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4.2.1　等差数列的概念
[学习目标]　1.理解等差数列的概念，并根据等差数列的定义进行简单的运算.2.能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列．
一、等差数列的概念
问题　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986.
②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，….
③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.
以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？
知识梳理
一般地，如果一个数列从第______项起，每一项减去它的前一项所得的______都等于______，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的______，公差通常用字母______表示．
例1　判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9，…；
②9,6,3,0，－3，…；
③1,3,4,5,6，…；
④7,7,7,7,7，…；
⑤1，，，，，….
反思感悟　利用定义法判断等差数列：从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是，则该数列是等差数列，否则该数列不是等差数列．
跟踪训练1　(多选)下列数列是等差数列的是(　　)
A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16
C.，，1，， D．－3，－2，－1,1,2
二、等差数列中的基本计算
例2　(1)若，a，成等差数列，则a＝________.
(2)若－1，a，b，c,7成等差数列，求a，b，c的值．
反思感悟　若干个数成等差数列求其中的未知元素时，要严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知元素．
跟踪训练2　若m,4,2n成等差数列，2m,5，n也成等差数列，试求m，n的值．
三、等差中项及应用
知识梳理
如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝.我们把A＝叫作a和b的等差中项．
例3　实数4＋2与4－2的等差中项为________．
反思感悟　若b是a与c的等差中项，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则b是a与c的等差中项．
跟踪训练3　设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是_________．
1．知识清单：
(1)等差数列的概念．
(2)等差数列中的基本运算．
(3)等差中项及其应用．
2．方法归纳：定义法、列方程组法．
1．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　)
A．1,4,7,10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2
2．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是(　　)
A．公差为1的等差数列
B．公差为的等差数列
C．公差为－的等差数列
D．不是等差数列
3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　)
A．26 B．29
C．39 D．52
4．已知数列是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝_______.
4.2.1　等差数列的概念
问题　对于①，我们发现1 758－1 682＝76,1 834－1 758＝76,1 910－1 834＝76,1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.对于②，有270－275＝－5，…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律．
知识梳理
二　差　同一个常数　公差　d
例1　解　①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是．
跟踪训练1　ABC　[由等差数列的定义得，
A项公差d＝0，故是等差数列；
B项公差d＝3，故是等差数列；
C项公差d＝，故是等差数列；
D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．]
例2　(1)
解析　由等差数列的定义可知a－＝－a，解得a＝.
(2)解　由等差数列的定义可知
解得
跟踪训练2　解　由等差数列的定义可知
解得
例3　4
解析　设m为4＋2与4－2的等差中项，
则4＋2＋4－2＝2m，
所以m＝4.
跟踪训练3　a＝－b或a＝3b
解析　由等差中项的定义知，
x＝，x2＝，
∴＝2，
即a2－2ab－3b2＝0，
∴(a－3b)(a＋b)＝0，
∴a＝3b或a＝－b.
随堂演练
1．ABD　[A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；
C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．]
2．B　[∵3an＋1＝3an＋1，
∴an＋1－an＝，
∴{an}为公差为的等差数列．]
3．C　[由等差数列的定义可知解得x＋y＋z＝39.]
4．2
解析　由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2，
所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2.(共47张PPT)
4.2.1
第4章
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等差数列的概念
1.理解等差数列的概念，并根据等差数列的定义进行简单的运算.
2.能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列.
学习目标
同学们，前面我们学习了数列的概念，以及根据数列的递推关系求数列的通项公式.实际上，生活中有一种特别的数列，比如，和生肖有关的问题，大家属鼠的居多一些，同样是属鼠的，年龄要么相同，要么就相差12的整数倍，今天我们就研究此类数列.
导 语
一、等差数列的概念
二、等差数列中的基本计算
课时对点练
三、等差中项及应用
随堂演练
内容索引
等差数列的概念
一
观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986.
②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，….
③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.
以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？
问题
提示　对于①，我们发现1 758－1 682＝76，1 834－1 758＝76，1 910－1 834＝76，1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.
