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第三章 圆
3.3 垂径定理
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1. 理解垂径定理的推导。
2.利用垂径定理解决实际问题。
情景导入
你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
情景导入
它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
37.4m
7.2m
核心知识点一：
垂径定理及其推论
O
O
O
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
探索新知
根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和弧？
并尝试证明？
AM=A’M
⌒
⌒
AC＝ A’C　， AD＝ A’Ｄ
⌒
⌒
已知：线段AA’是⊙O的一条弦，直径CD⊥AA’，垂足为M。
求证：AM=A’M,
⌒
⌒
AC = A’C,
⌒
⌒
AD =A’D.
O
A
D
C
A'
M
探索新知
证明:设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上的点CD以外的任意一点.
O
A
D
C
过A作AA'垂直CD，交于⊙O点A'，垂足为M，连接OA，OA'.
A'
M
在△OAA'中，
∵OA=OA'，
∴△OAA'是等腰三角形.
又∵AA'垂直CD
∴MA=MA'
即CD是AA'的垂直平分线.
探索新知
从上面的证明过程中我们可以知道：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A'重合，AE与BE重合，AC和A'C,AD与A'D重合．
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⌒
⌒
∴MA=MA',AC=A'C,AD=A'D
)
)
)
)
即直径CD平分弦AA'，并且平分AA',ACA'
)
)
探索新知
归纳总结
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
探索新知
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
探索新知
练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
D
A
B
O
C
D
E
O
C
D
A
B
O
定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦
探索新知
如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M
（1）图是轴对称图形吗 如果是其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
D
A
B
M
O
探索新知
连接OA、OB，
易证OM⊥AB，∠AOC=∠BOC
∴AC=BC，AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
即直径CD⊥AB，直径CD平分AB所对的劣弧AB和优弧ADB
⌒
⌒
C
D
A
B
M
O
探索新知
归纳总结
M
C
D
垂径定理推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
符号语言：在⊙O中，
∵CD是直径，AM=BM，且AB不是直径，∴CD⊥AB，
AC=BC，AD=BD
⌒
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⌒
⌒
探索新知
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
归纳总结
探索新知
例：如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中 ,点O是 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
E
O
D
C
F
└
探索新知
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
● O
C
D
E
F
┗
探索新知
试一试：1 400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4 m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2 m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1 m）.
探索新知
解：如图，
OD = OC – DC = R – 7.2 .
在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得
OA2 = AD2 + OD2 ，
即 R2 = 18.72 +（R – 7.2）2
解得 R ≈ 27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
AB = 37.4，
CD = 7.2
探索新知
当堂检测
1.如图所示,一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m,水面宽AB为8 m,则拱桥的半径OC为(　 　)
A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m
B
当堂检测
2.如图所示,AB是圆O的弦,AB的长为4,P是圆O上的一个动点(不与点A,B重合).过点O分别作OC⊥AP于点C,OD⊥PB于点D,则CD的长为(　 　)
A.1 B.2 C.3 D.4
B
当堂检测
3.如图①所示,筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②所示,筒车盛水筒的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB长为6 m,☉O的半径为4 m.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是(　 　)
B
① ②
当堂检测
4.如图所示,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB于点D,且D是OC的中点,若OA=7,则BC的长为　 　.
5.圆管涵洞是公路路基排水中常用的涵洞结构类型,它不仅力学性能好,而且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵洞排水管道的截面是直径为1 m的圆,如图所示,若水面
宽AB=0.8 m,水的最大深度为　 　.
7
0.8 m
当堂检测
6.如图所示,在☉O中,OA⊥BC于点D,连接AB,AC,E是AC的中点,
连接DE.
(1)若AB=6,求DE的长;
当堂检测
(2)若∠BAC=100°,求∠CDE的度数.
当堂检测
7.如图所示,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,AB=10 cm,CD=6 cm.
(1)求AC的长;
当堂检测
(2)若大圆的半径为13 cm,求小圆的半径.
垂直于弦的直径
垂弦定理
的推论
垂弦定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
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