资源简介

4.2.3　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和
[学习目标]　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
一、等差数列前n项和公式及应用
问题1　高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了结果，那么如何求1＋2＋3＋…＋n呢？
问题2　一般地，对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn.对于一般的等差数列，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.
知识梳理
等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式 Sn＝____________ Sn＝_____________
例1　在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
反思感悟　等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
跟踪训练1　在等差数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
(2)a3＋a15＝40，求S17；
(3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
二、利用前n项和表达式判断等差数列
问题3　等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋d是关于n的二次函数吗？它可以写成什么形式？
例2　若数列的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列，若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
延伸探究　若数列的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列．若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
②若a1不适合an，则an＝
跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列．
1．知识清单：
(1)等差数列前n项和公式及应用．
(2)利用前n项和表达式判断等差数列．
2．方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法．
3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于(　　)
A．－n2＋ B．－n2－
C.n2＋ D.n2－
2．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于(　　)
A．18 B．27 C．36 D．45
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为(　　)
A．1 B. C．2 D．3
4．数列的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝________.
第1课时　等差数列的前n项和
问题1　将1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n倒序为n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，然后将两式相加得到n 个相同的数(即(1＋n))，从而把不同数的求和转化为n个相同的数的求和，即(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)＝n(n＋1)，∴1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝.
问题2　倒序相加法．

两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．
知识梳理
　na1＋d
例1　解　(1)
解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
跟踪训练1　解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.
故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81.
(2)S17＝＝＝＝340.
(3)由题意得，Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
所以d＝－，
所以n＝15，d＝－.
问题3　Sn＝n2＋n.当d＝0时，Sn不是关于n的二次函数；当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0.
例2　解　当n＝1时，S1＝a1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，
故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－(4n－5)＝4，
所以数列是等差数列．
延伸探究　解　∵Sn＝2n2－3n－1，①
当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2，
当n≥2时，Sn－1＝22－3－1，②
①－②得an＝Sn－Sn－1
＝2n2－3n－1－[22－3－1]＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－2不符合上式，
故an＝
故数列不是等差数列，从第二项起数列{an}是等差数列，公差为4.
跟踪训练2　解　当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∴数列{an}的通项公式是an＝
∵a2－a1＝4－1＝3≠2，
∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列．
随堂演练
1．A　[∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，
∴Sn＝＝－n2＋.]
2．C　[S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.]
3．C　[因为S3＝＝6，且a3＝4，
所以a1＝0，所以d＝＝2.]
4．－2n＋2
解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－[－2＋]＝－2n＋2，经检验，n＝1也适合该式．故an＝－2n＋2.(共52张PPT)
第1课时
第4章
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等差数列的前n项和
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.
学习目标
高斯是伟大的数学家，在他小时候，有一次老师出了一道题目：“1＋2＋…＋100的和是多少？”过了两分钟，正当大家在对1＋2＝3,3＋3＝6,6＋4＝10，…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“5 050.”老师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1＋100＝101,2＋99＝101，…，50＋51＝101，所以101×50＝5 050.”这个故事告诉我们要像数学王子高斯一样善于观察，敢于思考，从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.
导 语
一、等差数列前n项和公式及应用
二、利用前n项和表达式判断等差数列
课时对点练
随堂演练
内容索引
等差数列前n项和公式及应用
一
高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了结果，那么如何求1＋2＋3＋…＋n呢？
问题1
提示　倒序相加法.
一般地，对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn.对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.
问题2
等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式 Sn＝_________
Sn＝_____________
(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；
(2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；
(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.
注 意 点
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　　　在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
例 1
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝　　　　结合使用.
等差数列中的基本计算
反
思
感
悟
　　　　　在等差数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
跟踪训练 1
设等差数列{an}的公差为d，
则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.
(2)a3＋a15＝40，求S17；
解得n＝15.
二
利用前n项和表达式判断等差数列
问题3
　　　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
例 2
当n＝1时，S1＝a1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，
故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－(4n－5)＝4，
所以数列{an}是等差数列.
　　　　 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
延伸探究
∵Sn＝2n2－3n－1， ①
当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2，
当n≥2时，Sn－1＝2(n－1) 2－3(n－1)－1， ②
①－②得an＝Sn－Sn－1
＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－2不符合上式，
故数列{an}不是等差数列，从第二项起数列{an}是等差数列，公差为4.
