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(共55张PPT)
2025年数学中考复习
难点5 线段最值问题
考点专项复习
聚焦 难点
类型一
壹
1.利用“垂线段最短”求最小值
(1)模型一:垂线段最短———直接运用
图形 转化
直线L外有一定点A,点B为直线l上的一个动点，求AB的最小值. 过定点A作AB l.
图形 转化
点A是直线l 上的动点，B,P是定点，AB⊥l ,求PA+AB的最小值. 作点P关于直线l 的对称点P',则P'B为PA+AB的最小值.
图形 转化
点A是直线l上的定点，点B是直线l外的定点，点P是直线l上的动点，求 AP+BP最小值。 过点A作∠PAC,使
得sin∠PAC=,作BD⊥AC,交直线于点
P',则BD为AP+BP最小值。
(2)模型二:垂线段最短———变形运用之“胡不归”问题型
图形 转化
点A,B为定点，P为直线l上的一个动点，求PA+PB的最小值. 作其中一个定点(如点B)关于直线l的对称点(点B),连接对称点(点B)和另一定点(点A),AB'为最小值.
2.利用“两点之间线段最短”求线段和最小值
(1)模型三:“将军饮马”模型(利用“轴对称”解题)
图形 转化
点P为定点，M,N分别为直线OA,OB上的动点，求△PMN周长的最小值. 分别作点P关于直线OA,OB的对称点P',P",P'P"为△PMN周长的最小值.
图形 转化
点P,Q为定点，M,N分别为直线OA,OB上的动点，求作点M,N使四边形PQMN周长最小. 分别作点P,Q关于直线OA,OB的对称点P',Q',连接P'Q'分别交OA,OB于点M,N.
(2)模型四:“造桥选址”模型(利用“平移”解题)
图形 转化
在直线l上求作点M,N,使得MN=a,并且AM+MN+BN的值最小. 将点A向右平移a个单位长度得A',作点A'关于直线l的对称点A",连接A"B,交直线l于点N,将点N向左平移a个单位长度得M.
3.利用“三角形三边关系”求线段最值模型五:“三角形两边之差小于第三边”求线段差的最大值
图形 转化
点A,B为定点，P为直线l上的一个动点，求|PA-PB|的最大值。 作其中一个定点(如点B)关于直线l的对称点(点B'),连接对称点(点B')和另一定点(点A),AB'为最大值。
图形 转化
P是圆上一动点，A为圆外一定点，求AP的最大值和最小值. 如图，过点A,O作直线交圆于点B,C.当P点与C点重合时，AC为最B大值；当P点与B点重合时，AB为最小值.
4.在圆中求线段的最值 模型六
图形 转化
P为圆内一定点，求过点P的弦的最小值与最大值. OP AB时，过点P的弦的最小值为线段AB,弦的最大值为圆的直径。
类型二
贰
例1 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点(8,0),点为轴正半轴上一动点，连接,以为边在下方作等边三角形,连接,则的最小值为 .
【解析】如图所示，以为对称轴，构造等边三角形,作直线,交轴于点,
为对称，.
.,都是等边三角
,,.
.
针对练习1 (2023·南京)已知在中,
.点上的动点,点上的动点,则线段的最小值是 .
类型三
叁
例2 如图所示，在边长为4的正方形中将沿射线平移，得到,连接、.求的最小值为 .
针对练习2 (2023·兰州)如图所示，在四边形中，,,在,上分别找一点,,当周长最小时，的度数为( B )
A. B.
C. D.
类型肆
肆
例3 (2022·怀化)如图所示,在矩形为对角线的中点,点边上,且边上,连接的最大值为 .
针对练习3(2022·广州)如图所示,直线的图像交于两点,已知点的坐标为(6,1),的面积为8.
(1)求的值与点的坐标;
(2)动点轴上运动,当线段之差最大时,求点的坐标.
答案
答案
类型伍
伍
例4 如图所示，在中，,,,点是的中点，点是斜边上任意一点，连接,将沿对折得到,连接,则周长的最小值是 .
针对练习4 (2022·厦门)如图所示,的弦,
是上的一个动点,且.若点的中点,则长的最大值是 .
靶向专练：类型一
壹
1.(2024·江门)一次折纸实践活动中,小王同学准备了一张边长为4(单位:dm)的正方形纸片,他在边上分别取点,使,又在线段上任取一点(点可与端点重合),再将所在直线折叠得到,随后连接,小王同学通过多次实践得到以下结论:
①当点上运动时,点为圆心的圆弧上运动;
②当达到最大值时,到直线的距离达到最大;
③的最小值为;
④达到最小值时,.
你认为小王同学得到的结论正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2022·齐齐哈尔)如图,在为线段上的一动点,连接.则的最小值为 .
3.如图所示，在矩形中，,,点是的中点，点是上的动点，点是的中点，连接,则长的最小值为 .
靶向专练：类型二
贰
1.(2024·大同)如图,已知,点内部一点,点、点上的两个动点,当的周长最小时,则 80° .
2.(2022,个旧)如图所示,矩形分别是上的动点,∥,则的最小值是10 .
3.(2024·温州)如图所示，一个风筝的框架为菱形,cm,,为了使框架更结实，需要把对角线上一点分别与点和用竹篾固定，其中，为边的中点.同样，另外一侧也需要这样固定，则固定该风筝需要竹篾最短为 cm(连接处的竹篾不计长度).
4.(2023·兰州)问题提出
(1)如图1所示，已知点为线段上一动点，分别过点,作,,连接,.若,,,则的最小值为 .
问题解决
(2)如图2所示，某公园规划修建一块形如四边形的牡丹园，其中,,,m,,
在的内心处修建一个圆形喷水池，公园的入口是的中点，是一条观赏小道，其余部分种植牡丹，现需要在边上取点,上找点,修建道路,,.为了节省成本，需要使修建的道路最短，即的值最小，是否存在这样的点,,使得的值最小 若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由.
4.(1)6;(2)见解析.[解析](1)如图1所示，连接,过作交的延长线于点,,,,,是矩形，,,,,,、、在同一直线上时，由“两点之间，线段最短”可得：的最小值为的长度，中，,,的最小值为.
答案
答案
答案
靶向专练：类型三
叁
1.(2023·黄山)如图,在平面直角坐标系中,矩形的边.若不改变矩形的形状和大小,当矩形顶点轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点轴的正半轴上随之上下移动.当点移动到某一位置时,点的距离有最大值,则此时点的横坐标
为 .
2.(2023·宁波)如图所示，线段与相交于点,,,,则的最小值是( C )
A.2 B.5 C.2 D.
3.(2022·陕西西安)如图所示，在菱形中，,对角线、交于点,,点为的中点，点为上一点，且,点为上一动点，连接、,则||的最大值为 .
2
靶向专练：类型肆
肆
1.如图所示，直线与坐标轴交于,两点，点为坐标平面内一点，,点为线段的中点，连接,则线段的最小值是( )
B
A.+ B.- C.1 D.
2.(2024·衢州)如图,动点在边长为2的正方形内,且,边上的一个动点,边的中点,则线段的最小值为（C）
A.+1 B.+1 C. -1 D.
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