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第4节　研究平抛运动的规律
(分值：100分)
选择题1～10题，12题，每小题8分，共88分。
对点题组练
题组1　平抛运动及其规律
1.(2024·四川绵阳高一统考)做平抛运动的物体在连续相等的时间内(　　)
位移的增量减小 速度的增量减小
速度的增量增大 速度的增量相等
2.(2024·广西南宁高一校考期中)“套圈圈”是一种老少皆宜的游戏，如图所示，某小孩蹲在界外水平抛出圈圈并套取前方的玩具，若她想套取更远处的相同玩具，则以下操作不可能达到目的的是(　　)
蹲在同样的位置，以较大的速度水平抛出圈圈
站在同样的位置，以较大的速度水平抛出圈圈
站在同样的位置，以相同的速度水平抛出圈圈
蹲在同样的位置，以较小的速度水平抛出圈圈
3.(多选)如图所示，高为h＝1.25 m的平台上覆盖一层薄冰。现有一质量为60 kg的滑雪爱好者以一定的初速度向平台边缘滑去，着地时速度的方向与水平地面的夹角为45°(重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力)。由此可知下列说法正确的是(　　)
滑雪者离开平台边缘时的速度大小是5.0 m/s
滑学者着地点到平台边缘的水平距离是2.5 m
滑雪者在空中运动的时间为1 s
着地时滑雪者的速度大小是5.0 m/s
题组2　平抛运动的两个推论
4.(多选)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示，则下列说法正确的是(　　)
水平速度与竖直速度之比为tan θ
水平速度与竖直速度之比为
水平位移与竖直位移之比为2tan θ
水平位移与竖直位移之比为
5.如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线。M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知平抛的初速度为20 m/s，MP＝20 m，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
QM的长度为10 m
质点从O到P的运动时间为1 s
质点在P点的速度v大小为40 m/s
质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
题组3　平抛运动与斜面相结合的问题
6.如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　)
b与c之间某一点 　 c点
c与d之间某一点 　 d点
7.如图所示，某运动员在斜坡上练习射箭，斜坡可以视为一个平整的斜面，运动员每次都以不同的速度将箭由水平方向射出，若所有的箭最后都扎入泥土中，在忽略空气阻力的情况下，且假设箭头所指方向即为箭的速度方向，则以下射箭结果图符合平抛运动规律的有(　　)
A B
C D
8.如图所示为竖直放置的圆弧轨道OAB，O点为圆心，一个可以视为质点的小球从圆心O以初速度v0水平向右抛出，落在轨道上的C点，已知OC与OB的夹角为α。则v0大小为(　　)
综合提升练
9.(多选)如图所示，在我国空军某部一次军事演习中，一架国产轰炸机正在进行投弹训练，轰炸机以200 m/s的恒定速度向竖直峭壁水平飞行，先释放炸弹甲，再飞行5 s后释放炸弹乙，炸弹甲和炸弹乙均击中竖直峭壁上的目标。不计空气阻力，重力加速度大小g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
炸弹甲击中目标5 s后，炸弹乙击中目标
炸弹甲和炸弹乙同时击中目标
两击中点间的距离大于125 m
释放炸弹甲时，飞机与峭壁间的水平距离为1 000 m
10.(多选)如图所示，O点是固定的光滑半球面的球心，A点是与O点等高的球面上的一个端点，B点是AO之间的一点，A、B、O三点在同一水平线上。若在A、B、O三点以相同的初速度水平向右抛出三个相同的小球(均可视为质点)，不计空气阻力，则(　　)
三个小球均可能垂直打在球面上
只有从B点抛出的小球才可能垂直打在球面上
只有从A点抛出的小球才可能垂直打在球面上
初速度大小一定时，三个小球打在球面上速度的大小只与球下落的高度h有关
11.(12分)跳台滑雪是北京冬奥会重要的比赛项目。运动员脚踏专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段时间后着陆。现有某运动员从跳台A点沿水平方向飞出，在斜坡B点着陆，如图所示。测得AB间的距离为40 m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)(4分)运动员在空中飞行的时间t；
(2)(4分)运动员从A 点飞出时的速度大小v0；
(3)(4分)运动员落在B 点的瞬时速度。
培优加强练
12.跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，假设运动员从C点水平飞出，落到斜坡上的D点，E点离坡道CD最远，忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)
