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第3节　单摆
选择题1～10题，每小题8分，共80分。
基础对点练
题组一　单摆的振动
1．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论中正确的是(　　)
摆球受重力、摆线的拉力、回复力、向心力的作用
摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大
摆球的回复力最大时，摆线中的拉力大小比摆球的重力大
摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
2．(多选)关于单摆做简谐运动的过程，下列说法中正确的是(　　)
在平衡位置摆球的速度和位移均达到最大值
在最大位移处速度最小
在平衡位置摆球速度最大
摆球由最大位移处向平衡位置运动时，速度变大
3．(多选)对单摆振动过程，正确的描述是(　　)
摆球机械能守恒，因它所受合外力为零
摆球经过最低点时，动能最大
摆球向最高点摆动过程中，动能转化为重力势能，并且因克服重力做功机械能减少
摆球在最高点时，动能为零，重力势能最大
题组二　单摆的周期
4.一个质量为m的小球在半径为R的光滑圆弧槽上来回运动，如图，圆弧槽的长度l R。为了使小球振动的频率变为原来的，可以采用的办法是(　　)
将R减小为原来的
将R增大为原来的4倍
将圆弧长l增大为原来的4倍
将m减小为原来的
5．一个物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的，将在地球上走时准确的摆钟(设摆钟的周期与单摆简谐运动的周期相同)搬到此行星上，现要使摆钟在该行星与地球上的周期相同，下列可行的办法是(　　)
将摆球的质量m增加为4m
将摆球的质量m减少为
将摆长l减短为
将摆长l增长为4l
6.如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了所谓的双线摆，若细线长均为l，两线与天花板的夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为(　　)
2π 2π
2π 2π
题组三　单摆的振动图像
7．(2024·贵州黔东南高二统考期末)一单摆的摆动角度小于5°，其振动图像如图所示，g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
t1、t2时刻摆球加速度方向相反
t＝0.8 s时摆球的速度最大
单摆的振动周期为0.8 s
单摆的摆长约为1.64 cm
8．(2024·江西抚州市高二期末)如图甲所示，挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小幅度地摆动，即可用来拆卸混凝土建筑，可视为单摆模型，它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
单摆振动的周期是4 s
t＝2 s时，摆球的速度最大
摆球的质量增大，周期变小
该单摆的摆长约为8 m
综合提升练
9．(2024·安徽池州市高二统考期末)已知火星的质量为地球质量的0.1倍，火星的半径为地球半径的0.5倍，在地球上秒摆的周期为2 s，则该秒摆在火星上的周期为(　　)
3 s s
2 s 2 s
10．某同学设计了一个用拉力传感器研究单摆在竖直平面内的振动实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动，记录小钢球摆动过程中拉力传感器示数大小F随时间t变化曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
充当单摆回复力的是轻绳的拉力
充当单摆回复力的是小钢球的重力
单摆的振动周期为0.8π s
小钢球摆动到最低点时，轻绳的拉力大小为0.498 N
11．(10分)图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，以向右为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，根据图像回答：
(1)(3分)单摆振动的频率是多大？
(2)(3分)开始时刻摆球在何位置？
(3)(4分)若当地的重力加速度为10 m/s2，则这个单摆的摆长是多少(取π2＝10)？
培优加强练
12.(10分)某实验小组设计实验研究碰撞及单摆特性，装置如图，在水平桌面边缘用长细绳悬挂着质量为m0的小球。质量为m1的滑块以速度v0滑上光滑的桌面，并在桌子边缘与小球发生正碰，碰后小球向外摆动起来(摆动的角度小于5°)，物块水平抛出桌面，当物块落地时小球恰好第一次摆回到桌子边缘。已知物块落点与桌子边缘的水平距离为x，桌子高度为h，重力加速度为g，物块和小球均可视作质点，求：
(1)(5分)物块从抛出到落地的时间t及悬挂小球的细绳长度l；
(2)(5分)碰撞后小球速度v2。
