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第2节　匀速圆周运动的向心力和向心加速度
(分值：100分)
选择题1～2题，4～7题，每小题8分；8～10题，12题，每小题10分，共88分。
对点题组练
题组1　向心力及其来源分析
1.(2024·重庆市第七中学高一期中)关于向心力，下列说法中正确的是(　　)
物体由于做圆周运动而产生一个向心力
向心力不改变物体做圆周运动的速度大小
做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力
所有做圆周运动的物体所受的合力即为向心力
2.(2024·四川绵阳高一统考)物体m用细线通过光滑的水平板间小孔与砝码M相连，并且正在做匀速圆周运动，如图所示，对物体m进行受力分析，下列说法正确的是(　　)
只受重力和支持力
只受重力、支持力、细线的拉力、向心力
只受重力、支持力、细线的拉力
只受重力、支持力、细线的拉力、M的重力
题组2　探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r的关系
3.(6分)(2024·四川南充高一校考)在“探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系”中，我们用如图甲所示的实验装置来探究这个关系。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。
(1)如图乙，把皮带放在皮带盘第一挡，此时转速比为1∶1，将质量不同的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径相等的横臂挡板内侧，即保持ω和r相同。然后摇动手柄，记录实验数据，研究小球做圆周运动所需向心力F与________(2分)之间的关系。
A.质量m　　B.角速度ω　　C.半径r
(2)如图丙，把皮带放在皮带盘第二挡(第三挡)，此时转速比为1∶2(1∶3)；将质量相同的钢球分别放在长、短槽上半径相等的横臂挡板内侧，即保持m和r相同。然后摇动手柄，记录实验数据，研究小球做圆周运动所需向心力F与________(2分)之间的关系。
A.质量m B.角速度ω C.半径r
(3)如图丁，把皮带放在皮带盘第一挡，此时转速比为1∶1；将长槽上的钢球由第一挡板内侧移到第二挡板，此时两个质量相同的钢球相对转轴的半径之比为2∶1。然后摇动手柄，记录实验数据，研究小球做圆周运动所需向心力F与________(2分)之间的关系。
A.质量m B.角速度ω C.半径r
分析实验所测得的数据，研究找到物体做匀速圆周运动所需向心力的大小与物体的质量、角速度和运动半径之间的关系。
题组3　向心力的计算
4.(多选)如图所示为甩干桶简易模型。若该模型的半径为r＝16 cm，以角速度ω＝50 rad/s做匀速圆周运动，质量为10 g的小物体随桶壁一起转动，下列说法正确的是(　　)
甩干桶壁上某点的线速度大小为8 m/s
甩干桶壁上某点的线速度大小为6.25 m/s
小物体对桶壁的压力为4 N
小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力
5.甲、乙两物体都做匀速圆周运动，它们的质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为(　　)
1∶4 4∶9
2∶3 9∶16
题组4　向心加速度
6.(2024·四川绵阳高一统考期末)如图所示是甲、乙两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像，其中甲是反比例函数图像的一个分支。由图可知(　　)
甲、乙物体的角速度都不变
甲、乙物体的线速度大小都不变
甲物体的角速度不变，乙物体的线速度大小不变
甲物体的线速度大小不变，乙物体的角速度不变
7.(2024·江西南昌高一期末)如图所示，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A和B是前轮和后轮边缘上的点，若拖拉机行进时车轮没有打滑，则(　　)
两轮转动的周期相等
两轮转动的转速相等
A点和B点的线速度大小之比为1∶2
A点和B点的向心加速度大小之比为2∶1
综合提升练
8.(2024·四川广元高一苍溪中学期中)如图所示，一个小球被细线拉着在光滑水平面上做匀速圆周运动，对该小球下列说法正确的是(　　)
小球速度不变
小球向心加速度不变
小球受到的向心力时刻在发生改变
小球相同时间内运动的位移相同
9.(多选)质量为m的小球用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方处有一光滑小钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间(瞬时速度不变)，设
细线没有断裂，则下列说法正确的是(　　)
小球的角速度突然增大
小球的角速度突然减小
小球对细线的拉力突然增大
小球对细线的拉力保持不变
