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业精于勤，荒于嬉
河 南 省 202 5 年 普通 高等 学校对 口招收 中等 职业学 校 A. m 2 B. m 8 C. 2 m 8 D. 2 m 8且m 5
10. 2016 年联合国教科文组织将二十四节气纳入非物质文化遗产，春季节气有“谷雨、清明、
○ 毕 业生 考试试 卷
春分、惊蛰、雨水、立春”共六个，如果小明同学将以上 6 个节气按时间顺序进行排列，他
数 学
○
一、 选择题（每小题 3 分，共 30 分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号 一次排列正确的的概率是（ ）
1 1 1 5
密
○ 填写在题后的括号内） A. B. C. D. A6 6 6 366 C6
1. 设集合 A= x x2 2x = 0 ，集合 B = x 4 2x = 0 ，则集合 A∩B =（ ） 二、 填空题（每小题 3 分，共 24 分）
○
封 A. 1 B. 2 C. D. 11. 若复数1， 2 z = (2+ i)(1+ i)，则 z = _________.
○
2. 设 x y，则下列说法正确的是（ ） 12. 函数 f (x) = 2x +3的值域是_________.
线 x y○
A. x2 y2 B. 2x y
1 1 2x + 3， x 0
2 C. x y D. 13. 若函数 f (x) = ，则 f f (x 1) = _________. 密 2 2 x + 2， x≤0
○
封 3. 在四边形 ABCD 中，如果向量 AD = 3BC ，那么四边形 ABCD是（ ） 14. 若向量 AB = (1， 1)， BC = (a， 2)，当 AB ⊥ BC ，则a =_________.
内
○
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
装 15. 若直线 l1 : x +my + 2 = 0与 l2 : (2m 5)x +3y +1= 0垂直，则m= _________.
○ 4. 计算 lg2+ lg5+ lg1=（ ）
y2
不 订 16. 已知双曲线 x
2 =1 (b 0)的渐近线方程是 y = 2x ，则b = _________.
A. 0 B. lg7 C. 1 D. lg8 b2
○
线 17. 把一个高12cm 的三棱锥形容器灌满水，倒进一个与它底面积相等，高度相等的直三棱柱形5. 已知角 满足 2sin = cos ，则 tan(2 + ) =（ ）
○ 容器中，此时水面的高度是_________ cm .
要 1 1
A. 2 B. 2 C. D.
2 2 5
1
○ 18. 2 x 的展开式中，二项式系数之和是_________.
2 2
6. 圆 (x 1) + ( y + 2) = 4 与直线 4x 3y 10 = 0的位置关系是（ ） x
答
○ A.相切 B.相离 C.相交且经过圆心 D.相交且不经过圆心 三、 解答题（每小题 8 分，共 24 分）
2
7. 在等比数列 a 中，若 a1 + a2 + a3 =1， a4 + a + a = 3，则 a + a 19. 求函数 f (x) = x 2x 3 + log2 (x 2)的定义域. ○ n 5 6 7 8
+ a9 =（ ）
题 A. 5 B. 9 C. 14 D.27
○
8. 在 ABC 中，“ sin A sin B ”是“ A B ”的（ ）
○ A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要
x2 y2
9. 若方程 + =1表示椭圆，则 m的取值范围是（ ）
○ m 2 8 m
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学校：________________ 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________
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行成于思，毁于随
20. 在 ABC 中，三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c ，三条边满足 a2 + c2 b2 = ac . 23. 如图所示，长方体 ABCD A 'B 'C 'D ' 中，O为底面 ABCD的中心，连接D 'O， A 'C '， A 'B， BC '，
（1）求 B； 求证： D 'O∥平面 A 'C 'B . ○
（2）若 a =1，b = 3 ，求 ABC 的面积. D' C'
○
A' 密B' ○
○
D C 封
○
O
a A B
21. 已知数列 a 中， a1 =1， a
n
n n+1
= .
2a 线n +1 ○
五、 综合题（共 10 分） 密
（1）求 a1， a2， a3 ；
○
24. 已知函数 f (x) = log2 (x2 ax + 4) .