反
思
感
悟
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
由Sn求通项公式an的步骤
　　　　　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.
跟踪训练 2
当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∵a2－a1＝4－1＝3≠2，
∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列.
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和公式及应用.
(2)利用前n项和表达式判断等差数列.
2.方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法.
3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.
随堂演练
三
1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于
∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，
√
1
2
3
4
2.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于
A.18 　　　　B.27 　　　　C.36 　　　　D.45
√
1
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3
4
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为
√
1
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3
4
4.数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝______________.
当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1) 2＋(n－1)]＝－2n＋2，
经检验，n＝1也适合该式.
故an＝－2n＋2(n∈N*).
1
2
3
4
－2n＋2(n∈N*)
课时对点练
四
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于
A.49 　　　　B.42 　　　　C.35 　　　　D.28
√
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基础巩固
2.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1等于
A.18 　　　　B.20 　　　　C.22 　　　　D.24
由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，
所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
√
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3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝9，am＋am－1＝79(m≥3)，Sm＝2 024，则m的值为
A.100 　　　　B.101 　　　　C.200 　　　　D.92
a1＋am＋a2＋am－1＝88，由等差数列的性质可知，a1＋am＝a2＋am－1，
故a1＋am＝44.
√
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故m＝92.
4.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为
A.7 　　　　B.8 　　　　C.9 　　　　D.10
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为
an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8.
√
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5.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于
A.160 　　　　B.180 　　　　C.200 　　　　D.220
由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，
由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，
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6.(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于
A.－1 　　　　B.3 　　　　C.5 　　　　D.7
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√
方法一　由题意知an＝a1＋(n－1)×2＝11， ①
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由①②解得a1＝3或a1＝－1.
方法二　将该数列看成以an＝11为首项，以－2为公差的等差数列，
解得n＝5或n＝7，
所以a1＝an＋(n－1)(－2)＝13－2n＝3或－1.
②
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝_____.
因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.
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设数列{an}的公差为d，
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所以10a1＋45d＝20a1＋40d，
所以10a1＝5d，
9.在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
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设数列{an}的首项为a1，公差为d.
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)若Sn＝242，求n.
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即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去).
故n＝11.
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25.
(1)求{an}的通项公式；
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设公差为d，由S5＝a5＋a6＝25，
∴a1＝－1，d＝3.
∴{an}的通项公式为an＝3n－4.
(2)求等差数列{an}的前n项和Sn.
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由(1)知an＝3n－4，
11.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为
A.765 　　　　B.665 　　　　C.763 　　　　D.663
∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
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综合运用
12.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为
A.5 　　　　B.6 　　　　C.7 　　　　D.8
由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，
∴4(a1＋an)＝280，
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∴n＝6.
13.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于
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由图案的点数可知
a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，
所以an＝3n－3，n≥2，
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14.把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是_____.
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35
设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，
拓广探究
15.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且a2＋a6＝2，a5<0，则
A.a4＝1 B.S7＝7
C.a1<0 D.d<0
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因为a4＝1>0，a5<0，所以公差d＝a5－a4<0，a1＝a4－3d>0.故C错误，D正确.
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16.已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
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∵S4＝28，
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5
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7
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16
∴a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d>0，
∴a2∴a2＝5，a3＝9，
∴an＝4n－3，n∈N*.
由(1)，知Sn＝2n2－n，
又{bn}也是等差数列，
∴b1＋b3＝2b2，
1
2
3
4
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15
16第2课时　等差数列前n项和的性质及应用
[学习目标]　1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质．
一、等差数列前n项和的实际应用
问题1　请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．
例1　从11月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.11月份的销售数据显示，11月1日该款服装售出10件，第二天售出25件，以后每一天售出的服装都比前一天多15件，直到11月12日日销售量达到最大，然后每一天售出的服装都比前一天少9件．
(1)记从11月1日起该款服装日销售量为an，销售天数为n,1≤n≤30，求an关于n的函数关系式；
(2)求11月份该款服装的总销售量；
(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，该款服装在社会上就开始流行；当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，此服装在社会上不再流行．试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？请说明理由．
反思感悟　(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．
跟踪训练1　近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术处于国际领先水平．某公司用9万元购进一台新设备用于生产电机，第一年需营运费用3万元，从第二年起，每年营运费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为12万元，若该设备使用了n(n∈N*)年后，年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
二、等差数列中前n项和的最值问题
问题2　根据前面所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
知识梳理
等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最______值，使Sn取得最值的n可由不等式组_______________确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最______值，使Sn取得最值的n可由不等式组_______________确定．
(2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最______值；当d<0时，Sn有最______值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
例2　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值．
反思感悟　(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和；
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找；
②运用二次函数求最值．
跟踪训练2　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值，并指出何时取最小值．
三、等差数列前n项和的性质
问题3　已知等差数列的前n项和为Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？
知识梳理
1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为_____.