10.如图所示，把一个长为20 cm，劲度系数为360 N/m的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50 kg的小球，当小球以 r/min的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长量应为(　　)
5.2 cm 5.3 cm
5.0 cm 5.4 cm
11.(6分)如图甲所示是一个研究向心力大小与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的水平圆盘上，圆周轨道的半径为r，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度大小，表格中是所得数据，图乙为F－v图像、F－v2图像、F－v3图像。
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
(1)数据表格和图乙中的三个图像是在用实验探究向心力F和圆柱体线速度大小v的关系时，保持圆柱体质量不变、半径r＝0.1 m的条件下得到的。研究图像后，可得出向心力F和圆柱体线速度大小v的关系式为_____________________(2分)。
(2)为了研究F与r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持________________(2分)不变。
(3)若已知向心力公式为F＝m，根据上面的图线可以推算出，本实验中圆柱体的质量为________(2分)。
培优加强练
12.(2024·广西南宁高一期中)一个小物块从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑过程中由于摩擦力的作用，物块的速率恰好保持不变，如图所示，下列说法中正确的是(　　)
物块的加速度为零
物块所受合外力越来越大
物块所受合外力大小保持不变，但方向时刻改变
物块所受摩擦力大小不变
第2节　匀速圆周运动的向心力和向心加速度
1.B　[由于物体所受合力总是指向圆心，导致物体做圆周运动，按效果命名称之为向心力，A错误；做匀速圆周运动的物体的向心力大小不变，方向时刻在变，故向心力是变力，它只改变速度方向，不改变速度大小，B正确，C错误；只有做匀速圆周运动的物体所受的合力才作为向心力，D错误。]
2.C　[向心力是一种效果力，由其他外力，或其他外力沿半径方向的合力提供，实际上不存在，因此，物体受到重力、支持力与细线的拉力三个力的作用。故C正确。]
3.(1)A　(2)B　(3)C　[(1)本实验采用的是控制变量法，保持ω和r相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与质量m的关系，故选A。
(2)本实验采用的是控制变量法，保持m和r相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与角速度之间的关系，故选B。
(3)本实验采用的是控制变量法，保持m和ω相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与半径之间的关系，故选C。]
4.AC　[甩干桶壁上某点的线速度大小为v＝ωr＝8 m/s，故A正确，B错误；桶壁对小物体的弹力提供向心力，则N＝mω2r＝4 N，根据牛顿第三定律可知，小物体对桶壁的压力为4 N，故C正确；小物体受到重力、弹力、摩擦力作用，弹力提供向心力，故D错误。]
5.B　[由题意可知，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，由角速度的定义式ω＝可得ω甲∶ω乙＝4∶3，已知m甲∶m乙＝1∶2，r甲∶r乙＝1∶2，甲、乙两物体都做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可知，它们所受外力的合力提供向心力，由向心力公式F向＝mω2r可得它们所受外力的合力之比为F甲∶F乙＝m甲ωr甲∶m乙ωr乙＝4∶9，故B正确。]
6.D　[甲的图像是反比例函数图像的一个分支，所以甲的a与r成反比，由向心加速度公式a＝，所以甲物体的线速度大小不变，由线速度与角速度的关系v＝ωr，甲物体的角速度是变化的，故A、C错误；乙的图像为正比例函数图像，其a与r成正比，由向心加速度公式a＝ω2r，所以乙物体的角速度保持不变，由线速度与角速度的关系v＝ωr，乙的线速度是变化的，故B错误，D正确。]
7.D　[拖拉机行进时，两轮边缘的线速度相等，根据v＝＝2πnr可知，两轮的周期和转速不相等；根据a＝，因后轮的半径是前轮半径的两倍，则A、B两点的向心加速度之比2∶1，选项A、B、C错误，D正确。]
8.C　[速度和向心加速度是矢量，小球被细线拉着在光滑水平面上做匀速圆周运动，速度和向心加速度方向不断变化，故A、B错误；根据牛顿第二定律可知，小球受绳子拉力提供向心力，拉力方向不断变化，故C正确；位移是矢量，小球相同时间内运动的位移大小相等方向不同，故D错误。]
