资源简介

5.3.1　单调性
第1课时　单调性
[学习目标]　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
一、函数的单调性与其导数的关系
问题　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系．
知识梳理
函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
例1　利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)＝x3－x2＋2x－5；(2)f(x)＝x－－ln x.
反思感悟　利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论．
跟踪训练1　利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)＝x－ex(x>0)；
(2)f(x)＝(x>e)．
二、利用导数求函数的单调区间
例2　求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.
反思感悟　利用导数求函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上单调递增．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减．
跟踪训练2　求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x2·e－x；
(2)f(x)＝x＋.
三、由导数的信息画函数的大致图象
例3　已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0反思感悟　由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0.
跟踪训练3　(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　)
(2)若函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是(　　)
1．知识清单：
(1)函数的单调性与其导数的关系．
(2)利用导数判断函数的单调性．
(3)利用导数求函数的单调区间．
(4)由导数的信息画函数的大致图象．
2．方法归纳：方程思想、分类讨论．
3．常见误区：忽略定义域的限制；当单调区间不止一个时，连接符号出错．
1．函数f(x)＝3＋xln x的增区间是(　　)
A. B．(e，＋∞) C. D.
2．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　)
3．(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(3,4) D．(2，＋∞)
4．函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的减区间是________．
第1课时　单调性
问题　(1)函数y＝x的定义域为R，并且是增函数，其导数y′＝1>0；
(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0.
(3)函数y＝x3的定义域为R，是增函数．而y′＝3x2，当x≠0时，其导数y′＝3x2>0；当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0；
(4)函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，而y′＝－，因为x≠0，所以y′<0.
例1　解　(1)因为f(x)＝x3－x2＋2x－5，所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以函数f(x)＝x3－x2＋2x－5是增函数．
(2)因为f(x)＝x－－ln x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1＋－＝＝>0，所以f(x)＝x－－ln x是增函数．
跟踪训练1　解　(1)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上是减函数．
(2)因为f(x)＝，x>e，所以f′(x)＝＝<0，所以f(x)＝是减函数．
例2　解　(1)易知函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝＝，
令f′(x)>0，解得x>，由f′(x)<0，解得0(2)f′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2)．
令f′(x)>0，解得x<－3或x>2；
令f′(x)<0，解得－3故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
减区间是(－3,2)．
跟踪训练2　解　(1)易知函数的定义域为(－∞，＋∞)．
f′(x)＝′e－x＋x2′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·＝－e－x·x(x－2)，
令f′(x)>0，解得0令f′(x)<0，解得x<0或x>2，
∴f(x)的减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，增区间为(0,2)．
(2)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
f′(x)＝1－＝＝，令f′(x)>0，解得x<－1或x>1，令f′(x)<0，解得－1∴函数f(x)的减区间为(－1,0)和(0,1)，增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
例3　解　当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上单调递增；当0跟踪训练3　(1)D　[由题图可知，在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；在区间(0,2)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象最有可能的是图D.]
(2)C　[由y＝f′(x)的图象可知，在区间(－∞，b)上，f′(x)≥0，f(x)单调递增，在区间(b，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，可排除A，D；
在x＝0处，f′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B.]
随堂演练
1．C　[f′(x)＝ln x＋1(x>0)，令f′(x)>0，
即ln x＋1>0，得x>.
故函数f(x)的增区间为.]
2．C　[∵f(x)在区间(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在区间(1,4)上单调递增，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.]
3．CD　[∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得x＞2.
∴f(x)的增区间为(2，＋∞)，CD符合．]
4.
解析　由f′(x)＝1－2sin x<0，得sin x>，
又x∈(0，π)，
∴x∈，故所求减区间是.(共56张PPT)
第1课时
第5章
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单调性
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
学习目标
同学们，对于函数的单调性，大家并不陌生，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法求了函数的单调区间，比如大家所熟悉的一次函数、二次函数等.当然，求单调区间的前提是要先确定函数的定义域，但是对于一些更复杂的函数，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，虽然定义法是解决问题的根本方法，但定义法比较烦琐，又不能画出函数图象，为了解决这个问题，就需要用到我们今天的知识：函数的单调性与导数的关系.
导 语
一、函数的单调性与其导数的关系
二、利用导数求函数的单调区间
课时对点练
三、由导数的信息画函数的大致图象
随堂演练
内容索引
函数的单调性与其导数的关系
一
提示　(1)函数y＝x的定义域为R，并且是增函数，其导数y′＝1>0；
(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0.
观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系.
问题
(3)函数y＝x3的定义域为R，是增函数.而y′＝3x2，当x≠0时，其导数y′＝3x2>0；当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0；
函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
(1)研究函数的单调性，应注意定义域.
(2)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数；
(3)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)的变化.
注 意 点
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　　　利用导数判断下列函数的单调性：
例 1
利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论.
反
思
感
悟
　　　　　利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)＝x－ex(x>0)；
跟踪训练 1
因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，
所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上是减函数.
二
利用导数求函数的单调区间
　　　求下列函数的单调区间.
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
例 2
易知函数的定义域为(0，＋∞)，
(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.
f′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2).
令f′(x)>0，解得x<－3或x>2；
令f′(x)<0，解得－3故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3,2).
反
思
感
悟
(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上单调递增.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减.
利用导数求函数单调区间的一般步骤
　　　　　求下列函数的单调区间.
(1)f(x)＝x2·e－x；
跟踪训练 2
易知函数的定义域为(－∞，＋∞).
f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·(2x－x2)＝－e－x·x(x－2)，
令f′(x)>0，解得0令f′(x)<0，解得x<0或x>2，
∴f(x)的减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，增区间为(0,2).
易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
令f′(x)>0，解得x<－1或x>1，令f′(x)<0，解得－1∴函数f(x)的减区间为(－1,0)和(0,1)，增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).