3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)．
例3　已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
反思感悟　利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求是基本解法，有时运算量大些．
(2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
跟踪训练3　等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
1．知识清单：
(1)等差数列前n项和的实际应用．
(2)等差数列前n项和的最值问题．
(3)等差数列前n项和的性质．
2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法．
3．常见误区：忽略等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．
1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　)
A．11或12 B．12 C．13 D．12或13
2．等差数列中，S3＝3，S6＝9，则S12等于(　　)
A．12 B．18 C．24 D．30
3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为(　　)
A. 两 B. 两 C. 两 D. 两
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________.
第2课时　等差数列前n项和的性质及应用
问题1　学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等．
例1　解　(1)设从11月1日起该款服装的日销售量构成数列{an}．
由题意知，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列，
所以an＝15n－5(1≤n≤12且n∈N*)．
而a13，a14，a15，…，a30是首项为a13＝a12－9＝166，公差为－9的等差数列，
所以an＝166＋(n－13)×(－9)＝－9n＋283(13≤n≤30且n∈N*)．
所以an＝
(2)11月份该款服装的总销售量为＋18a13＋＝＋18×166＋＝2 721(件)．
(3)11月1日至11月12日的总销售量为S12＝＝＝1 110<1 200，
S13＝S12＋166＝1 276>1 200，
故11月13日该款服装在社会上开始流行．
由－9n＋283<100，得n>.
故从11月21日开始该款服装在社会上不再流行，即该款服装在社会上流行没有超过10天．
跟踪训练1　D　[依题意，该设备每年营运费用构成一个等差数列{an}，其首项a1＝3，公差d＝2，则该设备第n年营运费用an＝2n＋1，前n年营运总费用Sn＝·n＝n2＋2n，则年平均盈利额为(12n－Sn－9)＝[12n－(n2＋2n)－9]＝10－≤10－2＝4，当且仅当n＝，即n＝3时取等号，所以年平均盈利额达到最大值时n＝3.]
问题2　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．通常简记为Sn＝An2＋Bn.该函数的定义域是N*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向．
知识梳理
(1)大　　小　　(2)小　大
例2　解　方法一　因为S8＝S18，a1＝25，
所以8×25＋d
＝18×25＋d，
解得d＝－2.
所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
方法二　同方法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因为a1＝25>0，
由得
又因为n∈N*，
所以当n＝13时，Sn有最大值为S13＝13×25＋×(－2)＝169.
方法三　因为S8＝S18，
所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
因为a1>0，所以d<0.
所以a13>0，a14<0.
所以当n＝13时，Sn有最大值．由a13＋a14＝0，得
a1＋12d＋a1＋13d＝0，
解得d＝－2，
所以S13＝13×25＋×(－2)＝169，
所以Sn的最大值为169.
方法四　设Sn＝An2＋Bn.
因为S8＝S18，a1＝25，
所以
解得
所以Sn＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169，
所以Sn的最大值为S13＝169.
跟踪训练2　解　(1)设等差数列的公差为d，
因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，
所以
解得
所以an＝3n－12，n∈N*.
(2)因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以Sn＝＝(3n2－21n)
＝2－，
所以当n＝3或n＝4时，
前n项和Sn取得最小值，最小值为S3＝S4＝－18.
问题3　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样地，我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列．
知识梳理
2.
例3　解　方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×＝－110.
方法二　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22，
∴前11项和S110＝11×100＋×(－22)
＝－110.
