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第二课时 立方根
6.1 平方根、立方根
学习目标及重难点
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.（重点）
2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方互为逆运算.（重点，难点）
1. 什么叫平方根？
正数 的平方根是：
如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫作 的平方根或二次方根.
即，如果 ，那么 叫作 的平方根.
2. 如何用符号表示数的平方根？
复习回顾
3. 平方根具有什么特征？
(1) 正数有两个平方根，它们互为相反数.
(2) 0 的平方根还是 0.
(3) 负数没有平方根.
复习回顾
探索1：立方根的概念及性质
问题1：要做一个容积是 dm3的正方体木箱，如图，问它的棱长是多少？
设正方体的棱长为dm，根据题意，有
这是已知一个数的立方，求这个数的问题.
立方根的概念
立方根的表示
一个数a的立方根可以表示为:
根指数
被开方数
其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
读作 : 三次根号 a，
对比而言，开平方的根指数2通常省略
一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根．
根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
1. 因为23=8 ，所以8的立方根是 （ ）；
2. 因为(0.5)3=0.125 ，所以0.125的立方根是（ ）；
3.因为(0)3=0 ，所以0的立方根是（ ）；
4.因为(2)3=8 ，所以8的立方根是（ ）.
2
0.5
0
2
思考：
立方根的性质
正数的立方根是一个正数，
负数的立方根是一个负数，
0的立方根是0.
注意：立方根是它本身的数有.
归纳总结
平方根 立方根
性 质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
可以为任何数
非负数
±
平方根与立方根的区别和联系
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
开立方与立方也互为逆运算.我们可以根据这种关系求一个数的立方根.
+3
3
+5
5
27
27
125
125
立 方
开立方
探索2：开立方及相关运算
例1：求下列各数的立方根.
(1)； (2) ； (3) .
解:(1)因为所以的立方根是,即
(2)因为 , 所以的立方根是, 即
(3)因为,所以的立方根是, 即
因为 = ， = ，
所以 ；
因为 = ， = ，
所以 .
2
2
=
3
3
=
思考：一般地，对吗？
请你再试几个不同的数 a，观察与是否仍相等.
一般地，互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 即.
可以把负数的立方根转换为正数的立方根问题.
归纳总结
一般地，互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 即.
注意：
意义不同：
若＞0，表示的算术平方根的相反数，无意义.
若＜0，则无意义.
归纳总结
下列各式中，正确的是(　　)
A. ＝±2 B. ＝5
C. ＝2 D． ＝－2
B
随堂小练习
例2：已知 x－2 的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出值，再根据算术平方根的定义求解．
解: ∵ x－2的平方根是±2，
∴ x－2＝4，∴x＝6.
∵ 2x＋y＋7的立方根是3，
∴ 2x＋y＋7＝27.
把x＝6代入，解得 y＝8.
∵ x2＋y2＝36＋64＝100，
∴ x2＋y2 的算术平方根为10.
解：(1)在计算器上依次按键：
显示结果是：，精确到，
得，
SHIFT
2
=
例3：用计算器求下列各数的立方根（精确到0.01）：
(1); (2) ; (3); (4) .
探索3：用计算器求立方根
解：(2)在计算器上依次按键：
显示结果是：，精确到，
得，
SHIFT
7.797
=
例3：用计算器求下列各数的立方根（精确到0.01）：
(1); (2) ; (3); (4) .
请同学们自己解决(3)和(4)吧
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 负数没有立方根
B. -9的立方根是
C. =3
D. 任何正数都有两个立方根，它们互为相反数.
B
习题1
2．若x没有平方根，且|x|＝64，则x的立方根为(　　)
A．8 B．－8 C．±4 D．－4
D
习题2
3. 下列说法错误的是(　　)
A．5是125的立方根
B．±3是27的立方根
C．2是8的立方根
D．0是0的立方根
B
习题3
4.求下列各式的值.
习题4
5.将体积分别为600 cm3和129 cm3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？
解:因为600+129=729，
729的立方根是9，
所以正方体的棱长为9 cm.
习题5
6.已知 ，求a的值．
解: 一个数的立方根等于它本身的数有0，1，－1.
当1－a2＝0时，a2＝1，则a＝±1；
当1－a2＝1时，a2＝0，则a＝0；
当1－a2＝－1时，a2＝2，则a＝ .
习题6
立方根
立方根的定义
立方根的性质
正数的立方根是一个正数
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根，也叫作三次方根
用计算器求一个数的立方根
负数的立方根是一个负数
立方根的应用
0的立方根是0

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