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三角函数与圆的综合解答题
1．如图，已知是的直径，切于点，交于点为的中点，连接．.

(1)求证：是的切线（提示：利用是直角三角形斜边的中线进行证明）
(2)若，求的正切值．
2．如图，点是四边形外接圆的圆心，点在上，点在的延长线上，且，于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
3．如图，内接于，是直径，的平分线交于点且．过点D作的切线，与的延长线相交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为，求的长．
4．如图，中，的顶点O，D在边上，顶点E，F分别在边上，以点O为圆心，长为半径的与相交于点D，与相切于点E．
(1)求证：是直角三角形；
(2)若，，求的长．
5．如图，中，，点在上，以为直径的与相切于点，与相交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
6．如图，在中，，平分，交于点O．以O为圆心，为半径作，分别交，于点E，F．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点D，连接，，若，，求的值．
7．如图，是的直径，点在上，作，连接交于点，交于点，过点作的切线，交于点，当时；
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
8．如图，是的直径，点C，D是上位于直线异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，
①求的长；
②求图中阴影部分的面积．
9．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F，连接并延长交射线于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的半径．
10．如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，的延长线与的切线交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求半径的长及的长．
11．如图，是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接，过点C作交延长线于点D，垂足为D．
(1)求的度数；
(2)求证：是⊙O的切线；
(3)若，求⊙O的半径．
12．如图，点为外一点，过点作的切线和，切点分别是点和点，连接，直线与交于点和点，交于点，连接，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的长．
13．如图，已知中，，点D是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点E，与边交于点F，，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
14．已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)判断线段、、之间的数量关系，并加以证明．
(3)若，，求的半径的长．
15．如图，是的直径，是的弦，点是上一点，连接，，连接，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
16．如图，是直径，是的一条弦，且于点，连接，和．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
17．如图，中，，为中点，，是的外接圆，是的直径，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长；
(3)求的半径．
18．如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接.
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，，求的长.
19．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的直径．
20．如图，是的直径，弦于，点是上一点，交于点，延长至点，使，分别延长相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
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《三角函数与圆的综合解答题》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，，，然后利用等量代换即可得出，从而证明结论；
（2）首先根据勾股定理求出的长度，然后证明，最后利用求解即可．
【详解】（1）连接，如图，
是的直径，
，
，
∵E为的中点，
，
，
，
，
∵切于点，，
，
是的切线
（2）在中，
，
，
，
，
，
即，
连接，则，
，