封
1 内
（2）求数列 的通项公式.
a （1）判断是否存在实数 a使得函数 f (x)为偶函数，如果存在，求出 a的值和函数的值域，如
○
n
装
果不存在，请说明理由. ○
订 不
（2）若函数 y = f (x +1)的定义域为R ，求 a的取值范围. ○
线
○
要
○
四、 证明题（每小题 6 分，共 12 分）
答
22. 已知直线 y = x +1和圆 x2 + y2
○
4x = 0，求证：直线与圆相离.
○
题
○
○
○
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/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /河南省2025年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试
数 学
一、选择题
1.
【解析】对于集合，解方程，即，可得或，所以.对于集合，解方程，得，所以.那么.
2.
【解析】指数函数在上单调递增，当时，根据单调性可得.
A选项，当，时，，，此时；
C选项，当，时，，，；
D选项，指数函数在上单调递减，当时，.
3.
【解析】由可得：
平行关系：向量与平行，即.
长度关系：，也就是.
根据梯形的定义，一组对边平行且不相等的四边形是梯形，所以四边形ABCD是梯形.
而菱形需四条边相等，矩形要有四个直角且对边相等，正方形要求四条边相等且四个角为直角，题中条件均不满足，所以不是菱形、矩形、正方形.
4.
【解析】根据对数运算法则，，
所以.
5.
【解析】由，可得.根据诱导公式，
所以.
6.
【解析】圆的圆心坐标为，半径.
根据点到直线的距离公式，
则圆心到直线的距离.
因为，所以直线与圆相切且经过圆心.
7.
【解析】设等比数列的公比为，则.
已知，，所以.
那么.
8.
【解析】在中，根据正弦定理，可得等价于.
在三角形中，大边对大角，所以等价于，
故“”是“”的充要条件.
9.
【解析】方程表示椭圆，则需满足，解得；
解得；解得.所以的取值范围是且.
10.
【解析】个节气全排列的总情况数为种，而一次排列正确的情况只有种，
所以一次排列正确的概率是.
二、填空题
11.
【解析】先化简复数.
复数的模（），所以.
12.
【解析】因为指数函数的值域是，所以的值域是.
13.
【解析】本题考查分段函数的求值问题.
当时：
，所以
；
当时：
，所以
.
综上.
14.
【解析】因为，所以.
已知，，则，即，解得.
15.
【解析】若两直线与垂直，则.
对于直线与，
有，即，，解得.
16.
【解析】对于双曲线，其渐近线方程为.
已知渐近线方程是，所以.
17.4
【解析】已知三棱锥形容器高，根据三棱锥体积公式，水的体积.
将水倒入直三棱柱形容器中，设水面高度为，根据直三棱柱体积公式，
由于水的体积不变，则，等式两边同时除以，可得.
18.32
【解析】对于二项式，其展开式的二项式系数之和为.
所以的展开式中，二项式系数之和是.
三、解答题
19.答案：
【解析】要使函数有意义，则.
解不等式，即，解得或；
解不等式，得.取交集得，所以函数的定义域为.
20.答案：（1）；（2）
【解析】
（1）已知，根据余弦定理，
将代入可得. 因为，所以.
（2）由正弦定理，已知，，，
则.
因为，所以，，那么.
所以的面积.
21.答案：（1），，；（2）.
【解析】
（1）求，，
已知，数列的递推公式为.
将，代入递推公式，可得.
将，代入递推公式，可得.
所以，，.
（2）求数列的通项公式
对两边同时取倒数，可得：
即.
又因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
根据等差数列通项公式（其中为第项的数值，为首项，为项数，为公差），可得数列的通项公式为：
.
四、证明题
22.证明：将圆化为标准方程，
圆心坐标为，半径.
根据点到直线的距离公式，
则圆心到直线，即的距离.
因为，即，所以直线与圆相离.
23.证明：连接交于，连接，连接.
为长方体，
，
四边形为平行四边形，
又为中点，为中点，
，
四边形是平行四边形，则
，，
平面.
五、综合题
答案：（1）存在使函数为偶函数，此时函数的值域是.
（2）.
【解析】
（1）若函数为偶函数，则恒成立.
即，根据对数函数性质可得，化简得对任意恒成立，所以.
此时，因为，所以.又因为对数函数在上单调递增，，所以，函数的值域是.
（2）因为函数的定义域为，所以恒成立.
则二次函数的图像恒在轴上方，即.