方法三　由也是等差数列，构造新的等差数列，令b1＝＝10，b10＝＝，
则d＝(b10－b1)＝×＝－，
所以b11＝＝b10＋d＝＋＝－1，
所以S110＝－110.
方法四　直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110.
跟踪训练3　解　方法一　在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二　在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
随堂演练
1．D　[∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2(n≥2，n∈N*)，
∴数列{an}为等差数列．
又a1＝24，d＝－2，
∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n
＝－2＋.∵n∈N*，
∴当n＝12或n＝13时，Sn最大．]
2．D　[根据题意，在等差数列中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，
又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，
则S9－S6＝9，S12－S9＝12，
则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30.]
3．C　[设10个兄弟由大到小依次分得an两银子，
设数列的公差为d，其前n项和为Sn，
则由题意得即
解得所以长兄分得 两银子．]
4．4
解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.(共69张PPT)
第2课时
第4章
<<<
等差数列前n项和的性质及应用
1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.
2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.
3.理解并应用等差数列前n项和的性质.
学习目标
一、等差数列前n项和的实际应用
二、等差数列中前n项和的最值问题
课时对点练
三、等差数列前n项和的性质
随堂演练
内容索引
等差数列前n项和的实际应用
一
提示　学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等.
请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题.
问题1
　　　从11月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.11月份的销售数据显示，11月1日该款服装售出10件，第二天售出25件，以后每一天售出的服装都比前一天多15件，直到11月12日日销售量达到最大，然后每一天售出的服装都比前一天少9件.
(1)记从11月1日起该款服装日销售量为an，销售天数为n,1≤n≤30，求an关于n的函数关系式；
例 1
设从11月1日起该款服装的日销售量构成数列{an}.
由题意知，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列，
所以an＝15n－5(1≤n≤12且n∈N*).
而a13，a14，a15，…，a30是首项为a13＝a12－9＝166，公差为－9的等差数列，
所以an＝166＋(n－13)×(－9)＝－9n＋283(13≤n≤30且n∈N*).
(2)求11月份该款服装的总销售量；
(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，该款服装在社会上就开始流行；当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，此服装在社会上不再流行.试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？请说明理由.
S13＝S12＋166＝1 276>1 200，
故11月13日该款服装在社会上开始流行.
故从11月21日开始该款服装在社会上不再流行，即该款服装在社会上流行没有超过10天.
(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现.
反
思
感
悟
　　　　　近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术处于国际领先水平.某公司用9万元购进一台新设备用于生产电机，第一年需营运费用3万元，从第二年起，每年营运费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为12万元，若该设备使用了n(n∈N*)年后，年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于
A.6 　　　　B.5 　　　　C.4 　　　　D.3
跟踪训练 1
√
依题意，该设备每年营运费用构成一个等差数列{an}，其首项a1＝3，公差d＝2，则该设备第n年营运费用an＝2n＋1，
二
等差数列中前n项和的最值问题
根据前面所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
问题2
等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最____值，使Sn取得最值的n可由不等式组_______确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最____值，使Sn取得最值的n可由不等式组_______确定.
大
小
(2)Sn＝ 若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最
____值；当d<0时，Sn有最____值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.
小
大
(1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1；
(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一.
注 意 点
<<<
　　　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.
例 2
方法一　因为S8＝S18，a1＝25，
解得d＝－2.
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
方法二　同方法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因为a1＝25>0，
又因为n∈N*，
方法三　因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
因为a1>0，所以d<0.
所以a13>0，a14<0.
所以当n＝13时，Sn有最大值.
由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，
解得d＝－2，
所以Sn的最大值为169.
方法四　设Sn＝An2＋Bn.
因为S8＝S18，a1＝25，
所以Sn＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169，
所以Sn的最大值为S13＝169.
反
思
感
悟
(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和；
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法
②运用二次函数求最值.
　　　　　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
跟踪训练 2
设等差数列的公差为d，
因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，
所以an＝3n－12，n∈N*.
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值，并指出何时取最小值.
因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以当n＝3或n＝4时，
前n项和Sn取得最小值，最小值为S3＝S4＝－18.
等差数列前n项和的性质
三
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？
提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样地，我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列.
问题3
1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
3.在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).
　　　已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
例 3
方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
方法二　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，
所以S110＝－110.
方法四　直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110.
