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圆相关的证明题
1．如图是的外接圆，点O在上，的角平分线交于点D，连接，过点D作的平行线与的延长线相交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求与的值．
2．如图，四边形内接于是的直径，与的延长线交于点与的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)连接，．求证：；
(3)若，，，则的长是___________．
3．如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)判断的形状，并给出证明．
(2)若，，求弦和弦的长．
4．如图，四边形内接于，，P为延长线上一点，且．
(1)求的度数；
(2)探究与的位置关系，并证明．
5．如图，已知等腰中，，以为直径作交于点，过作于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
6．如图，为的直径，为上一点，，延长至点，使得，过点D作，垂足E在的延长线上，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：是的切线；
(3)当时，求图中阴影部分的面积．
7．如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径和的长．
8．如图，为的直径，为弦，，P为延长线上的点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．
9．如图，点I是的内心，的延长线与相交于点F，与的外接圆相交于点D，，连接．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)取弦的中点E，连接，若，求的长．
10．如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，点C是弧上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
11．如图，为的直径，点在直径上（点与，两点不重合），，点在上且满足，连接并延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
12．如图，中，的顶点O，D在边上，顶点E，F分别在边上，以点O为圆心，长为半径的与相交于点D，与相切于点E．
(1)求证：是直角三角形；
(2)若，，求的长．
13．如图，中，，点在上，以为直径的与相切于点，与相交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
14．如图，已知中，平分交于点边上有一点，⊙O经过点，与交于点，与交于点，连结．
(1)求证：是⊙O的切线．
(2)若，求⊙O的半径．
(3)在（2）的条件下，求的长．
15．如图，四边形内接于，是的直径，B，D两点关于对称，过点C作的切线，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，且，求线段的长．
16．如图，是的直径，四边形内接于，交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
17．如图，在中，，为上一点，以为圆心，为半径作交于另一点，为上一点，且．
(1)证明：是的切线；
(2)若，求的长．
18．如图，是的直径，点在上，作，连接交于点，交于点，过点作的切线，交于点，当时；
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
19．如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
20．如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
21．如图，是的直径，点C，D是上位于直线异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，
①求的长；
②求图中阴影部分的面积．
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《圆相关的证明题》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，正确理解题意证明切线是解题的关键．
（1）连接，先得出，进而得出，根据平行线的性质得出，推出，即可得出结论；
（2）先证明，根据勾股定理得出，进而求得，再证明，根据相似三角形的性质即可得出，代入可求出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
2．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（）由直径所对圆周角等于可得，进而利用两角对应相等的两个三角形相似证明，即可证明结论；
（2）根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形的性质即可得出结论；
（3）根据已知可得垂直平分，从而可得，在中，，再证明，由相似三角形性质得出求出，进而由求解．
本题考查了直径所对圆周角等于，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】（1）证明： ∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图，
∵，，
∴，
∴．
（3）∵，是的直径，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
3．(1)是等腰直角三角形，证明见解析
(2)，
【分析】（1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明；
（2）在中由勾股定理可得，中由勾股定理即可求出；过作于，过作于，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解∶是等腰直角三角形，证明如下：
∵是圆的直径，则，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
中，，
∴；
过作于，过作于，
∵，
∴
∴和是等腰直角三角形，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握圆周角定理，直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
4．(1)
(2)相切，证明见解析
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定：
（1）由圆周角定理的推论推出是的直径，进而得到，平角的定义求出的度数，即可；
（2）根据圆周角定理，结合已知条件得到，推出，即可得出结论．
【详解】（1）解：连接，
，
是的直径，
，
；
（2）与相切；
证明：，
，
，，
，
，
，
∵是的直径，
与相切；
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据易得到，结合半径相等得到，进而得到，结合得到，再利用切线的判定求解；
（2）根据，进而得到，结合易得到，利用勾股定理求出、的长度，进而得到的长度，最后用来求解．
【详解】（1）证明：连接，
，
．
又，
，
，
．
，
．
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
．
而，
，
，
即．
又，
，
，，
，，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，求出圆的半径和、、的长度是解答关键．
6．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（1）利用直径所对的角为直角得，进而求得得度数．
（2）连接，根据和都是等腰三角形，即可得到，再根据三角形内角和即可得到，进而得出是⊙O的切线；
（3）根据，，可以得到半圆的面积，即可得的面积，即可得到阴影部分的面积．
【详解】（1）为的直径，
，
，
（2）如图所示，连接，
在中，，
，
中，
，
∴是的切线；
（3）当时，，
∵为的直径，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积=半圆的面积的面积
7．(1)证明见解析
(2)的半径为3，的长为
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）设的半径为，则，，在中，利用勾股定理求解即可得半径；证明，再根据相似三角形的性质即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
弦，
，
，
，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：设的半径为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
，
，
，即，
解得，
所以的半径为3，的长为．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质是解题关键.