第3节　单　摆
1.B　[单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A错误；重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，此时摆线的拉力等于重力沿摆线的分力，则摆线的拉力小于重力；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故C、D错误，B正确。]
2.BCD　[在平衡位置处，摆球的势能最小，动能最大，速度最大，而位移最小，A错误，C正确；在最大位移处，摆球的势能最大，动能最小，速度最小，B正确；摆球由最大位移处向平衡位置运动时，势能变小，动能变大，速度变大，D正确。]
3.BD　[摆球速度的大小和方向始终在改变，所以所受合外力始终不为零，A错误；在最低点重力势能最小，动能最大，B正确；摆球向最高点摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，C错误；在最高点重力势能最大，动能为零，D正确。]
4.B　[将R减小为原来的，周期变为原来的，频率则变为原来的2倍，选项A错误；将R增大为原来的4倍，周期变为原来的2倍，频率则为原来的，选项B正确；将圆弧长l增大为原来的4倍，不会改变小球运动的周期和频率，选项C错误；小球的周期和频率与质量没有关系，所以改变小球的质量，不会改变其运动的周期和频率，选项D错误。]
5.C　[根据在星球表面万有引力等于重力可知，物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的，则该星球的重力加速度g′＝g；根据单摆的周期公式T＝2π可知，要使该单摆在此行星上的周期与在地球上的周期相同，必须将摆长缩短为，单摆的周期与摆球的质量无关，故A、B、D错误，C正确。]
6.D　[这是一个变形的单摆，可以用单摆的周期公式T＝2π计算，但注意此处的l与题中的细线长不同，公式中的l是指质点到悬点(等效悬点)的距离，此题中单摆的等效摆长为lsin α，代入周期公式，可得T＝2π，故D正确。]
7.B　[ t1、t2时刻摆球的位移都为正，加速度方向相同，故A错误；根据图像的斜率可知t＝0.8 s时摆球的速度最大，故B正确；由图可知，单摆的振动周期为1.6 s，故C错误；根据T＝2π得l＝0.64 m，故D错误。]
8.B　[由图乙可以看出单摆振动的周期为8 s，故A错误；由题知，t＝2 s时，摆球处于平衡位置，即单摆的最低点，故摆球的速度最大，故B正确；单摆周期与摆球的质量无关，故C错误；由T＝2π得l≈16 m，故D错误。]
9.B　[设地球质量为M、半径为R，则火星质量为0.1M、半径为0.5R，根据GM＝gR2知0.1GM＝g火R2，解得g火＝0.4g，单摆的周期公式T＝2π，解得T火＝2π＝ s，故B正确。]
10.C　[充当单摆回复力的是小刚球重力沿轨迹切线的分力，A、B错误；钢球运动至最低点时，轻绳拉力最大值为0.504 N，一次全振动有两次经过最低点，则周期为0.8π s，C正确，D错误。]
11.(1)1.25 Hz　(2)B位置　(3)0.16 m
解析　(1)由题图可知，单摆振动的周期T＝0.8 s，故其振动的频率为f＝＝ Hz＝1.25 Hz。
(2)由题图可知，开始时刻摆球位移为负向最大，故开始时刻摆球位于B位置。
(3)由单摆的周期公式T＝2π可得
l＝g＝×10 m＝0.16 m。
12.(1)　　(2)
解析　(1)由于物块做平抛运动，所以h＝gt2，所以t＝
对小球，有T＝2π，T＝2t，联立可得l＝。
(2)物块与小球碰撞过程动量守恒，则
m1v0＝m1v1＋m0v2，x＝v1t
所以v2＝。第3节　单摆
学习目标　1.知道什么是单摆，了解单摆运动的特点。2.通过实验，探究单摆周期与摆长的关系。3.知道单摆的周期与摆长、重力加速度的关系。
知识点一　单摆的振动
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放。
(1)小球受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？
(3)什么力提供回复力？
(4)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
(5)试证明小球在摆角小于5度时，小球的运动是简谐运动。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.单摆模型
把一根不能伸长的细线上端固定，下端拴一个小球，线的________和球的________可忽略不计，这种装置称为单摆。
2.理想化模型
(1)细线的质量与小球相比________________________。
(2)小球的直径与线的长度相比________________________________。
3.单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的________。
