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专题提升六　简谐运动的综合应用
选择题1～9题，11题，每小题9分，共90分。
基础对点练
题组一　简谐运动的周期性和对称性
1．一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为(　　)
0.4 Hz 0.8 Hz
2.5 Hz 1.25 Hz
2．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s，质点通过B点后，再经过1 s，第二次通过B点，在这2 s内，质点的总路程是12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能为(　　)
2 s，6 cm 4 s，6 cm
4 s，9 cm 2 s，8 cm
题组二　简谐运动的动力学特征
3．(多选)关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是(　　)
简谐运动的回复力不可能是恒力
做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反
简谐运动的回复力公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零
4．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置。乙是振子做简谐运动时的位移—时间图像。则关于振子的加速度随时间变化的规律，下列四个图像中正确的是(　　)
A B C D
5．如图甲所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定在墙壁上，另一端与一个质量为M的物体相连，在物体上放质量为m的木块，压缩弹簧，释放后两者一起运动且运动过程中始终保持相对静止。图乙是两物体一起运动的振动图像，振幅为A，则下列说法正确的是(　　)
0～t1内速度在减小，加速度在减小
t2～t3内木块受到的摩擦力在增大
t2时刻木块受到的摩擦力大小为
t3时刻木块受到的摩擦力大小为
题组三　简谐运动的能量特征
6．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是(　　)
小球在O位置时，动能最大，加速度最小
小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量
7．(2024·湖南邵阳市高二统考期末)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子在CD间做简谐运动，从平衡位置O向下运动时开始计时，振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
C、D速度为0，加速度相同
t＝0.15 s，弹性势能最大，加速度最大
t＝0.1 s，振子的加速度为正，速度也为正
t＝0.05 s，弹性势能最大，重力势能最小
综合提升练
8.如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D之间做周期为T的简谐运动。已知在t1时刻物块的动量为p、动能为Ek。下列说法正确的是(　　)
若在t2时刻物块的动量也为p，则|t2－t1|的最小值为T
若在t2时刻物块的动能也为Ek，则|t2－t1|的最小值为T
当物块通过O点时，其加速度最小
物块运动至C点时，其加速度最小
9.如图所示，一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡位置，C为AO的中点。已知OC＝h，弹簧的劲度系数为k，某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动，则从此时刻开始的半个周期时间内，对质量为m的物体，下列说法不正确的是(　　)
重力势能减少了2mgh
回复力做功为2mgh
回复力的冲量大小为2mv
通过A点时回复力的大小为2kh
10.(10分)如图所示，一轻质弹簧上端系于天花板上，一端挂一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k，将小球从弹簧原长处由静止放手，小球在竖直方向做简谐运动，重力加速度为g，则：
(1)(5分)小球从放手运动到最低点，下降的高度为多少？
(2)(5分)小球运动到最低点时的加速度大小为多少？
培优加强练
11．如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上。在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动。那么(　　)
小球到达最右端时，弹簧的形变量为
小球做简谐运动的振幅为
运动过程中小球的机械能守恒
运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
专题提升六　简谐运动的综合应用
1.D　[由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3 s，故完成一个全振动的时间为T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故频率为f＝＝1.25 Hz，D正确。]
2.B　[由做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过A、B两点，可知这两点关于平衡位置O对称，所以质点由A到O的时间与由O到B的时间相等。则平衡位置O到B点的时间t1＝ s，因过B点后再经过1 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则有从B点到最大位移处的时间t2＝ s，因此，质点振动的周期T＝4×(t1＋t2)＝4 s；质点总路程的一半，即为振幅，所以振幅为A＝ cm＝6 cm，故B正确，A、C、D错误。]
