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黑龙江省大庆一中 2024-2025 学年高一下学期开学数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个函数中，与 = 2 表示同一个函数的是( )
2 2 3
A. = 2| | B. = √ 4 2 C. = D. = √8 3

2.若 < < 0，则下列不等式成立的是( )
1 1 1 1
A. < B. < 2 C. > D. 2 >

3.已知命题 ： ∈ ， 2 + 2 + 5 > 0的否定是真命题的一个充分不必要条件是( )
1 1 1
A. < B. ≤ 1 C. ≤ D. ≥
5 5 5
4.若角 的终边经过点 (1,3)，则 + cos2 =( )
6 2 2 6
A. B. C. D.
5 5 5 5
5.已知点( , 27)在幂函数 ( ) = ( 2) ( , ∈ )的图象上，则 + =( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.已知 ( )是定义在 上的偶函数，且 ( )在[ 1,0]上单调递增，设 = ( log32)， = (ln√ )， = (1)，
则 ， ， 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <

7.将函数 ( ) = sin(2 )的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象关于 轴对称，则 的值可以为( )
6

A. B. C. D.
2 6 3 2
8.已知函数 ( ) = 2 2| | + 1有四个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
A. (0,1) B. ( 1,0) C. (1,2) D. ( 2, 1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = ln(√ 2 + 1 + ) + + 1.则下列说法正确的是( )
1
A. ( 3) + (lg ) = 2
3
B. 函数 ( )的图象关于点(0,1)对称
C. 函数 ( )在定义域上单调递减
D. 若实数 ， 满足 ( ) + ( ) > 2，则 + > 2
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10.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, < < )的部分图象如图所
2 2
示，则( )
A. ( )的最小正周期为
1 1
B. 当 ∈ [0, ]时， ( )的值域为[ , ]
2 2 2

C. 将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度可得函数 ( ) = 2 的图象
6
5
D. 将函数 ( )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点( , 0)对称
6
2 + 4 , ≥ 0
11.已知函数 ( ) = { ，函数 ( ) = ( ( )) ，则下列结论正确的是( ) + 2, < 0
A. 若 = 0，则 ( ( )) = 0 B. 若 ( ( )) = 0，则 = 0
C. 若 = 4，则 ( )有3个零点 D. 若3 < < 4，则 ( )有5个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设方程 2 + + = 0的两根是 21， 2，若不等式 + < 0的解集是{ | 3 < < 2}，则
3 3
1 + 2
的值是______．
1 2
13.已知sin( + ) = ，则cos( 2 )的值为______．
6 3 3
14.已知函数 ( ) = + + 1 | |，则不等式 ( + 1) > (2 1)解集为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)计算：4 23
5 1
+ 8 lg + 25 lg( ) 3 ln√ 31 ；
16 2
2
1 1 3 3
(2)已知 +
+ +3
2 2 = 3，求 1 的值． + 2
16.(本小题15分)
3
sin( + )cos( )tan( )
已知 ( ) = 2 2 ．
cos( )sin( + )
(1)化简函数 ( )；
+2
(2)若 ( ) = 3，求 ．
2 cos
17.(本小题15分)

已知函数 ( ) = 2是定义在[ 1,1]上的奇函数，且 (1) = 1． 1+
(1)求函数 ( )的解析式；
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(2)判断函数 ( )在[ 1,1]上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式 (2 ) + ( 1) > 0．
18.(本小题17分)

已知函数 ( ) = sin(2 + ) + sin(2 ) + 2 2 1, ∈ ．
3 3
(1)求函数 ( )的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程；
(2)解关于 的不等式 ( ) ≥ 1；
3
(3)将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度后得到 ( )的图象，求函数 = ( ) + 2 在[0, ]上的值域．
8 2
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = (2 2 + 1) + ， ∈ ．
(1)若 ( )是偶函数，求实数 的值；
2
(2)当 > 0时，不等式 ( + √ 3 ) (4 + ) ≥ 0对任意的 ∈ [ , ]恒成立，求实数 的取值范围；
3 3
(3)当 > 0时，关于 的方程 [ ( ) (1 + ) 4(2
1)] = 1在区间[1,2]上恰有两个不同的实数解，
求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】19
7
13.【答案】
9
1 1
14.【答案】(0, ) ∪ ( , 2)
2 2
16
16 3 ×25 3
15.【答案】解：(1)原式= 22 23 28 + lg + 25 8 2 = 9 3 + lg(
5 ) = 6 + 10
5 8 2
3 3 11
= 6 + 1 = ；
2 2 2
1 1
(2)因为 2 + 2 = 3，
1 1
则 + 1 = ( 2 + 2)2 2 = 7， 2 + 2 = ( + 1)2 2 = 47，
3+ 3+3 ( + 1)( 2+ 2 1)+3
所以
+ 1
= 1 = 65． 2 + 2
3
sin( + )cos( )tan( )
16.【答案】解：(1) ( ) = 2 2
cos( )sin( + )
( )( )
=
( )( )
= ；
(2)若 ( ) = = 3，
+2 +2 3+2
则 = = = 1．
2 cos 2 1 2×3 1
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17.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2是定义在[ 1,1]上的奇函数， 1+

