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名师专版 2025年中考全真模拟试题（一）数学试卷
（满分120分考试 时间：120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．-2
2．如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，的度数为（ ）
A．122° B．68° C．58° D．32°
5．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列事件属于不可能事件的是（ ）
A．守株待兔 B．水中捞月 C．打草惊蛇 D．水到渠成
7．明代时，1斤两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有x两，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D，E，连接．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．点D为弦的中点 D．点E为劣弧的中点
9．某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8橾桂花，如图所示．若A、B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x、y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示是拋物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数n的值可以是________．（写出一个即可）
12．为弘扬我国传统文化，我校准备从春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涌，那么春节和端午节刚好被选中的棈率是________．
13．化简：________．
14．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．张欢同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（单位：cm）是时间t（单位：min）的一次函数，表中是张欢记录的部分数据，当t为20min时，对应的高度h为________cm．
t/min … 1 2 3 …
h/cm … 2 2.3 2.6 …
15．已知：如图，正方形的边长为，E点是正方形的边上的一点，与对角线相交于点F，若．则的度数是________；的长为________．
三、解答题（共9小题，共75分）
16．（本题满分6分）计算：．
17．（本题满分6分）如图，在中，点E，F分别在，上，且，，相交于点O，求证：．
18．（本题满分6分）某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，如图所示，两名同学分别站在相距70米的水平线上点A和点D处，另有两名同学分别站在湖的两端点B和点E处，，均垂直于，且测得，．
（1）如图1，请计算人工湖两端点B，E之间的距离；（结果保留根号）
（2）如果最后一名同学所站的点C处恰好到点B和点E距离相等，如图2．请计算C，A两点间的距离．
19．（本题满分8分）某校举行国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如下．
甲组学生的成绩：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
根据以上信息．整理分析数据如下．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 b 6 2.6
乙组 a 7 c 2
（1）求a的值；
（2）填空：________，________．
（3）若从甲、乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
20．（本题满分8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．
（1）求一次函数的表达式和m值；
（2）请根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，求S的最大值．
21．（本题满分8分）如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
22．（本题满分10分）某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级的篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高2.1m，与篮圈中心的水平距离为9m，当球出手后水平距离为5m时到达最大高度4.6m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式；
（2）问甲投出的这个球能否准确命中；
（3）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为2.8m，那么他能否获得成功？
23．（本题满分11分）点E是正方形所在平面内一点．
（1）如图1，若E为边上一点，F为延长线上一点，且，求证：；
（2）在（1）的条件下，连接，延长交于点G，G恰好是的中点．如果求的长；
（3）如图2，若点E在边下方，当时，过点A作的垂线交的延长线于点P，请探究的值，并证明．
24．（本题满分12分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）连接，当时，求t的值；
（3）设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S，
①求S关于t的函数解析式；
②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况．
名师专版·2025年中考全真模拟试题（一）数学试卷
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．D 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．5（答案为不唯一，1到8的正整数均正确）．
12．． 13．． 14．7.7 15．30°；．
三、解答题（共9小题）
16．（本题满分6分）
解：原式．
17．（本题满分6分）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，∴，
∵，∴，且，，
∴，∴．
【其他证法，如证明四边形是平行四边形，只要方法正确，都得分．】
18．（本题满分6分，每小题3分）
解：（1）过点E作于F．
则，，∴．
∴，由勾股定理可得：．
（2）设，则．由题意可得：，
∵，∴，
∴，解得，∴．
19．（本题满分8分，第1问2分，第2问4分，第3问2分）
解：（1）乙组数据平均数，∴；
（2）根据题意得：甲组位于正中间的两个数均为6，∴；
乙组中出现次数最多的是7，∴．故答案为：6，7；
（3）根据题意得：两组的平均数相同，乙组的中位数，众数均高于甲组，且乙组的方差小于甲组的，∴乙组的成绩较好，∴选乙组．
20．（本题满分8分，第1问2分，第2问3分，第3问3分）
解：（1）由条件可知：，解得，∴一次函数解析式是，在一次函数的图象上，∴，∴，
（2）由（1）得点，
由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和，则不等式的解集为：或；
（3）设，，
∴，
∵且，∴当时，S有最大值，且最大值是2．
21．（本题满分8分，每小题4分）
（1）证明：连接，由条件可知，
∵C是的中点，∴，∴．
∴，∴．
∵，∴．
∵是的半径，∴是的切线；
（2）解：连接，过作，垂足为F，则．
∵则四边形是矩形．∴．
∵，∴，∴，∴．
∴．
22．（本题满分10分，第1问4分，第2问3分，第3问3分）
（1）解：根据题意，球出手点的坐标，最高点即顶点坐标是，设二次函数解析式为，将代入得：
，解得：，∴；
（2）一定能投中；理由如下：将代入抛物线解析式，
∵篮圈中心的坐标是，∴一定能投中；
（3）盖帽不能获得成功；理由如下：将代入得，
∵，即乙的最大摸高没有超过此时球的运行高度，∴盖帽不能获得成功．
23．（本题满分11分，第1问3分，第2问4分，第3问4分）
解：（1），理由：
∵四边形是正方形，∴，，
在和中，，∴，∴；
（2）∵，∴．
∵，∴，∴，∴．
∵，，∴．
∵，∴．∴．
∴，∴．
（3）．理由：设，交于G．
∵，，∴，
设，，
∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，，
∴，即：．
24．（本题满分12分，每小问3分）
解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，∴，∴，∴该二次函数的解析式为；
（2）∵，，∴，∴．
∵，∴，∴，
∵，∴．如图，
∴点P的纵坐标为4，∴，∴或，∴，∴．
（3）①令，则，∴或，∴，∴．
当点P在的上方时，即，，
过点P作于点D，如图，
则，，∴，
∴
．
当点P在的下方时，即，，
过点P作于点E，如图，则，
∴．
综上，S关于t的函数解析式为；
②当时，，
∵，∴当时，S有最大值为16，∴．
当时，，∴．
画出函数的大致图象如图：
由图象可知：当时，存在3个符合条件的点P；当时，存在2个符合条件的点P；当时，存在1个符合条件的点P．

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