3.AB　[根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，受到的回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，故A正确，C错误；物体的回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律知，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故B正确；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力为零，但是合力不一定为零，故D错误。]
4.D　[根据简谐运动振子的加速度与位移的关系a＝－可知，t＝0时刻振子的加速度a＝0，且在前半个周期内加速度为负值。简谐运动的x－t图像是正弦曲线，则a－t图像与x－t图像上下对调，D正确，A、B、C错误。]
5.C　[两物体一起振动，由图乙可知，0～t1内物体向平衡位置振动，则速度在增大，加速度在减小，A错误；t2～t3内由振动图像可知加速度在减小，木块受到的摩擦力提供加速度，则t2～t3内木块受到的摩擦力在减小，B错误；t2时刻对两物体受力分析，有kA＝a，对木块受力分析，有f＝ma，解得f＝，C正确；t3时刻木块的加速度为0，则摩擦力为0，D错误。]
6.A　[小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，A正确；小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大，B错误；小球衡位置时，回复力做正功，远离平衡位置时，回复力做负功，C错误；在小球振动过程中系统的总能量不变，D错误。]
7.D　[C、D速度为0，加速度大小相等，方向相反，故A错误；t＝0.15 s，弹簧振子运动到C点，弹性势能不一定最大，也不一定最小，加速度最大，故B错误；t＝0.1 s，弹簧振子运动到O点且向上运动，振子的加速度为零，速度为正，故C错误；t＝0.05 s，弹簧振子运动到D点，弹性势能最大，重力势能最小，故D正确。]
8.C　[物块做简谐运动，物块同向经过关于平衡位置对称的两点时，动量相等，若在t2时刻物块的动量也为p，则|t2－t1|的最小值可以小于，故A错误；物块经过同一位置或关于平衡位置对称的位置时，动能相等，若在t2时刻物块的动能也为Ek，则|t2－t1|的最小值可以小于T，故B错误；图中O点是平衡位置，根据a＝－可知，物块经过O点时位移最小，则其加速度最小，故C正确；物块运动至C点时，位移最大，其加速度最大，故D错误。]
9.B　[由简谐运动的对称性可知，从C点开始经过半个周期时间，物体运动到C点关于平衡位置对称的位置，即到达O点下方h处，则重力做功为2mgh，重力势能减少了2mgh，A正确；物体的回复力是重力与弹簧弹力的合力，由于初、末速度大小相等，由动能定理可知，半个周期内回复力做功为零，B错误；经过半个周期后，振子的速度反向，取向上为正方向，则由动量定理得，回复力的冲量为I＝－mv－mv＝－2mv，C正确；回复力是重力与弹簧弹力的合力，故通过A点时的回复力为F＝－kx＝－2kh，D正确。]
10.(1)　(2)g
解析　(1)放手后小球到达平衡位置时，设弹簧伸长了x1，则mg＝kx1，由简谐运动的对称性可知，小球从平衡位置到最低点，弹簧的伸长量x2＝x1，小球从放手运动到最低点下降的高度为x＝x1＋x2＝。
(2)在最低点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律得kx－mg＝ma
解得小球运动到最低点时的加速度大小为a＝g。
11.A　[小球做简谐运动的平衡位置是弹簧拉力和电场力平衡的位置，此时弹簧形变量为，小球到达最右端时，弹簧形变量为，振幅为，A正确，B错误；电场力做功，故小球的机械能不守恒，C错误；运动过程中，小球的动能、电势能和弹簧的弹性势能的总量不变，D错误。]专题提升六　简谐运动的综合应用
学习目标　1.进一步认识简谐运动的特点，知道简谐运动具有周期性、对称性。2.能利用动力学观点和能量观点解决简谐运动问题。
提升一　简谐运动的周期性和对称性
如图是根据应用频闪照相法，拍摄小球和弹簧的一系列的像，通过测量小球在各个位置的横坐标和纵坐标，按照计算机提示用一个周期性函数拟合这条曲线，证明弹簧振子运动的x－t图像是正弦曲线。仔细观察图像具有什么特点？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，OC＝OD。
1.时间的对称
(1)物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
(2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
2.速度的对称
(1)物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
3.位移的对称
(1)物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反。
例1 (多选)如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，M′、M为小球向上、向下运动的最远点，P为OM中点，Q为OM′间某点(图中未画出)，若小球在P、Q两点的动能相等，则下列说法正确的是(　　)
A.小球在P、Q两点的速度相同
B.P、Q两点关于O点对称
C.小球在P、Q两点所受合外力不相同
D.小球在P、Q两点的加速度相同
例2 (多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　)
A. s B. s
C.1.4 s D.1.6 s
1.周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。　　
提升二　简谐运动的动力学特征
