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培优提升一　关联速度问题
(分值：100分)
选择题1～6题，每小题6分；7～14题，每小题8分，共100分。
基础对点练
题组1　绳的关联速度
1.如图，汽车甲用绳以速度v1拉着汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，则此时甲、乙两车的速度之比为(　　)
cos α∶1 1∶cos α
sin α∶1 1∶sin α
2.如图所示，图甲为吊威亚表演者的照片，图乙为其简化示意图。工作人员A以速度v沿直线水平向左轻拉绳，此时绳与水平方向的夹角为θ，此时表演者B速度大小为(　　)
vsin θ vcos θ
3. (2024·广西玉林高一校考)利用定滑轮向高层建筑里运送货物是常用的一种运输手段。如图，小车利用光滑定滑轮提升一箱货物，假设小车向左做匀速直线运动，当货物提升到图示的位置时，货物速度为v，此时缆绳与水平方向夹角为θ，不计一切摩擦，下列说法正确的是(　　)
货车的速度等于vcos θ
货车的速度等于vsin θ
缆绳对货物的拉力大于货物的重力
货车对路面的压力等于货车的重力
4.(多选)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角为θ2时(如图)，下列判断正确的是(　　)
P的速率为v P的速率为vcos θ2
绳的拉力等于mgsin θ1 绳的拉力大于mgsin θ1
5.(2024·玉溪高一检测)如图所示，重物沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为(　　)
vsin θ
vcos θ
6.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B(可视为质点)，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA＝10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为(　　)
5 m/s m/s
20 m/s m/s
题组2　杆的关联速度
7.一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则(　　)
v2＝v1 v2＝2v1
v2＝v1 v2＝v1
8.如图所示，“∠”形光滑硬杆固定在竖直平面内，∠P＝60°，底边水平。均可视为质点的带孔小球甲、乙间用轻质细杆相连，分别套在“∠”形杆上的A、C点，开始时两球在同一竖直线上处于静止状态，某时刻给乙一个轻微扰动使它们开始运动，当甲运动到B点时，速度大小为v，轻质细杆与水平方向的夹角为60°，则此时乙球的速度大小为(　　)
v
v 2v
9.甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是(　　)
甲、乙两球的速度大小之比为4∶3
甲、乙两球的速度大小之比为3∶
甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
综合提升练
10.(2024·广西钦州高一校考)如图所示，人用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A，人以速度v0向左匀速拉绳，某一时刻，定滑轮右侧绳与竖直杆的夹角为θ，左侧绳与水平面的夹角为α，此时物块A的速度v1为(　　)
v0cos θ
v0cos α
11.(2024·重庆沙坪坝高一考试)如图所示，悬点O下方固定一光滑小圆环，水平光滑细长杆左端套有一小物块Q。现用一轻质细绳跨过小圆环，细绳一端连接物块Q，另一端悬挂一物块P。现将P、Q由静止释放，当细绳左边部分与水平方向的夹角为θ时，下列说法正确的是(　　)
当θ＝30°时，P、Q的速度大小之比为2∶
当θ＝45°时，P、Q的速度大小之比为∶2
当θ＝90°时，Q的速度大小为零
当θ＝90°时，P的加速度大小为零
12.如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
小环释放后的极短时间内轻绳中的张力一定等于2mg
小环到达B处时，重物上升的高度为d
小环在B处的速度与重物上升的速度大小的比值等于
小环在B处的速度与重物上升的速度大小的比值等于
13.如图所示，一轻杆两端分别固定着质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成θ角时，A球沿槽下滑的速度为vA，则此时B球的速度大小为(　　)
vAtan θ
vAcos θ vAsin θ
培优加强练
