4 cm
解析　(1)纸带匀速运动时，由x＝vt知，纸带运动的距离与时间成正比，因此在匀速运动的条件下，可以用纸带运动的距离表示时间。
(2)由题图乙可知t＝0时，振子在平衡位置左侧最大位移处；周期T＝4 s，则t＝17 s＝4T时振子相对平衡位置的位移为零。
(3)由x＝vt，可知振动图像上1 s处和3 s处对应纸带上两点间的距离x＝2 cm/s×2 s＝4 cm。
11.(1)x＝0.1cos(2πt)m　见解析图　(2)2 m　0.1 m
解析　(1)由B、C相距20 cm，可知振幅为A＝＝0.1 m
由自小球经过B点时开始计时，经过0.5 s小球首次到达C点，可知周期为T＝2tBC＝1 s，所以ω＝＝2π rad/s
所以当从B点开始计时，振动方程为x＝0.1cos(2πt)m
画出小球在第一个周期内的x－t图像如图所示。
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(2)因为小球做简谐运动的周期为1 s，5 s内小球经过了5个周期，故5 s内通过的路程为s＝5×4×0.1 m＝2 m
5 s末小球位于B点，故位移为x＝0.1 m。第2节　振动的描述
学习目标　1.知道振幅、周期、频率的概念，以及全振动的含义。2.知道简谐运动的图像是正弦或余弦曲线。3.掌握简谐运动的表达式，理解振幅、相位、初相的概念。
知识点一　振动特征的描述
将弹簧上端固定，下端悬吊钢球，旁边立一把刻度尺，把钢球从平衡位置向下拉一段距离A，放手让其运动。仔细观察钢球的运动。
(1)钢球的位移怎么变化？
(2)钢球偏离平衡位置的最大距离改变吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的__________________________。
(2)物理意义：表示物体的__________________，是标量。
2.周期和频率
(1)全振动：振动物体经过一段时间之后又重新回到____________，我们就说物体完成了一次全振动。
(2)周期：物体完成一次________所经历的时间，用T表示。
(3)频率：在一段时间内，物体完成________的次数与这段时间________，用f表示。
(4)周期与频率的关系：f＝。
(5)固有周期(或固有频率)：物体仅在回复力的作用下振动时，振动周期、频率与________的大小无关，只由________________的性质决定，其振动的周期(或频率)叫作固有周期(或固有频率)。
思考 如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称。
(1)振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (鲁科版教材P62章末练习6改编)竖直悬挂的弹簧振子下端装有记录笔，在竖直面内放置记录纸。当振子上下振动时，以水平向左速度v＝10 m/s匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下记录的痕迹，建立坐标系，测得的数据如图所示，求振子振动的振幅和频率。
　
　
　
　
　
例2 如图所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，静止释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求：
(1)振子振动的振幅、周期和频率；
(2)振子由A首次到O的时间；
(3)从振子运动到A点开始计时，振子在5 s内通过的路程及5 s末偏离平衡位置的位移大小。
　
　
　
　
　
　
归纳提升　振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与位移 (1)振幅等于位移的最大值；(2)同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应关系：(1)t＝T时，s＝4A，(t＝nT时，s＝n·4A)。(2)t＝T时，s＝2A。(3)t＝T时，可能有s＝A、s>A、s振幅与周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关
知识点二　简谐运动的位移图像
如图所示，在弹簧振子的小球上固定一记录用的绘图笔P，在下面放一条白纸带，绘图笔可在纸上留下痕迹。
(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
(2)振子振动时，匀速拖动白纸，画出的轨迹又是怎样的？
(3)振子振动时，匀速拖动白纸，轨迹表示的物理意义是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.坐标系的建立
横坐标表示________，纵坐标表示做简谐运动的物体运动过程中相对于____________的位移x。
2.图像的特点
简谐运动的振动图像是一条正弦(或余弦)曲线。
3.图像意义
表示做简谐运动的物体在任意时刻相对于平衡位置的________。
4.图像信息
如图所示，从图像上可知________和________。还可知道任一时刻的________大小和方向，借助图像信息，还可以判断不同时刻的加速度和速度的方向和大小关系。
思考 如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：
(1)振动的振幅；
(2)振动的频率；
(3)在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时质点的振动方向；
(4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内质点的运动情况；
(7)振动质点在0～0.6 s的时间内通过的路程；