运动员在空中相等时间内速度变化量不相等
轨迹CE和ED在水平方向的投影长度相等
轨迹CE和ED在CD上的投影长度之比为1∶3
若减小水平飞出速度，运动员落到斜坡时速度与水平方向的夹角将变小
第4节　研究平抛运动的规律
1.D　[平抛运动水平方向做匀速直线运动，水平方向上在连续相等的时间内位移的增量为0，竖直方向上做自由落体运动，根据Δy＝gT2，可知竖直方向上连续相等的时间内位移的增量相等，则做平抛运动的物体在连续相等的时间内位移的增量相等，A错误；水平方向上在连续相等的时间内速度的增量为0，竖直方向上根据Δv＝gΔt，可知竖直方向上在连续相等的时间内速度的增量相等，则做平抛运动的物体在连续相等的时间内速度的增量相等，B、C错误，D正确。]
2.D　[小孩套取更远处的玩具，水平位移增大，x＝vt，则可以通过增大初速度或增大运动时间的方式实现，即蹲在同样的位置，以较大的速度水平抛出圈圈，或是站在同样的位置，则根据平抛竖直方向运动可知，时间变长，以相同或较大的速度水平抛出圈圈，故A、B、C正确，D错误。]
3.AB　[由v＝2gh可得vy＝＝ m/s＝5.0 m/s，因为着地时速度的方向与水平地面的夹角为45°，所以着地时水平速度和竖直速度的大小相等，则滑雪者离开平台边缘时的速度大小v0＝vy＝5.0 m/s，故A正确；由vy＝gt得，滑雪者在空中运动的时间t＝0.5 s，滑雪者在水平方向上做匀速直线运动，水平距离为x＝v0t＝2.5 m，故B正确，C错误；滑雪者着地时的速度大小为v＝＝5 m/s，故D错误。]
4.AC　[小球撞在斜面上，速度方向与斜面垂直，则速度方向与竖直方向的夹角为θ，则水平速度与竖直速度之比为＝tan θ，故A正确，B错误；水平位移与竖直位移之比＝＝＝2tan θ，故C正确，D错误。]
5.D　[根据平抛运动在竖直方向做自由落体运动有h＝gt2，可得t＝2 s；质点在水平方向的位移为x＝v0t＝40 m，根据平抛运动的推论可知Q是OM的中点，所以QM＝20 m，故A、B错误；质点在P点的竖直速度vy＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，所以在P点的速度为v＝＝ m/s＝20 m/s，故C错误；因为tan θ＝＝1，所以质点在P点的速度方向与水平方向的夹角为45°，故D正确。]
6.A　[当水平初速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点垂直于Oa的直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，连接O点和e点的抛物线与斜面相交于b、c间的一点(如图)，该点即为小球以速度2v0水平抛出时在斜面上的落点，故A正确。]
7.B　[平抛运动的位移与水平方向的夹角满足tan α＝＝＝，速度与水平方向的夹角满足tan β＝＝，所以有tan β＝2tan α，所有的箭都扎进斜坡，所以位移与水平方向的夹角都相等，则速度与水平方向的夹角也相等，即箭互相平行；因为有向右的水平分速度的存在，所以箭与水平方向的夹角都小于90°，B正确。]
8.A　[由题可知，小球平抛时下落的高度为Rsin α，水平距离为Rcos α，所以可得Rcos α＝v0t，Rsin α＝gt2，联立解得v0＝，A正确。]
9.BC　[炸弹在水平方向做匀速直线运动，所以两炸弹同时击中目标，A错误，B正确；设乙击中目标的时间为t，则两击中点间的距离为Δs＝g(t＋5 s)2－gt2＞×10×52 m＝125 m，C正确；释放炸弹甲时，飞机与峭壁间的水平距离为s＝v0(t＋5 s)＞1 000 m，D错误。]
10.BD　[若小球垂直打在球面上，则小球到达球面时的速度的反向延长线经过球心，根据平抛运动的推论可知任一时刻速度的反向延长线经过水平位移的中点，所以只有从B点抛出的小球可能垂直打在球面上，故A、C错误，B正确；设初速度大小为v0，打在球面上速度为v＝，可见v0一定时，v与下落高度h有关，故D正确。]
11.(1)2 s　(2)10 m/s　(3)10 m/s，方向与水平方向夹角的正切值为
解析　(1)运动员在竖直方向的位移大小y＝xABsin 30°＝20 m
在竖直方向的分运动为自由落体运动，有y＝gt2
则运动员在空中的飞行时间 t＝＝2 s。
(2)运动员在水平方向的位移大小
x＝xABcos 30°＝20 m
在水平方向的分运动为匀速直线运动，有x＝v0t
则运动员在A 处的速度大小v0＝10 m/s。
(3)运动员在B 点瞬时速度大小v＝＝10 m/s
B点瞬时速度方向与水平方向夹角的正切值为
tan θ＝＝。
12.B　[运动员在空中做平抛运动，加速度恒定为g，则根据Δv＝gΔt，可知相等时间内速度变化量相等，故A错误；设斜坡的倾角为θ，则到达E点时tan θ＝，到达斜坡底端时tan θ＝＝，解得t2＝2t1，即从C到E的时间等于从E到D的时间，则根据x＝v0t可知，轨迹CE和ED在水平方向的投影长度相等，故B正确；运动员沿斜坡方向做初速度为v0cos θ，加速度为gsin θ的加速运动，由于初速度不为零，则根据相等时间的位移关系可知，运动员沿斜坡方向的位移之比不等于1∶3，即轨迹CE和ED在CD上的投影长度之比不等于1∶3，故C错误；运动员落在斜坡时速度与水平方向的夹角tan α＝，结合tan θ＝，可得tan α＝2tan θ，则若减小水平飞出速度，运动员落到斜坡时速度与水平方向的夹角不变，故D错误。]第4节　研究平抛运动的规律