对于②，有270－275＝－5，…；
对于③，10－10＝0，有同样的取值规律.
一般地，如果一个数列从第____项起，每一项减去它的前一项所得的____都等于___________，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的_____，公差通常用字母____表示.
差
二
同一个常数
公差
d
(1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2)；
(2)定义中强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；
(3)差必须是同一个常数；
(4)公差可以是正数、负数、零；
(5)当d>0时，{an}是递增数列，当d＝0时，{an}是常数列，当d<0时，{an}是递减数列.
注 意 点
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　　　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9，…；
例 1
是，a1＝1，d＝2；
②9,6,3,0，－3，…；
是，a1＝9，d＝－3；
③1,3,4,5,6，…；
不是；
④7,7,7,7,7，…；
是，a1＝7，d＝0；
不是.
利用定义法判断等差数列：从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是，则该数列是等差数列，否则该数列不是等差数列.
反
思
感
悟
　　　　　(多选)下列数列是等差数列的是
A.1,1,1,1,1 　　 B.4,7,10,13,16
跟踪训练 1
√
√
√
由等差数列的定义得，
A项公差d＝0，故是等差数列；
B项公差d＝3，故是等差数列；
C项公差d＝ ，故是等差数列；
D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.
二
等差数列中的基本计算
例 2
(2)若－1，a，b，c,7成等差数列，求a，b，c的值.
反
思
感
悟
若干个数成等差数列求其中的未知元素时，要严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知元素.
　　　　　若m,4,2n成等差数列，2m,5，n也成等差数列，试求m，n的值.
跟踪训练 2
等差中项及应用
三
例 3
4
所以m＝4.
反
思
感
悟
若b是a与c的等差中项，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则b是a与c的等差中项.
　　　　　设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是________________.
跟踪训练 3
a＝－b或a＝3b
由等差中项的定义知，
即a2－2ab－3b2＝0，
∴(a－3b)(a＋b)＝0，
∴a＝3b或a＝－b.
1.知识清单：
(1)等差数列的概念.
(2)等差数列中的基本运算.
(3)等差中项及其应用.
2.方法归纳：定义法、列方程组法.
随堂演练
四
1.(多选)下列数列中，是等差数列的是
A.1,4,7,10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2
A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；
C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.
√
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√
√
2.若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是
√
1
2
3
4
∵3an＋1＝3an＋1，
3.若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为
A.26 B.29
C.39 D.52
√
1
2
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4
4.已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝______.
由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2，
所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2.
1
2
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2
课时对点练
五
1.(多选)下列数列中，是等差数列的有
A.4,5,6,7,8，… 　B.3,0，－3,0，－6，…
A是以4为首项，以1为公差的等差数列；
B后一项减前一项的差不是同一个常数，所以不是等差数列；
C是常数列，所以是等差数列；
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基础巩固
√
√
2.方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为
A.1 　　　　B.6 　　　　C.5 　　　　D.－3
设x1，x2为方程x2＋6x＋1＝0的两根，
则x1＋x2＝－6，
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3.在等差数列{an}中，a2＝－1，a4＝－5，则它的公差d为
A.2 　　　　B.3 　　　　C.－2 　　　　D.－3
由等差数列的定义，得d＝a4－a3＝a3－a2，
所以2a3＝a4＋a2＝－6，
故a3＝－3，公差d＝a3－a2＝－2.
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4.已知在各项均不为零的等差数列{an}中，满足a1＋a3＝　，则a2等于
A.0 　　　　B.1 　　　　C.2 　　　　D. 4
∵{an}为等差数列，∴a2－a1＝a3－a2，
∴a1＋a3＝2a2，
√
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5.(多选)已知an＋1－an＝0，则数列{an}一定是
A.等差数列 　　　B.常数列 　　　C.递增数列 　　　D.递减数列
因为an＋1－an＝0，所以由等差数列的定义得，数列{an}是等差数列.
因为公差为0，所以数列{an}一定是常数列.