由导数的信息画函数的大致图象
三
　　　已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0例 3
当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上单调递增；
当0当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，这两个点比较特殊，
我们称它们为“临界点”.
故函数f(x)的大致图象如图所示.
反
思
感
悟
由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0.
　　　　　(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的
跟踪训练 3
√
由题图可知，在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；在区间(0,2)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象最有可能的是图D.
(2)若函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是
由y＝f′(x)的图象可知，在区间(－∞，b)上，f′(x)≥0，f(x)单调递增，在区间(b，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，可排除A，D；
在x＝0处，f′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B.
√
1.知识清单：
(1)函数的单调性与其导数的关系.
(2)利用导数判断函数的单调性.
(3)利用导数求函数的单调区间.
(4)由导数的信息画函数的大致图象.
2.方法归纳：方程思想、分类讨论.
3.常见误区：忽略定义域的限制；当单调区间不止一个时，连接符号出错.
随堂演练
四
1.函数f(x)＝3＋xln x的增区间是
f′(x)＝ln x＋1(x>0)，令f′(x)>0，
√
1
2
3
4
2.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为
∵f(x)在区间(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在区间(1,4)上单调递增，
∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.
1
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√
3.(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是
A.(－∞，2) B.(0,3)
C.(3,4) D.(2，＋∞)
∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得x＞2.
∴f(x)的增区间为(2，＋∞)，CD符合.
√
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√
4.函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的减区间是________.
又x∈(0，π)，
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课时对点练
五
1.已知f(x)在R上是可导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为
A.(－2,0)∪(2，＋∞)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－2，－1)∪(1,2)
√
基础巩固
因为f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，
所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.
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2.函数f(x)＝x3－3x2＋1的减区间为
A.(2，＋∞) B.(－∞，2)
C.(－∞，0) D.(0,2)
f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，
得0√
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3.函数f(x)＝ln x－4x＋1的增区间为
令f′(x)>0，
√
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4.(多选)函数f(x)＝xln x
√
√
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5.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是
A.在区间(－2,1)上，f(x)单调递增
B.在区间(1,2)上，f(x)单调递增
C.在区间(4,5)上，f(x)单调递增
D.在区间(－3，－2)上，f(x)单调递增
√
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√
由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在区间(1,2)，(4,5)上，f(x)单调递增，
当x∈(－3，－2)，x∈(－2，－1)时，
f′(x)<0，
所以在区间(－3，－2)，(－2，－1)上，
f(x)单调递减.
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6.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是
A.y＝sin x B.y＝xex
C.y＝x3－x D.y＝ln x－x
B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x∈(0，＋∞)时，y′>0，
∴y＝xex在区间(0，＋∞)上单调递增.
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7.函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的减区间为____________.
f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，
令f′(x)<0，解得－2所以函数f(x)的减区间为(－2，－1).
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(－2，－1)
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(－3，－1)∪(0,1)
由题图知，当x∈(－∞，－3)，(－1,1)时，
f(x)单调递减，故f′(x)<0；
当x∈(－3，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增，
故f′(x)>0，
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9.判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性.
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函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在区间(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在区间(－1,0)上单调递减.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
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因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
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①
②
由①②得a＝2，b＝3.(因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去)
(2)求函数f(x)的单调区间.
令－2x2＋12x＋6＝0，
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A.(0,3] 　　　　B.(0,2] 　　　　C.[3，＋∞) 　　　　D.[2，＋∞)
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综合运用
令f′(x)>0，解得－1∴函数f(x)的增区间为(0,4]，
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12.函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是
因为f(x)＝xcos x，所以f′(x)＝cos x－xsin x.
因为f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，
所以函数图象关于y轴对称.
由f′(0)＝1可排除C，D.
而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，排除B.
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所以A正确，B错误.
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14.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在区间(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是__________________.
因为在区间(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，f(x)的大致图象如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1).
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(－∞，－1)∪(0,1)
拓广探究
15.(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上是增函数，则称函数f(x)具有M性质，则下列函数中具有M性质的是
A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2＋2
C.f(x)＝3－x D.f(x)＝cos x
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
设g(x)＝ex·f(x)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex
＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)是增函数，故B正确；
16.已知函数f(x)＝ (k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在
点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
∴f′(1)＝0，
(2)求函数f(x)的单调区间.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
可知h(x)是减函数，
由h(1)＝0知，当0h(1)＝0，故f′(x)>0；
当x>1时，h(x)综上，f(x)的增区间是(0,1)，减区间是(1，＋∞).第2课时　含参数的函数单调性问题
[学习目标]　1.熟练掌握函数的单调性与导数的关系.2.会利用分类讨论的思想解决含参的函数的单调性问题．
一、导函数是含参数的二次型函数
例1　求f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的单调区间．
反思感悟　(1)若导函数的二次项系数含参：
①优先讨论是否为0，达到降次的目的，②当不为0时，再从符号上入手，③确定二次函数的开口方向，由判别式确定其根的情况，若有根，然后通过因式分解或求根公式求导函数大于0或小于0的解，若无根，则导函数大于0或小于0恒成立，从而确定原函数的单调性．
(2)若导函数的一次项系数含参或常数项含参，按上述第③步求解．
跟踪训练1　求f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1的单调区间．
二、导函数是含参数的基本初等型函数
例2　已知函数f(x)＝ln x－ax，a∈R，讨论函数f(x)的单调性．
反思感悟　确定函数的定义域、求导、通分，一般情况下，其分子转化成二次函数型的函数，或利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性求解，对参数的讨论一定要做到不重不漏．
跟踪训练2　设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
三、导函数是非基本初等函数
例3　设函数f(x)＝emx＋x2－mx.证明：f(x)在区间(－∞，0)上单调递减；在区间(0，＋∞)上单调递增．
反思感悟　在分类讨论此类问题时，其目的是讨论不确定的因式的符号，在讨论参数的取值范围时，也要注意函数的定义域．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2) ex－x，讨论f(x)的单调性．
1．知识清单：
(1)导函数是含参数的二次型函数的单调性问题．
(2)导函数是含参数的基本初等型函数的单调性问题．
(3)导函数是非基本初等函数的单调性问题．
2．方法归纳：分类讨论．
3．常见误区：分类讨论时不能做到“不重不漏”；在讨论参数的取值范围时，忽略函数的定义域.