(8)振动质点在0.4～0.8 s这段时间内的动能变化是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 (2023·深圳光明区期末)在光滑杆下面铺一张白纸，一带有铅笔的弹簧振子受到外力控制，在A、B两点间做简谐运动，当白纸垂直于杆方向以2 cm/s的速度匀速移动时，白纸上留下如图所示痕迹。下列说法正确的是(　　)
A.弹簧振子的振动周期为4 s
B.弹簧振子的振动振幅为8 cm
C.从x＝3 cm到x＝5 cm，振子动能变大
D.x＝4 cm时，振子向负方向运动
例4 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　)
A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B.质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C.0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D.t＝3 s时，质点的振幅为零
个周期内路程与振幅的关系
1.振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅。
2.当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于A。　　
知识点三　简谐运动的位移公式
如图是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，它是一条正弦曲线，请根据数学知识用图中符号写出此图像的函数表达式，并说明各物理量的意义。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.简谐运动的位移公式：x＝Asin ωt
(1)x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示振动时间。
(2)A表示简谐运动的振幅。
(3)ω叫作简谐运动的圆频率，ω＝。
2.简谐运动的一般表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)
(1)式中x表示振动质点相对平衡位置的位移，t表示振动的时间。
(2)式中各物理量含义
①振幅A：A表示简谐运动的振幅，描述的是振动的强弱。
②圆频率ω：ω是一个与周期成反比，与频率成正比的物理量。ω＝＝2πf，故表达式可以改为x＝Asin或x＝Asin(2πft＋φ0)。
③相位ωt＋φ0：也可写成t＋φ0或2πft＋φ0，单位是弧度。
初相位φ0：简称初相，即t＝0时的相位。
(3)注意
①简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示，即x＝Acos，注意同一振动用不同函数表示时相位不同，而且相位是随时间变化的量。
②一个物体运动时其相位变化2π，就意味着完成一次全振动。
思考 A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。
请根据图像写出：
(1)A的振幅是________ cm，周期是________ s；B的振幅是________ cm，周期是________ s。
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式：________________，________________。
(3)t＝0.05 s时两质点的位移分别是xA＝________，xB＝________。
例5 如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin cm。下列说法正确的是(　　)
A.MN间距离为5 cm
B.振子的运动周期是0.1 s
C.t＝0时，振子位于N点
D.t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
例6 (多选)(2024·黑龙江齐齐哈尔市高二统考期末)如图(a)所示水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图(b)是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，下列说法正确的是(　　)
A.弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
B.弹簧振子的振动方程为x＝0.1sinm
C.弹簧振子在2.5 s内的路程为1 m
D.图(b)中的t1时刻振子的速度方向为负方向
随堂对点自测
1.(简谐运动的描述)弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20 cm，振子由A运动到B的时间是2 s，如图所示，则(　　)
A.从O→B→O振子做了一次全振动
B.振动周期为2 s，振幅是10 cm
C.从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm
D.从O开始经过3 s，振子处在平衡位置
2.(简谐运动的图像)钓鱼是一种很多人喜欢的休闲娱乐方式，如图为钓鱼时鱼漂的示意图，此时静止在水面上，某次鱼咬钩后将鱼漂往下拉了一小段距离后松口，鱼漂将上下振动，不考虑阻力的影响，若取竖直向上为正方向，下列图像能描述该鱼漂振动情况的是(　　)
3.(简谐运动的位移公式)(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin m。比较物体A、B的运动，有(　　)
A.振幅是矢量，物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m
B.周期是标量，物体A、B周期相等，均为100 s
C.物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB
D.物体A的相位始终超前物体B的相位
第2节　振动的描述
知识点一
