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第一课时 平方根
6.1 平方根、立方根
学习目标及重难点
1.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根以及算术平方根；(重点）
2.会求一个正数的平方根、算术平方根；（重点）
3.会用计算器计算一个正数的算术平方根.（难点）
年月日，嫦娥五号返回舱首次完成月球采样任务，返回地球.返回舱返回地球时，是以接近第二宇宙速度的速度进入地球大气层的，满足以下关系式：
（其中，取,取）
如何求呢？
这就需要学习一种新的运算——开方.
探索1：平方根的概念及其性质
问题1：装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，用4块这种地砖正好铺1 m2,如图，1块这种地砖的边长是多少
设1块正方形地砖的边长为 x m，根据题意，有
1
x
(单位：m)
这是已知一个数的平方，求这个数的问题.
一般地，如果一个数的平方等于 , 那么这个数叫作的平方根，也叫作二次方根.
例如 : 因为，
所以的平方根是和（可以合写为）.
换句话说，如果 ,那么叫作的平方根.
归纳总结
______和_______是的平方根，也就是说_____ 是16的平方根.
2. ，∴平方等于的数有_____个，它是______.
讨论：有没有一个数的平方等于？你能找到一个数的平方是负数吗？
不存在这样的数
随堂小练习
通过这些题目的解答，你能发现什么
问题：（1）正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
有没有一个数的平方是负数？
因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.
1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2.0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
平方根的性质：
归纳总结
为书写方便，对正数a的平方根，我们有以下规定：
平方根的数学符号表示
这样，正数a的平方根可以用“ ± ”来表示.
正数 的平方根
表示正数 的正的平方根

表示正数 的负的平方根
读作“根号a”
读作“负根号a”
例如，4的平方根是2与2，即±
探索2：算术平方根的概念及性质
正数 的平方根
读作“根号a”
表示正数 的正的平方根
读作“负根号a”

表示正数 的负的平方根
这个根也叫作的算数平方根.
算术平方根具有双重非负性
a的算术平方根
算术平方根的性质
非负数
≥0
非负数
≥0
思考：你能总结一下平方根与算术平方根的概念的区别与联系吗？
区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；
联系： 正数的两个平方根中正的那个平方根就是它的算术平方根，0的平方根就是它的算术平方根.
探索3：开平方根的概念
1
4
9
已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算.
+1
1
+2
2
+3
3
平方
1
4
9
+1
1
+2
2
+3
3
反之，已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？
求一个数的平方根的运算叫作开平方.平方与开平方互为逆运算.
例1：求下列各数的平方根和算术平方根：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ( 3)
解：(1) 因为，所以的平方根是，即；的算术平方根是
解：(2) 因为，所以的平方根是，即 ；的算术平方根是.
解：(4) 因为，所以的平方根是，即 ； 的算术平方根是.
解：(3) 因为，所以的平方根是，即 ； 的算术平方根是.
例1：求下列各数的平方根和算术平方根：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ( 3)
判断正误：
(1)是的算术平方根.
(2) 是 的一个平方根.
(3)的平方根是.
(4)的算术平方根是.
随堂小练习
在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数 的算术平方根(或其近似值).
a
=
按键顺序：
注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书.
探索4：用计算器求平方根
例2：用计算器求下列各式的值(精确到0.01)：
(1) ； (2) ； (3) ； (4)
解：(1)在计算器上依次键入： ，显示结果是,精确到，得 1.41.
(2)
(3)
(4)在计算器上依次键入：
=
2
5
7
=

÷

即可得
第二宇宙速度是指使人造卫星脱离地球引力作用范围飞向太阳，并围绕太阳运动所需的最小发射速度.
用计算器可求得
年月日，嫦娥五号返回舱首次完成月球采样任务，返回地球.返回舱返回地球时，是以接近第二宇宙速度的速度进入地球大气层的，满足以下关系式：
（其中，取,取）
例3：如图，跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作，如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间与下落的高度之间应遵循下面的公式：
其中的单位是，的单位是，，假设跳板的高度是，运动员在跳板上跳起至高出跳板处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间？
解：设运动员下落到水面约需 s ，根据题意，得
，
因为所以
因而，运动员下落到水面约需s.
1. 9的平方根是(　　)
A．3 B．±3 C．－3 D．9
B
2. “36的平方根是±6”，用数学式子表示为(　　)
B
习题1
3. 下列说法中，正确的是(　　)
A．9的平方根是±3，应表示为92＝±3
B．±3是9的平方根，应表示为± ＝3
C．把9开平方能得到9的平方根，即 ＝±3
D．9的算术平方根是3，应表示为 ＝3
D
习题2
4. (1)算术平方根等于它本身的数是______；
(2)_____的算术平方根等于它的相反数．
0和1
0
习题3
5.(1)若某个正数的一个平方根是，则它的另一个平方根是______．
(2)一个正数的平方根分别是和，则x＝_____．
5
习题4
6.用计算器求下列各式的值(精确到0.01)：
(1) ；(2) ； (3) ； (4) .
解：(1)
(2) ;
(3) ;
(4)
习题5
平方根
正数的平方根
0的平方根
算术平方根
正平方根
（就是0本身）
负数的平方根
双重非负性
负平方根
（没有）

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