14.(多选)如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为v0，半圆柱面上搁着只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，下列说法正确的是(　　)
竖直杆向下做加速直线运动
竖直杆向下做减速直线运动
杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，
v0∶v杆＝tan θ∶1
杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，
v0∶v杆＝1∶tan θ
培优提升一　关联速度问题
1.A　[将汽车乙的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向，如图，沿绳方向的分速度等于汽车甲的速度，所以v2cos α＝v1，则甲、乙两车的速度之比为cos α∶1。故A正确。]
2.B　[根据关联速度分解可得vB＝vcos θ，故B正确。]
3.C　[将货车的速度分解可得v车cos θ＝v，可得货车的速度v车＝，A、B错误；货车匀速向左运动，θ减小，则货物的速度v逐渐变大，即货物向上做加速运动，则缆绳对货物的拉力大于货物的重力，C正确；货车对路面的压力FN＝Mg－Tsin θ4.BD　[将小车的速度v进行分解如图所示，则vP＝vcos θ2，故A错误，B正确；小车向右运动，θ2减小，v不变，则vP逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，由牛顿第二定律有F－mgsin θ1＝ma，可知绳子对A的拉力F＞mgsin θ1，故C错误，D正确。]
5.C　[将重物的速度按沿绳和垂直于绳两个方向分解，如图所示，可得绳子速率为v绳＝vcos θ；而绳子速率等于小车的速率，所以小车的速率为v车＝v绳＝v cos θ，故C正确。]
6.D　[物体B的运动可分解为沿绳BO方向靠近定滑轮O使绳BO段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳BO垂直)的运动，故可把物体B的速度分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥＝vBcos α，因为绳不可伸长，所以有vB∥＝vA，故vA＝vBcos α，所以vB＝＝ m/s，故D正确。]
7.C　[球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，故C正确。]
8.B　[当甲运动到B点时，速度大小为v，轻质细杆与水平方向的夹角为60°，设此时乙球的速度大小为v乙，根据甲、乙沿杆方向的分速度相同则vcos 60°＝v乙cos 60°，解得v乙＝v，故B正确。]
9.B　[当乙球距离起点3 m时，此时杆与水平方向的夹角为cos θ＝，此时甲、乙两球沿杆方向的速度相等，则v乙cos θ＝v甲sin θ，解得甲、乙两球的速度大小之比为v甲∶v乙＝3∶，故A错误，B正确；下落过程中甲、乙两球沿杆方向的速度大小相等，甲球即将落地时，沿杆方向的速度为零，故乙球的速度为零，此时甲球速度大于乙球的速度，故C、D错误。]
10.D　[由题意可知，沿绳方向的速度相等，对人的速度v0进行分解，如图所示，则有v′＝v0cos α；对物块A的速度v1进行分解，则有v1＝＝，故D正确。]
11.B　[由题意可知，P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，则满足vQcos θ＝vP，当θ＝30°时，有vQcos 30°＝vP，可知P、Q的速度大小之比为＝cos 30°＝，A错误；当θ＝45°时，有vQcos 45°＝vP，可知P、Q的速度大小之比为＝cos 45°＝，B正确；当θ＝90°时，Q到达O点的正下方，此时Q的速度最大，P的速度最小为零，但P的加速度不为零，C、D错误。]
12.C　[小环释放后的极短时间内，其下落速度v增大，绳与竖直杆间的夹角θ减小，故小环沿绳方向的速度v1＝vcos θ，增大，由此可知小环释放后的极短时间内重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg，A错误；小环到达B处时，绳与竖直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝(－1)d，B错误；如图所示将小环速度v进行正交分解v1＝vcos 45°＝v，所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小的比值等于，C正确，D错误。]
13.B　[如图，将A、B两球的速度分别分解为沿着杆方向和垂直杆方向两个分速度，对A球有vA2＝vAcos θ，对B球有vB2＝vBsin θ，由于vA2、vB2沿着同一个杆，则有vAcos θ＝vBsin θ，解得vB＝，B正确，A、C、D错误。]