(2)回复力的特点：在摆角很小时(通常θ<5°)，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总指向平衡位置，即F＝－x。
(3)运动规律
单摆在摆角很小的情况下，单摆的振动可近似视为________________。
思考 判断下列5幅图中的摆动模型能否看成单摆？若不能，请说明原因。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (多选)(鲁科版教材P49节练习1改编)关于单摆做简谐运动，下列说法正确的是(　　)
A.单摆做简谐运动的回复力是重力和摆线对摆球拉力的合力
B.单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
C.在最大位移处，重力势能最大，摆球动能为零
D.在平衡位置时，摆线弹力最大，回复力为零
(1)单摆振动的平衡位置：回复力为零，而合力不为零，此时合力提供摆球做圆周运动所需的向心力。
(2)单摆振动的最大位移处，向心力为零，而合力不为零，此时合力提供摆球振动的回复力。　　
训练1 (2024·山东潍坊市核心素养测评)秋千由踏板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆。等效“摆球”的质量为m，摆绳长为l，忽略空气阻力。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A.经过最低点时人与踏板均处于平衡状态
B.“摆球”偏离最低点位移为x时，回复力F＝－x
C.偏离最低点运动的过程中，人受到踏板的摩擦力逐渐增大
D.经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的振幅将增大
知识点二　单摆的周期
1.探究影响单摆振动周期的因素
如图，在铁架台的横梁上固定两个单摆，按照以下几种情况，把它们拉起一定角度后同时释放，观察两摆的振动周期。
研究单摆的振动周期
(1)两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同(都在小偏角下)。
(2)两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同。
(3)两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同。
比较三种情况下两摆的周期，可以得出什么结论？
2.实验结论
(1)单摆振动的周期与摆球质量________。
(2)振幅较小时周期与振幅____________。
(3)摆长越长，周期________；摆长越短，周期________。
3.周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家______首先提出的。
(2)公式：T＝________，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的算术平方根成________，与重力加速度g的算术平方根成________。
4.对l、g的理解
(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。
①普通单摆，摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。
②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2π。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
思考 惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运动时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。请思考：
(1)摆针走时偏快应如何校准？
(2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟应如何校准？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 单摆的运动具有周期性，关于单摆的周期，下列说法正确的是(　　)
A.单摆的质量越大，回复力越大，周期越短
B.单摆的周期与单摆所处的地理位置有关，与摆长无关
C.不同单摆放在同一地方，摆长越长的单摆的周期越长
D.若用单摆制成的座钟在张家口走时准确，则搬到深圳后不做任何调整走时仍准确
例3 (鲁科版教材P49节练习3改编)如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R ，甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，两球第1次到达C点的时间之比为(　　)