第2课时　含参数的函数单调性问题
例1　解　f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的定义域为R，
f′(x)＝3a2x2＋2ax－1＝(3ax－1)(ax＋1)．
(1)当a＝0时，f′(x)＝－1<0 f(x)是减函数，
f(x)的减区间为R，无增区间．
(2)当a≠0时，3a2>0，f′(x)是开口向上的二次函数，
令f′(x)＝0得x1＝，x2＝－(a≠0)，因此可知(结合f′(x)的图象)，
①当a>0时，x1>x2，
令f′(x)>0，解得x<－或x>；令f′(x)<0，解得－此时，f(x)的增区间为和；f(x)的减区间为.
②当a<0时，x10，解得x<或x>－；令f′(x)<0，解得此时，f(x)的增区间为和；
f(x)的减区间为.
跟踪训练1　解　f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋2mx.
(1)当m＝0时，f′(x)＝6x2≥0，f(x)是增函数，f(x)的增区间为R，无减区间．
(2)当m≠0时，f′(x)是开口向上的二次函数，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝0，因此可知(结合f′(x)的图象)，
①当m<0时，x1>x2，
当x∈∪时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，
此时，f(x)的增区间为，；f(x)的减区间为.
②当m>0时，x1当x∈∪时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，
此时，f(x)的增区间为，；f(x)的减区间为.
例2　解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝.
(1)当a≤0时，
f′(x)>0，f(x)是增函数．
(2)当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝.
①在区间上，f′(x)>0，f(x)单调递增；
②在区间上，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上所述，当a≤0时，f(x)是增函数；
当a>0时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
跟踪训练2　解　f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)是增函数．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，
在区间(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的增区间为R，无减区间；当a>0时，f(x)的增区间为(ln a，＋∞)，减区间为(－∞，ln a)．
例3　证明　方法一　f′(x)＝m(emx－1)＋2x.
若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0.
若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0.
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．
方法二　f′(x)＝m(emx－1)＋2x，
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝m2emx＋2>0恒成立，所以y＝f′(x)是增函数，又f′(0)＝0，
所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．
跟踪训练3　解　f(x)的定义域为R，f′(x)＝2ae2x＋ex－1＝(2ex＋1)．若a≤0，则f′(x)<0恒成立，故f(x)是减函数；
若a>0，则当x<－ln a时，f′(x)<0，
当x>－ln a时，f′(x)>0，
故f(x)在上单调递增，在上单调递减，
综上，当a≤0时，f(x)是减函数；
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．(共35张PPT)
第2课时
第5章
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含参数的函数单调性问题
1.熟练掌握函数的单调性与导数的关系.
2.会利用分类讨论的思想解决含参的函数的单调性问题.
学习目标
一、导函数是含参数的二次型函数
二、导函数是含参数的基本初等型函数
课时对点练
三、导函数是非基本初等函数
内容索引
导函数是含参数的二次型函数
一
　　　求f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的单调区间.
例 1
f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的定义域为R，
f′(x)＝3a2x2＋2ax－1＝(3ax－1)(ax＋1).
(1)当a＝0时，f′(x)＝－1<0 f(x)是减函数，
f(x)的减区间为R，无增区间.
(2)当a≠0时，3a2>0，f′(x)是开口向上的二次函数，
①当a>0时，x1>x2，
(1)若导函数的二次项系数含参：
①优先讨论是否为0，达到降次的目的，②当不为0时，再从符号上入手，③确定二次函数的开口方向，由判别式确定其根的情况，若有根，然后通过因式分解或求根公式求导函数大于0或小于0的解，若无根，则导函数大于0或小于0恒成立，从而确定原函数的单调性.
(2)若导函数的一次项系数含参或常数项含参，按上述第③步求解.
反
思
感
悟
　　　　　求f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1的单调区间.
跟踪训练 1
f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋2mx.
(1)当m＝0时，f′(x)＝6x2≥0，f(x)是增函数，f(x)的增区间为R，无减区间.
(2)当m≠0时，f′(x)是开口向上的二次函数，
①当m<0时，x1>x2，
②当m>0时，x1二
导函数是含参数的基本初等型函数
　　　已知函数f(x)＝ln x－ax，a∈R，讨论函数f(x)的单调性.
例 2
(1)当a≤0时，f′(x)>0，f(x)是增函数.
综上所述，当a≤0时，f(x)是增函数；
反
思
感
悟
确定函数的定义域、求导、通分，一般情况下，其分子转化成二次函数型的函数，或利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性求解，对参数的讨论一定要做到不重不漏.
　　　　　设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.
跟踪训练 2
f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)是增函数.
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，
在区间(ln a，＋∞)上单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的增区间为R，无减区间；当a>0时，f(x)的增区间为(ln a，＋∞)，减区间为(－∞，ln a).
导函数是非基本初等函数
三
　　　设函数f(x)＝emx＋x2－mx.证明：f(x)在区间(－∞，0)上单调递减；在区间(0，＋∞)上单调递增.
例 3
方法一　f′(x)＝m(emx－1)＋2x.
若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0.
若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0.
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增.
方法二　f′(x)＝m(emx－1)＋2x，
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝m2emx＋2>0恒成立，
所以y＝f′(x)是增函数，又f′(0)＝0，
所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增.
反
思
感
悟
在分类讨论此类问题时，其目的是讨论不确定的因式的符号，在讨论参数的取值范围时，也要注意函数的定义域.