导学　提示　(1)钢球相对于平衡位置的位移随时间时大时小，呈周期性变化。
(2)不变。
知识梳理
1.(1)最大距离　(2)振动强弱　2.(1)原来的状态　(2)全振动　(3)全振动　之比　(5)振幅　振动系统本身
[思考] 提示　(1)不是，经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度均第一次与初始时刻相同。
(2)周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关；位移相同，均为零；
路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关。
例1 5 cm　10 Hz
解析　设周期为T，振幅为A。由题图得A＝5 cm。
由于振动的周期就是记录纸从O至x＝1 m运动的时间，故周期为T＝＝ s＝0.1 s，则频率为f＝＝10 Hz。
例2 (1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s　(3)1 000 cm　10 cm
解析　(1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm，t＝0.1 s＝，所以T＝0.2 s，由f＝得f＝5 Hz。
(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A首次到O的时间与振子由O首次到B的时间相等，均为0.05 s。
(3)振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝5 s＝25T内通过的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm。5 s内振子振动了25个周期，故5 s末振子仍处在A点，所以5 s末振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm。
知识点二
导学　提示　(1)一条线段。
(2)一条正弦曲线。
(3)轨迹表示振子的位移随时间变化的规律，即位移—时间图像。
知识梳理
1.时间t　平衡位置　3.位移　4.周期　振幅　位移
[思考] 提示　(1)振幅为最大位移的绝对值，从图像可知振幅
A＝5 cm。
(2)从图像可知周期T＝0.8 s，则振动的频率
f＝＝ Hz＝1.25 Hz。
(3)由各时刻的位移变化过程可判断t＝0.1 s、0.7 s时，质点的振动方向沿x轴正方向；t＝0.3 s、0.5 s时，质点的振动方向沿x轴负方向。
(4)质点在0.4 s通过平衡位置时，首次具有负方向的速度最大值。
(5)质点在0.2 s时处于正向最大位移处时，首次加速度具有负方向的最大值。
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内，从图像上可以看出，质点沿负方向的位移不断减小，说明质点正沿着正方向由负向最大位移处向着平衡位置运动，所以质点做加速度减小的加速运动。
(7)由振动图像可以看出，质点振动的周期为T＝0.8 s，0.6 s＝3×，质点是从平衡位置开始振动的，故在0～0.6 s的时间内质点通过的路程为s＝3×A＝3×5 cm＝15 cm。
(8)由图像可看出，在0.4～0.8 s这段时间内质点从平衡位置经过半个周期又回到了平衡位置，尽管初、末两个时刻的速度方向相反，但大小是相等的，故这段时间内质点的动能变化为零。
例3 A　[弹簧振子的振动周期T＝＝4 s，A正确；由题图知，弹簧振子的振动振幅为4 cm，B错误；从x＝3 cm到x＝5 cm，振子远离平衡位置，振子动能变小，C错误；x＝4 cm时，振子向正方向运动，D错误。]
例4 C　[由题图可知振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0～3 s为T，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误。]
知识点三
导学　提示　x＝Asin t，其中x是位移，A是振幅，T是周期。
[思考] 提示　(1)A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
(2)t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s得ωA＝＝5π rad/s
则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin(5πt＋π) cm
t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8 s得ωB＝＝2.5π rad/s
则简谐运动的表达式为xB＝0.2sin cm。
(3)将t＝0.05 s代入xA＝0.5sin(5πt＋π)cm
解得xA＝－ cm
将t＝0.05 s代入xB＝0.2sincm
解得xB＝0.2sin π cm。
例5 C　[由振子做简谐运动的表达式可知，振幅为5 cm，即OM间的距离是5 cm，则MN间的距离是10 cm，周期T＝＝ s＝0.2 s，A、B错误；t＝0时，代入表达式可得x＝5 cm，即振子处于N位置，C正确；把t＝0.05 s代入表达式得x＝0，即振子处于平衡位置，振子的加速度为0，D错误。]
例6 CD　[弹簧振子从B点经过O点再运动到C点，然后由C点过O点返回到B点为一次全振动，故A错误；由图(b)可知，弹簧振子的振动周期为1 s，则ω＝＝2π，规定向右为正方向，t＝0时刻位移为0.1 m，表示振子从B点开始运动，初相为，则振子的振动方程为x＝0.1sinm，故B错误；经过时间t＝2.5 s＝T，振子振动的路程为s＝×4A＝1 m，故C正确；图(b)中的t1时刻振子的速度方向为负方向，故D正确。]
随堂对点自测