如图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k，自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放，物块开始做简谐运动，且弹簧始终在弹性限度内，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。
(1)判断弹簧原长的位置是否为平衡位置？如果是，说明理由。如果不是，请说明并推导出平衡位置时弹簧的形变量Δx；
(2)分析求解该振子的振幅和加速度的最大值；
(3)关于平衡位置对称的两点，加速度大小和方向有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.弹簧振子做简谐运动时，回复力F＝－kx，回复力为振子运动方向上的合力，则振子运动方向上的加速度a＝－。
2.最大加速度大小a＝____________，方向指向________位置。
3.简谐运动具有对称性，即以平衡位置(a＝0)为中心，回复力、加速度、位移都关于平衡位置对称。
例3 如图所示为一款玩具“弹簧公仔”，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部质量为m，弹簧劲度系数为k，底座质量为0.5m。轻压公仔头部至弹簧弹力为2mg时，由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内。下列说法中正确的是(　　)
A.释放公仔头部瞬间的加速度大小为2g
B.弹簧恢复原长时，公仔头部的速度最大
C.公仔头部做简谐运动的振幅为
D.公仔头部运动至最高点时底座对桌面的压力为零
训练1 (2024·贵州遵义市高二统考期中)如图所示，轻弹簧上端固定在天花板上，下端与装有小球的盒子连接，整体处于竖直状态。现用手向上托着盒子，从弹簧原长的位置B处由静止释放，这样盒子和小球将在B、C之间做简谐运动，O为平衡位置，M、N分别为BO和OC之间的位置，且关于O点对称。则盒子经过M、N两点时，盒子给小球的作用力FM和FN的大小关系是(　　)
A.FM＞FN B.FM＝FN
C.FM提升三　简谐运动的能量特征
如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动。
(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
(2)如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？
(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能________。在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能________。
2.决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。
3.能量转化：回复力做正功时，系统动能增大，势能减小。振子在平衡位置处，动能最大，势能最小；在最大位移处，系统的动能为零，势能最大。
例4 如图所示，劲度系数为k的竖直轻弹簧下面挂一个质量为m的物体，物体在竖直方向做简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在振动过程中(　　)
A.物体在最低点时受的弹力大小为mg
B.弹簧的最大弹性势能等于
C.弹簧的弹性势能和物体的动能总和不变
D.物体的最大动能应等于
训练2 如图所示，在光滑斜面上有一物体A被平行于斜面的轻质弹簧拉住静止于O点。现将物体A沿斜面拉到B点后由静止释放，物体A在B、C之间做简谐运动。下列说法错误的是(　　)
A.O、B距离越大，振动能量越大
B.在振动过程中，物体A的机械能守恒
C.物体A在C点时，物体A与弹簧组成的系统势能最大，在O点时，系统势能最小
D.在B点时，物体A的机械能最小
随堂对点自测
1.(简谐运动的能量特征)如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知(　　)
A.在0.1 s时，由于位移为零，所以弹簧振子的能量为零
B.在0.2 s时，弹簧振子具有最大势能
C.在0.35 s时，弹簧振子的能量尚未达到最大值
D.在0.4 s时，振子的动能最大
2.(简谐运动的动力学特征)(多选)如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是(　　)
A.m做简谐运动，OC＝OB
B.m做简谐运动，OC≠OB
C.回复力F＝－kx
D.回复力F＝－3kx
3.(简谐运动的周期性和对称性)(多选)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为(　　)
A.0.1 m， s B.0.1 m，8 s
C.0.2 m， s D.0.2 m，8 s
专题提升六　简谐运动的综合应用
提升一
导学　提示　具有周期性和对称性。
例1 BC　[由题可知，小球在P、Q两点的动能相等，故小球在P、Q两点的速度等大，但方向不一定相同，A错误；由简谐运动的对称性可得，小球在P、Q两点的位移大小相等，方向相反，故P、Q两点关于O点对称，B正确；由B项分析可知，小球在P、Q两点所受合外力大小相等，方向相反，C正确；由C项分析和牛顿第二定律公式可知，小球在P、Q两点的加速度大小相等，方向相反，D错误。]
例2 AC　[假设弹簧振子在B、C之间振动，M点在O点的右侧，如图甲，若小球开始先向左振动，小球的振动周期为T＝×4 s＝ s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝ s－0.2 s＝ s。如图乙，若小球开始先向右振动，小球的振动周期为T＝4×s＝1.6 s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正确。]
提升二
导学　提示　(1)弹簧原长的位置不是平衡位置，物块处于平衡位置时合力为零，物块做简谐运动的条件是F＝－kx
设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为Δx，有