学习目标　1.知道物体做平抛运动的条件及变速运动的性质和受力特点。2.通过运动的合成与分解分析平抛运动的规律，掌握分析方法。3.理解平抛运动的两个重要推论，掌握其简单应用。4.了解平抛运动与斜面、曲面结合问题的特点，掌握分析相关问题的方法。
知识点一　平抛运动及其规律
如图为一人正在练投掷飞镖，不计空气阻力，请思考：
(1)飞镖掷出后受几个力？合力大小、方向如何？加速度大小、方向如何？
(2)试判断飞镖运动的性质。
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1.平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2.平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
(2)运动特点
①加速度：自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速曲线运动。
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动。
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线。
(4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
3.平抛运动的规律
设物体水平抛出时的初速度为v0，则经过时间t，它的位置坐标分别是
它的两个分速度分别是
轨迹方程是y＝________
【思考】
1.做平抛运动的物体在空中运动的时间由什么因素决定？水平抛出速度变大，运动时间如何变化？
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2.做平抛运动的物体水平位移大小由什么因素决定？
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3.做平抛运动的物体落地时的速度大小由什么因素决定？
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例1 下列关于平抛运动的说法正确的是(　　)
A.平抛运动是匀速运动
B.平抛运动是变加速运动
C.平抛运动是匀变速曲线运动
D.平抛运动的物体落地时的速度一定是竖直向下的
听课笔记____________________________________________________________
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例2 (教科版P18例题改编)如图所示，一架小型运输机以v0＝180 km/h的速度水平飞行，在h＝320 m高空向灾区投放救灾物资包(不计空气阻力，g取10 m/s2)。
(1)为了将物资包准确投到目标位置，应当在离该位置的水平距离多远处释放物资包？
(2)物资包落地时，速度的大小和方向如何？
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训练1 从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与水平方向成53°角(不计空气阻力，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)。求：
(1)抛出点的高度和水平射程；
(2)抛出后3 s末的速度；
(3)抛出后3 s内的位移。
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知识点二　平抛运动的两个推论
如图，试证明：
(1)平抛运动某一时刻速度方向与水平方向夹角为θ，位移方向与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
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平抛运动的两个重要推论
1.做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向的夹角θ、位移方向与水平方向的夹角α的关系为tan θ＝2tan α。
2.做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
例3 如图所示，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计，物体可视为质点)(　　)
A.tan φ＝sin θ B.tan φ＝cos θ
C.tan φ＝tan θ D.tan φ＝2tan θ
听课笔记___________________________________________________________