1.C　[振子从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2 s，所以振动周期是4 s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，所以振幅A＝10 cm，B错误；t＝6 s＝T，所以振子经过的路程为6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，振子处在位置A或B，D错误。]
2.B　[不考虑阻力的影响，鱼漂做简谐运动，题中取竖直向上为正方向，鱼漂开始振动时的位置在负位移的最大值处，只有选项B符合条件，其余选项均错误，故选B。]
3.CD　[振幅是标量，物体A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m，选项A错误；物体A、B振动的周期T＝＝ s＝0.02π s，选项B错误；因TA＝TB，故fA＝fB，选项C正确；Δφ＝φA－φB＝为定值，选项D正确。](共64张PPT)
第2节　振动的描述
第2章　机械振动
1.知道振幅、周期、频率的概念，以及全振动的含义。
2.知道简谐运动的图像是正弦或余弦曲线。
3.掌握简谐运动的表达式，理解振幅、相位、初相的概念。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　简谐运动的位移图像
知识点一　振动特征的描述
知识点三　简谐运动的位移公式
知识点一　振动特征的描述
将弹簧上端固定，下端悬吊钢球，旁边立一把刻度尺，把钢球从平衡位置向下拉一段距离A，放手让其运动。仔细观察钢球的运动。
(1)钢球的位移怎么变化？
(2)钢球偏离平衡位置的最大距离改变吗？
提示　(1)钢球相对于平衡位置的位移随时间时大时小，呈周期性变化。
(2)不变。
1.振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的__________。
(2)物理意义：表示物体的__________，是标量。
最大距离
振动强弱
2.周期和频率
(1)全振动：振动物体经过一段时间之后又重新回到____________，我们就说物体完成了一次全振动。
(2)周期：物体完成一次________所经历的时间，用T表示。
(3)频率：在一段时间内，物体完成________的次数与这段时间______，用f表示。
原来的状态
全振动
全振动
之比
(5)固有周期(或固有频率)：物体仅在回复力的作用下振动时，振动周期、频率与______的大小无关，只由______________的性质决定，其振动的周期(或频率)叫作固有周期(或固有频率)。
振幅
振动系统本身
【思考】 如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称。
(1)振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
提示　(1)不是，经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度均第一次与初始时刻相同。
(2)周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关；位移相同，均为零；
路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关。
例1 (鲁科版教材P62章末练习6改编)竖直悬挂的弹簧振子下端装有记录笔，在竖直面内放置记录纸。当振子上下振动时，以水平向左速度v＝10 m/s匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下记录的痕迹，建立坐标系，测得的数据如图所示，求振子振动的振幅和频率。
例2 如图所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，静止释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求：
(1)振子振动的振幅、周期和频率；
(2)振子由A首次到O的时间；
(3)从振子运动到A点开始计时，振子在5 s内通过的路程及5 s末偏离平衡位置的位移大小。
解析　(1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm
(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A首次到O的时间与
振子由O首次到B的时间相等，均为0.05 s。
(3)振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝5 s＝25T内通过的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm。5 s内振子振动了25个周期，故5 s末振子仍处在A点，所以5 s末振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm。
答案　(1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s (3)1 000 cm　10 cm
归纳提升　振幅与位移、路程、周期的关系
知识点二　简谐运动的位移图像
如图所示，在弹簧振子的小球上固定一记录用的绘图笔P，在下面放一条白纸带，绘图笔可在纸上留下痕迹。
(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
(2)振子振动时，匀速拖动白纸，画出的轨迹又是怎样的？
(3)振子振动时，匀速拖动白纸，轨迹表示的物理意义是什么？
提示　(1)一条线段。
(2)一条正弦曲线。
(3)轨迹表示振子的位移随时间变化的规律，即位移—时间图像。
1.坐标系的建立
横坐标表示________，纵坐标表示做简谐运动的物体运动过程中相对于__________的位移x。
时间t
平衡位置
2.图像的特点
简谐运动的振动图像是一条正弦(或余弦)曲线。
3.图像意义