9.AC　[根据题意，细线碰到钉子的瞬间，小球的瞬时速度v不变，但其做圆周运动的半径从L突变为，由ω＝可知小球的角速度突然增大，选项A正确，B错误；根据T－mg＝m可知，小球受到的拉力增大，由牛顿第三定律知，小球对细线的拉力增大，选项C正确，D错误。]
10.C　[小球转动的角速度ω＝2πn＝12 rad/s，弹簧的弹力为小球做圆周运动提供向心力，即kx＝mω2(x0＋x)，解得x＝＝ m＝0.05 m＝5.0 cm，选项C正确。]
11.(1)F＝0.88 v2　(2)线速度大小v　(3)0.088 kg
解析　(1)研究数据表格和题图乙中B图不难得出F∝v2，进一步研究知题图乙B中图线的斜率k＝≈0.88，故F与v的关系式为F＝0.88v2。
(2)还应保持线速度大小v不变。
(3)因F＝m＝0.88v2，r＝0.1 m，
则m＝0.088 kg。
12.C　[物块速率不变，做匀速圆周运动，合力提供向心力不为零，向心加速度不为零，A错误；因为速率不变，由F合＝m可知，物块所受合外力大小不变，B错误；合外力大小不变，但方向时刻指向圆心，产生向心加速度，C正确；因为切线方向加速度为零，由于速率不变，所以摩擦力始终与重力沿切线方向分力大小相等，因为重力与切线夹角时刻在变，重力沿切线方向分力大小在变，故摩擦力大小在变，D错误。]第2节　匀速圆周运动的向心力和向心加速度
学习目标　1.知道什么是向心力，会分析简单情境中的向心力的来源，知道向心力的作用，知道向心力是根据力的作用效果命名的。2.了解实验装置，能用实验探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。3.掌握用控制变量法探究向心力大小与质量、角速度、半径的关系的方法。4.掌握向心加速度的计算公式，并会进行有关计算。
知识点一　向心力及来源分析
受到什么样的力物体才能做圆周运动呢？试分析以下两个例子。
甲
(1)如图甲所示，一个小球在细线的牵引下，绕光滑水平桌面上的图钉做匀速圆周运动。
①分析小球的受力情况及合力方向。
②用剪刀将细线剪断，小球将做什么运动？对比剪断细线前、后小球受力情况，你认为使小球做圆周运动的是什么力？
(2)如图乙所示，小球在细绳作用下在水平面内做匀速圆周运动。(圆锥摆)
乙
分析小球受力情况及小球受到的合力方向，你认为使小球做圆周运动的是什么力？
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1.向心力：物体做匀速圆周运动时所受________方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫作向心力。
2.向心力来源：向心力可以由________提供，也可以由其他性质的力提供；可以由________提供，也可以由几个力的________提供。
3.向心力和圆周运动的关系：所有做圆周运动的物体，如果没有向心力，物体将由于________而沿圆周的________方向飞出，正是由于向心力时刻改变着速度的________，才使得物体可以沿着一个________运动。不是物体做圆周运动才产生向心力，而是由于向心力的作用，才使物体不断改变其速度方向而做圆周运动。
4.几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
【思考】
水平圆盘上一物体随圆盘一起做圆周运动，物体是否受重力、支持力、摩擦力和向心力共四个力的作用？
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例1 如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗后，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，则提供小球做匀速圆周运动的向心力的是(　　)
A.小球的重力
B.小球对漏斗的压力
C.漏斗对小球的弹力
D.漏斗对小球的弹力沿水平方向的分力
听课笔记__________________________________________________________
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训练1 (多选)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　　)
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于mgtan θ
知识点二　探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系
1.实验目的
(1)学会使用向心力演示器。
(2)通过实验探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系。
2.实验原理
向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。
3.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系。