14.AD　[杆和半圆柱体时刻保持接触，则在垂直接触点切线方向速度应时刻保持相等，将v0和v杆沿接触点切线方向和垂直接触点切线方向进行分解，根据垂直接触点切线方向的速度大小相等有v0sin θ＝v杆cos θ，可得v杆＝v0tan θ，即v0∶v杆＝1∶tan θ，C错误，D正确；杆向下运动，θ角变大，tan θ变大，v杆变大，杆做加速运动，A正确，B错误。]培优提升一　关联速度问题
学习目标　1.能利用运动的合成与分解知识分析关联速度问题。2.掌握常见绳、杆关联模型特点。
如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。
(1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？
(2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？
(3)从运动的合成和分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？
(4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？
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1.关联速度
用绳、杆(高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的)相牵连的物体或者直接接触的两物体，在运动过程中两物体的速度通常不同，但两物体的速度间存在某种联系，称为关联速度。
2.解决关联速度问题的一般步骤
第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图。
第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
3.常见的速度分解模型(如图)
角度1　绳的关联速度
例1 (多选)(2024·四川省雅安市期末)如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，小车以速度v匀速向右运动，当小车运动到绳子与水平面夹角为θ时，下列关于物体A的说法正确的是(　　)
A.物体A此时的速度大小为
B.物体A此时的速度大小为vcos θ
C.绳子上的拉力等于物体A的重力
D.绳子上的拉力大于物体A的重力
听课笔记___________________________________________________________
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训练1 如图所示，穿在竖直杆上的物块A与放在水平桌面上的物块B用绳相连，O为定滑轮。将A由图示位置释放，当绳与水平方向夹角为θ时，A物块的速度大小为vA，则此时物块B的速度大小为________，若滑轮至杆距离为d，则B物块在此过程中的位移sB＝________。
角度2　杆的关联速度
例2 (多选)(2024·四川遂宁高一校考)如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是(　　)
A.当θ＝45°时，A、B两球速度大小相等
B.当θ＝60°时，A球速度的大小小于B球速度
C.vA＝vBtan θ
D.vA＝vBsin θ
听课笔记____________________________________________________________
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训练2 (2024·广西柳州高一校考期中)2021年3月11日宁夏银川，一家餐厅后厨起火后，三名顾客被困。如图是火警设计的一种快捷让当事人逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高h，当BN＝2h时，则此时被救人员向B点运动的速率是(　　)
A.v0 B.2v0
C.v0 D.v0
随堂对点自测
1.(绳的关联速度)用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边，如图所示。如果要保持船的速度不变，则岸上水平拉绳的速度(　　)
A.逐渐减小 B.逐渐增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
2.(绳的关联速度)如图，在一棵大树下有张石凳子，上面水平摆放着一排香蕉。小猴子为了一次拿到更多的香蕉，它紧抓住软藤摆下，同时树上的老猴子向上拉动软藤的另一端，使得小猴子到达石凳子时保持身体水平向右方向运动。已知老猴子以恒定大小的速度v拉动软藤，当软藤与竖直方向成θ角时，则小猴子的水平运动速度大小为(　　)