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√
6.(多选)已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是
A.an＝1－3n B.an＝2n－3
C.an＝2n D.an＝3
当n≥2时，
对于A，an－an－1＝1－3n－[1－3(n－1)]＝－3，是等差数列；
对于B，an－an－1＝2n－3－[2(n－1)－3]＝2，是等差数列；
对于C，an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1，不是常数，不是等差数列；
对于D，an－an－1＝3－3＝0，是等差数列.
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7.在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为___.
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所以a3＝3.
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9.已知数列{an}是等差数列.
(1)如果a1＝0，a3＝8，求公差d和a2；
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由等差数列的定义可知
a2－a1＝a3－a2＝d，
所以a2＝4，d＝4.
(2)如果a2＝3，a3＝6，求公差d和a1；
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由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2＝d，
所以d＝3，a1＝0.
(3)如果a1＝1，a2＝3，求公差d和a7.
由等差数列的定义可知a2－a1＝d＝2，所以a7＝13.
10.已知数列{an}中，a3＝9，a5＝5，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，试判断数列{an}是否为等差数列，若是，求数列{an}的首项和公差，若不是，请说明理由.
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因为an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N*)，说明这个数列从第2项起，后一项减前一项所得的差始终相等，所以数列{an}是等差数列.
由a3＝9，a5＝5，可知a4＝7，所以d＝－2，所以a1＝13.
11.已知数列{an}是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列{an}为等差数列”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
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综合运用
若“数列{an}为等差数列”成立，必有“2a2＝a1＋a3”，而仅有“2a2＝a1＋a3”成立，不能断定“数列{an}为等差数列”成立，必须满足对任何的n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2成立才可以，故“2a2＝a1＋a3”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件.
12.给出下列数列：(1)0,0,0,0,0，…；(2)1,11,111，1 111，…；(3)2,22,23,24，
…；(4)－5，－3，－1,1,3，…；(5)1,2,3,5,8，…其中是等差数列的有
A.1个 　　　　B.2个 　　　　C.3个 　　　　D.4个
(1)该数列是公差为0的等差数列；
(2)因为11－1≠111－11，所以该数列不是等差数列；
(3)因为22－2≠23－22，所以该数列不是等差数列；
(4)该数列是公差为－2的等差数列；
(5)因为5－3≠3－2，所以该数列不是等差数列；
所以数列(1)，(4)是等差数列.
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∵b是x,2x的等差中项，
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又x是a，b的等差中项，
∴2x＝a＋b，
14.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是_______________.
由等差中项的定义知，
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a＝－b或a＝3b
即a2－2ab－3b2＝0，
∴(a－3b)(a＋b)＝0，
∴a＝3b或a＝－b.
拓广探究
15.在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有____个.
先考虑不存在0的情况，
由题意可知，公差最大为4，公差为0有9个，公差为±1有14个，公差为±2有10个，公差为±3有6个，公差为±4有2个；
当三位数有0时，有4个，
综上所述，构成等差数列的共有45个.
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16作业37　等差数列的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分]
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1．(多选)下列数列中，是等差数列的有(　　)
A．4,5,6,7,8，… B．3,0，－3,0，－6，…
C．0,0,0,0，… D.，，，，…
2．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为(　　)
A．1 B．6 C．5 D．－3
3．在等差数列{an}中，a2＝－1，a4＝－5，则它的公差d为(　　)
A．2 B．3 C．－2 D．－3
4．已知在各项均不为零的等差数列中，满足a1＋a3＝a，则a2等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D. 4
5．(多选)已知an＋1－an＝0，则数列一定是(　　)
A．等差数列 B．常数列 C．递增数列 D．递减数列
6．(多选)已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是(　　)
A．an＝1－3n B．an＝2n－3
C．an＝2n D．an＝3
7．(5分)在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________．
8．(5分)已知数列满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则a3＝__________.