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系。
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上。小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系。
4.实验结论
(1)在半径和角速度一定的情况下，向心力大小与质量成正比。
(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力大小与半径成正比。
(3)在质量和半径一定的情况下，向心力大小与角速度的平方成正比。
由以上可推知：F＝mω2r。
例2 (2024·四川成都石室中学高一校考)探究向心力大小F与物体的质量m、角速度ω和轨道半径r的关系实验。
(1)本实验所采用的实验探究方法与下列实验是相同的________。
A.探究两个互成角度的力的合成规律
B.探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(2)小明同学用向心力演示器进行实验，实验情景如甲、乙、丙三图所示
三个情境中，图________是探究向心力大小F与质量m关系(选填“甲”“乙”或“丙”)；在乙情境中，若两钢球所受向心力的比值为1∶9，则实验中选取两个变速塔轮的半径之比为________。
(3)小王同学利用传感器进行探究，通过图丁所示的装置探究物体做圆周运动的向心力与质量、轨道半径及线速度的关系。滑块套在光滑水平杆上，随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小F。滑块上固定一遮光片，与固定在铁架台上的光电门可测量滑块的线速度v。小王同学先保持滑块质量和半径不变，来探究向心力大小与线速度大小的关系。
小王同学通过改变转速测量多组数据，记录力传感器示数F，算出对应的线速度v及v2的数值，以v2为横轴，F为纵轴，作F－v2图线，如图戊所示，若滑块运动半径r＝0.3 m，由图线可得滑块的质量m＝________ kg。
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知识点三　向心力的计算
1.向心力大小
做匀速圆周运动所需向心力的大小，跟转动半径r成________，跟角速度ω的________成正比，跟物体的质量m成________。
2.向心力公式
(1)F＝________。
(2)F＝________。
3.向心力方向：向心力的方向总与物体的速度方向________，所以它只改变速度的________，不改变速度的________。
4.对F＝mω2r和F＝m的理解
对做匀速圆周运动的一定质量的物体：
(1)当________一定时，所需要的向心力与半径成正比。
(2)当________一定时，所需要的向心力与半径成反比。
例3 如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动。已知小球质量m＝0.50 kg，角速度大小ω＝2 rad/s，细线长L＝0.20 m。
(1)求小球的线速度大小v、周期T、转速n；
(2)求细线对小球的拉力大小F；
(3)若细线最大能承受10.0 N的拉力，求小球运行的最大线速度vm。
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分析清楚向心力的来源是解决圆周运动问题的关键，分析向心力来源的步骤如下：
知识点四　向心加速度
(1)质量为m的物体，沿半径为r的圆以速率v做匀速圆周运动，则物体需要的向心力为多大？(2)根据牛顿第二定律推理向心加速度的大小和方向？
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一、向心加速度
1.定义：做匀速圆周运动的物体，在向心力的作用下，产生的指向________的加速度叫作____________。
2.方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，与该点的线速度方向________。
由于向心加速度方向时刻________，所以所有圆周运动都是非匀变速曲线运动。
3.大小：a＝。根据v＝ωr可得a＝________。
向心加速度与半径的关系(如图所示)
4.作用效果：向心加速度只改变速度的________，不改变速度的________。
5.物理意义：向心加速度是描述线速度方向改变________的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小。
二、加速度与向心加速度
1.匀速圆周运动的加速度与向心加速度
做匀速圆周运动的物体，其向心加速度就是它的________，所受到的向心力就是它受到的________。
2.非匀速圆周运动的加速度与向心加速度
做非匀速圆周运动的物体，它在某一时刻的向心加速度只是它的加速度的一个________(另一个分量沿切线方向，称为切向加速度)，它受到的向心力也只是它受到的合力中________________的一个分力(另一个分力沿切线方向)。