　　　　　已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2) ex－x，讨论f(x)的单调性.
跟踪训练 3
f(x)的定义域为R，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1).若a≤0，则f′(x)<0恒成立，故f(x)是减函数；
若a>0，则当x<－ln a时，f′(x)<0，
当x>－ln a时，f′(x)>0，
故f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln a)上单调递减，
综上，当a≤0时，f(x)是减函数；
当a>0时，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln a)上单调递减.
1.知识清单：
(1)导函数是含参数的二次型函数的单调性问题.
(2)导函数是含参数的基本初等型函数的单调性问题.
(3)导函数是非基本初等函数的单调性问题.
2.方法归纳：分类讨论.
3.常见误区：分类讨论时不能做到“不重不漏”；在讨论参数的取值范围时，忽略函数的定义域.
课时对点练
四
1
2
3
4
1.已知函数f(x)＝x3＋ax.讨论f(x)的单调性.
因为f(x)＝x3＋ax，
所以f′(x)＝3x2＋a.
①当a≥0时，因为f′(x)＝3x2＋a≥0，所以f(x)是增函数；
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2.设函数f(x)＝ax－1－ln x，讨论函数f(x)的单调性.
当a≤0时，f′(x)<0，
∴f(x)是减函数；
当a>0时，令f′(x)＝0，
1
2
3
4
1
2
3
4
综上，当a≤0时，f(x)是减函数；
3.已知函数f(x)＝(x2－2x＋a)ex.讨论函数f(x)的单调性.
1
2
3
4
1
2
3
4
因为f(x)＝(x2－2x＋a)ex，所以f(x)的定义域为R，f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x＋a)ex＝(x2＋a－2)ex.
当a≥2时，f′(x)≥0，则f(x)是增函数；
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
因为m>1，所以m－1>0.
①当00得x>1或0由f′(x)<0得m－1所以f(x)在区间(0，m－1)，(1，＋∞)上单调递增，在区间(m－1，1)上单调递减；
1
2
3
4
②当m－1＝1，即m＝2时，f′(x)≥0，所以f(x)是增函数；
③当m－1>1，即m>2时，由f′(x)>0，得x>m－1或0综上可知，当1当m＝2时，f(x)是增函数；
当m>2时，f(x)在区间(0，1)，(m－1，＋∞)上单调递增，在(1，m－1)上单调递减.第3课时　函数单调性的应用
[学习目标]　1.已知函数的单调性，会求参数的取值范围.2.能根据函数的单调性比较几个函数值的大小.3.会通过分析原函数的图象获得导函数图象的信息．
一、由单调性求参数的取值范围
问题1　对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f′(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f′(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？
问题2　对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？
知识梳理
对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)在该区间上单调递减．
若函数f(x)在某区间上单调递增，则______；若函数f(x)在某区间上单调递减，则______.
例1　已知函数f(x)＝x3－ax，若函数f(x)是增函数，求实数a的取值范围．
延伸探究　
1．本例函数不变，若函数f(x)在区间上单调递增，求实数a的最大值．
2．本例函数不变，若函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
反思感悟　(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)．
跟踪训练1　(1)函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
(2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)
B．(－3，－1)∪(1,3)
C．(－2,2)
D．不存在这样的实数k
二、比较大小
例2　(1)已知实数x，y满足2x＋2x<2y＋2y，则(　　)
A．x>y B．x＝y
C．x(2)已知函数f(x)＝ln x－，则(　　)
A．f(e)>f(π) B．f(e)C．f(e)＝f(π) D．无法确定
反思感悟　比较大小的解题类型
(1)通过观察不等式的特点，构造合适的函数，利用导数研究该函数的单调性，比较大小．
(2)通过判断导函数的图象，根据导函数的符号，确定原函数的单调性，比较大小．
跟踪训练2　已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)
三、函数图象的增长快慢的比较
问题3　观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？
知识梳理
函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
例3　如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)
反思感悟　如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．
跟踪训练3　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)
1．知识清单：
(1)根据函数的单调性求参数的取值范围．
(2)根据单调性比较大小．
(3)导数对函数图象增长快慢的影响．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论．
1．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是(　　)
2．已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是(　　)
A．f(a)＞f(b)＞f(0) B．f(0)＜f(c)＜f(d)
C．f(b)＜f(0)＜f(c) D．f(c)＜f(d)＜f(e)
3．若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　)
A．－1≤a≤2 B．－2≤a≤1
C．a＞2或a＜－1 D．a＞1或a＜－2
4．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上单调递减，则b的取值范围是________．
第3课时　函数单调性的应用
问题1　在x＝0的左右两侧，都有f′(x)>0，且该函数在x＝0处连续，故不会影响该函数在R上是增函数．也就是说对于导函数有限个等于0的点，不影响函数的单调性．
问题2　不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果f′(x)≥0成立的条件是f′(x)＝0，即该函数无增区间．
知识梳理
f′(x)≥0　f′(x)≤0
例1　解　f′(x)＝x2－a，因为f(x)是增函数，故f′(x)＝x2－a≥0在R上恒成立，即a≤x2，所以a≤0.经验证，a＝0时成立，故a≤0.
延伸探究
1．解　由题意知f′(x)＝x2－a在区间上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤1，经验证a＝1时成立，故amax＝1.
2．解　由题意知f′(x)＝x2－a在区间(2，＋∞)上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，
即a≤4.
跟踪训练1　(1)D　[函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立，
∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1.]