A.vcos θ B.vsin θ
C. D.
3.(绳的关联速度)(2024·广西玉林高一联考期末)某建筑工地需要把货物提升到高处，采取图示装置，当工人沿水平地面向右做直线运动(保持手握绳的高度不变)，利用跨过定滑轮的轻绳将一物体A沿竖直方向匀速提升，在此过程中，下列结论正确的是(　　)
A.工人做匀速直线运动
B.工人做匀变速直线运动
C.工人受到的合外力方向水平向左
D.工人受到的合外力方向水平向右
4.(杆的关联速度)如图所示，细棒AB水平放置在地面，A端紧挨着墙面。现让棒的A端沿着墙面以速度v匀速上移，当AB与地面夹角为30°时，B端沿地面运动的速度大小为(　　)
A.v B.v
C.v D.v
培优提升一　关联速度问题
导学　提示　(1)不相等。船的位移x船大于车的位移x车＝l1－l2(如图)。
(2)不相等。船的速度大于车的速度。
(3)P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度(如图)。
(4)由v＝v船cos α得v船＝。
例1 BD　[小车沿绳子方向的速度等于A的速度，因绳子与水平方向的夹角为θ，根据平行四边形定则可知，物体A的速度vA＝ vcos θ，A错误，B正确；小车匀速向右运动时，因θ减小，则A的速度增大，所以A加速上升，那么绳子的拉力大于A的重力，C错误，D正确。]
训练1 vAsin θ　d
解析　将物块A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子的方向，在沿绳子方向的分速度等于B的速度。如图所示
在沿绳子方向的分速度为vAsin θ，
所以vB＝vAsin θ。
因滑轮至杆距离为d，根据几何关系可知，B物块在此过程中的位移
sB＝d。
例2 AC　[当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解，如图所示
沿杆方向两分速度大小相等，则vAcos θ＝vBsin θ，即vA＝vBtan θ；当θ＝45°时，可得vA＝vB，当θ＝60°时，可得vA＝vB，则vA>vB，故A、C正确。]
训练2 C　[设杆与水平面CD的夹角为θ，由几何关系可知sin θ＝＝，即θ＝30°，将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度v1和垂直杆转动的速度v2，由矢量三角形可知v1＝v0cos θ＝v0，而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为v0，故C正确。]
随堂对点自测
A　[将小船的运动沿绳子收缩方向和垂直绳子方向进行正交分解，如图
拉绳子的速度v等于船沿绳子收缩方向的分速度，由几何关系有v＝v绳＝v船cos θ，在小船靠岸的过程中，由于船的速度v船保持不变，θ不断变大，则拉绳的速度v不断减小，故A正确。]
2.D　[小猴子参与了沿软藤方向和垂直于软藤方向的两个分运动，两个分运动的合运动方向水平向右，根据平行四边形定则求出小猴子的合速度，即小猴子的水平速度。
如图，根据平行四边形定则得，合速度v合＝，所以小猴子的水平运动速度为，故选项D正确。]
3.C　[对工人的速度进行正交分解，分解为沿着绳子方向的速度和垂直于绳子方向的速度，如图所示
设绳与竖直方向的夹角为θ，工人沿着绳子的速度大小等于货物上升的速度大小，即v货＝vsin θ，夹角θ随着工人向右运动逐渐增大，则sin θ增大，又v货不变，则工人的速度v必须减小，因此可知工人在向右做变减速运动，故工人的加速度方向水平向左，合力水平向左，故C正确。]
4.C　[A、B两点速度沿杆方向的分速度相等，则vsin 30°＝vBcos 30°，则B端沿地面运动的速度大小为vB＝v，故C正确。](共48张PPT)
培优提升一　关联速度问题
第一章 抛体运动
1.能利用运动的合成与分解知识分析关联速度问题。2.掌握常见绳、杆关联模型特点。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，
绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。
(1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？
(2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，
哪个速度大？
(3)从运动的合成和分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？
(4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？
提示　(1)不相等。船的位移x船大于车的位移x车＝l1－l2(如图)。
(2)不相等。船的速度大于车的速度。
(3)P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度(如图)。
1.关联速度
用绳、杆(高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的)相牵连的物体或者直接接触的两物体，在运动过程中两物体的速度通常不同，但两物体的速度间存在某种联系，称为关联速度。
2.解决关联速度问题的一般步骤