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训练2 如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s 的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，则小球运动的时间为(　　)
A.1 s B.1.5 s
C.2.5 s D.3 s
知识点三　平抛运动与斜面(曲面)相结合的问题
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外水平抛出，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝
从斜面外水平抛出，恰好无碰撞地进入斜面轨道，如图所示，已知该点速度方向沿斜面 分解速度 vx＝v0 vy＝gt tan α＝＝
已知位 移方向 从斜面上水平抛出又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝
在斜面外水平抛出，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝
例4 如图所示，小球以v0＝15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上。求这一过程中(不计空气阻力，g取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)：
(1)小球在空中的飞行时间t；
(2)抛出点距撞击点的高度h。
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训练3 跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一个运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡可看成倾角为37° 的斜面，不考虑空气阻力，(g＝10 m/s2，tan 37°＝)。求：
(1)运动员在空中的飞行时间t；
(2)从抛出至落在斜面上的位移大小s；
(3)落到斜面上时的速度大小v。
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与斜面相关的平抛运动问题的解题步骤
(1)定性地画出物体的平抛运动轨迹。
(2)判断斜面倾角与平抛位移或速度间的关系。
(3)利用斜面倾角表示出平抛运动的位移关系或速度关系。
(4)根据平抛运动的规律进行求解。
例5 (多选)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别从M、N两点将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力。则下列说法正确的是(　　)
A.两球拋出的速率之比为1∶3
B.若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C.两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D.若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中
听课笔记___________________________________________________________
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随堂对点自测
1.(平抛运动的规律)(2024·广西高二统考学业考试)如图所示为排球运动员“拦网”瞬间。若排球触手后水平反弹，不计空气阻力和旋转的影响，其反弹至触地的过程可视为平抛运动，则此过程所用时间(　　)
A.与球的质量有关 B.与球的材料有关
C.与球触手反弹时的高度有关 D.与球触手反弹时的速度大小有关
2.(平抛运动的两个推论)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大，则θ减小
3.(平抛运动与斜面相结合的问题)如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)
A.1∶1 B.1∶3
C.16∶9 D.9∶16
4.(平抛运动与斜面相结合的问题)如图，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.小球在空中运动时间为
B.小球的水平位移大小为
C.由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
D.小球的竖直位移大小为
第4节　研究平抛运动的规律
知识点一
导学　提示　(1)只受一个力重力　F合＝mg　方向竖直向下　a＝g　竖直向下
(2)匀变速曲线运动
知识梳理
3.v0t　gt2　v0　gt　x2
[思考]
1.提示　由y＝gt2得t＝，可知做平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度有关；不变。