(2)B　[由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根．
又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，
故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，f(x)才能在区间(k－1，k＋1)上不单调，
∴k－1<2∴1例2　(1)C　[设f(t)＝2t＋2t，
所以f′(t)＝2＋2tln 2>0，
所以函数f(t)是增函数，
由题意得f(x)所以x(2)B　[f′(x)＝＋>0，
故f(x)是增函数，
又e<π，故f(e)跟踪训练2　C　[由导函数f′(x)的大致图象知，当x≤c时，f′(x)≥0恒成立，f(x)是增函数，
又af(b)>f(a)．]
问题3　由图象可知若f′(x)>0，则f(x)是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f′(x)越大，函数f(x)增长的就越快；同样，若f′(x)<0，则f(x)是减函数，显然越大，函数f(x)减少的就越快．
例3　D　[由导函数的图象，可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除A，B，C.]
跟踪训练3　A　[∵函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上单调递增，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有f′(a)对于B，存在x1f′(x2)；对于C，对任意的a＜x1＜x2＜b，都有f′(x1)＝f′(x2)；对于D，对任意的x∈[a，b]，f′(x)不满足逐渐递增的条件，故选A.]
随堂演练
1．B　[由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢，故选B.]
2．D　[由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上单调递增，在(b，c)上单调递减，所以f(a)f(0)>f(c)，B，C错误；f(c)3．D　[若函数f(x)有3个单调区间，
则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，
解得a＞1或a＜－2.]
4．(－∞，－1]
解析　∵f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立．
∵f′(x)＝－x＋，
∴－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
则当x>－1时，g(x)>－1，
∴b≤－1.(共65张PPT)
第3课时
第5章
<<<
函数单调性的应用
1.已知函数的单调性，会求参数的取值范围.
2.能根据函数的单调性比较几个函数值的大小.
3.会通过分析原函数的图象获得导函数图象的信息.
学习目标
一、由单调性求参数的取值范围
二、比较大小
课时对点练
三、函数图象的增长快慢的比较
随堂演练
内容索引
由单调性求参数的取值范围
一
提示　在x＝0的左右两侧，都有f′(x)>0，且该函数在x＝0处连续，故不会影响该函数在R上是增函数.也就是说对于导函数有限个等于0的点，不影响函数的单调性.
对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f′(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f′(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？
问题1
提示　不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果f′(x)≥0成立的条件是f′(x)＝0，即该函数无增区间.
对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？
问题2
对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)在该区间上单调递减.
若函数f(x)在某区间上单调递增，则__________；若函数f(x)在某区间上单调递减，则__________.
f′(x)≥0
f′(x)≤0
(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；
(2)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min (需要对等号进行单独验证).
注 意 点
<<<
例 1
f′(x)＝x2－a，因为f(x)是增函数，故f′(x)＝x2－a≥0在R上恒成立，即a≤x2，
所以a≤0.经验证，a＝0时成立，故a≤0.
1.本例函数不变，若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最大值.
延伸探究
由题意知f′(x)＝x2－a在区间[1，＋∞)上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤1，经验证a＝1时成立，故amax＝1.
2.本例函数不变，若函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围.
由题意知f′(x)＝x2－a在区间(2，＋∞)上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤4.
(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
反
思
感
悟
A.(－∞，1) B.(－∞，1]
C.(1，＋∞) D.[1，＋∞)
跟踪训练 1
√
即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立，
∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1.
(2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是
A.(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)
B.(－3，－1)∪(1,3)
C.(－2,2)
D.不存在这样的实数k
√
由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根.
又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，
故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，f(x)才能在区间(k－1，k＋1)上不单调，
∴k－1<2∴1二
比较大小
　　　(1)已知实数x，y满足2x＋2x<2y＋2y，则
A.x>y B.x＝y
C.x例 2
√
设f(t)＝2t＋2t，
所以f′(t)＝2＋2tln 2>0，
所以函数f(t)是增函数，
由题意得f(x)所以xA.f(e)>f(π) B.f(e)C.f(e)＝f(π) D.无法确定
√
故f(x)是增函数，
又e<π，故f(e)反
思
感
悟
(1)通过观察不等式的特点，构造合适的函数，利用导数研究该函数的单调性，比较大小.
(2)通过判断导函数的图象，根据导函数的符号，确定原函数的单调性，比较大小.
比较大小的解题类型
　　　　　已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是
A.f(b)>f(c)>f(d)
B.f(b)>f(a)>f(e)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(c)>f(e)>f(d)
跟踪训练 2
√
由导函数f′(x)的大致图象知，当x≤c时，f′(x)≥0恒成立，f(x)是增函数，
又af(b)>f(a).
函数图象的增长快慢的比较
三
观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？
提示　由图象可知若f′(x)>0，则f(x)是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f′(x)越大，函数f(x)增长的就越快；同样，若f′(x)<0，则f(x)是减函数，显然| f′(x)|越大，函数f(x)减少的就越快.
问题3
函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
分析图象的变化与导数值的绝对值的大小关系.
注 意 点
<<<
　　　如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是
例 3
√
由导函数的图象，可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除A，B，C.
反
思
感
悟
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
　　　　　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是
跟踪训练 3
√
∵函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上单调递增，
∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有f′(a)∴A满足上述条件；
对于B，存在x1f′(x2)；
对于C，对任意的a＜x1＜x2＜b，都有f′(x1)＝f′(x2)；
对于D，对任意的x∈[a，b]，f′(x)不满足逐渐递增的条件，故选A.
1.知识清单：
(1)根据函数的单调性求参数的取值范围.
(2)根据单调性比较大小.
(3)导数对函数图象增长快慢的影响.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合.
3.常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论.
随堂演练
四
1.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是
由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢，故选B.
1
2
3
4
√
2.已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是
A.f(a)＞f(b)＞f(0) B.f(0)＜f(c)＜f(d)
C.f(b)＜f(0)＜f(c) D.f(c)＜f(d)＜f(e)
由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上单调递增，在(b，c)上单调递减，所以f(a)f(b)>f(0)>f(c)，B，C错误；
f(c)√
1
2
3
4
A.－1≤a≤2 B.－2≤a≤1
C.a＞2或a＜－1 D.a＞1或a＜－2
若函数f(x)有3个单调区间，
则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，
解得a＞1或a＜－2.