A. B.
C. D.
知识点三　单摆的振动图像
1.单摆在摆角小于5°时做简谐运动，其振动图像是正弦或余弦曲线。
2.由单摆的振动图像可知单摆周期。
3.单摆在摆动过程中，其位移、速度、加速度及Ek、Ep相对于平衡位置具有对称性。
4.单摆摆动具有周期性特点。
思考 如图所示，使漏斗在一个固定的竖直平面内摆动，沿垂直于该平面的OO′方向匀速拉动薄板，观察从摆动的漏斗中漏出的细沙在板上形成的曲线，并思考以下问题。
(1)不拉动木板时，让沙摆摆动起来，细沙的分布特点是直线还是曲线？两边的沙子多还是中间的沙子多？说明了什么？
(2)匀速拉动木板时，落在薄板上细沙的位置和各时刻摆球(漏斗)的位置有什么关系？
(3)细沙在薄板上形成什么形状的曲线？有什么意义？
(4)为什么要匀速拉动木板？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4 (多选)(2024·甘肃临夏州高二期末)如图甲所示是个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，M、N是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向为正方向，如图乙所示是这个单摆的振动图像。已知当地的重力加速度大小g＝10 m/s2，取π2＝10，下列说法中正确的是(　　)
A.单摆的振幅是0.14 m，振动的频率是0.5 Hz
B.振动的表达式为x＝0.14sin πt(m)
C.t＝1.5 s时摆球在M点
D.单摆的摆长为1 m
训练 (多选)(2024·广东广州市高二统考期末)如图甲，小明做摆角较小的单摆实验，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，小明通过实验测出当地重力加速度g＝π2 m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙，设图中单摆向右振动为正方向，则下列选项正确的是(　　)
A.此单摆的振动频率是2 Hz
B.单摆的摆长约为1 m
C.仅改变摆球质量，单摆周期不变
D.t＝0时刻，摆球位于B点
随堂对点自测
1.(单摆的振动)振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力、合外力及加速度的说法中正确的是(　　)
A.回复力为零，合外力也为零
B.回复力不为零，方向沿轨迹的切线
C.合外力不为零，方向沿轨迹的切线
D.合外力不为零，加速度不为零，方向指向悬点
2.(单摆的周期)(2024·广东茂名市期末)有一摆钟如图甲所示，其钟摆的结构示意图如图乙所示，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动，从而改变等效摆长。已知北京的重力加速度约为9.801 m/s2，海口的重力加速度约为9.786 m/s2，若将在北京走时准确的摆钟移至海口，则下列说法正确的是(　　)
A.在海口的摆钟摆动比北京快，若要调准可将螺母适当向上移动
B.在海口的摆钟摆动比北京快，若要调准可将螺母适当向下移动
C.在海口的摆钟摆动比北京慢，若要调准可将螺母适当向上移动
D.在海口的摆钟摆动比北京慢，若要调准可将螺母适当向下移动
3.(单摆的振动图像)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定(　　)
A.甲、乙两单摆振动的周期之比是3∶2
B.甲、乙两单摆振动的频率之比是2∶3
C.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
D.若甲、乙两单摆摆长相同，在不同地点摆动，则甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4
第3节　单　摆
知识点一
导学　提示　(1)小球受细线的拉力和重力的作用。
(2)细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。
(3)重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。
(4)小球经过平衡位置时，做圆周运动，其合外力不为零。
(5)单摆摆球的重力沿着切线方向的分力提供回复力，如图所示
则该力的大小为F＝mgsin θ，由于θ<5°，则有sin θ≈θ≈，解得F＝x，回复力方向总是指向平衡位置，则有F回＝－x＝－kx，可知，单摆在摆角小于5度时，回复力大小与相对平衡位置的位移大小成正比，方向相反，即小球的运动是简谐运动。
知识梳理
1.质量　大小
2.(1)可以忽略　(2)可以忽略
3.(1)分力　(2)正比　(3)简谐运动
[思考] 提示　均不能看成单摆。图(a)(d)摆动过程中摆长会发生变化，图(b)空气阻力不能忽略，图(c)球的直径与绳的长度相比不能忽略，图(e)绳的质量与小球相比不能忽略。