2．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）连接，证即可；可根据圆周角定理、直角三角形及等腰三角形的性质进行证明；
（2）可通过解直角三角形求得的长，证明，求得的长，即可得到的直径；过E作的直径，根据圆周角定理，即可将转化到中，先利用勾股定理求得的长，据此求解即可．
【详解】（1）证明：连接；
∵是的直径，
∴，即；
又∵，且，
∴，
即，而是的半径，
故是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
设，则，
由勾股定理得：；
∵，
∴，
∴，，；
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过E作直径，连接，则；
在中，，，
由勾股定理得：；
∴；
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，继而得到，即可得到结论；
（2）连接，过点作于点，得到，求出，继而求出，，即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线
是直径，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点．
平分，，
是直径
，
，
，
在中，，
，
由（1）知，
，
，
，
在中，，
，，
，
在中，，
．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，正弦函数等知识点，掌握图形的基本性质，熟练运用正弦函数值以及勾股定理是解题关键．
（1）连接，根据切线的性质以及平行四边形的性质，推出，即可证得结论；
（2）由平行线的性质推出，从而求出、，然后证得四边形是菱形，通过设，，在中，运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵与相切于点E，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
设，则，
∴，
∴（舍去负值），
∴．
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，推出，再证明，得到，即，即可得到结论；
（2）设的半径为，利用正弦的定义求出，再证明，利用相似比得到，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
为切线，
，
，
为直径，
，
，，
∵，
∴，
；
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：设的半径为，
在中，，
，
，，
，
，
，
，即，
解得，
即的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形相似、锐角三角函数、圆周角定理，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
6．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）过点O作，垂足为点M，由角平分线的性质定理可得，得出为半径，结合即可得证；
（2）证明，得出．计算即可得解．
【详解】（1）证明：如图，过点O作，垂足为点M，
∵平分，，，
∴，
∴为半径，且，
∴是切线．
（2）解：∵是的直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴．
∵，，
∴．
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据，得到，由此即可求解；
（2）连接，根据直径所对圆周角为直角得到，由，得到，再证明，得到，则，
在中，由，得到，则，在中由勾股定理得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵与相切于点，
∴，即，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
又∵，
∴，
在中 ，，
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握切线的性质，锐角三角函数的计算，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
8．(1)详见解析
(2)①3；②
【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答；
（2）①如图，过点O作，垂足为F，根据直角三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，由（1）得，，求得，根据矩形的性质可得到；②连接，过点O作，垂足为F，根据已知易得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：连接．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点D在上，
∴为的切线；
（2）解：①如图，过点O作，垂足为F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
由（1）得，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
②连接，过点O作，垂足为F，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴图中阴影部分的面积扇形的面积的面积
，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的证明，圆中阴影面积的计算，垂径定理的应用，勾股定理的应用，解直角三角形等知识，添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的半径为．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)半径的长为5；的长为8
【分析】本题主要考查了切线的性质、三角函数，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键．
（1）首先连接，由为直径，可得，又由是的切线，易证得．然后由，证得：；
（2）证明得求出，可得圆的半径，连接，证明，由正弦求出的长，进而求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵为的直径，
∴，
∴．
∵是的切线，
∴，即．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴
∵是的切线，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵,
∴
∴；
∴的半径为；
连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线证明、解直角三角形等知识点，掌握相关结论即可．
（1）连接，由题意得，据此即可求解；
（2）连接，可推出是等边三角形，得到；根据，得出，，据此即可求解；
（3）由题意得；根据即可求解；
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵，
∴；
∴；
（2）证明：连接，如图所示：
∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴是⊙O的切线；
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴⊙O的半径为；
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线长的性质可证，得到，由等腰三角形的定义即可求解；
（2）连接，可得，由全等三角形的性质可得，则，可得，根据同弧所对圆周角相等可得，则有，设，则，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：，是的切线，
，
∴平分，
．
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：连接，
是的直径，
，
，
．
，
又，
，
，平分，
，
，
，
设，则，有，
即，
解得：（负根舍去），即．
【点睛】本题主要考查切线的性质，切线长的性质，直径对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，三角函数的计算，勾股定理等知识的综合运用，掌握切线及切线长的性质，三角函数的计算方法是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由为的直径得，由等边对等角和等量代换得，结合可证，进而可证为的切线；
（2）证明得，求出，由勾股定理得求出，，再利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴为的切线
（2）∵为的切线
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
由勾股定理得，
∵
∴
由勾股定理得，
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，解直角三角形，以及勾股定理等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键．
14．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图：连接、，根据切线的性质得，再根据垂径定理得，则，于是证得得到，再根据切线的判定定理即可证明结论；
（2）由圆周角定理得到，再利用同角的余角相等得到，加上则，进而证明可得，再整理即可解答；
（3）由垂径定理可得，进而得到；由可得；再根据可得则、，进而得到即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接、，
是的切线，
，
，是直径，
，
，
在和中，
，
，
，
在上，
是的切线．
（2）解：，理由如下
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
．
的半径的长为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形：
（1）连接，证明，推出即可；
（2）连接，解直角三角形求出的长，再解直角三角形即可．
【详解】（1）解：连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）连接，
∵为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．(1)见解析
(2)的半径为
【分析】本题考查了圆的性质、等边对等角、垂径定理、同弧所对圆周角相等、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握知识点、数形结合是解题的关键．
（1）根据等边对等角，得出，根据同弧所对圆周角相等，得出，即可证明；
（2）根据垂径定理、解直角三角形，得出，，，设的半径，则，，根据勾股定理，得出方程，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵于点，，，
∴，，，
设的半径，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径为．
17．(1)见解析
(2)
(3)的半径为
【分析】（1）证明，即可得是的切线
（2）先证，得到，即可解答；
（3）过点A作，垂足为E，连接，并延长交于，连接，在中，通过解直角三角形得到，，由得到．设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求得，，由得到，根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（2）解：，，
．
，即
，为中点，
，
∴
．
（3）解：过点作，垂足为，连接，并延长交于，连接，
在中，．
又，
．
∴在中，．
，
．
设，则，．
∵在中，，
，即，
解得，（舍去）．
，．
∵，
．
为的直径，
．
．
，即的半径为．
18．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，由“直径所对的圆周角等于”可得，由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得．又由可得，进而可得，则可得，即可得证．
（2）先根据三角形外角定理可得，进而可得，则，进而可得．在中，根据三角函数的定义即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
．
在中, 点P为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴是的切线．
（2）解：，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质：直径所对的圆周角等于，直角三角形的性质以及解直角三角形．熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)18
【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证；
（）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即的直径为．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键．
20．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）如图1，连接．根据等边对等角可得：，由同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：，由垂直定义得：，得，所以是的切线；
（2）如图2，根据平行得角相等，证明，列比例式可得结论；
（3）如图3所示，连接，，由（1）知，根据，设，则，，列式先求的值，再求出圆的半径，最后根据三角函数列式可得的长．
【详解】（1）证明：如图1，连接．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）得：，
；
（3）解：连接，，如图3所示，
，
，
，
设，则，，
，，
，
．
在中，根据勾股定理得，
即，解得．
，，
设半径为，在中，，，
由勾股定理得：，
即，解得，
为切线，
为直角三角形，
在中，，，
．
【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

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