第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图。
第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
3.常见的速度分解模型(如图)
BD
角度1　绳的关联速度
例1 (多选)(2024·四川省雅安市期末)如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，小车以速度v匀速向右运动，当小车运动到绳子与水平面夹角为θ时，下列关于物体A的说法正确的是(　　)
解析　小车沿绳子方向的速度等于A的速度，因绳子与水平方向的夹角为θ，根据平行四边形定则可知，物体A的速度vA＝ vcos θ，A错误，B正确；小车匀速向右运动时，因θ减小，则A的速度增大，所以A加速上升，那么绳子的拉力大于A的重力，C错误，D正确。
训练1 如图所示，穿在竖直杆上的物块A与放在水平桌面上的物块B用绳相连，O为定滑轮。将A由图示位置释放，当绳与水平方向夹角为θ时，A物块的速度大小为vA，则此时物块B的速度大小为________，若滑轮至杆距离为d，则B物块在此过程中的位移sB＝________。
解析　将物块A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子的方向，在沿绳子方向的分速度等于B的速度。如图所示
AC
角度2　杆的关联速度
例2 (多选)(2024·四川遂宁高一校考)如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是(　　)
A.当θ＝45°时，A、B两球速度大小相等
B.当θ＝60°时，A球速度的大小小于B球速度
C.vA＝vBtan θ
D.vA＝vBsin θ
解析　当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解，如图所示
C
训练2 (2024·广西柳州高一校考期中)2021年3月11日宁夏银川，一家餐厅后厨起火后，三名顾客被困。如图是火警设计的一种快捷让当事人逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高h，当BN＝2h时，则此时被救人员向B点运动的速率是(　　)
随堂对点自测
2
A
1.(绳的关联速度)用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边，如图所示。如果要保持船的速度不变，则岸上水平拉绳的速度(　　)
A.逐渐减小 B.逐渐增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
解析　将小船的运动沿绳子收缩方向和垂直绳子方向进行正交分解，如图拉绳子的速度v等于船沿绳子收缩方向的分速度，由几何关系有v＝v绳＝v船cos θ，在小船靠岸的过程中，由于船的速度v船保持不变，θ不断变大，则拉绳的速度v不断减小，故A正确。
D
2.(绳的关联速度)如图，在一棵大树下有张石凳子，上面水平摆放着一排香蕉。小猴子为了一次拿到更多的香蕉，它紧抓住软藤摆下，同时树上的老猴子向上拉动软藤的另一端，使得小猴子到达石凳子时保持身体水平向右方向运动。已知老猴子以恒定大小的速度v拉动软藤，当软藤与竖直方向成θ角时，则小猴子的水平运动速度大小为(　　)
解析　小猴子参与了沿软藤方向和垂直于软藤方向的两个分运动，两个分运动的合运动方向水平向右，根据平行四边形定则求出小猴子的合速度，即小猴子的水平速度。
C
3.(绳的关联速度)(2024·广西玉林高一联考期末)某建筑工地需要把货物提升到高处，采取图示装置，当工人沿水平地面向右做直线运动(保持手握绳的高度不变)，利用跨过定滑轮的轻绳将一物体A沿竖直方向匀速提升，在此过程中，下列结论正确的是(　　)
A.工人做匀速直线运动
B.工人做匀变速直线运动
C.工人受到的合外力方向水平向左
D.工人受到的合外力方向水平向右
解析　对工人的速度进行正交分解，分解为沿着绳子方向的速度和垂直于绳子方向的速度，如图所示设绳与竖直方向的夹角为θ，工人沿着绳子的速度大小等于货物上升的速度大小，即v货＝vsin θ，夹角θ随着工人向右运动逐渐增大，则sin θ增大，又v货不变，则工人的速度v必须减小，因此可知工人在向右做变减速运动，故工人的加速度方向水平向左，合力水平向左，故C正确。
C
4.(杆的关联速度)如图所示，细棒AB水平放置在地面，A端紧挨着墙面。现让棒的A端沿着墙面以速度v匀速上移，当AB与地面夹角为30°时，B端沿地面运动的速度大小为(　　)
课后巩固训练
3
A
题组1　绳的关联速度
1.如图，汽车甲用绳以速度v1拉着汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，则此时甲、乙两车的速度之比为(　　)
A.cos α∶1 B.1∶cos α
C.sin α∶1 D.1∶sin α
对点题组练
解析　将汽车乙的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向，如图，沿绳方向的分速度等于汽车甲的速度，所以v2cos α＝v1，则甲、乙两车的速度之比为cos α∶1。故A正确。
B
2.如图所示，图甲为吊威亚表演者的照片，图乙为其简化示意图。工作人员A以速度v沿直线水平向左轻拉绳，此时绳与水平方向的夹角为θ，此时表演者B速度大小为(　　)