例1 BCD　[单摆做简谐运动的回复力由重力沿摆球运动轨迹切线方向的分力提供，故A错误，B正确；在最大位移处，重力势能最大，摆球速度为零，所以动能为零，故C正确；在平衡位置时，小球处于超重状态，摆线弹力最大，回复力为零，故D正确。]
训练1 B　[经过最低点时人与踏板有向心加速度，不是平衡状态，故A错误；根据简谐运动公式，当摆角θ很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线，可知，“摆球”偏离最低点位移为x时，回复力F＝－x，故B正确；偏离最低点运动的过程中，人的速度减小，与竖直方向夹角变大，重力沿切线方向的分力提供回复力，摩擦力为零，故C错误；经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的能量未增大，则振幅不变，故D错误。]
知识点二
2.(1)无关　(2)无关　(3)越大　越小
3.(1)惠更斯　(2)2π　正比　反比
[思考] 提示　(1)摆针走时偏快应调节螺母使圆盘沿摆杆下移。
(2)调节螺母使圆盘沿摆杆下移。
例2 C　[根据单摆的周期公式T＝2π知，单摆的周期与质量、振幅(路程)都无关，与摆长及重力加速度有关，所以C正确，A、B错误；根据重力加速度的特点可知，张家口的重力加速度大于深圳的重力加速度，根据T＝2π可知，用单摆制成的座钟在张家口走时准确，搬到深圳后周期增大，要走时仍然准确，必须缩短单摆的摆长，D错误。]
例3 C　[甲球做自由落体运动R＝gt，所以t1＝，乙球沿弧形槽做简谐运动(由于AC R，可认为偏角θ<5°)，此运动与一个摆长为R的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为t2＝T＝×2π＝，所以＝，故C正确。]
知识点三
思考　提示　(1)若不拉动木板，让沙摆摆动起来，则细沙的分布会形成直线。因为沙摆摆动时，经过最低点的速度最大，经过最高点的速度最小，因为沙子均匀流出，所以两边的沙子多于中间的沙子。
(2)匀速拉动木板时，落在薄板上细沙的位置和各时刻摆球(漏斗)的位置一一对应，如落在薄板上离OO′最远时，摆球偏离平衡位置最大；当落在薄板的OO′线上时，表示摆球处于平衡位置。
(3)从图像可以看出，细沙在薄板上形成的是正弦函数图像。表示沙摆偏离平衡位置的距离满足正弦函数关系y＝Asin ωt。
(4)因为每一时刻都有细沙从漏斗中漏出，所以落在薄板上的细沙就记录下各个时刻沙摆的位置。匀速拉动薄板，则以OO′表示的时间轴是均匀的，这样横轴上相同的长度就代表相等的时间间隔；垂直于OO′的坐标x表示的就是摆球在不同的时刻相对于平衡位置的位移，薄板上细沙形成的曲线就是沙摆做简谐运动时位移x随时间t变化的图像，即振动图像。
例4 CD　[根据振动图像可知，该单摆的振幅、频率分别为A＝0.07 m，f＝＝ Hz＝0.5 Hz，故A错误；单摆的振动表达式x＝Asin ωt(m)，其中ω＝＝ rad/s＝π rad/s，代入可得x＝0.07sin πt(m)，故B错误；摆球向右方向为正方向，而t＝1.5 s为T，因此可知，t＝1.5 s时摆球在M点，故C正确；设该单摆的摆长为l，根据单摆的周期公式T＝2π，代入数据可得l＝＝ m＝1 m，故D正确。]
训练 BCD　[由图乙可知，单摆的周期为T＝2 s，则单摆的振动频率为f＝＝0.5 Hz，故A错误；根据T＝2π得单摆的摆长为l＝＝1 m，仅改变摆球质量，单摆周期不变，故B、C正确；t＝0时刻，由图乙可知，摆球位于负向最大位移处，图中单摆向右振动为正方向，则摆球位于B点，故D正确。]
随堂对点自测
1.D　[当单摆小球通过平衡位置时，回复力为零，合外力不为零，此时的合外力提供向心力，产生向心加速度，方向指向圆心，即指向悬点，选项A、B、C错误，D正确。]
2.C　[由单摆周期公式T＝2π可知，重力加速度越小，周期越大，所以将在北京走时准确的摆钟移至海口时，周期变大，即在海口的摆钟摆动比北京慢，若要调准，应该将等效摆长减小，即可将螺母适当向上移动，故C正确。]
3.D　[根据图像可知，甲和乙的周期之比为T甲∶T乙＝2∶3，A错误；因为f＝，所以甲、乙的频率之比为f甲∶f乙＝3∶2，B错误；根据单摆的周期公式T＝2π可知，同一地点，重力加速度相同，则甲、乙的摆长之比和周期的平方成正比，即为4∶9，C错误；摆长相同，重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4，D正确。](共58张PPT)
第3节　单摆
第2章　机械振动
1.知道什么是单摆，了解单摆运动的特点。
2.通过实验，探究单摆周期与摆长的关系。
3.知道单摆的周期与摆长、重力加速度的关系。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　单摆的周期
知识点一　单摆的振动
知识点三　单摆的振动图像
知识点一　单摆的振动
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放。
(1)小球受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？
(3)什么力提供回复力？