【思考】
物体的加速度与线速度成锐角时，物体的速度大小如何变化？成钝角时呢？
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例4 (多选)(2024·河北衡水高一期末)一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为4.0 m，线速度为2.0 m/s，则小孩做圆周运动的(　　)
A.角速度ω＝0.5 rad/s B.周期T＝8π s
C.转速n＝ r/s D.向心加速度a＝2 m/s2
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训练 (2024·成都一中高二校联考)如图所示，某教室墙上的窗户在外力作用下绕OO′轴转动，窗户上A、B两点到OO′轴的距离之比为3∶1，则(　　)
A.A、B两点转动的角速度大小之比为3∶1
B.A、B两点转动的线速度大小之比为3∶1
C.A、B两点的向心加速度大小之比为9∶1
D.A、B两点转动的周期之比为1∶3
随堂对点自测
1.(向心力的理解)(多选)关于向心力，下列说法正确的是(　　)
A.做匀速圆周运动的物体一定受到一个向心力的作用
B.向心力是指向圆心方向的合力，它是根据力的作用效果命名的
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某个力的分力
D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定提供向心力
2.(探究向心力大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系)用如图所示的实验装置研究影响向心力大小的因素。长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧力筒下降，从而露出标尺，根据标尺上的等分格可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。
(1)当传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，套有皮带的塔轮边缘处的________(选填“线速度”或“角速度”)大小相等。
(2)探究向心力与半径的关系时，应将皮带套在两塔轮半径________(填“相同”或“不同”)的轮盘上，将质量相同的小球分别放在哪两个挡板处________(填选择项字母)
A.“A”处和“B”处 B.“A”处和“C”处
C.“B”处和“C”处
3.(向心力的计算)(教科版P38T3改编)一个做匀速圆周运动的物体，运动半径不变，而线速度大小增加为原来的2倍，其向心力增大了24 N，那么在未改变速度大小时，物体所受的向心力为(　　)
A.6 N B.8 N
C.12 N D.16 N
4.(向心加速度)(多选)(2024·四川绵阳高一期末)小球被细绳拴着做匀速圆周运动，轨道半径为R，向心加速度为a，那么(　　)
A.小球运动的角速度ω＝ɑR
B.小球在t时间内通过的位移s＝·t
C.小球做圆运动的周期T＝2π
D.小球在t时间内(细线)转过的角度φ＝·t
第2节　匀速圆周运动的向心力和向心加速度
知识点一
导学　提示　(1)①受力如图(a)所示，合力为绳的拉力，方向指向圆心。
②剪断细线，小球将沿圆周运动的切线方向做匀速直线运动，剪断细线后小球受重力和支持力，是细线的拉力使小球做圆周运动。
(2)受力分析如图(b)所示，小球所受合力(F1)方向指向圆心。是小球受到的合力使小球做圆周运动。
　　　　
(a)　　　　　　　　　　　(b)
知识梳理
1.合力　2.弹力　一个力　合力　3.惯性　切线　方向　圆周
[思考]
提示　不是，物体受到的摩擦力提供向心力，故物体受重力、支持力、摩擦力共三个力的作用。
例1 D　[对小球受力分析，重力竖直向下，支持力垂直漏斗内壁向上，合力指向圆心，提供向心力，故漏斗对小球的弹力沿水平方向的分力提供小球做匀速圆周运动的向心力，A、B、C错误，D正确。]
训练1 BCD　[如图甲所示，对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图乙所示，A错误，B、C正确；向心力的大小F＝mgtan θ，D正确。]
知识点二
例2 (1)B　(2)甲　3∶1　(3)0.2
解析　(1)探究向心力大小F与物体的质量m、角速度ω和轨道半径r的关系实验用到的实验探究方法为控制变量法；探究两个互成角度的力的合成规律用到等效法，故A不符合题意；探究加速度与物体受力、物体质量的关系用控制变量法，故B符合题意。
(2)探究向心力大小F与质量m关系，需保证角速度和半径不变，质量变化，应用甲图。
由图可知，在乙情境中，质量和半径相等，由公式F＝mω2r可知，角速度之比为＝＝
变速塔轮边缘的线速度相等，由v＝ωr可知，变速塔轮的半径之比为＝＝。
(3)根据题意有F＝m，结合图像可得，斜率为k＝＝，解得m＝0.2 kg。
知识点三
1.正比　平方　正比　2.(1)mω2r　(2)m　3.垂直　方向　