反
思
感
悟
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求是基本解法，有时运算量大些.
(2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
利用等差数列前n项和的性质简化计算
　　　　　等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
跟踪训练 3
方法一　在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和的实际应用.
(2)等差数列前n项和的最值问题.
(3)等差数列前n项和的性质.
2.方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法.
3.常见误区：忽略等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列.
随堂演练
四
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为
A.11或12 　　　　B.12 　　　　C.13 　　　　D.12或13
∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2(n≥2，n∈N*)，
∴数列{an}为等差数列.
又a1＝24，d＝－2，
√
1
2
3
4
∴当n＝12或n＝13时，Sn最大.
2.等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于
A.12 　　　　B.18 　　　　C.24 　　　　D.30
根据题意，在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，
又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，
则S9－S6＝9，S12－S9＝12，
则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30.
√
1
2
3
4
3.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为
√
1
2
3
4
设10个兄弟由大到小依次分得an(n＝1，2，…，10)两银子，
设数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，
1
2
3
4
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝_____.
1
2
3
4
4
课时对点练
五
1.已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn
A.有最大值且是整数 B.有最小值且是整数
C.有最大值且是分数 D.无最大值和最小值
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
易知数列{2n－19}的通项公式为an＝2n－19，
∴a1＝－17，d＝2.
∴该数列是递增的等差数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴a12.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为
A.30 　　　　B.70 　　　　C.50 　　　　D.60
∵在等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，
∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，
∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，
∴S2m＝50.
√
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A.10 　　　　B.100 　　　　C.110 　　　　D.120
∵{an}是等差数列，a1＝1，
√
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∴S10＝100.
4.已知在等差数列{an}中，前n项和为Sn，a1>0，a1 010＋a1 011＝0，则当Sn取最大值时，n等于
A.1 010 　　　　B.1 011 　　　　C.2 020 　　　　D.2 021
在等差数列{an}中，a1>0，a1 010＋a1 011＝0，故公差d<0，所以a1 010>0，a1 011<0，所以当Sn取最大值时，n＝1 010.
√
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5.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落—形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，
顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，
…).若一“落—形”三角锥垛有6层，则该堆垛第
6层的小球个数为
A.45 　　　　B.36 　　　　C.28 　　　　D.21
√
由题意分析可得a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝1＋2＋3＝6，…，
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6.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，　　<－1，则下列结论正确的是
A.a2 022>0
B.Sn的最大值为S2 023
C.|an|的最小值为a2 022
D.S4 044<0
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√
√
∴数列{an}为递减的等差数列，
∴a2 023<0，a2 022>0，故A正确；
对于B, ∵数列{an}为递减的等差数列，
a2 023<0，a2 022>0，
∴Sn的最大值为S2 022，故B错误；
对于C，∵a2 023<0，a2 022>0，
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∴a2 023＋a2 022<0，
∴|a2 023|>|a2 022|，
∴|an|的最小值为|a2 022|，即a2 022，故C正确；
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7.已知等差数列前n项和为Sn，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝_____.
由性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13.
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－13
8.已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝____.
∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，
∴S9－S6＝5.
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5
9.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔
20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
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从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.
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∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.
10.已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
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由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
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方法一　∵a1＝9，d＝－2，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
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方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列.
令an≥0，则11－2n≥0，
∵n∈N*，
∴当n≤5时，an>0；
当n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
设S3＝k，S6＝4k(k≠0)，则S9＝3S6－3S3＝9k，S12＝3S9－3S6＋S3＝16k，
√
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综合运用
12.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S4＝S9，当Sn最大时，n等于
A.6 　　　　B.7 　　　　C.6或7 　　　　D.13
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因为S4＝S9，
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化简得a1＋6d＝0，
所以a1＝－6d，
因为a1>0，所以d<0，
因为n∈N*，所以当n＝6或n＝7时，Sn取得最大值.
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设数列{an}是公差为d的等差数列，
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则a1＝a2－d＝13，
则Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，
故当n＝7时，Sn取得最大值.
14.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为____.
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由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.
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当n＝19时，S19＝190；当n＝20时，S20＝210>200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.
拓广探究
15.某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层
A.7 　　　　B.8 　　　　C.9 　　　　D.10
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设电梯所停的楼层是n(2≤n≤12)，“不满意度”之和为S，
则S＝1＋2＋…＋(n－2)＋2×[1＋2＋…＋(12－n)]
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故S在n＝9时取最小值.
