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(共35张PPT)
第八章 三角形
8.1.2三角形的内角和与外角和
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
02
教学目标
让学生在操作活动中，探索并了解三角形的内角和、三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和.
01
利用平行线性质来证明三角形的内角和、三角形的外角的第一个性质以及三角形的外角和.
02
会利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”进行有关计算.
03
03
新知导入
如图 ， 在小学我们曾剪下三角形的两个内角， 将它们与第三个内角拼在一起， 发现三个内角恰好拼成一个平角， 得出了如下结论:
三角形的内角和等于 .
如果我们不用剪拼办法，可不可以用说理的办法说明该结论正确呢？
03
新知探究
探究1
三角形的内角和定理的推理证明
如图，已知 ，分别用，，表示的三个内角，证明.
【解】如图，延长到，以点为顶点，在的上侧作，则(同位角相等，两直线平行).
，
(两直线平行，内错角相等).
又，
(等量代换).
03
新知探究
思考:还有其它方法证明三角形内角和定理吗？
思考：多种方法说明三角形内角和等于180°的核心是什么？
03
新知探究
1.在这里，为了需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
2.为了说明三角形三个内角的和为180°，常将三个角转化为一个平角，这种转化思想是数学中常用的方法.
总结
像上证明三角形内角和的方法都是通过作一边的平行线，利用平行线的性质，将三个角转化为一个角。
注意
03
新知探究
如图 8.1.10， 在直角三角形ABC中， ∠C = 90°，∠A与∠B有什么关系
由于三角形的内角和等于，得
.
，
由此可以推出
.
即与互余.
直角三角形的两个锐角互余。
概括
03
新知探究
直角三角形可以用符号 “Rt△”表示，直角三角 形ABC可以写成Rt△ABC .
几何语言:
∵ △ABC 是直角三角形，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°.
03
新知探究
我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗
有两个角互余的三角形是直角三角形.
你能说明其理由吗？
如图：由于三角形的内角和等于，得
.
，
.
即△ABC是直角三角形.
03
新知探究
探究2
三角形的外角及外角和
如图8.1.12，一个三角形的每个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.
思考：三角形的外角与内角有什么关系呢
03
新知探究
探究2
三角形的外角及外角和
在图中， 显然有(外角) +(相邻的内角) .
思考：那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢
03
新知探究
探究2
三角形的外角及外角和
依据三角形的内角和等于，
我们有.
由上面两个式子，可以推出
，
.
因而可以得到你与你的同伴所发现的结论:
.
03
新知探究
三角形的外角有两条性质:
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
概括
如图，D是△ABC的边BC上一点，则有:
03
新知探究
你能用“三角形的内角和等于180°”来说明三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和吗
【解】如图，因为三角形的内角和等于，
所以°.
因为
，
所以.
03
新知探究
你能否从前面的操作中，得到说明三角形外角性质的另一种方法？
【解】如图，过点B作BE//AC，
所以.
因为
所以.
03
新知探究
探究3
探索三角形的外角和
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
如图所示，就是的外角和.
03
新知探究
在图中，
_______，_______，
_______.
三式相加可以得到
_______+_______+_______=_______①
而，②
将①与②相比较，你能得出什么结论
可以得到∠1 +∠2 +∠3 = 360°.
由此可知:三角形的外角和等于360°.
概括
02
新知探究
02
新知探究
你能由下图说明这一结论吗？
解：因为，
所以，(两直线平行，同位角相等).
因为，
所以(等量代换).
04
例题讲解
例1
解 在中，
(直角三角形的两个锐角互余)，
(等式性质) .
又(已知)，
(等量代换) .
在中，
(三角形的内角和等于 180°)，
(等式性质) .
又 (已求)， (已知)，
(等量代换) .
如图， 是的边上的高，， 求的度数.
04
例题讲解
例2
分析
(1)先由三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD，再由∠ADC=80°，∠B=∠BAD即可得出∠B的度数；
(2)直接根据三角形的内角和定理得出∠C的度数.
如图，是的 边上一点，，，.
求：(1)的度数；
(2)的度数.
03
新知讲解
【解】(1) 是的外角(已知)，
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
又(已知)，
(等量代换).
(2)(三角形的内角和等于)，
.
.
(等式的性质).
1.将一块含有角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若，则∠2的度数是(　　)
A． B． C． D．
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
B
D
2．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，则的度数是(　　)
A．29° B．30° C．31° D．33°
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若AB∥CD，∠1=130°，∠3=25°，则∠2的度数为(　　)
A．50° B．65° C．85° D．75°
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB=AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，使点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)．原三角形纸片ABC中，∠A的大小为(　　)
A．30° B．32° C．36° D．40°
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为　 　．

6．在中，，射线平分，P为边上一点，，垂足为O，则的度数为　 　．
44°
10°或170°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.
(1)∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；
(2)若△ABC的面积为40，BD＝5，则E到BC边的距离为多少
(1)解：∵∠BED是△ABE的角，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD
又∵∠ABE=15°，∠BAD=40°
∴∠BED=55°
(2)△BDE的面积=40×=10，
所以E到BC边的距离 =10÷÷5=8.
05
课堂小结
三角形的内角和与外角和
三角形的内角和为180°.
三角形内角和定理
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
三角形外角性质
直角三角形的两个锐角互余.
三角形的外角和等于360°.
三角形外角和
1.已知三角形一个内角的度数为70°，则x+y的值为(　　)
A.180 B.110 C.100 D.70
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
B
A
2.在△ABC中，∠A=10°，∠B=60°，则△ABC的形状是(　　)
A.钝角三角形　　　B.直角三角形 C.锐角三角形　　 D.等边三角形
3.物理课上，小明研究一个小木块沿斜坡向下滑动时的运动状态，如图，∠C=90°，∠B=13°，小木块(△DEF)在AB上，且EF∥AC，则∠DFE的度数为(　　)
A.13° B.77°　 C.87° D.63°
B
4.如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么∠α的度数是(　　)
A.75° B.100° C.105° D.135°
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
C
5.如图，AD平分∠BAC，∠B=35°，∠ADC=82°，则∠C=　　　　°.

6.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B=36°，∠E=24°，则∠BAC=　　　　°.
51
84
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.实验证明平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
阅读以上材料并解决下列问题.
(1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，求∠2及∠3的度数.
解:易知∠1=∠4，∠5=∠6，
∴∠7=180°-∠1-∠4=　　　　，
∵m∥n，
∴∠2+∠7=180°，
∴∠2=180°-∠7=　　　　，
∴∠5=∠6=　　　　，
根据三角形内角和为180°，
知∠3=180°-∠4-∠5=　　　　.
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.实验证明平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
阅读以上材料并解决下列问题.
(2)在(1)中，①若∠1=55°，则∠3=　　　　;
②若∠1=40°，则∠3=　　　　.
(3)由(1)(2)，请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3为多少度时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行 请你写出推理过程.
(3)根据平面镜反射光线的规律知，，
，
，
当时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行.
Thanks!
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