√
1
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4
1
2
3
4
(－∞，－1]
∵f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.
1
2
3
4
即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立.
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
则当x>－1时，g(x)>－1，
∴b≤－1.
课时对点练
五
1.设函数f(x)＝2x＋sin x，则
A.f(1)>f(2) B.f(1)C.f(1)＝f(2) D.以上都不正确
f′(x)＝2＋cos x>0，故f(x)是增函数，故f(1)√
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基础巩固
A.k>0 　　　　B.k>1 　　　　C.k≥0 　　　　D.k≥1
所以k≥－x2＋2x，因为－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以k≥1.
√
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3.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在区间(0,1)上单调递减，函数g(x)＝x2－aln x在区间(1,2)上单调递增，则a等于
√
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∵函数f(x)＝x2－ax＋3在区间(0,1)上是减函数，
∴f′(x)＝2x－a≤0在(0,1)上恒成立，即2x≤a在(0,1)上恒成立，故a≥2.
即2x2≥a在x∈(1,2)时恒成立，故a≤2，∴a＝2.
4.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有
A.f′(x)>0，g′(x)>0 B.f′(x)>0，g′(x)<0
C.f′(x)<0，g′(x)>0 D.f′(x)<0，g′(x)<0
由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数.
∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)区间在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，
∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
√
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5.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项不正确的是
检验易知A，B，C均适合，D选项y＝f(x)和y＝f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数.
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√
A.(－∞，2] B.(－∞，4]
C.(－∞，8] D.[－2,4]
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易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.
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f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
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b>a>c
因为f(x)＝f(2－x)，所以函数关于直线x＝1对称，
当x>1时，(x－1)f′(x)<0，即f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x<1时，(x－1)f′(x)<0，即f′(x)>0，f(x)是增函数.
9.已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若函数f(x)是增函数，求实数a的取值范围；
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由f(x)＝x3－ax－1，得f′(x)＝3x2－a.
因为f(x)是增函数，
所以f′(x)≥0对 x∈R恒成立，
即a≤3x2对 x∈R恒成立，只需a≤(3x2)min，
而(3x2)min＝0，所以a≤0，经检验，当a＝0时，符合题意，
故a的取值范围是(－∞，0].
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(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减，求实数a的取值范围.
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因为函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减，
所以f′(x)<0对 x∈(－1,1)恒成立，
即a≥3x2对 x∈(－1,1)恒成立，
易得函数y＝3x2的值域为[0,3)，所以a≥3，即实数a的取值范围是[3，＋∞).
10.已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x，a∈R.
(1)当a＝8时，求f(x)的单调区间；
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∴令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0∴f(x)的增区间是(3，＋∞)，减区间是(0,3).
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
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令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，x≥2，
则a≤g(x)min.
而g(x)在[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝2.
∴a≤2.
(3)若f(x)存在减区间，求a的取值范围.
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即a>2x2－4x＋2＝2(x－1)2在区间(0，＋∞)上有解，则a>0.
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综合运用
令h(x)＝2x2－2bx＋1，
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A.a≥2 　　　　B.a＝2 　　　　C.a≥1 　　　　D.a>2
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即ax2－(a＋2)x＋2≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，
①当a＝0时，－2x＋2≥0 01
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则Δ＝[－(a＋2)]2－8a＝(a－2) 2≤0 a＝2，
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13.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是
√
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√
由题图可知，函数y＝f(x)的大致图象如图所示.
A选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，
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B选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，
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14.已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是________.
令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，
解得－2≤x≤2.
∴f(x)的减区间为[－2,2]，
由题意得(2m，m＋1) [－2,2]，
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[－1,1)
拓广探究
15.已知奇函数f(x)是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为
A.aC.b√
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奇函数f(x)是增函数，
当x>0时，f(x)>f(0)＝0，且f′(x)>0，
又g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，
∴g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
且g(x)＝xf(x)为偶函数，
∴a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
又2∴由g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，得g(20.8)∴b1
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16.已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1).
当f′(x)>0时，解得－1当f′(x)<0时，解得x>1.
故函数f(x)的增区间是(－1,1)，
减区间是(1，＋∞).
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(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围.
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因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
易求得在区间[1，＋∞)上，g′(x)>0，
故g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
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16作业65　单调性
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分
1.已知f(x)在R上是可导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为(　　)
A．(－2,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－2，－1)∪(1,2)
2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的减区间为(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0) D．(0,2)
3．函数f(x)＝ln x－4x＋1的增区间为(　　)
A. B．(0,4) C. D.
4．(多选)函数f(x)＝xln x(　　)
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
5．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上，f(x)单调递增
B．在区间(1,2)上，f(x)单调递增
C．在区间(4,5)上，f(x)单调递增
D．在区间(－3，－2)上，f(x)单调递增
6．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
7．(5分)函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的减区间为________________．
8．(5分)函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为______________．
9．(10分)判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性．
10．(10分)已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；(5分)
(2)求函数f(x)的单调区间．(5分)
11．设函数f(x)＝4ln x－x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3] B．(0,2] C．[3，＋∞) D．[2，＋∞)
12．函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是(　　)
13．函数f(x)＝的图象的大致形状是(　　)
14．(5分)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在区间(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________．
15．(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上是增函数，则称函数f(x)具有M性质，则下列函数中具有M性质的是(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2＋2 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x
16．(12分)已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求实数k的值；(5分)
(2)求函数f(x)的单调区间．(7分)
作业65　单调性
1．C　[因为f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，
所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.]