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设等差数列{an}的公差为d，
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∵S7＝7，S15＝75，
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16作业41　等差数列的前n项和
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　)
A．49 B．42 C．35 D．28
2．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1等于(　　)
A．18 B．20 C．22 D．24
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝9，am＋am－1＝79(m≥3)，Sm＝2 024，则m的值为(　　)
A．100 B．101 C．200 D．92
4．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
5．等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于(　　)
A．160 B．180 C．200 D．220
6．(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于(　　)
A．－1 B．3 C．5 D．7
7．(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________.
8．(5分)在等差数列{an}中，S10＝4S5，则＝________.
9．(10分)在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；(5分)
(2)若Sn＝242，求n.(5分)
10．(10分)设等差数列的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25.
(1)求的通项公式；(5分)
(2)求等差数列的前n项和Sn.(5分)
11．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)
A．765 B．665 C．763 D．663
12．等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
13．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　)
A. B.
C. D.
14．(5分)把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”．例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”．据此，对324的18项划分中最大的数是________．
15．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且a2＋a6＝2，a5<0，则(　　)
A．a4＝1 B．S7＝7
C．a1<0 D．d<0
16．(13分)已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．(7分)
作业41　等差数列的前n项和
1．B　[2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.]
2．B　[由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，
所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.]
3．D　[a1＋am＋a2＋am－1＝88，由等差数列的性质可知，a1＋am＝a2＋am－1，
故a1＋am＝44.
Sm＝＝22m＝2 024，
故m＝92.]
4．B　[由S13＝＝0，
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为
an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8.]
5．B　[由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，S20＝×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180.]
6．AB　[方法一　由题意知an＝a1＋(n－1)×2＝11，①
Sn＝na1＋×2＝35，②
由①②解得a1＝3或a1＝－1.
方法二　将该数列看成以an＝11为首项，以－2为公差的等差数列，则
Sn＝nan＋×(－2)＝11n－(n2－n)＝35，
解得n＝5或n＝7，
所以a1＝ an＋(n－1)(－2)＝13－2n＝3或－1.]
7．5
解析　因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.
8.
解析　设数列{an}的公差为d，
由题意得10a1＋×10×9d＝4，
所以10a1＋45d＝20a1＋40d，
所以10a1＝5d，
所以＝.
9．解　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得242＝12n＋×2，
即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去)．
故n＝11.
10．解　(1)设公差为d，由S5＝a5＋a6＝25，
得5a1＋d＝a1＋4d＋a1＋5d＝25，
∴a1＝－1，d＝3.
∴的通项公式为an＝3n－4.
(2)由(1)知an＝3n－4，
得的前n项和为
Sn＝＝＝，
则Sn＝n2－n.
11．B　[∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.]
12．B　[由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，
∴4(a1＋an)＝280，
∴a1＋an＝70.又Sn＝＝·70＝210，
∴n＝6.]
13．C　[由图案的点数可知
a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，
所以an＝3n－3，n≥2，
所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝
＝.]
14．35
解析　设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，
则由解得
15．ABD　[由a2＋a6＝2a4＝2，得a4＝1，S7＝＝＝7，故A，B正确；
因为a4＝1>0，a5<0，所以公差d＝a5－a4<0，a1＝a4－3d>0.故C错误，D正确．]
16．解　(1)∵S4＝28，
∴＝28，a1＋a4＝14，
∴a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d>0，
∴a2∴a2＝5，a3＝9，
∴解得
∴an＝4n－3，n∈N*.
(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
又{bn}也是等差数列，
∴b1＋b3＝2b2，
即＋＝2×，
解得c＝－(c＝0舍去)．作业42　等差数列前n项和的性质及应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分]
单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分
1．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn(　　)
A．有最大值且是整数 B．有最小值且是整数
C．有最大值且是分数 D．无最大值和最小值
2．若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为(　　)
A．30 B．70 C．50 D．60
3．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于(　　)
A．10 B．100 C．110 D．120
4．已知在等差数列中，前n项和为Sn，a1>0，a1 010＋a1 011＝0，则当Sn取最大值时，n等于(　　)
A．1 010 B．1 011 C．2 020 D．2 021
5.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落—形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落—形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为(　　)
A．45 B．36 C．28 D．21
6．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，<－1，则下列结论正确的是(　　)
A．a2 022>0
B．Sn的最大值为S2 023
C．|an|的最小值为a2 022
D．S4 044<0
7．(5分)已知等差数列前n项和为Sn，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝________.