2.提示　由x＝v0t＝v0知，做平抛运动的物体水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定。
3.提示　落地时的速度大小v＝＝，即落地时的速度大小由初速度v0和下落的高度y共同决定。
例1 C　[平抛运动只受重力，加速度为g，保持不变，初速度水平，则合力与初速度垂直，所以平抛运动是匀变速曲线运动，故A、B错误，C正确；平抛运动在水平方向是匀速直线运动，水平方向肯定有速度，所以速度不可能竖直向下，故D错误。]
例2 (1)400 m　(2)10 m/s，速度的方向与水平面的夹角的正切值为1.6
解析　(1)物资包被投放后做平抛运动。根据平抛运动在竖直方向分运动的规律，物资包在竖直方向的位移y与其运动时间t的关系为y＝gt2
当y＝h时，物资包落到地面，可知救灾物资包的飞行时间
t＝＝＝ s＝8 s
根据平抛运动在水平方向分运动的规律，可知物资包投放后到达目标位置的水平位移x＝v0t
又v0＝180 km/h＝50 m/s
得x＝50×8 m＝400 m
所以，为准确地将物资包投送到目标位置，应当在离目标位置水平距离400 m处提前投放。
(2)物资包落地时速度的水平分量和竖直分量的大小分别为vx＝v0，vy＝gt＝
因此，物资包落地的速度大小为v＝＝
代入数据，得v＝ m/s＝10 m/s
物资包落地时速度的方向与水平方向夹角θ的正切值为
tan θ＝＝
代入数据，得tan θ＝＝1.6。
训练1 (1)80 m　120 m　(2)30 m/s，与水平方向的夹角为45°　(3)45 m，与水平方向的夹角的正切值为
解析　(1)将落地时的速度分解，如图所示。
设落地时竖直方向的速度为vy，水平方向速度为v0，则有
vy＝vsin 53°＝50×0.8 m/s＝40 m/s
v0＝vcos 53°＝50×0.6 m/s＝30 m/s
抛出点的高度为h＝＝80 m
水平射程x＝v0t＝v0·＝30× m＝120 m。
(2)设抛出后3 s末的速度为v3，则
竖直方向的分速度vy3＝gt3＝10×3 m/s＝30 m/s
则v3＝＝ m/s＝30 m/s
设速度方向与水平方向的夹角为α，则
tan α＝＝1，故α＝45°。
(3)抛出后3 s内物体的水平方向的位移
x3＝v0t3＝30×3 m＝90 m
竖直方向的位移y3＝gt＝×10×32 m＝45 m
故物体在3 s内的位移
s＝＝ m＝45 m
设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝。
知识点二
导学　证明　(1)因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α。
(2)如题图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点。则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝v0t。可见AB＝OB。
例3 D　[物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向的夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D正确。]
训练2 D　[根据平抛运动推论可得，小球在P点速度的反向延长线过这段时间水平位移的中点，则有x＝2QM＝v0t，解得小球运动的时间为t＝＝ s＝3 s，所以D正确，A、B、C错误。]
知识点三
例4 (1)2 s　(2)20 m
解析　(1)将小球垂直撞在斜面上的速度分解，如图所示：
由图可知θ＝37°
则tan θ＝＝
代入数据解得t＝2 s。
(2)根据平抛运动的规律有h＝gt2
代入数据解得h＝20 m。
训练3 (1)3 s　(2)75 m　(3)10 m/s
解析　(1)运动员从A点到B点做平抛运动，
水平方向的位移x＝v0t
竖直方向的位移y＝gt2，又有tan 37°＝
代入数据解得t＝3 s，x＝60 m，y＝45 m。
(2)运动员落在斜面上的位移大小s＝＝75 m。
(3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量
vy＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s
故运动员落到斜面上时的速度大小
v＝＝10 m/s。
例5 ABD　[根据几何关系知，Q到O点的水平方向的距离等于0.5R，所以M的水平位移xM＝R－＝，N的水平位移为xN＝R＋＝，则落在Q点的水平位移之比为1∶3，运动时间相等，则初速度之比为1∶3，故A正确；若只增大v1，而v2不变，则M运动的轨迹的落点将向右一些，两球可在空中相遇，故B正确；只要两小球落在坑中的同一点，则水平位移之和就为2R，则(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以v1＋v2不是一个定值，故C错误；根据平抛运动的推论：速度的反向延长线交水平位移的中点，因为球心O并不是水平位移的中点，所以不可能使小球沿半径方向(即垂直坑壁)落入坑中，故D正确。]
随堂对点自测