( ) =
1+ 2
= 2 = ( )， 1+
则 = + ，

解得 = 0， ( ) = ，
1+ 2
1
而 (1) = = 1，解得 = 2，
2
2
∴ ( ) = 2， ∈ [ 1,1]． 1+
2
(2)函数 ( ) = 2在[ 1,1]上为减函数，证明如下： 1+
任取 1， 2 ∈ [ 1,1]，且 1 < 2，
因为 1 ≤ 1 < 2 ≤ 1，所以 1 2 < 0，1 1 2 > 0，
2 2 2( )(1 )
则 ( 1) (
1 2 1 2 1 2
2) = +1+ 2 1+ 2
= > 0，
1 2 (1+
2
1)(1+
2
2)
即 ( 1) > ( 2)，所以函数 ( )在[ 1,1]上为减函数．
(3)由题意，不等式 ( 1) + (2 ) > 0可化为 (2 ) > (1 )，
1 ≤ 2 ≤ 1
1 1
所以{ 1 ≤ 1 ≤ 1，解得0 ≤ < ，所以该不等式的解集为[0, )．
3 3
2 < 1

18.【答案】解：(1) ( ) = sin(2 + ) + sin(2 ) + 2 2 1
3 3

= 2 + 2 + 2 2 + 2
3 3 3 3

= 2 + 2 = √ 2sin(2 + )，
4
2
函数 ( )的最小正周期 = = ．

3
令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 , ∈ ，解得 + ≤ ≤ + , ∈ ，
2 4 2 8 8
3
所以函数 ( )的单调递增区间为[ + , + ], ∈ ．
8 8

令2 + = + , ∈ ，解得 = + ( ∈ )．
4 2 2 8

所以 ( )的对称轴方程为 = + ( ∈ )．
2 8
√ 2
(2) ( ) ≥ 1即√ 2sin(2 + ) ≥ 1, sin(2 + ) ≥ ，
4 4 2
3
所以 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 , ∈ ，解得 ∈ [ , + ], ∈ ．
4 4 4 4
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3
(3)由题知 ( ) = √ 2sin[2( ) + ] = √ 2sin(2 ) = √ 2 2 ，
8 4 2
则 = √ 2 2 + 2 = √ 2(2 2 1) + 2
= 2√ 2cos2 + 2 + √ 2，
√ 2 5√ 2
令 = ∈ [0,1]，则 = 2√ 2 2 + 2 + √ 2 = 2√ 2( )2 + ，
4 4
√ 2 5√ 2
当 = 时， = ；当 = 1时， = 2 √ 2． 4 4
5√ 2
综上可知所求值域为[2 √ 2, ]．
4
19.【答案】解：(1)根据题意，若 ( )是偶函数，则 ( ) = ( )，
则有log (2 2 + 1) + ( ) = log (2

2 + 1) + ，变形可得2 = log2(2
+ 1) log 2(2 + 1) = ，
1
解可得 = ，
2
1
故 = ；
2
(2)当 > 0时，函数 = log (2 2 + 1)和函数 = 都是增函数，则函数 ( ) = log2(2
+ 1) + 为增函数，
2
∵不等式 ( + √ 3 ) (4 + ) ≥ 0，所以 ( + √ 3 ) ≥ (4 + )对任意的 ∈ [ , ]恒成立
3 3
2
∴ + √ 3 ≥ 4 + ，∴ ≤ 2 ( + ) 4对任意的 ∈ [ , ]恒成立；
3 3 3
2
∴ ≤ (2 ( + ) 4) ， ∈ [ , ]； 3 3 3
2 2
由 ∈ [ , ]，得 + ∈ [ , ]，∴当 = 时，sin( + ) 4的最小值为 √ 3 4；
3 3 3 3 3 3 3
∴ ≤ √ 3 4；
故 的取值范围为( ∞, √ 3 4].
(3)根据题意，函数 ( ) = log (2 2 + 1) + ，有 (0) = 1，
则 [ ( ) (1 + ) 1 4(2 1)] = 1即 [ ( ) (1 + ) 1 4(2
1)] = (0)．
又由当 > 0时，函数 ( ) = log 2(2 + 1) + 为增函数，则有 ( ) (1 + ) 1 4(2
1) = 0，
即log 2(2 + 1) 1

4(2 1) = ，
2
(2 +1)
变形可得：1 4 2
= ，
1
2(2 +1)
设 ( ) = 1 4 2
，
1
若方程 [ ( ) (1 + ) 1 (2 4 1)] = 1在区间[1,2]上恰有两个不同的实数解，则函数 ( )的图象与
= 有2个交点，
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2 2
(2 +1) (2 +1)
对于 ( ) = 1 4 ，设 ( ) = ， 2 1 2 1
[(2
2
1)+2] 4
则 ( ) = = (2 1) + + 4．
2 1 2 1
又由1 ≤ ≤ 2，则1 ≤ 2 1 ≤ 3，则 ( ) = 8，
25
(1) = 9， (2) = ，则 ( )
3
= 9，
3 25
若函数 ( )的图象与 = 有2个交点，必有log48 = < ≤ log2 4 ， 3
3 25
故 的取值范围为( , log ].
2 4 3
第 7 页，共 7 页

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