8．(5分)已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.
9．(10分)某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
10．(12分)已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；(5分)
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？(7分)
11．已知等差数列的前n项和为Sn，若＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
12．等差数列的前n项和为Sn，且a1>0，S4＝S9，当Sn最大时，n等于(　　)
A．6 B．7 C．6或7 D．13
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝11，－＝－8，则Sn取最大值时的n为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
14．(5分)现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．
15．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
16．(12分)已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，求数列的前n项和Tn.
作业42　等差数列前n项和的性质及应用
1．B　[易知数列{2n－19}的通项公式为an＝2n－19，
∴a1＝－17，d＝2.
∴该数列是递增的等差数列．
令an＝0，得n＝.
∴a1∴该数列前n项和有最小值，为S9＝9a1＋d＝－81.]
2．C　[∵在等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，
∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，
∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，
∴S2m＝50.]
3．B　[∵{an}是等差数列，a1＝1，
∴也是等差数列且首项为＝1.
又－＝2，∴的公差是1，
∴＝1＋(10－1)×1＝10，
∴S10＝100.]
4．A　[在等差数列中，a1>0，a1 010＋a1 011＝0，故公差d<0，所以a1 010>0，a1 011<0，所以当Sn取最大值时，n＝1 010.]
5．D　[由题意分析可得a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝1＋2＋3＝6，…，则“三角形数”的通项公式an＝，a6＝＝21.]
6．ACD　[对于A，∵数列{an}为等差数列，a1>0，<－1，
∴数列{an}为递减的等差数列，
∴a2 023<0，a2 022>0，故A正确；
对于B, ∵数列{an}为递减的等差数列，
a2 023<0，a2 022>0，
∴Sn的最大值为S2 022，故B错误；
对于C，∵a2 023<0，a2 022>0，
由<－1得a2 023<－a2 022，
∴a2 023＋a2 022<0，
∴|a2 023|>|a2 022|，
∴|an|的最小值为|a2 022|，即a2 022，故C正确；
对于D, S4 044＝＝2 022(a2 022＋a2 023)<0，故D正确．]
7．－13
解析　由性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13.
8．5
解析　∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，
∴S9－S6＝5.
9．解　从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.
由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车的总工作时间为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作总时间为24×20＝480.
∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
10．解　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)方法一　∵a1＝9，d＝－2，
∴Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列．
令an≥0，
则11－2n≥0，
解得n≤.
∵n∈N*，
∴当n≤5时，an>0；
当n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
11．C　[由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
设S3＝k，S6＝4k，则S9＝3S6－3S3＝9k，S12＝3S9－3S6＋S3＝16k，
所以＝.]
12．C　[因为S4＝S9，
所以4a1＋d＝9a1＋d，
化简得a1＋6d＝0，
所以a1＝－6d，
因为a1>0，所以d<0，
所以Sn＝na1＋d＝－6dn＋d＝n2－dn，
它的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为n＝，
因为n∈N*，所以当n＝6或n＝7时，Sn取得最大值．]
13．B　[设数列{an}是公差为d的等差数列，
则是公差为的等差数列．
因为－＝－8，
故可得8×＝－8，解得d＝－2；
则a1＝a2－d＝13，
则Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，
故当n＝7时，Sn取得最大值．]
14．10
解析　由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190；当n＝20时，S20＝210>200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
15．C　[设电梯所停的楼层是n(2≤n≤12)，“不满意度”之和为S，
则S＝1＋2＋…＋(n－2)＋2×[1＋2＋…＋(12－n)]
＝＋2×
＝＋157＝2－＋157，
它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为n＝≈9，
故S在n＝9时取最小值．]
16．解　设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d.
∵S7＝7，S15＝75，
∴
即解得
∴＝a1＋d＝－2＋，
∴－＝，
∴数列是一个首项为－2，公差为的等差数列，
∴Tn＝n2－n.

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