解析　根据关联速度分解可得vB＝vcos θ，故B正确。
C
3. (2024·广西玉林高一校考)利用定滑轮向高层建筑里运送货物是常用的一种运输手段。如图，小车利用光滑定滑轮提升一箱货物，假设小车向左做匀速直线运动，当货物提升到图示的位置时，货物速度为v，此时缆绳与水平方向夹角为θ，不计一切摩擦，下列说法正确的是(　　)
A.货车的速度等于vcos θ
B.货车的速度等于vsin θ
C.缆绳对货物的拉力大于货物的重力
D.货车对路面的压力等于货车的重力
BD
4.(多选)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角为θ2时(如图)，下列判断正确的是(　　)
A.P的速率为v B.P的速率为vcos θ2
C.绳的拉力等于mgsin θ1 D.绳的拉力大于mgsin θ1
解析　将小车的速度v进行分解如图所示，则vP＝vcos θ2，故A错误，B正确；小车向右运动，θ2减小，v不变，则vP逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，由牛顿第二定律有F－mgsin θ1＝ma，可知绳子对A的拉力F＞mgsin θ1，故C错误，D正确。
C
5.(2024·玉溪高一检测)如图所示，重物沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为(　　)
解析　将重物的速度按沿绳和垂直于绳两个方向分解，如图所示，可得绳子速率为v绳＝vcos θ；而绳子速率等于小车的速率，所以小车的速率为v车＝v绳＝v cos θ，故C正确。
D
6.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B(可视为质点)，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA＝10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为(　　)
C
题组2　杆的关联速度
7.一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，
B球的速度大小为v2，则(　　)
B
8.如图所示，“∠”形光滑硬杆固定在竖直平面内，∠P＝60°，底边水平。均可视为质点的带孔小球甲、乙间用轻质细杆相连，分别套在“∠”形杆上的A、C点，开始时两球在同一竖直线上处于静止状态，某时刻给乙一个轻微扰动使它们开始运动，当甲运动到B点时，速度大小为v，轻质细杆与水平方向的夹角为60°，则此时乙球的速度大小为(　　)
解析　当甲运动到B点时，速度大小为v，轻质细杆与水平方向的夹角为60°，设此时乙球的速度大小为v乙，根据甲、乙沿杆方向的分速度相同则vcos 60°＝v乙cos 60°，解得v乙＝v，故B正确。
B
9.甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是(　　)
D
综合提升练
10.(2024·广西钦州高一校考)如图所示，人用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A，人以速度v0向左匀速拉绳，某一时刻，定滑轮右侧绳与竖直杆的夹角为θ，左侧绳与水平面的夹角为α，此时物块A的速度v1为(　　)
B
11.(2024·重庆沙坪坝高一考试)如图所示，悬点O下方固定一光滑小圆环，水平光滑细长杆左端套有一小物块Q。现用一轻质细绳跨过小圆环，细绳一端连接物块Q，另一端悬挂一物块P。现将P、Q由静止释放，当细绳左边部分与水平方向的夹角为θ时，下列说法正确的是(　　)
C
12.如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
B
13.如图所示，一轻杆两端分别固定着质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成θ角时，A球沿槽下滑的速度为vA，则此时B球的速度大小为(　　)
14.(多选)如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为v0，半圆柱面上搁着只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，下列说法正确的是(　　)
A.竖直杆向下做加速直线运动
B.竖直杆向下做减速直线运动
C.杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，v0∶v杆＝tan θ∶1
D.杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，v0∶v杆＝1∶tan θ
AD
解析　杆和半圆柱体时刻保持接触，则在垂直接触点切线方向速度应时刻保持相等，将v0和v杆沿接触点切线方向和垂直接触点切线方向进行分解，根据垂直接触点切线方向的速度大小相等有v0sin θ＝v杆cos θ，可得v杆＝v0tan θ，即v0∶v杆＝1∶tan θ，C错误，D正确；杆向下运动，θ角变大，tan θ变大，v杆变大，杆做加速运动，A正确，B错误。

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