2．D　[f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，
得03．A　[f(x)＝ln x－4x＋1的定义域是{x|x>0}，f′(x)＝－4＝，令f′(x)>0，
解得04．AC　[由f(x)＝xln x，可得f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1(x>0)．由f′(x)>0，可得x>；
由f′(x)<0，可得05．BC　[由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在区间(1,2)，(4,5)上，f(x)单调递增，
当x∈(－3，－2)，x∈(－2，－1)时，f′(x)<0，
所以在区间(－3，－2)，(－2，－1)上，
f(x)单调递减．]
6．B　[B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x∈(0，＋∞)时，y′>0，
∴y＝xex在区间(0，＋∞)上单调递增．]
7．(－2，－1)
解析　f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，
令f′(x)<0，解得－2所以函数f(x)的减区间为(－2，－1)．
8．(－3，－1)∪(0,1)
解析　由题图知，当x∈(－∞，－3)，(－1,1)时，
f(x)单调递减，故f′(x)<0；
当x∈(－3，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增，
故f′(x)>0，
故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
9．解　函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在区间(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在区间(－1,0)上单调递减．
10．解　(1)因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，即＝－2，①
又f′(x)＝，
所以＝－.②
由①②得a＝2，b＝3.
(因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去)
所以所求函数的解析式是f(x)＝.
(2)由(1)知，f′(x)＝.
令－2x2＋12x＋6＝0，
解得x1＝3－2，x2＝3＋2，
令f′(x)<0，得x<3－2或x>3＋2，
令f′(x)>0，得3－2所以f(x)＝的增区间是(3－2，3＋2)；减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．
11．A　[函数f(x)＝4ln x－x2＋3x的定义域为x>0，f′(x)＝－x＋3＝，
令f′(x)>0，解得－1∴函数f(x)的增区间为(0,4]，
∵函数f(x)＝4ln x－x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增，
∴[a，a＋1] (0,4]，即解得a∈(0,3]．]
12．A　[因为f(x)＝xcos x，
所以f′(x)＝cos x－xsin x.
因为f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，
所以函数图象关于y轴对称．
由f′(0)＝1可排除C，D.
而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，排除B.]
13．A　[当x＝－时，f ＝<0，排除选项C，D；
又f′(x)＝＝，
当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以A正确，B错误．]
14．(－∞，－1)∪(0,1)
解析　因为在区间(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，f(x)的大致图象如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
15．AB　[设g(x)＝ex·f(x)，
对于A，g(x)＝ex·2－x＝x是增函数，故A正确；
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex
＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)是增函数，故B正确；
对于C，g(x)＝ex·3－x＝x是减函数，故C不正确；
对于D，g(x)＝ex·cos x，则g′(x)＝excos，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，故D不正确．]
16．解　(1)由f(x)＝，
可得f′(x)＝.∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
∴f′(1)＝0，
即＝0，解得k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝(x>0)，
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，
则h′(x)＝－－<0.
可知h(x)是减函数，
由h(1)＝0知，当0h(1)＝0，故f′(x)>0；
当x>1时，h(x)综上，f(x)的增区间是(0,1)，减区间是(1，＋∞)．作业66　含参数的函数单调性问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：50分]
1．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax.讨论f(x)的单调性．
2．(12分)设函数f(x)＝ax－1－ln x，讨论函数f(x)的单调性．
3．(13分)已知函数f(x)＝(x2－2x＋a)ex.讨论函数f(x)的单调性．
4．(13分)已知函数f(x)＝x＋－m.当m>1时，讨论f(x)的单调性．
作业66　含参数的函数单调性问题
1．解　因为f(x)＝x3＋ax，
所以f′(x)＝3x2＋a.
①当a≥0时，因为f′(x)＝3x2＋a≥0，所以f(x)是增函数；
②当a<0时，令f′(x)>0，解得x<－或x>.
令f′(x)<0，解得－则f(x)在区间，上单调递增；在区间上单调递减．
综上，当a≥0时，f(x)是增函数；当a<0时，f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．
2．解　f′(x)＝a－＝.
当a≤0时，f′(x)<0，
∴f(x)是减函数；
当a>0时，令f′(x)＝0，
则x＝，
∴当0时，f′(x)>0，
∴f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)是减函数；
当a>0时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．
3．解　因为f(x)＝ex，所以f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex＋ex＝ex.
当a≥2时，f′(x)≥0，则f(x)是增函数；
当a<2时，f′(x)＝ex
＝ex，
令f′(x)>0，解得x<－或x>；
令f′(x)<0，解得－所以f(x)在区间上单调递减，在区间和上单调递增．
综上，当a≥2时，f(x)是增函数；当a<2时，f(x)在区间(－，)上单调递减，在区间(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增．
4．解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝1－＋－＝1＋－
＝＝，
因为m>1，所以m－1>0.
①当00得x>1或0由f′(x)<0得m－1所以f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减；
②当m－1＝1，即m＝2时，f′(x)≥0，所以f(x)是增函数；
③当m－1>1，即m>2时，由f′(x)>0，得x>m－1或0综上可知，当1当m＝2时，f(x)是增函数；
当m>2时，f(x)在区间，上单调递增，在上单调递减．作业67　函数单调性的应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1．设函数f(x)＝2x＋sin x，则(　　)
A．f(1)>f(2) B．f(1)C．f(1)＝f(2) D．以上都不正确
2．已知函数f(x)＝x－－2ln x是增函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．k>0 B．k>1
C．k≥0 D．k≥1
3．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在区间(0,1)上单调递减，函数g(x)＝x2－aln x在区间(1,2)上单调递增，则a等于(　　)
A．1 B．2 C．0 D.
4．已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有(　　)
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项不正确的是(　　)
6．若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间上单调递增，则实数c的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，4]
C．(－∞，8] D．[－2,4]
7．(5分)若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的减区间是，则实数m的值为______________．
8．(5分)函数f(x)在定义域R内可导，f(x)＝f且f′(x)<0，若a＝f(0)，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是________．(用“>”连接)
9．(10分)已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若函数f(x)是增函数，求实数a的取值范围；(5分)
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减，求实数a的取值范围．(5分)
10．(10分)已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x，a∈R.
