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第三章 圆
3.4.1 圆周角和圆心角的关系1
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.理解圆周角的概念，了解圆周角定理及其推论等的证明，渗透“分类讨论”思想.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.
情景导入
1.圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系
　如图：∠AOB　　弧AB的度数
＝
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条___、两条___中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
弧
弦
情景导入
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？
A
D
B
C
O
小明
小强
核心知识点一：
圆周角的定义
B
C
D
E
A
图中的三个张角∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交.
试着给这样的角下个定义.
探索新知
.
O
B
C
A
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
探索新知
试一试：判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
图1
图2
图3
图4
图5
探索新知
核心知识点二：
圆周角定理及其推论
如图，∠AOB = 80°.
（1）请你画出几个弧AB所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？
探索新知
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系
C
圆心O在∠C一条边上
C
圆心O在∠C的内部
C
圆心O在∠C的外部
探索新知
C
圆心O在∠C一条边上
C
圆心O在∠C的内部
C
圆心O在∠C的外部
改变圆心角∠AOB的度数，上述结论还成立吗？
议一议：
探索新知
猜想结论：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
即∠APB = ∠AOB
圆心在圆周角的边上
圆心在圆周角内
圆心在圆周角外
思考：圆周角与圆心的几种不同的位置关系
分类讨论
探索新知
C
已知：如图，∠C 是弧AB所对的圆周角，∠AOB 是弧AB 所对的圆心角.
求证：
证明：（1）圆心 O 在∠C 的一条边上，如图.
∵ ∠AOB 是△AOC 的外角，
∴ ∠AOB = ∠A +∠C.
∵ OA = OC，
∴ ∠A =∠C.
∴ ∠AOB = 2∠C，
探索新知
已知：如图，∠C 是弧AB所对的圆周角，∠AOB 是弧AB 所对的圆心角.
求证：
C
提示：能否转化为前一种已证明的情况
D
过点C作直径CD.由已证可得:
探索新知
已知：如图，∠C 是弧AB所对的圆周角，∠AOB 是弧AB 所对的圆心角.
求证：
C
提示：能否也转化为第一种已证明的情况
D
过点C作直径CD.由已证可得:
探索新知
归纳总结
分类讨论、转化
化归
D
D
●
O
A
C
B
A
B
● O
C
A
C
B
●
O
化归
探索新知
在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
B
C
D
E
A
O
探索新知
B
C
D
E
A
所以 ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC .
根据圆周角定理，
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
O
∠ABC=
∠ADC=
∠AEC=
探索新知
当堂检测
1.如图所示,C是☉O上一点,若∠C=40°,则∠AOB的度数为(　 　)
A.20° B.40° C.80° D.140°
C
当堂检测
2.如图所示,点A,B,C在☉O上,∠OBC=18°,则∠A=
(　 　)
A.18° B.36° C.72° D.144°
C
当堂检测
3.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为其两条对角线,CB=CD,
∠CAD=30°,∠ACD=45°,连接OA,OB,则∠OAB的大小为(　 　)
A.15° B.20° C.22.5° D.25°
A
当堂检测
4.如图所示,AC和BD是四边形ABCD的对角线,AC=AB=AD,∠BAC=∠CAD,若∠CDB=21°,则∠BAD的度数为(　 　)
A.42°　 B.60°　　　C.64° D.84°
D
当堂检测
55°
当堂检测
6.如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦,且CD⊥AB于E,连接AC,OC,BC.
(1)求证:∠1=∠2;
当堂检测
(2)若BE=2,CD=6,求☉O的半径长.
(1)一个概念（圆周角）；
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的
圆心角的一半；
(3)一个推论：同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相
等. 相等的圆周角所对的弧相等。
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