表示做简谐运动的物体在任意时刻相对于平衡位置的______。
位移
4.图像信息
如图所示，从图像上可知______和______。还可知道任一时刻的______大小和方向，借助图像信息，还可以判断不同时刻的加速度和速度的方向和大小关系。
周期
振幅
位移
【思考】 如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：
(1)振动的振幅；
(2)振动的频率；
(3)在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时质点的振动方向；
(4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内质点的运动情况；
(7)振动质点在0～0.6 s的时间内通过的路程；
(8)振动质点在0.4～0.8 s这段时间内的动能变化是多少？
提示　(1)振幅为最大位移的绝对值，从图像可知振幅A＝5 cm。
(3)由各时刻的位移变化过程可判断t＝0.1 s、0.7 s时，质点的振动方向沿x轴正方向；t＝0.3 s、0.5 s时，质点的振动方向沿x轴负方向。
(4)质点在0.4 s通过平衡位置时，首次具有负方向的速度最大值。
(5)质点在0.2 s时处于正向最大位移处时，首次加速度具有负方向的最大值。
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内，从图像上可以看出，质点沿负方向的位移不断减小，说明质点正沿着正方向由负向最大位移处向着平衡位置运动，所以质点做加速度减小的加速运动。
例3 (2023·深圳光明区期末)在光滑杆下面铺一张白纸，一带有铅笔的弹簧振子受到外力控制，在A、B两点间做简谐运动，当白纸垂直于杆方向以2 cm/s的速度匀速移动时，白纸上留下如图所示痕迹。下列说法正确的是(　　)
A.弹簧振子的振动周期为4 s
B.弹簧振子的振动振幅为8 cm
C.从x＝3 cm到x＝5 cm，振子动能变大
D.x＝4 cm时，振子向负方向运动
A
C
例4 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　)
A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B.质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C.0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D.t＝3 s时，质点的振幅为零
知识点三　简谐运动的位移公式
如图是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，它是一条正弦曲线，请根据数学知识用图中符号写出此图像的函数表达式，并说明各物理量的意义。
【思考】 A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。
请根据图像写出：
(1)A的振幅是________ cm，周期是________ s；B的振幅
是________ cm，周期是________ s。
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式：________________，________________。
(3)t＝0.05 s时两质点的位移分别是xA＝________，xB＝________。
提示　(1)A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
(3)将t＝0.05 s代入xA＝0.5sin(5πt＋π)cm
A.MN间距离为5 cm
B.振子的运动周期是0.1 s
C.t＝0时，振子位于N点
D.t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
C
CD
例6 (多选)(2024·黑龙江齐齐哈尔市高二统考期末)如图(a)所示水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图(b)是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，下列说法正确的是(　　)
随堂对点自测
2
C
1.(简谐运动的描述)弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20 cm，振子由A运动到B的时间是2 s，如图所示，则(　　)
A.从O→B→O振子做了一次全振动
B.振动周期为2 s，振幅是10 cm
C.从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm
D.从O开始经过3 s，振子处在平衡位置
B
2.(简谐运动的图像)钓鱼是一种很多人喜欢的休闲娱乐方式，如图为钓鱼时鱼漂的示意图，此时静止在水面上，某次鱼咬钩后将鱼漂往下拉了一小段距离后松口，鱼漂将上下振动，不考虑阻力的影响，若取竖直向上为正方向，下列图像能描述该鱼漂振动情况的是(　　)
解析　不考虑阻力的影响，鱼漂做简谐运动，题中取竖直向上为正方向，鱼漂开始振动时的位置在负位移的最大值处，只有选项B符合条件，其余选项均错误，故选B。
CD
课后巩固训练
3
BD
题组一　简谐运动的描述
1.(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是(　 　)
A.振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D.做简谐运动的物体，其频率与振幅无关
解析　振幅是标量，A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，B正确；简谐运动的周期和频率由系统本身决定，与振幅没有关系，C错误，D正确。
基础对点练
B
