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北京市2025年中考数学模拟试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．如图图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，直线a∥b，将直角三角板的60°角的顶点放在直线b上，若∠1＝57°，则∠2的度数是（ ）
A．57° B．33° C．27° D．23°
3．已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．四个完全相同的球上分别标有数字，，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则能被5整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．2024年12月12日是南水北调东中线一期工程全面通水十周年．截至12日，该工程已累计调水超过767亿立方米．数据767亿立方米用科学记数法表示为（ ）
A．立方米 B．立方米
C．立方米 D．立方米
7．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
8．如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论，正确的是（ ）
A．对于任意，该八边形都是正八边形
B．存在唯一的，使得该八边形为正八边形
C．对于任意，该八边形都有外接圆
D．存在唯一的，使得该八边形有内切圆
二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分.）
9．如果在实数范围内有意义，则的取值范围是 .
10．分解因式： ．
11．关于x的方程＝3的解为 ．
12．已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ．
13．随着创建“生态文明城市”活动的开展，某市灯光秀的展演吸引了无数市民及外地游客，某校数学学习小组调查了用于光影秀的10000只灯泡．为了解这10000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这10000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只．
14．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠COA的度数是 ．
15．如图，四边形和均为正方形，连接交于点，点恰好为中点，若，则的长为 ．
16．车间里有五台车床同时出现故障． 已知第一台至第五台修复的时间如下表：
车床代号 A B C D E
修复时间（分钟） 16 6 30 5 9
若每台车床停产一分钟造成经济损失 10 元，修复后即可投入生产，现只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号），最少为 元．
三、解答题（本大题共12题，第17-19题、第22-23题、第25题每题5分，第20-21题、第24题、第26题每题6分，第27-28题每题7分，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在中，，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当，时，求的长．
21．某市对七年级综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分（满分100分）由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？
22．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数 的值，直接写出n的取值范围．
23．我市某中学八年级举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，其中八年级（1）、八年级（2）班派出的名选手的比赛成绩如图所示：
(1)根据图，完成表格：
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
(2)请问，哪个班参加比赛选手的成绩比较整齐？为什么？
24．如用，在中，平分，交于点F，交外接圆于点E．过点E作的切线交延长线于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
25．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．
(1)求a，b，c的值；
(2)画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；
(3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．
①直接写出m的取值范围；
②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．
26．已知抛物线．
(1)若，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若是这条抛物线上不同的两点，求证：．
27．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.
(1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
(2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。
28．P是内一点，过点P作的任意一条弦，我们把的值称为点P关于的“幂值”．
（1）的半径为5，．
①如图1，若点P恰为弦的中点，则点P关于的“幂值”为_____；
②判断当弦的位置改变时，点P关于的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于的“幂值”的取值范围．
（2）若的半径为r，，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于的“幂值”或“幂值”的取值范围为_____；
（3）在平面直角坐标系中，的半径为4，若在直线上存在点P，使得点P关于的“幂值”为13，请写出b的取值范围．
参考答案
1-8.
【答案】D
【答案】C
【答案】D
【答案】C
【答案】A
【答案】C
【答案】C
【答案】B
9.【答案】
10.【答案】（a-b）（x+1）（x-1）
11.【答案】x＝2
12.【答案】
13.【答案】4600
14.【答案】70°
15.【答案】2
16.【答案】 ① 1380
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】1
20.（1）证明：∵点D是的中点，点E是的中点，
∴是的中位线，则且，
，分别是，的中点，
∴是的中位线，
且，
且，
四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴点O是的中点，
，
点分别是的中点，
，
，
，
，
，
，
点D是的中点，
，
．
21.【答案】孔明同学测试成绩为90分，则平时成绩为95分．
22.【答案】(1)
(2)
23.（1）解：∵八（1）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，
∴这组数据的中位数是分，众数是分，平均数分；
∵八（2）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，
∴这组数据的众数是90分，
填表如下：
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
（2）解：八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐；
理由如下：八（1）的成绩的方差为；
八（2）的成绩的方差；
∵两个班的平均分相同，均为，八（1）班的方差小，，
∴八（1）班选手的成绩总体上较整齐．
24.（1）解：证明：连接，如图，
平分，
，
，
．
为的切线，
．
；
（2）由（1）知：，
，，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
（1）解：把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
∴a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3．
（2）由（1）得，L的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（x≤3），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∴将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4沿直线x＝3翻折得到的抛物线的顶点坐标为（5，﹣4），
∴翻折后的抛物线为y＝（x﹣5）2﹣4，即y＝x2﹣10x+21，
∵K与L关于直线x＝3对称，
∴“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）．
画出“部分抛物线”K的图象如图1所示：
（3）由得，
∴K与L的公共点为B（3，0），
①如图2，当直线y＝m在点B上方，由直线y＝m与图形W只有两个交点M、N，
∴m＞0；
如图3，当直线y＝m′在点B下方，
直线y＝m经过L、K的顶点M（1，﹣4）、N（5，﹣4），
此时直线y＝m与图形W只有两个交点M、N，
∴m＝﹣4，
综上所述，m＞0或m＝﹣4．
②如图2，m＞0，△MNB为等腰直角三角形，
设BM交y轴于点D，M（x，x2﹣2x﹣3），
∵BM＝BN，∠MBN＝90°，
∴∠BMN＝∠BNM＝45°，
∵MN∥x轴，
∴∠OBD＝∠BMN＝45°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠OBD＝∠ODB＝45°，
∴OB＝OD＝3，
∴D（0，3），
设直线BM的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线BM的解析式为y＝﹣x+3，
∵点M在直线y＝﹣x+3上，
∴M（x，﹣x+3），
∴x2﹣2x﹣3＝﹣x+3，
解得x1＝﹣2，x2＝3（不符合题意，舍去），
∴M（﹣2，5），
∴m＝5；
如图3，m＝﹣4，
∵BM2+BN2＝2BM2＝2×[（3﹣1）2+（0+4）2]＝40，MN2＝（5﹣1）2＝16，
∴BM2+BN2≠MN2，
∴此时△MNB不是等腰直角三角形，
综上所述，m的值是5．
26.（1）解： ，
∴抛物线的解析式为，
∴
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，
∴为抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∵是抛物线上不同的两点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
27.（1）证明：连接，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：，
在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
28.解：（1）①如图1所示：连接、、．
，为的中点，
．
在中，由勾股定理得：，
．
的“幂值” ．
故答案为：16．
②当弦的位置改变时，点关于的“幂值”为定值．
证明：如图，为中过点的任意一条弦，且不与垂直．过点作的弦，连接、．
在中，，，
△．
．
．
当弦的位置改变时，点关于的“幂值”为定值．
（2）如图3所示；连接、过点作，交圆与、两点．
，，
．
点关于的“幂值” ．
在中，．
关于的“幂值” ．
（3）如图4所示：过点作．
，
直线的解析式为．
将与联立得：，
解得：，．
点的坐标为，．
点关于的“幂值”为13，
．
，即．
整理得：．
的取值范围是-2≤b≤2．
故答案为：-2≤b≤2．

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