9．(9分)已知数列是等差数列．
(1)如果a1＝0，a3＝8，求公差d和a2；(3分)
(2)如果a2＝3，a3＝6，求公差d和a1；(3分)
(3)如果a1＝1，a2＝3，求公差d和a7.(3分)
10．(11分)已知数列中，a3＝9，a5＝5，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，试判断数列是否为等差数列，若是，求数列的首项和公差，若不是，请说明理由．
11．已知数列是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
12．给出下列数列：(1)0,0,0,0,0，…；(2)1,11,111，1 111，…；(3)2,22,23,24，…；(4)－5，－3，－1,1,3，…；(5)1,2,3,5,8，…其中是等差数列的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x(b≠0，x≠0)，则等于(　　)
A. B. C. D.
14．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是_________________．
15．在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有____个．
16．(12分)数列中，a1＝－1，an＋1＝，证明：是等差数列．
作业37　等差数列的概念
1．ACD　[A是以4为首项，以1为公差的等差数列；B后一项减前一项的差不是同一个常数，所以不是等差数列；C是常数列，所以是等差数列；D是以为首项，以为公差的等差数列．]
2．D　[设x1，x2为方程x2＋6x＋1＝0的两根，
则x1＋x2＝－6，
得x1，x2的等差中项为＝－3.]
3．C　[由等差数列的定义，得d＝a4－a3＝ a3－a2，
所以2a3＝a4＋a2＝－6，
故a3＝－3，公差d＝a3－a2＝－2.]
4．C　[∵{an}为等差数列，∴a2－a1＝a3－a2，
∴a1＋a3＝2a2，
∴2a2＝a，解得a2＝2(a2＝0舍去)．]
5．AB　[因为an＋1－an＝0，所以由等差数列的定义得，数列是等差数列．
因为公差为0，所以数列{an}一定是常数列．]
6．ABD　[当n≥2时，
对于A，an－an－1＝1－3n－[1－3(n－1)]＝－3，是等差数列；对于B，an－an－1＝2n－3－[2(n－1)－3]＝2，是等差数列；对于C，an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1，不是常数，不是等差数列；对于D，an－an－1＝3－3＝0，是等差数列．]
7．3
解析　由等差数列的定义可知解得所以d＝3.
8．3
解析　由等差数列的定义可知a－a＝4，故是以4为公差的等差数列，所以a＝a＋4＝5，a＝a＋4＝9，所以a3＝3.
9．解　(1)由等差数列的定义可知
a2－a1＝a3－a2＝d，
所以a2＝4，d＝4.
(2)由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2＝d，
所以d＝3，a1＝0.
(3)由等差数列的定义可知a2－a1＝d＝2，所以a7＝13.
10．解　因为an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N*)，说明这个数列从第2项起，后一项减前一项所得的差始终相等，所以数列是等差数列．
由a3＝9，a5＝5，可知a4＝7，所以d＝－2，所以a1＝13.
11．B　[若“数列为等差数列”成立，必有“2a2＝a1＋a3”，而仅有“2a2＝a1＋a3”成立，不能断定“数列为等差数列”成立，必须满足对任何的n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2成立才可以，故“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的必要不充分条件．]
12．B　[(1)该数列是公差为0的等差数列；(2)因为11－1≠111－11，所以该数列不是等差数列；(3)因为22－2≠23－22，所以该数列不是等差数列；(4)该数列是公差为－2的等差数列；(5)因为5－3≠3－2，所以该数列不是等差数列；所以数列(1)，(4)是等差数列．]
13．C　[∵b是x,2x的等差中项，
∴b＝＝，
又x是a，b的等差中项，
∴2x＝a＋b，
∴a＝，∴＝.]
14．a＝－b或a＝3b
解析　由等差中项的定义知，
x＝，x2＝，
∴＝2，
即a2－2ab－3b2＝0，
∴(a－3b)(a＋b)＝0，
∴a＝3b或a＝－b.
15．45
解析　先考虑不存在0的情况，
由题意可知，公差最大为4，公差为0有9个，公差为±1有14个，公差为±2有10个，公差为±3有6个，公差为±4有2个；
当三位数有0时，有4个，
综上所述，构成等差数列的共有45个．
16．证明　∵an＋1＝，
∴＝＝＝－1，
即－＝－1，
又a1＝－1，则＝－，
∴是首项为－，公差为－1的等差数列．

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