(1)当a＝8时，求f(x)的单调区间；(3分)
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；(3分)
(3)若f(x)存在减区间，求a的取值范围．(4分)
11．已知函数f(x)＝在上存在增区间，则实数b的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，3)
C. D．(－∞，)
12．(多选)函数f(x)＝ax2－x＋2ln x为增函数的必要不充分条件有(　　)
A．a≥2 B．a＝2 C．a≥1 D．a>2
13.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R，下列结论正确的是(　　)
A.<0
B.>0
C．f >
D．f <
14．(5分)已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是________．
15．已知奇函数f(x)是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g，b＝g，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b16．(13分)已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1)．
(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；(5分)
(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．(8分)
作业67　函数单调性的应用
1．B　[f′(x)＝2＋cos x>0，故f(x)是增函数，故f(1)2．D　[因为函数f(x)＝x－－2ln x是增函数，
所以f′(x)＝1＋－≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，
所以k≥－x2＋2x，因为－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以k≥1.]
3．B　[∵函数f(x)＝x2－ax＋3在区间(0,1)上是减函数，∴f′(x)＝2x－a≤0在(0,1)上恒成立，即2x≤a在(0,1)上恒成立，故a≥2.g′(x)＝2x－，依题意知g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，即2x2≥a在x∈(1,2)时恒成立，故a≤2，∴a＝2.]
4．B　[由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)区间在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，
∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.]
5．D　[检验易知A，B，C均适合，D选项y＝f(x)和y＝f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．]
6．B　[易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.
∵函数f(x)在区间上单调递增，等价于x2＋(2－c)x－c＋5≥0对任意x∈恒成立，
∴c≤对任意x∈恒成立．
∵x∈，∴＝x＋1＋≥2＝4，当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立，∴c≤4.]
7．－
解析　f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
因为f(x)的减区间是，
所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1，
即解得m＝－.
8．b>a>c
解析　因为f(x)＝f，所以函数关于直线x＝1对称，
当x>1时，f′(x)<0，即f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x<1时，f′(x)<0，即f′(x)>0，f(x)是增函数．
a＝f＝f，b＝f ＝f ，c＝f，故b>a>c.
9．解　由f(x)＝x3－ax－1，得f′(x)＝3x2－a.
(1)因为f(x)是增函数，
所以f′(x)≥0对 x∈R恒成立，
即a≤3x2对 x∈R恒成立，只需a≤(3x2)min，
而(3x2)min＝0，所以a≤0，经检验，当a＝0时，符合题意，
故a的取值范围是(－∞，0]．
(2)因为函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减，
所以f′(x)<0对 x∈(－1,1)恒成立，
即a≥3x2对 x∈(－1,1)恒成立，
易得函数y＝3x2的值域为[0,3)，所以a≥3，即实数a的取值范围是[3，＋∞)．
10．解　(1)当a＝8时，f(x)＝x2－4x－6ln x且定义域为(0，＋∞)，即f′(x)＝2x－4－＝，
∴令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0∴f(x)的增区间是(3，＋∞)，减区间是(0,3)．
(2)由题意知，f′(x)＝2x－4＋≥0在[2，＋∞)上恒成立，则a≤2x2－4x＋2恒成立，
令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，x≥2，
则a≤g(x)min.
而g(x)在[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝2.
∴a≤2.
(3)依题意知，f′(x)＝2x－4＋<0在区间(0，＋∞)上有解，即a>2x2－4x＋2＝2(x－1)2在区间(0，＋∞)上有解，则a>0.
11．A　[易得f′(x)＝＋x－b＝.
根据题意，得f′(x)>0在上有解．
令h(x)＝2x2－2bx＋1，
因为h(0)＝1>0，所以只需h(2)>0或h>0，
解得b<.]
12．AC　[由函数f(x)＝ax2－x＋2ln x是增函数，
得f′(x)＝ax－＋＝≥0在区间上恒成立，
即ax2－x＋2≥0在区间上恒成立，
①当a＝0时，－2x＋2≥0 0②当a<0时，ax2－x＋2
＝a≥0，又<0，
即≤0 0③当a>0时，ax2－x＋2
＝a≥0，
又>0, ax2－x＋2≥0在区间上恒成立，
则Δ＝[－(a＋2)]2－8a＝2≤0 a＝2，
综上，函数f(x)＝ax2－x＋2ln x是增函数的充要条件为a＝2.]
13．AD　[由题图可知，函数y＝f(x)的大致图象如图所示．
A选项表示x1－x2与f－f异号，
即f(x)图象的割线斜率为负，故A正确；
B选项表示x1－x2与f－f同号，
即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确；
f 表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，
显然有f <，故C不正确，D正确．]
14．[－1,1)
解析　令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，
解得－2≤x≤2.
∴f(x)的减区间为[－2,2]，
由题意得(2m，m＋1) [－2,2]，
∴解得－1≤m<1.
15．C　[奇函数f(x)是增函数，
当x>0时，f(x)>f(0)＝0，且f′(x)>0，
又g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，
∴g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
且g(x)＝xf(x)为偶函数，
∴a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
又2∴由g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
得g∴b16．解　(1)当a＝－时，
f(x)＝－x2＋ln(x＋1)(x>－1)，
f′(x)＝－x＋＝－(x>－1)．
当f′(x)>0时，解得－1当f′(x)<0时，解得x>1.
故函数f(x)的增区间是(－1,1)，
减区间是(1，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
即a≤－对任意x∈[1，＋∞)恒成立．
令g(x)＝－，x∈[1，＋∞)，
易求得在区间[1，＋∞)上，g′(x)>0，
故g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
故g(x)min＝g(1)＝－，故a≤－，经验证，a＝－时成立．
即实数a的取值范围为.

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