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2024-2025学年度第二学期第一次阶段性联合测试
初三数学试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D 9.A 10.A
填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第13～18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11.n(m-2)(m+2) 12.4 13.（2，-3） 14.. 15.
16.－1 17.y= 18.
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.(1)原式= (2)去分母得 3－2（x＋3）＝x－3
=x+1 解得x＝0
当x=2时，原式 =3 检验：当x＝0，
∴ x＝0是原方程的根
∴原方程的根为x＝0
20.（1）a＝55,b＝57,m＝40
(2)B款茶叶更好
理由：因为B款茶叶的众数和中位数都大于A款茶叶的众数和中位数。（答案不唯一）
4000×（40%+20%）＝2400
答：估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有2400亩.
21.（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=；,随机
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=
22.（1）易得（1）如图，m＝6,n＝3
A(－1,6)B(3,－2)
∴6=－k+b
－2＝3k+b
∴k＝－2,b＝4
∴y＝－2x+4
(2)－1≤x<0或x≥3
(3)P(16,0)或(－16,0)
23∵∠AEC=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABC=30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，
连接OA，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC=30°，
∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，
∴OA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴直线AD是⊙O的切线；
（2）连接OA，
∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵BC⊥AE于M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在Rt△AOM中，AM=OA sin∠AOM=10×sin60°＝，
∴AE=2AM=．
24. (1)解：根据题意得：，y=300－10(x－44)＝－10x＋740
∴与之间的函数关系式为；y＝－10x＋740(44≤x≤52)
(2)根据题意得：
，
∵，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为w＝－10元
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；
(3)∵利润不低于2250元，
且，w随x增大而增大，
由－10得x＝65或x＝49，
∴49≤x≤52
答：略
25.（1）
（2）FG的最大值为，此时点E（4，3）
（3）N（3，）或（11，4）或（5，）或（）
26.（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，
∵，
∴等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）三角形AEF的面积为或.2024-2025学年度第二学期第一次阶段性联合测试
初三数学试题
（考试时间120分钟 总分150分）
命题：海安外国语 傅卜宏 审核：南莫中学 汤秀芳
一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．)
据中国经济网资料显示，去年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可
支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（　▲　）
A．0.1087×105 B．1.087×104
C．1.087×103 D．10.87×103
下列运算结果正确的是（　▲　）
A． B．
C． D．
如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　▲　）
A．42° B．48° C．52° D．60°
在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（　▲　）
A．16 B．20 C．24 D．28
如图，在扇形OAB中，已知 过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（　▲　）
A． B． C． D．
（第3题图） （第5题图） （第9题图）
关于x的一元二次方程x2－（m+2）x+m＝0根的情况是（　▲　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　▲　）
－6＜m≤－5 B. －5＜m≤－4 C．－6≤m＜－5 D．－5≤m＜－4
如果一个函数同时满足条件：①图象经过点（1，1）；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（　▲　）
A. B. C. D.
如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　▲　）
A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5）
已知二次函数，经过点A（c，4）.当时，的取值范围为或则如下四个值中有可能为c的是( ▲　 )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题(本大题共有8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分)
分解因式：＝ ▲ ．
若单项式与单项式是同类项，则 ▲ ．
点P（2，3）关于轴的对称点的坐标是 ▲ ．
如图，O是△ABC内任一点，D，E，F分别为 AO，BO，CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O.若，则△ABC与△DEF的位似比为 ▲ ．
如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 ▲ 海里（结果保留根号）．
若a2－5a＋3＝0，b2－5b＋3＝0，a≠b，则的值是 ▲ ．
（第14题图） （第15题图） （第17题图） （第18题图）
如图，在△ABC中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交AB与点F，设点P运动的路程为x，△CQF的面积为，则y与x之间关系为 ▲ ．
如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋 物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为 ▲ ．
三、解答题(本大题共有8小题，共90分)
(5分+5分)（1）先化简，再求值：，其中x=2．
（2）解分式方程： .
（6分+2分+2分）为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60．
10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ▲ ，b= ▲ ，m= ▲ ．
（2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？
抽取的A、B型铁观音亩产量统计表 B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图
（4分+6分）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小芳参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为 ▲ ，是 ▲ 事件.（填“随机”或“不可能”或“必然”）
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
（4分+4分+4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交A（－1，m），B（n，－2）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是x轴上一点，△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P坐标．
（5分+5分）已知是⊙O的直径，点D是延长线上一点，，是⊙O的弦，．
（1）求证：直线是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求的长．
（4分+4分+4分）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？
（3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？
（3分+5分+5分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点
（1）求抛物线的表达式；
（2）点F是直线BC上方抛物线上的一动点，过点F作FD⊥BC，交BC于点D，过点F作y轴的平行线交直线BC于点E，过点D作DG⊥EF，交EF于点G，求FG的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）问中FG取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标.
（3分+6分+4分）某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．
（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在AB 上截取，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：　　
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断线段BD，EF，AB之间的数量关系并证明；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，△ACD面积是△ABD面积两倍，则△AEF的面积为______．

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