展开得，即，因式分解得，解得.河南省 2025 年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试
数 学
一、选择题
1. B
【解析】对于集合 A，解方程 x2 2x = 0，即 x(x 2) = 0，可得 x = 0 或 x = 2 ，所以 A ={0,2} .
对于集合 B ，解方程 4 2x = 0 ，得 x = 2 ，所以 B ={2} .那么 A∩B ={2} .
2. B
【解析】指数函数 y = 2x 在 R 上单调递增，当 x y时，根据单调性可得 2x 2y .
A 选项，当 x =1， y = 2时， x2 =1， y2 = 4 ，此时 x2 y2 ；
C 选项，当 x =1， y = 2时， | x |=1， | y |= 2， | x | | y | ；
1 1
D 选项，指数函数 y = ( )x 在 R 上单调递减，当 x y时， ( )x
1
( ) y .
2 2 2
3. A
【解析】由 AD = 3BC 可得：
平行关系：向量 AD 与 BC 平行，即 AD∥BC .
长度关系： | AD |= 3| BC | ，也就是 AD BC .
根据梯形的定义，一组对边平行且不相等的四边形是梯形，所以四边形 ABCD 是梯形.
而菱形需四条边相等，矩形要有四个直角且对边相等，正方形要求四条边相等且四个角为直
角，题中条件均不满足，所以不是菱形、矩形、正方形.
4. C
【解析】根据对数运算法则 lgM + lg N = lg(MN )， lg1= 0 ，
所以 lg2+ lg5+ lg1= lg(2 5)+ lg1= lg10+ 0 =1 .
5. D
sin 1
【解析】由 2sin = cos ，可得 tan = = .根据诱导公式 tan(2 + ) = tan ，
cos 2
1
所以 tan(2 + ) = .
2
6. C
【解析】圆 (x 1)2 + (y + 2)2 = 4的圆心坐标为 (1, 2) ，半径 r = 2 .
| Ax + By
根据点 (x , y )到直线 Ax + By +C = 0 的距离公式 d = 0 0
+C |
0 0 ，
A2 + B2
| 4 1 3 ( 2) 10 | | 4+ 6 10 |
则圆心 (1, 2) 到直线 4x 3y 10 = 0的距离 d = = = 0 .
42 + ( 3)2 5
因为 d = 0 r ，所以直线与圆相切且经过圆心.
7. B
【解析】设等比数列{an}的公比为 q，则 a4 + a
3
5 + a6 = q (a1 + a + a ) . 2 3
a + a + a
已知 3a1 + a2 + a3 =1， a4 + a5 + a6 = 3，所以 q =
4 5 6 = 3 .
a1 + a2 + a3
那么 a7 + a8 + a9 = q
3(a4 + a5 + a6) = 3 3= 9 .
8. C
a b
【解析】在 ABC 中，根据正弦定理 = ，可得 sin A sin B 等价于 a b .
sin A sin B
在三角形中，大边对大角，所以 a b 等价于 A B ，
故“ sin A sin B ”是“ A B ”的充要条件.
9. D
m 2 0
x2 y2
【解析】方程 + =1表示椭圆，则需满足 8 m 0 ，解m 2 0 得m 2 ；
m 2 8 m
m 2 8 m
解8 m 0 得m 8；解m 2 8 m得m 5 .所以m 的取值范围是 2 m 8 且m 5 .
10. A
【解析】 6 个节气全排列的总情况数为 A66 种，而一次排列正确的情况只有1种，
1
所以一次排列正确的概率是 .
A66
二、填空题
11. 10
【解析】先化简复数 z = (2+ i)(1+ i) = 2+ 2i + i + i2 = 2+3i 1=1+3i .
复数的模 | z |= a2 + b2 （ z = a + bi ），所以 | z |= 12 + 32 = 10 .
12. (3,+ )
【解析】因为指数函数 y = 2x 的值域是 (0,+ )，所以 f (x) = 2x +3的值域是 (3,+ ) .
4x + 5, x 1
13. f [ f (x 1)] =
2x + 9, x 1
【解析】本题考查分段函数的求值问题.