大小　4.(1)角速度　(2)线速度
例3 (1)0.4 m/s　π s　 r/s　(2)0.4 N　(3)2 m/s
解析　(1)根据v＝Lω，解得v＝0.4 m/s
根据ω＝，解得T＝π s
根据ω＝2πn，解得n＝ r/s。
(2)细线对小球的拉力大小，根据向心力公式得
F＝mω2L＝0.4 N。
(3)若细线最大能承受10.0 N的拉力，由向心力公式得
Fm＝m
解得vm＝2 m/s。
知识点四
导学　提示　(1)向心力：F＝。
(2)向心加速度：a＝，方向沿半径指向圆心
知识梳理
一、1.圆心　向心加速度　2.垂直　改变　3.ω2r　4.方向　大小 5.快慢
二、1.加速度　合力　2.分量　指向圆心方向
[思考]
提示　加速度与线速度成锐角，做加速圆周运动，成钝角做减速圆周运动。
例4 AC　[圆周的半径r＝4.0 m，线速度v＝2.0 m/s，则圆周运动的角速度ω＝＝0.5 rad/s，故A正确；圆周运动的周期为T＝＝4π s，故B错误；转速n＝＝ r/s，故C正确；向心加速度a＝＝1 m/s2，故D错误。]
训练 B　[A、B两点同轴转动，所以角速度相等，则A、B两点转动的角速度大小之比为1∶1，故A错误；根据v＝ωr，可知A、B两点转动的线速度大小之比为vA∶vB＝rA∶rB＝3∶1，故B正确；根据a＝ω2r，可知A、B两点的向心加速度大小之比为aA∶aB＝rA∶rB＝3∶1，故C错误；根据T＝，可知A、B两点转动的周期之比为1∶1，故D错误。]
随堂对点自测
1.BC　[物体做圆周运动就需要有向心力，向心力由指向圆心方向的合力提供，它是根据力的作用效果命名的，向心力可以是由重力、弹力、摩擦力等各种力来提供，或者是他们的合力来提供，也可以是某个力的分力来提供，故A错误，B、C正确；在非匀速圆周运动中，向心力由合力沿圆心方向的分力提供，故D错误。]
2.(1)线速度　(2)相同　C
解析　(1)根据题意，由皮带传动可知，套有皮带的塔轮边缘处的线速度相等。
(2)根据题意可知，探究向心力与半径的关系时，应保持质量和角速度相等，半径不相等，则应将皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上，并将质量相同的小球分别放在“B”处和“C”处。故选C。
3.B　[未改变速度大小时，物体所受的向心力F1＝m；线速度大小增加为原来的2倍，其向心力F2＝m，且F2－F1＝24 N，解得F1＝8 N。故B正确，A、C、D错误。]
4.CD　[根据向心加速度与角速度的关系a＝ω2R，所以小球运动的角速度为ω＝，故A错误；小球在时间t内通过的路程为s＝vt＝ωRt＝t，小球做圆周运动，则位移小于·t，故B错误；小球做匀速圆周运动的周期为T＝＝2π，故C正确；小球在t时间内(细线)转过的角度φ＝ωt＝·t，故D正确。](共63张PPT)
第2节　匀速圆周运动的向心力和向心加速度
第二章 匀速圆周运动
1.知道什么是向心力，会分析简单情境中的向心力的来源，知道向心力的作用，知道向心力是根据力的作用效果命名的。2.了解实验装置，能用实验探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。3.掌握用控制变量法探究向心力大小与质量、角速度、半径的关系的方法。4.掌握向心加速度的计算公式，并会进行有关计算。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　探究向心力F 的大小与质量m、角速度ω
和半径r之间的关系
知识点一　向心力及来源分析
知识点三　向心力的计算
知识点四　向心加速度
知识点一　向心力及来源分析
　　　受到什么样的力物体才能做圆周运动呢？试分析以下两个例子。
(2)如图乙所示，小球在细绳作用下在水平面内做匀速圆周运动。(圆锥摆)
分析小球受力情况及小球受到的合力方向，你认为使小球做圆周运动的是什么力？
甲
(1)如图甲所示，一个小球在细线的牵引下，绕光滑水平桌面上的图钉做匀速圆周运动。
①分析小球的受力情况及合力方向。
②用剪刀将细线剪断，小球将做什么运动？对比剪断细线前、后小球受力情况，你认为使小球做圆周运动的是什么力？
乙
提示　(1)①受力如图(a)所示，合力为绳的拉力，方向指向圆心。
②剪断细线，小球将沿圆周运动的切线方向做匀速直线运动，剪断细线后小球受重力和支持力，是细线的拉力使小球做圆周运动。
(2)受力分析如图(b)所示，小球所受合力(F1)方向指向圆心。是小球受到的合力使小球做圆周运动。
(a)　　　　　　　　　　　(b)
1.向心力：物体做匀速圆周运动时所受______方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫作向心力。
2.向心力来源：向心力可以由______提供，也可以由其他性质的力提供；可以由________提供，也可以由几个力的______提供。
3.向心力和圆周运动的关系：所有做圆周运动的物体，如果没有向心力，物体将由于______而沿圆周的______方向飞出，正是由于向心力时刻改变着速度的______，才使得物体可以沿着一个______运动。不是物体做圆周运动才产生向心力，而是由于向心力的作用，才使物体不断改变其速度方向而做圆周运动。