1.C　[根据平抛运动的规律有h＝gt2，可得t＝，由此可知，小球运动的时间与下落的高度有关，即与球触手反弹时的高度有关，而与球的质量、球的材料、反弹时的速度大小无关，故C正确。]
2.D　[将小球的速度、位移分解如图所示，vy＝gt，v0＝＝，故A错误；设位移方向与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α，α≠，故B错误；平抛运动的落地时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C错误；由tan θ＝＝知，t不变时，v0增大，则θ减小，故D正确。]
3.D　[根据平抛运动的规律可知，x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，则运动时间t＝，分别将37°、53°代入可得A、B两个小球运动时间之比为tA∶tB＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，选项D正确，A、B、C错误。]
4.B　[如图所示，过抛出点作斜面的垂线，当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则水平方向x＝v0t，竖直方向y＝gt2。根据几何关系有＝tan θ，联立解得t＝，故A错误；小球的水平位移大小为x＝v0t＝，故B正确；竖直位移大小为y＝gt2＝，由水平位移和竖直位移可求解合位移的大小，故C、D错误。](共58张PPT)
第4节　研究平抛运动的规律
第一章 抛体运动
1.知道物体做平抛运动的条件及变速运动的性质和受力特点。2.通过运动的合成与分解分析平抛运动的规律，掌握分析方法。3.理解平抛运动的两个重要推论，掌握其简单应用。
4.了解平抛运动与斜面、曲面结合问题的特点，掌握分析相关问题的方法。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　平抛运动的两个推论
知识点一　平抛运动及其规律
知识点三　平抛运动与斜面(曲面)相结合的问题
知识点一　平抛运动及其规律
如图为一人正在练投掷飞镖，不计空气阻力，请思考：
(1)飞镖掷出后受几个力？合力大小、方向如何？加速度大小、方向如何？
(2)试判断飞镖运动的性质。
提示　(1)只受一个力重力　F合＝mg　方向竖直向下　a＝g　竖直向下
(2)匀变速曲线运动
1.平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2.平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
(2)运动特点
①加速度：自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速曲线运动。
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动。
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线。
(4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
3.平抛运动的规律
v0t
v0
gt
【思考】
1.做平抛运动的物体在空中运动的时间由什么因素决定？水平抛出速度变大，运动时间如何变化？
2.做平抛运动的物体水平位移大小由什么因素决定？
3.做平抛运动的物体落地时的速度大小由什么因素决定？
C
例1 下列关于平抛运动的说法正确的是(　　)
A.平抛运动是匀速运动
B.平抛运动是变加速运动
C.平抛运动是匀变速曲线运动
D.平抛运动的物体落地时的速度一定是竖直向下的
解析　平抛运动只受重力，加速度为g，保持不变，初速度水平，则合力与初速度垂直，所以平抛运动是匀变速曲线运动，故A、B错误，C正确；平抛运动在水平方向是匀速直线运动，水平方向肯定有速度，所以速度不可能竖直向下，故D错误。
例2 (教科版P18例题改编)如图所示，一架小型运输机以v0＝180 km/h的速度水平飞行，在h＝320 m高空向灾区投放救灾物资包(不计空气阻力，g取10 m/s2)。
(1)为了将物资包准确投到目标位置，应当在离该位置的水平距离多远处释放物资包？
(2)物资包落地时，速度的大小和方向如何？
根据平抛运动在水平方向分运动的规律，可知物资包投放后到达目标位置的水平位移x＝v0t
又v0＝180 km/h＝50 m/s
得x＝50×8 m＝400 m
所以，为准确地将物资包投送到目标位置，应当在离目标位置水平距离400 m处提前投放。
训练1 从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与水平方向成53°角(不计空气阻力，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)。求：
(1)抛出点的高度和水平射程；
(2)抛出后3 s末的速度；
(3)抛出后3 s内的位移。
解析　(1)将落地时的速度分解，如图所示。
设落地时竖直方向的速度为vy，水平方向速度为v0，则有
vy＝vsin 53°＝50×0.8 m/s＝40 m/s
v0＝vcos 53°＝50×0.6 m/s＝30 m/s
知识点二　平抛运动的两个推论