8．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了切线的性质与判定以及扇形面积求法，正确掌握切线的性质与判定方法是解题关键．
（1）直接利用已知得出，进而得出答案；
（2）直接利用的面积减去扇形的面积进而得出答案．
【详解】（1）证明：连接，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
（2），，，
，
由勾股定理得：，
9．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了三角形的内心、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据三角形的内心的性质以及角平分线的性质可得，由圆周角定理可得，则，根据角的和差以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可证明结论；
（2）先说明，然后证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可；
（3）如图：延长到M，使得，连接，易得点I，C，M在以点D为圆心，5为半径的圆上，由圆周角定理可得，根据勾股定理可得，再根据、线段的和差以及等量代换即可解答．
【详解】（1）解：∵点I是的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，解得：．
（3）解：如图：延长到M，使得，连接，
∵，
∴，
∴点I，C，M在以点D为圆心，5为半径的圆上，
∴是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系．
（1）利用圆周角定理得到，再利用两角分别相等即可证明相似；
（2）连接，先证明是直径，再求出和的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出和，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，如图：
，
∵，
∴是直径，
∵，
∴，
∵，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，即 ，
由，
∴，，
∴，
∴，
∴．
11．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，切线的判定，解一元二次方程，
（1）由圆周角定理的推论知，由等边对等角知，，结合对顶角相等可推证，所以，由切线判定定理得证结论．
（2）设的半径为，在中，运用勾股定理得，求得（舍去），进而即可求解．
【详解】（1）为的直径，
，
．
，
，
，
，
，
，
，即
是的半径，
是的切线．
（2）设的半径为，
，
∴．
，
．
在中，，
，
∴（舍去）．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，正弦函数等知识点，掌握图形的基本性质，熟练运用正弦函数值以及勾股定理是解题关键．
（1）连接，根据切线的性质以及平行四边形的性质，推出，即可证得结论；
（2）由平行线的性质推出，从而求出、，然后证得四边形是菱形，通过设，，在中，运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵与相切于点E，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
设，则，
∴，
∴（舍去负值），
∴．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，推出，再证明，得到，即，即可得到结论；
（2）设的半径为，利用正弦的定义求出，再证明，利用相似比得到，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
为切线，
，
，
为直径，
，
，，
∵，
∴，
；
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：设的半径为，
在中，，
，
，，
，
，
，
，即，
解得，
即的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形相似、锐角三角函数、圆周角定理，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
14．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，则得到，即，即可证明是⊙O的切线；
（2）连结交于点，证明，则．由得到，．得到．设，则，则．由得到，进一步得到 ．由得到，解得（舍去），即可求出答案；
（3）由（2）知，，证明，则解得，由勾股定理得到即可．
【详解】（1）证明：如图，连结，
平分，
，
，即，
又经过点
是的切线．
（2）解：如图，连结交于点
是的直径，
，
，
，
．
又，
，
．
，，
．
，
．
设，则，
．
，
，
，
∴．
，
，
解得（舍去），
，
即的半径．
（3）解：由（2）知，，
，
，
，
又
，
，
解得，
．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程、切线的判定、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，圆的切线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）由圆周角定理得，由切线的性质得，再由轴对称的性质得到，即可求证；
（2）可证是等边三角形，再通过三角形的外角得到，则．在中，．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴．
∵与相切，是的直径，
∴，
∴．
∵B，D两点关于对称，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接．
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴在中，．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得，根据圆周角定理得，然后由平行线的判定可得结论；
（2）根据垂径定理和等腰三角形的性质得，设半径为R，则，，然后根据勾股定理和中位线性质求解，即可解题．
【详解】（1）证明：，
，
又是的直径，
，即，
．
（2）解：，
于点E且，
又，
，
，
设半径为R，则，，
在中，
，即，
，
又O，E为，的中点，
，，
．
【点睛】本题考查的了圆周角定理、垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，中位线性质，掌握圆周角定理、垂径定理是解决此题关键．
17．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解此题的关键．
（1）连接，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质证得，则可得出结论；
（2）连接，求出，设，则，由勾股定理求出的值，则可得出答案．
【详解】（1）解：连接，如图1，
，
，
，
，
；
又，
，
，
，
；
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：连接，，如图2，
，，
，
，
，
设，则，
，
由勾股定理得：，，
，
，
．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据，得到，由此即可求解；
（2）连接，根据直径所对圆周角为直角得到，由，得到，再证明，得到，则，
在中，由，得到，则，在中由勾股定理得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵与相切于点，
∴，即，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
又∵，
∴，
在中 ，，
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握切线的性质，锐角三角函数的计算，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）在中，，，得到，由C为边的中点，求得，根据切线的性质得到结论；
（2）连接OD，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定和性质得到结论．
【详解】（1）证明：在中，，，
，
为边的中点，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：连接，
与相切于点D，与相切，
，
在与中，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
20．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，又，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵点I为的内心，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
21．(1)详见解析
(2)①3；②
【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答；
（2）①如图，过点O作，垂足为F，根据直角三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，由（1）得，，求得，根据矩形的性质可得到；②连接，过点O作，垂足为F，根据已知易得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：连接．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点D在上，
∴为的切线；
（2）解：①如图，过点O作，垂足为F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
由（1）得，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
②连接，过点O作，垂足为F，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴图中阴影部分的面积扇形的面积的面积
，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的证明，圆中阴影面积的计算，垂径定理的应用，勾股定理的应用，解直角三角形等知识，添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键．

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