当 x 1时：
f (x 1) = 2(x 1) + 3= 2x +1 0，所以
f [ f (x 1)]= 2(2x +1)+ 3= 4x + 5；
当 x 1时：
f (x 1) = (x 1) + 2 = x + 3 0，所以
f [ f (x 1)]= 2( x +3)+3= 2x + 9 .
4x + 5, x 1
综上 f [ f (x 1)] = .
2x + 9, x 1
14. 2
【解析】因为 AB ⊥ BC ，所以 AB BC = 0 .
已知 AB = (1, 1)， BC = (a,2) ，则1 a + ( 1) 2 = 0，即 a 2 = 0，解得 a = 2 .
15.1
【解析】若两直线 A1x + B1y +C1 = 0与 A2x + B2 y +C2 = 0垂直，则 A1A2 + B1B2 = 0 .
对于直线 l1 : x +my + 2 = 0与 l2 : (2m 5)x + 3y +1= 0，
有1 (2m 5) +m 3= 0 ，即 2m 5+ 3m = 0 ，5m = 5，解得m =1 .
16. 2
y22 b【解析】对于双曲线 x =1(b 0)，其渐近线方程为 y = x .
b2 1
已知渐近线方程是 y = 2x ，所以b = 2 .
17.4
1
【解析】已知三棱锥形容器高 h =12cm，根据三棱锥体积公式，水的体积V = S 12 = 4S .
3
将水倒入直三棱柱形容器中，设水面高度为 h1 ，根据直三棱柱体积公式V = Sh1，
由于水的体积V = 4S 不变，则 Sh1 = 4S ，等式两边同时除以 S ，可得 h1 = 4cm .
18.32
n
【解析】对于二项式 (a + b) ，其展开式的二项式系数之和为 2n .
1
所以 (2 x )5 的展开式中，二项式系数之和是 25 = 32 .
x
三、解答题
19.答案：[3,+ )
x2 2x 3 0
【解析】要使函数 f (x) = x2 2x 3 + log2(x 2) 有意义，则 .
x 2 0
解不等式 x2 2x 3 0，即 (x 3)(x +1) 0，解得 x 1或 x 3；
解不等式 x 2 0，得 x 2 .取交集得 x 3，所以函数的定义域为[3,+ ) .
3
20.答案：（1） B = 60 ；（2）
2
【解析】
a2 + c2 b2
（1）已知 a2 + c2 b2 = ac ，根据余弦定理 cos B = ，
2ac
将 a2
ac 1
+ c2 b2 = ac 代入可得 cos B = = . 因为0 B 180 ，所以 B = 60 .
2ac 2
a b
（2）由正弦定理 = ，已知 a =1，b = 3 ， B = 60 ，
sin A sin B
3
1
asin B 1 sin 60 1
则 sin A = = = 2 = .
b 3 3 2
因为 a b ，所以 A B ， A = 30 ，那么 C =180 A B = 90 .
1 1 3
所以 ABC 的面积 S = ab = 1 3 = .
2 2 2
1 1 1
21.答案：（1） a a = a1 =1， 2 ， 3 = ；（2） = 2n 1 .
3 5 an
【解析】
（1）求 a1， a2 ， a3
a
已知 a1 =1，数列{an}的递推公式为 a =
n
n+1 .
2an +1
a a 1 1
将 n =1， a n1 =1代入递推公式 an+1 = ，可得 a =
1
2 = = .
2an +1 2a1 +1 2 1+1 3
1 1
1 a 1
将 n = 2 ， a2 = 代入递推公式，可得 a
2 3 3
3 = = = = .
3 2a2 +1 1 2 + 3 52 +1
3 3
1 1
所以 a a1 =1， 2 = ， a3 = .
3 5
1
（2）求数列{ }的通项公式
an
a
对 a = nn+1 两边同时取倒数，可得：
2an +1
1 2an +1 1= = 2 +
an+1 an an
1 1
即 = 2 .
an+1 an
1 1 1
又因为 = =1，所以数列{ }是以1为首项， 2 为公差的等差数列.
a1 1 an
根据等差数列通项公式bn = b1 + (n 1)d （其中b 为第 n项的数值，n b 为首项，n为项数， d1
1
为公差），可得数列{ }的通项公式为：
an
1
=1+ (n 1) 2 =1+ 2n 2 = 2n 1 .
an
四、证明题
22.证明：将圆 x2 + y2 4x = 0化为标准方程 (x 2)2 + y2 = 4，
圆心坐标为 (2,0) ，半径 r = 2 .
| Ax + By +C |
根据点 (x0 , y0 )到直线 Ax + By +C = 0 的距离公式 d =
0 0 ，
A2 + B2
| 2 0 +1| 3 3 2
则圆心 (2,0) 到直线 y = x +1，即 x y +1= 0的距离 d = = = .