mgsin α－kΔx＝0，解得Δx＝。
(2)平衡位置时弹簧的长度为L′＝L＋Δx＝L＋
物块的振幅为A＝L′－L＝L＋
初始位置时，加速度最大，有mgsin α＋k＝ma
解得a＝gsin α＋。
(3)关于平衡位置对称的两点，加速度大小相等，方向相反，均指向平衡位置。
知识梳理
2.　平衡
例3 C　[根据牛顿第二定律得2mg－mg＝ma，所以释放公仔头部瞬间的加速度大小为a＝g，故A错误；当公仔加速度为零时，其速度达到最大，此时弹簧弹力等于重力，故B错误；根据简谐运动的对称性可知，当公仔头部运动到最高点时的加速度与最低点时的加速度大小相等，方向相反，即最高点加速度为向下的g，此时弹簧处于原长，公仔头部只受重力，所以振幅为A＝·＝，故C正确；公仔头部运动至最高点时底座对桌面的压力等于底座的重力的大小，即0.5mg，故D错误。]
训练1 C　[在M点时，加速度向下，失重，则FMmg，则FM提升三
导学　提示　(1)从A到B的运动过程中，振子的动能先增大后减小；弹簧的弹性势能先减小后增大；总机械能保持不变。
(2) 如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能增大，系统的机械能增大。
(3)实际的振动系统，能量逐渐减小；理想化的弹簧振动系统，能量不变。
知识梳理
1.之和　守恒
例4 B　[物体从最高点先向下加速，到达平衡位置时速度达到最大，此后继续向下做减速运动，平衡位置有mg＝kx，故最低点物体受到的弹力F＝k(2x)＝2mg，A错误；小球到最低点时，动能减为零，由系统机械能守恒可知，此时弹性势能最大，重力势能减小量等于弹性势能的增加量，即最大弹性势能为mg(2x)＝mg＝，B正确；物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能总量守恒，C错误；当物体运动到平衡位置时，动能最大，根据系统机械能守恒，有mgx＝Ep弹＋Ekm，又mg＝kx，故Ekm＜，D错误。]
训练2 B　[振动系统的能量与振幅有关，振幅越大，振动系统的能量越大，故A正确；在振动过程中，物体A和弹簧组成系统的机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，故B错误；系统的机械能守恒，动能和势能之和不变，在C点时，物体A的动能最小，所以系统势能最大，在O点时，物体A的动能最大，所以系统势能最小，故C正确；在B点时，物体A的动能为零，重力势能最小，所以机械能最小，故D正确。]
随堂对点自测
1.B　[弹簧振子做简谐运动，弹簧振子的能量不变，不为零，A错误；在0.2 s时位移最大，弹簧振子具有最大势能，B正确；弹簧振子的能量不变，在0.35 s时弹簧振子的能量与其他时刻相同，C错误；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，D错误。]
2.AD　[以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB，故A、D正确。]
3.ACD　[如果振幅等于0.1 m，则 s是半周期的奇数倍，4 s－ s＝ s是半周期的偶数倍，故A正确，B错误；如果振幅大于0.1 m，可能有4 s＝nT＋，当n＝0时，T＝8 s；当n＝1时，T＝ s，故C、D正确。](共52张PPT)
专题提升六　简谐运动的综合应用
第2章　机械振动
1.进一步认识简谐运动的特点，知道简谐运动具有周期性、对称性。
2.能利用动力学观点和能量观点解决简谐运动问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升二　简谐运动的动力学特征
提升一　简谐运动的周期性和对称性
提升三　简谐运动的能量特征
提升一　简谐运动的周期性和对称性
如图是根据应用频闪照相法，拍摄小球和弹簧的一系列的像，通过测量小球在各个位置的横坐标和纵坐标，按照计算机提示用一个周期性函数拟合这条曲线，证明弹簧振子运动的x－t图像是正弦曲线。仔细观察图像具有什么特点？
提示　具有周期性和对称性。
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，OC＝OD。
1.时间的对称
(1)物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
(2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
2.速度的对称
(1)物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
3.位移的对称
(1)物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反。
BC
例1 (多选)如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，M′、M为小球向上、向下运动的最远点，P为OM中点，Q为OM′间某点(图中未画出)，若小球在P、Q两点的动能相等，则下列说法正确的是(　　)
A.小球在P、Q两点的速度相同
B.P、Q两点关于O点对称
C.小球在P、Q两点所受合外力不相同
D.小球在P、Q两点的加速度相同
解析　由题可知，小球在P、Q两点的动能相等，故小球在P、Q两点的速度等大，但方向不一定相同，A错误；由简谐运动的对称性可得，小球在P、Q两点的位移大小相等，方向相反，故P、Q两点关于O点对称，B正确；由B项分析可知，小球在P、Q两点所受合外力大小相等，方向相反，C正确；由C项分析和牛顿第二定律公式可知，小球在P、Q两点的加速度大小相等，方向相反，D错误。
AC
例2 (多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　)
1.周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。
提升二　简谐运动的动力学特征
(1)判断弹簧原长的位置是否为平衡位置？如果是，说明理由。如果不是，请说明并推导出平衡位置时弹簧的形变量Δx；