　　　如图，试证明：
(1)平抛运动某一时刻速度方向与水平方向夹角为θ，位移方向与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
平抛运动的两个重要推论
1.做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向的夹角θ、位移方向与水平方向的夹角α的关系为tan θ＝2tan α。
2.做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
D
例3 如图所示，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计，物体可视为质点)(　　)
A.tan φ＝sin θ B.tan φ＝cos θ
C.tan φ＝tan θ D.tan φ＝2tan θ
解析　物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向的夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D正确。
D
训练2 如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s 的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，则小球运动的时间为(　　)
A.1 s B.1.5 s C.2.5 s D.3 s
知识点三　平抛运动与斜面(曲面)相结合的问题
例4 如图所示，小球以v0＝15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上。求这一过程中(不计空气阻力，g取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)：
(1)小球在空中的飞行时间t；
(2)抛出点距撞击点的高度h。
(1)运动员在空中的飞行时间t；
(2)从抛出至落在斜面上的位移大小s；
(3)落到斜面上时的速度大小v。
与斜面相关的平抛运动问题的解题步骤
(1)定性地画出物体的平抛运动轨迹。
(2)判断斜面倾角与平抛位移或速度间的关系。
(3)利用斜面倾角表示出平抛运动的位移关系或速度关系。
(4)根据平抛运动的规律进行求解。
ABD
例5 (多选)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别从M、N两点将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力。则下列说法正确的是(　 　)
A.两球拋出的速率之比为1∶3
B.若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C.两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D.若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中
随堂对点自测
2
C
1.(平抛运动的规律)(2024·广西高二统考学业考试)如图所示为排球运动员“拦网”瞬间。若排球触手后水平反弹，不计空气阻力和旋转的影响，其反弹至触地的过程可视为平抛运动，则此过程所用时间(　　)
A.与球的质量有关
B.与球的材料有关
C.与球触手反弹时的高度有关
D.与球触手反弹时的速度大小有关
D
2.(平抛运动的两个推论)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
D
3.(平抛运动与斜面相结合的问题)如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)
A.1∶1 B.1∶3 C.16∶9 D.9∶16
B
4.(平抛运动与斜面相结合的问题)如图，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
课后巩固训练
3
D
题组1　平抛运动及其规律
1.(2024·四川绵阳高一统考)做平抛运动的物体在连续相等的时间内(　　)
A.位移的增量减小 B.速度的增量减小
C.速度的增量增大 D.速度的增量相等
解析　平抛运动水平方向做匀速直线运动，水平方向上在连续相等的时间内位移的增量为0，竖直方向上做自由落体运动，根据Δy＝gT2，可知竖直方向上连续相等的时间内位移的增量相等，则做平抛运动的物体在连续相等的时间内位移的增量相等，A错误；水平方向上在连续相等的时间内速度的增量为0，竖直方向上根据Δv＝gΔt，可知竖直方向上在连续相等的时间内速度的增量相等，则做平抛运动的物体在连续相等的时间内速度的增量相等，B、C错误，D正确。
对点题组练
D
2.(2024·广西南宁高一校考期中)“套圈圈”是一种老少皆宜的游戏，如图所示，某小孩蹲在界外水平抛出圈圈并套取前方的玩具，若她想套取更远处的相同玩具，则以下操作不可能达到目的的是(　　)
A.蹲在同样的位置，以较大的速度水平抛出圈圈
B.站在同样的位置，以较大的速度水平抛出圈圈
C.站在同样的位置，以相同的速度水平抛出圈圈