(4)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
(5)试证明小球在摆角小于5度时，小球的运动是简谐运动。
提示　(1)小球受细线的拉力和重力的作用。
(2)细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。
(3)重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。
(4)小球经过平衡位置时，做圆周运动，其合外力不为零。
1.单摆模型
把一根不能伸长的细线上端固定，下端拴一个小球，线的______和球的______可忽略不计，这种装置称为单摆。
2.理想化模型
(1)细线的质量与小球相比__________。
(2)小球的直径与线的长度相比__________。
质量
大小
可以忽略
可以忽略
3.单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的______。
分力
正比
(3)运动规律
单摆在摆角很小的情况下，单摆的振动可近似视为__________。
简谐运动
【思考】 判断下列5幅图中的摆动模型能否看成单摆？若不能，请说明原因。
提示　均不能看成单摆。图(a)(d)摆动过程中摆长会发生变化，图(b)空气阻力不能忽略，图(c)球的直径与绳的长度相比不能忽略，图(e)绳的质量与小球相比不能忽略。
BCD
例1 (多选)(鲁科版教材P49节练习1改编)关于单摆做简谐运动，下列说法正确的是( 　　)
A.单摆做简谐运动的回复力是重力和摆线对摆球拉力的合力
B.单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
C.在最大位移处，重力势能最大，摆球动能为零
D.在平衡位置时，摆线弹力最大，回复力为零
解析　单摆做简谐运动的回复力由重力沿摆球运动轨迹切线方向的分力提供，故A错误，B正确；在最大位移处，重力势能最大，摆球速度为零，所以动能为零，故C正确；在平衡位置时，小球处于超重状态，摆线弹力最大，回复力为零，故D正确。
(1)单摆振动的平衡位置：回复力为零，而合力不为零，此时合力提供摆球做圆周运动所需的向心力。
(2)单摆振动的最大位移处，向心力为零，而合力不为零，此时合力提供摆球振动的回复力。　　
B
训练1 (2024·山东潍坊市核心素养测评)秋千由踏板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆。等效“摆球”的质量为m，摆绳长为l，忽略空气阻力。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
知识点二　单摆的周期
1.探究影响单摆振动周期的因素
如图，在铁架台的横梁上固定两个单摆，按照以下几种情况，把它们拉起一定角度后同时释放，观察两摆的振动周期。
研究单摆的振动周期
(1)两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同(都在小偏角下)。
(2)两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同。
(3)两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同。
比较三种情况下两摆的周期，可以得出什么结论？
2.实验结论
(1)单摆振动的周期与摆球质量______。
(2)振幅较小时周期与振幅______。
(3)摆长越长，周期______；摆长越短，周期______。
无关
无关
越大
越小
3.周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家________首先提出的。
惠更斯
正比
反比
(2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
【思考】 惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运动时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。请思考：
(1)摆针走时偏快应如何校准？
(2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟应如何校准？
提示　(1)摆针走时偏快应调节螺母使圆盘沿摆杆下移。
(2)调节螺母使圆盘沿摆杆下移。
例2 单摆的运动具有周期性，关于单摆的周期，下列说法正确的是(　　)
A.单摆的质量越大，回复力越大，周期越短
B.单摆的周期与单摆所处的地理位置有关，与摆长无关
C.不同单摆放在同一地方，摆长越长的单摆的周期越长
D.若用单摆制成的座钟在张家口走时准确，则搬到深圳后不做任何调整走时仍准确
C
C
知识点三　单摆的振动图像
1.单摆在摆角小于5°时做简谐运动，其振动图像是正弦或余弦曲线。
2.由单摆的振动图像可知单摆周期。
3.单摆在摆动过程中，其位移、速度、加速度及Ek、Ep相对于平衡位置具有对称性。