(2)分析求解该振子的振幅和加速度的最大值；
(3)关于平衡位置对称的两点，加速度大小和方向有什么关系？
提示　(1)弹簧原长的位置不是平衡位置，物块处于平衡位置时合力为零，物块做简谐运动的条件是F＝－kx
平衡
C
训练1 (2024·贵州遵义市高二统考期中)如图所示，轻弹簧上端固定在天花板上，下端与装有小球的盒子连接，整体处于竖直状态。现用手向上托着盒子，从弹簧原长的位置B处由静止释放，这样盒子和小球将在B、C之间做简谐运动，O为平衡位置，M、N分别为BO和OC之间的位置，且关于O点对称。则盒子经过M、N两点时，盒子给小球的作用力FM和FN的大小关系是(　　)
A.FM＞FN B.FM＝FN
C.FM解析　在M点时，加速度向下，失重，则FM加速度向上，超重，则FN>mg，则FMC
提升三　简谐运动的能量特征
如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动。
(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧
弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
(2)如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？
(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
提示　(1)从A到B的运动过程中，振子的动能先增大后减小；弹簧的弹性势能先减小后增大；总机械能保持不变。
(2) 如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能增大，系统的机械能增大。
(3)实际的振动系统，能量逐渐减小；理想化的弹簧振动系统，能量不变。
1.简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能______。在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能______。
2.决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。
3.能量转化：回复力做正功时，系统动能增大，势能减小。振子在平衡位置处，动能最大，势能最小；在最大位移处，系统的动能为零，势能最大。
之和
守恒
B
训练2 如图所示，在光滑斜面上有一物体A被平行于斜面的轻质弹簧拉住静止于O点。现将物体A沿斜面拉到B点后由静止释放，物体A在B、C之间做简谐运动。下列说法错误的是(　　)
A.O、B距离越大，振动能量越大
B.在振动过程中，物体A的机械能守恒
C.物体A在C点时，物体A与弹簧组成的系统势能
最大，在O点时，系统势能最小
D.在B点时，物体A的机械能最小
B
解析　振动系统的能量与振幅有关，振幅越大，振动系统的能量越大，故A正确；在振动过程中，物体A和弹簧组成系统的机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，故B错误；系统的机械能守恒，动能和势能之和不变，在C点时，物体A的动能最小，所以系统势能最大，在O点时，物体A的动能最大，所以系统势能最小，故C正确；在B点时，物体A的动能为零，重力势能最小，所以机械能最小，故D正确。
随堂对点自测
2
B
1.(简谐运动的能量特征)如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知(　　)
A.在0.1 s时，由于位移为零，所以弹簧振子的能量为零
B.在0.2 s时，弹簧振子具有最大势能
C.在0.35 s时，弹簧振子的能量尚未达到最大值
D.在0.4 s时，振子的动能最大
解析　弹簧振子做简谐运动，弹簧振子的能量不变，不为零，A错误；在0.2 s时位移最大，弹簧振子具有最大势能，B正确；弹簧振子的能量不变，在0.35 s时弹簧振子的能量与其他时刻相同，C错误；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，D错误。
AD
2.(简谐运动的动力学特征)(多选)如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是(　　)
A.m做简谐运动，OC＝OB
B.m做简谐运动，OC≠OB
C.回复力F＝－kx
D.回复力F＝－3kx
解析　以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB，故A、D正确。
ACD
课后巩固训练
3
D
题组一　简谐运动的周期性和对称性
1.一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为(　　)
A.0.4 Hz B.0.8 Hz C.2.5 Hz D.1.25 Hz
基础对点练
B
2.一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s，质点通过B点后，再经过1 s，第二次通过B点，在这2 s内，质点的总路程是12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能为(　　)
A.2 s，6 cm B.4 s，6 cm C.4 s，9 cm D.2 s，8 cm
AB
题组二　简谐运动的动力学特征
3.(多选)关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是(　　)
A.简谐运动的回复力不可能是恒力
B.做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反
C.简谐运动的回复力公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
D.做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零