2.有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)
A.1∶1　1∶1 B.1∶1　1∶2
C.1∶4　1∶4 D.1∶2　1∶2
解析　弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，则振幅之比为1∶2，对于同一振动系统，振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关，则周期之比为1∶1，故B正确。
C
题组二　简谐运动的位移图像
3.如图所示，光滑直杆上弹簧连接的小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。以O点为原点，选择由O指向B为正方向，建立Ox坐标轴。小球经过A点时开始计时，经过0.5 s首次到达B点。则小球在第一个周期内的振动图像为(　　)
解析　小球经过A时开始计时，即t＝0时小球的位移为负向最大，经过0.5 s首次到达B点，位移为正向最大，且周期为T＝1 s，C正确，A、B、D错误。
D
4.(2024·广东肇庆市期末)某振子做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.该简谐运动的振幅为10 cm
B.t＝2 s时，振子的动能为零
C.0～2 s内，振子通过的路程为5 cm
D.t＝3 s时，振子的加速度最大
解析　该简谐运动的振幅为5 cm，A错误；t＝2 s时，振子经过平衡位置，振子动能最大，B错误；0～2 s内，振子经过的路程为10 cm，C错误；t＝3 s时，振子偏离平衡位置最远，振子加速度为正向最大，D正确。
BCD
5.(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　 　)
A.物体的振动周期是2×10－2 s
B.第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
C.物体的振动频率为25 Hz
D.物体的振幅是10 cm
BD
A
7.(2024·广东广州市期末)扬声器是语音和音乐的播放装置，在生活中无处不在。如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是(　　)
A.t＝1×10－3 s时刻纸盆中心的位移最大
B.t＝2×10－3 s时刻纸盆中心的加速度最大
C.在0～2×10－3 s之间纸盆中心的速度方向不变
D.纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.0×10－4cos(50πt)m
D
综合提升练
8.如图甲所示，光滑水平面上一质量为m的弹簧振子，以O点为平衡位置在A、B两点间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，已知0.2 s时振子速度大小为v。则(　　)
A.振子离开平衡位置的最大距离为20 cm
B.0.4 s时振子的加速度方向向右
C.0.6 s时振子的速度方向向右
D.在0.2 s到1 s时间内，弹簧对振子弹力的冲量大小为2mv
ABD
9.(多选)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动，以向右为正方向。振动物体的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。下列判断正确的是(　 　)
A.t＝0.8 s时，振动物体的速度方向向左
B.振动物体做简谐运动的表达式为x＝12sin(1.25πt) cm
C.t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振动物体的加速度相同
D.从t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体的速度逐渐增大
10.如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，绘图笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像。取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离表示时间，得到的振动图像如图乙所示。
(1)为什么必须匀速拖动纸带？
(2)刚开始计时时，振子处在什么位置？t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是多少？
(3)若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图像上1 s处和3 s处对应纸带上两点间的距离是多少？
答案　(1)在匀速运动的条件下，可以用纸带运动的距离表示时间　(2)左侧最大位移处　零 (3)4 cm
解析　(1)纸带匀速运动时，由x＝vt知，纸带运动的距离与时间成正比，因此在匀速运动的条件下，可以用纸带运动的距离表示时间。
(3)由x＝vt，可知振动图像上1 s处和3 s处对应纸带上两点间的距离x＝2 cm/s×2 s＝4 cm。
培优加强练
11.如图甲所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达C点。
(1)写出小球的振动方程，并在图乙中画出小球在第一个周期内的x－t图像；
(2)求5 s内小球通过的路程及5 s末小球的位移。
答案　(1)x＝0.1cos(2πt)m　见解析图 (2)2 m　0.1 m
所以当从B点开始计时，振动方程为x＝0.1cos(2πt)m
画出小球在第一个周期内的x－t图像如图所示。
(2)因为小球做简谐运动的周期为1 s，5 s内小球经过了5个周期，故5 s内通过的路程为
s＝5×4×0.1 m＝2 m
5 s末小球位于B点，故位移为x＝0.1 m。

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