12 + ( 1)2 2 2
3 2
因为 2 ，即 d r ，所以直线与圆相离.
2
23.证明：连接 B 'D '交 A 'C '于O '，连接O 'B ，连接 DB .
ABCD A 'B 'C 'D 为长方体，
D 'D∥B 'B且D 'D = B 'B，
四边形D 'DBB '为平行四边形，
又 O '为 D 'B '中点，O 为 DB中点，
D 'O '∥OB且D 'O ' =O 'B ，
四边形 D 'O 'BO 是平行四边形，则 D 'O∥O 'B
O 'B 平面A'BC ' ， D 'O 平面A'BC '，
D O∥平面 A 'C 'B .
五、综合题
答案：（1）存在 a = 0 使函数 f (x) 为偶函数，此时函数 f (x) 的值域是[2,+ ) .
（2） ( 4， 4) .
【解析】
（1）若函数 f (x) = log 22(x ax+ 4) 为偶函数，则 f ( x) = f (x)恒成立.
即 2 2log2(x
2 + ax + 4) = log (x2 ax+ 4) ，根据对数函数性质可得 x + ax + 4 = x ax + 4 ，化简2
得 2ax = 0 对任意 x恒成立，所以 a = 0 .
此时 f (x) = log (x2 + 4)，因为 x2 0，所以 x2 + 4 4 .又因为对数函数 y = log2 u在 (0,+ )上单2
调递增， log2 4 = 2，所以 f (x) = log (x
2 + 4) 2 ，函数的值域是[2,+ ) . 2
（2）因为函数 y = f (x+1) = log2((x +1)
2 a(x+1)+ 4) = log (x22 + (2 a)x+5 a) 的定义域为
R ，所以 x2 + (2 a)x+5 a 0恒成立.
则二次函数 y = x2 + (2 a)x+5 a 的图像恒在 x轴上方，即 = (2 a)2 4(5 a) 0 .
展开得 4 4a + a2 20+ 4a 0 ，即 a2 16 0 ，因式分解得 (a + 4)(a 4) 0，解得 4 a 4 .河南省2025年普通高等学校对口招收中等职业学校
毕业生考试试卷
数 学
选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内）
设集合，集合，则集合（ ）
设，则下列说法正确的是（ ）
在四边形ABCD中，如果向量，那么四边形ABCD是（ ）
梯形 菱形 矩形 正方形
计算（ ）
0 1
已知角满足，则（ ）
2
圆与直线的位置关系是（ ）
相切 相离 相交且经过圆心 相交且不经过圆心
在等比数列中，若，，则（ ）
5 9 14 27
在中，“”是“”的（ ）
充分不必要 必要不充分 充要条件 既不充分也不必要
若方程表示椭圆，则m的取值范围是（ ）
2016年联合国教科文组织将二十四节气纳入非物质文化遗产，春季节气有“谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春”共六个，如果小明同学将以上6个节气按时间顺序进行排列，他一次排列正确的的概率是（ ）
填空题（每小题3分，共24分）
若复数，则_________.
函数的值域是_________.
若函数，则_________.
若向量，，当，则_________.
若直线与垂直，则_________.
已知双曲线的渐近线方程是，则_________.
把一个高的三棱锥形容器灌满水，倒进一个与它底面积相等，高度相等的直三棱柱形容器中，此时水面的高度是_________.
的展开式中，二项式系数之和是_________.
解答题（每小题8分，共24分）
求函数的定义域.
在中，三个内角的对边分别为，三条边满足.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
已知数列中，，.
（1）求；
（2）求数列的通项公式.
证明题（每小题6分，共12分）
已知直线和圆，求证：直线与圆相离.
如图所示，长方体中，O为底面ABCD的中心，连接，求证：平面.
综合题（共10分）
已知函数.
（1）判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由.
（2）若函数的定义域为，求a的取值范围.

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