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吉林省长春市吉大附中实验学校2025年高考数学一模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合高，考，必，胜，吉，大，必，胜，则( )
A. 吉，大，高，考 B. 必，胜
C. 金，榜，题，名 D. 吉，大，高，考，必，胜
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.展开式中第项的系数是( )
A. B. C. D.
4.在中，已知，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
5.某人通过手机记录锻炼情况，得到月份每天的锻炼时间单位：如下表：
锻炼时间 小于 不小于
天数
据表中数据，下列结论一定正确的是( )
A. 天锻炼时间的中位数不超过 B. 天锻炼时间的平均数不低于
C. 天锻炼时间的极差不超过 D. 天锻炼时间的众数不低于
6.关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是( )
A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于对称 D. 关于原点中心对称
7.已知函数的极大值为，则( )
A. B. C. D.
8.记函数，的图象为曲线段，直线与交于，两点，直线与交于，两点若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复数范围内，方程的两个根分别为，，则( )
A. B. C. D.
10.如图，平行六面体的体积为，点为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为的有( )
A. 三棱锥
B. 三棱锥
C. 三棱锥
D. 三棱锥
11.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则直线的斜率为 B.
C. 为坐标原点 D. 当取最小值时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则的最大值为______．
13.已知，是函数，的两个零点，则 ______．
14.为激励高三学子的学习热情，数学老师开发了一款小游戏程序，同学们表现优秀时可参与一次游戏规则如下：
第一步，在图所示的棋盘内，学生点击摇奖，程序会随机放上枚黑棋；
第二步，学生自行选择空格放上枚白棋；
最终，每当有枚棋子在同一行、列或对角线上时，称为连成一条线若未连成线，则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图就是一种获一等奖的情况现在小明和小红都可参与一次游戏小明点击摇奖后，出现了图的情况，若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是______；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，枚黑棋中恰有枚在第一列”的条件下，她获一等奖的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是由正数组成的等比数列，且，．
求数列的通项公式；
设数列满足，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数是自然对数的底数．
求函数在上的单调增区间；
若为的导函数，函数，求在上的最大值．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面为菱形，，．
证明：；
若，，求二面角的正弦值．
18.本小题分
有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立．
，，，如果按照、、的顺序先后进入；
求任务能被完成的概率；
求所需派出人员数目的分布列和数学期望；
假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小．
19.本小题分
已知双曲线：的离心率为，且经过点．
求的方程；
过曲线上任意一点作曲线的切线，设与的两条渐近线分别交于点，，试讨论的面积是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由；
将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记上的所有格点为，，，，且，证明：为定值．
参考答案
1.
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12.
13.
14.
15.解：设等比数列的公比为，
由，得，
是由正数组成的等比数列，则，，
则，解得或舍，
又，
所以，解得，
所以；
，
所以
．
16.解：由函数，可得，
令，又，
解得，
所以的单调递增区间；
由函数，
可得，
因为，所以，
令，解得，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
17.解：证明：设中点为，连接，，，
底面为菱形，且
为等边三角形，故DE，
，，
又，，平面，
平面，
平面，，
，．
过作于点，由得平面，，
，，平面，平面，
，，，
，，，
，以，分别为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
则，
二面角的正弦值为．
18.解：设按照、、的顺序先后进入任务被完成为事件，
则；
由题意可知，可取，，，
，，，
所以分布列为：
所以；
若按照某一指定顺序派人，、、三人各自能完成任务的概率依次为，，，
其中，，是，，的一个排列，
结合知，
因为，
所以要使最小，前两人应从和中选，最后派出，
若先派，再派，最后派，则，
若先派，再派，最后派，则，
所以，
所以先派，再派，最后派时，派出人员数目的数学期望达到最小．
19.解：由题意得，解得，所以的方程为．
当直线经过双曲线的顶点时直线的斜率不存在，此时直线方程为，
渐近线方程为，当时，，两渐近线夹角为，
则此时，点到直线的距离为，所以此时，
当直线的斜率存在时，设直线为，由，
得，因为直线与双曲线相切，
所以，且，整理得，
且，即，由，得，
则，同理得到，
所以
，
，所以．
证明：在方程中，合，得，合，得，则，
因为，
所以，
得是上的一个格点，
，
得是上的一个格点．按这种构造方式，
由可以得到一系列格点．
下面证明上的任意一个格点都满足该式：
任取两个由上述方式得到的相邻格点和，
假设在点和之间存在另外的格点，即存在，，
满足因为是上的格点，
所以，
所以，
得，
设，，则，
由点，在上，可得，，且，
所以，，故也是上的格点．
另一方面，因为，，
所以，
即，
所以．
而，
即显然，上不存在格点满足该式，矛盾，假设不成立，
故C上的所有格点都满足．
由，，
得．
，
，
，
，
所以，为定值．
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