4.单摆摆动具有周期性特点。
【思考】 如图所示，使漏斗在一个固定的竖直平面内摆动，沿垂直于该平面的OO′方向匀速拉动薄板，观察从摆动的漏斗中漏出的细沙在板上形成的曲线，并思考以下问题。
(1)不拉动木板时，让沙摆摆动起来，细沙的分布特点是直线还是曲线？两边的沙子多还是中间的沙子多？说明了什么？
(2)匀速拉动木板时，落在薄板上细沙的位置和各时刻摆球(漏斗)的位置有什么关系？
(3)细沙在薄板上形成什么形状的曲线？有什么意义？
(4)为什么要匀速拉动木板？
提示　(1)若不拉动木板，让沙摆摆动起来，则细沙的分布会形成直线。因为沙摆摆动时，经过最低点的速度最大，经过最高点的速度最小，因为沙子均匀流出，所以两边的沙子多于中间的沙子。
(2)匀速拉动木板时，落在薄板上细沙的位置和各时刻摆球(漏斗)的位置一一对应，如落在薄板上离OO′最远时，摆球偏离平衡位置最大；当落在薄板的OO′线上时，表示摆球处于平衡位置。
(3)从图像可以看出，细沙在薄板上形成的是正弦函数图像。表示沙摆偏离平衡位置的距离满足正弦函数关系y＝Asin ωt。
(4)因为每一时刻都有细沙从漏斗中漏出，所以落在薄板上的细沙就记录下各个时刻沙摆的位置。匀速拉动薄板，则以OO′表示的时间轴是均匀的，这样横轴上相同的长度就代表相等的时间间隔；垂直于OO′的坐标x表示的就是摆球在不同的时刻相对于平衡位置的位移，薄板上细沙形成的曲线就是沙摆做简谐运动时位移x随时间t变化的图像，即振动图像。
例4 (多选)(2024·甘肃临夏州高二期末)如图甲所示是个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，M、N是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向为正方向，如图乙所示是这个单摆的振动图像。已知当地的重力加速度大小g＝10 m/s2，取π2＝10，下列说法中正确的是(　　)
A.单摆的振幅是0.14 m，振动的频率是0.5 Hz
B.振动的表达式为x＝0.14sin πt(m)
C.t＝1.5 s时摆球在M点
D.单摆的摆长为1 m
CD
训练 (多选)(2024·广东广州市高二统考期末)如图甲，小明做摆角较小的单摆实验，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，小明通过实验测出当地重力加速度g＝π2 m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙，设图中单摆向右振动为正方向，则下列选项正确的是(　 　)
A.此单摆的振动频率是2 Hz
B.单摆的摆长约为1 m
C.仅改变摆球质量，单摆周期不变
D.t＝0时刻，摆球位于B点
BCD
随堂对点自测
2
D
1.(单摆的振动)振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力、合外力及加速度的说法中正确的是(　　)
A.回复力为零，合外力也为零
B.回复力不为零，方向沿轨迹的切线
C.合外力不为零，方向沿轨迹的切线
D.合外力不为零，加速度不为零，方向指向悬点
解析　当单摆小球通过平衡位置时，回复力为零，合外力不为零，此时的合外力提供向心力，产生向心加速度，方向指向圆心，即指向悬点，选项A、B、C错误，D正确。
C
2.(单摆的周期)(2024·广东茂名市期末)有一摆钟如图甲所示，其钟摆的结构示意图如图乙所示，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动，从而改变等效摆长。已知北京的重力加速度约为9.801 m/s2，海口的重力加速度约为9.786 m/s2，若将在北京走时准确的摆钟移至海口，则下列说法正确的是(　　)
A.在海口的摆钟摆动比北京快，若要调准可将螺母适当向上移动
B.在海口的摆钟摆动比北京快，若要调准可将螺母适当向下移动
C.在海口的摆钟摆动比北京慢，若要调准可将螺母适当向上移动
D.在海口的摆钟摆动比北京慢，若要调准可将螺母适当向下移动
D
3.(单摆的振动图像)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定(　　)
A.甲、乙两单摆振动的周期之比是3∶2
B.甲、乙两单摆振动的频率之比是2∶3
C.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两
单摆摆长之比是9∶4
D.若甲、乙两单摆摆长相同，在不同地点摆动，则甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4
课后巩固训练
3
B
题组一　单摆的振动
1.关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论中正确的是(　　)
A.摆球受重力、摆线的拉力、回复力、向心力的作用
B.摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大