解析　根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，受到的回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，故A正确，C错误；物体的回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律知，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故B正确；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力为零，但是合力不一定为零，故D错误。
D
4.如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置。乙是振子做简谐运动时的位移—时间图像。则关于振子的加速度随时间变化的规律，下列四个图像中正确的是(　　)
C
5.如图甲所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定在墙壁上，另一端与一个质量为M的物体相连，在物体上放质量为m的木块，压缩弹簧，释放后两者一起运动且运动过程中始终保持相对静止。图乙是两物体一起运动的振动图像，振幅为A，则下列说法正确的是(　　)
A
题组三　简谐运动的能量特征
6.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是(　　)
A.小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B.小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D.小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量
解析　小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，A正确；小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大，B错误；小球衡位置时，回复力做正功，远离平衡位置时，回复力做负功，C错误；在小球振动过程中系统的总能量不变，D错误。
D
7.(2024·湖南邵阳市高二统考期末)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子在CD间做简谐运动，从平衡位置O向下运动时开始计时，振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A.C、D速度为0，加速度相同
B.t＝0.15 s，弹性势能最大，加速度最大
C.t＝0.1 s，振子的加速度为正，速度也为正
D.t＝0.05 s，弹性势能最大，重力势能最小
解析　C、D速度为0，加速度大小相等，方向相反，故A错误；t＝0.15 s，弹簧振子运动到C点，弹性势能不一定最大，也不一定最小，加速度最大，故B错误；t＝0.1 s，弹簧振子运动到O点且向上运动，振子的加速度为零，速度为正，故C错误；t＝0.05 s，弹簧振子运动到D点，弹性势能最大，重力势能最小，故D正确。
C
综合提升练
8.如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D之间做周期为T的简谐运动。已知在t1时刻物块的动量为p、动能为Ek。下列说法正确的是(　　)
A.若在t2时刻物块的动量也为p，则|t2－t1|的最小值为T
B.若在t2时刻物块的动能也为Ek，则|t2－t1|的最小值为T
C.当物块通过O点时，其加速度最小
D.物块运动至C点时，其加速度最小
B
9.如图所示，一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡位置，C为AO的中点。已知OC＝h，弹簧的劲度系数为k，某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动，则从此时刻开始的半个周期时间内，对质量为m的物体，下列说法不正确的是(　　)
A.重力势能减少了2mgh
B.回复力做功为2mgh
C.回复力的冲量大小为2mv
D.通过A点时回复力的大小为2kh
解析　由简谐运动的对称性可知，从C点开始经过半个周期时间，物体运动到C点关于平衡位置对称的位置，即到达O点下方h处，则重力做功为2mgh，重力势能减少了2mgh，A正确；物体的回复力是重力与弹簧弹力的合力，由于初、末速度大小相等，由动能定理可知，半个周期内回复力做功为零，B错误；经过半个周期后，振子的速度反向，取向上为正方向，则由动量定理得，回复力的冲量为I＝－mv－mv＝－2mv，C正确；回复力是重力与弹簧弹力的合力，故通过A点时的回复力为F＝－kx＝－2kh，D正确。
10.如图所示，一轻质弹簧上端系于天花板上，一端挂一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k，将小球从弹簧原长处由静止放手，小球在竖直方向做简谐运动，重力加速度为g，则：
(1)小球从放手运动到最低点，下降的高度为多少？
(2)小球运动到最低点时的加速度大小为多少？
解析　(1)放手后小球到达平衡位置时，弹簧伸长了x1，则mg＝kx1
由简谐运动的对称性可知，小球从平衡位置到最低点，弹簧的伸长量x2＝x1
小球从放手运动到最低点下降的高度为
(2)在最低点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律kx－mg＝ma
解得小球运动到最低点时的加速度大小为a＝g。
培优加强练
11.如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上。在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动。那么(　　)
A

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