D.蹲在同样的位置，以较小的速度水平抛出圈圈
解析　小孩套取更远处的玩具，水平位移增大，x＝vt，则可以通过增大初速度或增大运动时间的方式实现，即蹲在同样的位置，以较大的速度水平抛出圈圈，或是站在同样的位置，则根据平抛竖直方向运动可知，时间变长，以相同或较大的速度水平抛出圈圈，故A、B、C正确，D错误。
AB
3.(多选)如图所示，高为h＝1.25 m的平台上覆盖一层薄冰。现有一质量为60 kg的滑雪爱好者以一定的初速度向平台边缘滑去，着地时速度的方向与水平地面的夹角为45°(重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力)。由此可知下列说法正确的是(　　)
A.滑雪者离开平台边缘时的速度大小是5.0 m/s
B.滑学者着地点到平台边缘的水平距离是2.5 m
C.滑雪者在空中运动的时间为1 s
D.着地时滑雪者的速度大小是5.0 m/s
AC
题组2　平抛运动的两个推论
4.(多选)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示，则下列说法正确的是(　　)
D
5.如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线。M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知平抛的初速度为20 m/s，MP＝20 m，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A.QM的长度为10 m
B.质点从O到P的运动时间为1 s
C.质点在P点的速度v大小为40 m/s
D.质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
A
题组3　平抛运动与斜面相结合的问题
6.如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　)
A.b与c之间某一点 　 B.c点
C.c与d之间某一点 　 D.d点
解析　当水平初速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点垂直于Oa的直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，连接O点和e点的抛物线与斜面相交于b、c间的一点(如图)，该点即为小球以速度2v0水平抛出时在斜面上的落点，故A正确。
B
7.如图所示，某运动员在斜坡上练习射箭，斜坡可以视为一个平整的斜面，运动员每次都以不同的速度将箭由水平方向射出，若所有的箭最后都扎入泥土中，在忽略空气阻力的情况下，且假设箭头所指方向即为箭的速度方向，则以下射箭结果图符合平抛运动规律的有(　　)
A
BC
9.(多选)如图所示，在我国空军某部一次军事演习中，一架国产轰炸机正在进行投弹训练，轰炸机以200 m/s的恒定速度向竖直峭壁水平飞行，先释放炸弹甲，再飞行5 s后释放炸弹乙，炸弹甲和炸弹乙均击中竖直峭壁上的目标。不计空气阻力，重力加速度大小g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
综合提升练
A.炸弹甲击中目标5 s后，炸弹乙击中目标
B.炸弹甲和炸弹乙同时击中目标
C.两击中点间的距离大于125 m
D.释放炸弹甲时，飞机与峭壁间的水平距离为1 000 m
BD
10.(多选)如图所示，O点是固定的光滑半球面的球心，A点是与O点等高的球面上的一个端点，B点是AO之间的一点，A、B、O三点在同一水平线上。若在A、B、O三点以相同的初速度水平向右抛出三个相同的小球(均可视为质点)，不计空气阻力，则(　　)
A.三个小球均可能垂直打在球面上
B.只有从B点抛出的小球才可能垂直打在球面上
C.只有从A点抛出的小球才可能垂直打在球面上
D.初速度大小一定时，三个小球打在球面上速度 的大小只与球下落的高度h
有关
11.跳台滑雪是北京冬奥会重要的比赛项目。运动员脚踏专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段时间后着陆。现有某运动员从跳台A点沿水平方向飞出，在斜坡B点着陆，如图所示。测得AB间的距离为40 m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)运动员从A 点飞出时的速度大小v0；
(3)运动员落在B 点的瞬时速度。
B
12.跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，假设运动员从C点水平飞出，落到斜坡上的D点，E点离坡道CD最远，忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.运动员在空中相等时间内速度变化量不相等
B.轨迹CE和ED在水平方向的投影长度相等
C.轨迹CE和ED在CD上的投影长度之比为1∶3
D.若减小水平飞出速度，运动员落到斜坡时速度与水平方向的夹角将变小
培优加强练

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