C.摆球的回复力最大时，摆线中的拉力大小比摆球的重力大
D.摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
解析　单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A错误；重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，此时摆线的拉力等于重力沿摆线的分力，则摆线的拉力小于重力；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故C、D错误，B正确。
基础对点练
BCD
2.(多选)关于单摆做简谐运动的过程，下列说法中正确的是(　 　)
A.在平衡位置摆球的速度和位移均达到最大值
B.在最大位移处速度最小
C.在平衡位置摆球速度最大
D.摆球由最大位移处向平衡位置运动时，速度变大
解析　在平衡位置处，摆球的势能最小，动能最大，速度最大，而位移最小，A错误，C正确；在最大位移处，摆球的势能最大，动能最小，速度最小，B正确；摆球由最大位移处向平衡位置运动时，势能变小，动能变大，速度变大，D正确。
BD
3.(多选)对单摆振动过程，正确的描述是(　　)
A.摆球机械能守恒，因它所受合外力为零
B.摆球经过最低点时，动能最大
C.摆球向最高点摆动过程中，动能转化为重力势能，并且因克服重力做功机械能减少
D.摆球在最高点时，动能为零，重力势能最大
解析　摆球速度的大小和方向始终在改变，所以所受合外力始终不为零，A错误；在最低点重力势能最小，动能最大，B正确；摆球向最高点摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，C错误；在最高点重力势能最大，动能为零，D正确。
B
C
D
6.如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了所谓的双线摆，若细线长均为l，两线与天花板的夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为(　　)
B
题组三　单摆的振动图像
7.(2024·贵州黔东南高二统考期末)一单摆的摆动角度小于5°，其振动图像如图所示，g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.t1、t2时刻摆球加速度方向相反
B.t＝0.8 s时摆球的速度最大
C.单摆的振动周期为0.8 s
D.单摆的摆长约为1.64 cm
B
8.(2024·江西抚州市高二期末)如图甲所示，挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小幅度地摆动，即可用来拆卸混凝土建筑，可视为单摆模型，它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A.单摆振动的周期是4 s
B.t＝2 s时，摆球的速度最大
C.摆球的质量增大，周期变小
D.该单摆的摆长约为8 m
B
9.(2024·安徽池州市高二统考期末)已知火星的质量为地球质量的0.1倍，火星的半径为地球半径的0.5倍，在地球上秒摆的周期为2 s，则该秒摆在火星上的周期为(　　)
综合提升练
C
10.某同学设计了一个用拉力传感器研究单摆在竖直平面内的振动实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动，记录小钢球摆动过程中拉力传感器示数大小F随时间t变化曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.充当单摆回复力的是轻绳的拉力
B.充当单摆回复力的是小钢球的重力
C.单摆的振动周期为0.8π s
D.小钢球摆动到最低点时，轻绳的拉
力大小为0.498 N
11.图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，以向右为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，根据图像回答：
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，则这个单摆的摆长是多少(取π2＝10)
答案　(1)1.25 Hz　(2)B位置　(3)0.16 m
培优加强练
12.某实验小组设计实验研究碰撞及单摆特性，装置如图，在水平桌面边缘用长细绳悬挂着质量为m0的小球。质量为m1的滑块以速度v0滑上光滑的桌面，并在桌子边缘与小球发生正碰，碰后小球向外摆动起来(摆动的角度小于5°)，物块水平抛出桌面，当物块落地时小球恰好第一次摆回到桌子边缘。已知物块落点与桌子边缘的水平距离为x，桌子高度为h，重力加速度为g，物块和小球均可视作质点，
求：
(1)物块从抛出到落地的时间t及悬挂小球的细绳长度l；
(2)碰撞后小球速度v2。

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