合力
弹力
一个力
合力
惯性
切线
方向
圆周
4.几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
实例分析 图例 向心力来源
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
【思考】
水平圆盘上一物体随圆盘一起做圆周运动，物体是否受重力、支持力、摩擦力和向心力共四个力的作用？
提示　不是，物体受到的摩擦力提供向心力，故物体受重力、支持力、摩擦力共三个力的作用。
D
例1 如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗后，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，则提供小球做匀速圆周运动的向心力的是(　　)
A.小球的重力
B.小球对漏斗的压力
C.漏斗对小球的弹力
D.漏斗对小球的弹力沿水平方向的分力
解析　对小球受力分析，重力竖直向下，支持力垂直漏斗内壁向上，合力指向圆心，提供向心力，故漏斗对小球的弹力沿水平方向的分力提供小球做匀速圆周运动的向心力，A、B、C错误，D正确。
BCD
训练1 (多选)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　 　)
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于mgtan θ
解析　如图甲所示，对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图乙所示，A错误，B、C正确；向心力的大小F＝mgtan θ，D正确。
知识点二　探究向心力F 的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系
1.实验目的
(1)学会使用向心力演示器。
(2)通过实验探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系。
2.实验原理
向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。
3.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系。
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系。
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上。小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系。
4.实验结论
(1)在半径和角速度一定的情况下，向心力大小与质量成正比。
(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力大小与半径成正比。
(3)在质量和半径一定的情况下，向心力大小与角速度的平方成正比。
由以上可推知：F＝mω2r。
例2 (2024·四川成都石室中学高一校考)探究向心力大小F与物体的质量m、角速度ω和轨道半径r的关系实验。
(1)本实验所采用的实验探究方法与下列实验是相同的________。
A.探究两个互成角度的力的合成规律
B.探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(2)小明同学用向心力演示器进行实验，实验情景如甲、乙、丙三图所示
三个情境中，图________是探究向心力大小F与质量m关系(选填“甲”“乙”或“丙”)；在乙情境中，若两钢球所受向心力的比值为1∶9，则实验中选取两个变速塔轮的半径之比为________。
(3)小王同学利用传感器进行探究，通过图丁所示的装置探究物体做圆周运动的向心力与质量、轨道半径及线速度的关系。滑块套在光滑水平杆上，随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小F。滑块上固定一遮光片，与固定在铁架台上的光电门可测量滑块的线速度v。小王同学先保持滑块质量和半径不变，来探究向心力大小与线速度大小的关系。
小王同学通过改变转速测量多组数据，记录力传感器示数F，算出对应的线速度v及v2的数值，以v2为横轴，F为纵轴，作F－v2图线，如图戊所示，若滑块运动半径r＝0.3 m，由图线可得滑块的质量m＝________ kg。
解析　(1)探究向心力大小F与物体的质量m、角速度ω和轨道半径r的关系实验用到的实验探究方法为控制变量法；探究两个互成角度的力的合成规律用到等效法，故A不符合题意；探究加速度与物体受力、物体质量的关系用控制变量法，故B符合题意。
(2)探究向心力大小F与质量m关系，需保证角速度和半径不变，质量变化，应用甲图。
知识点三　向心力的计算
1.向心力大小
做匀速圆周运动所需向心力的大小，跟转动半径r成______，跟角速度ω的______成正比，跟物体的质量m成______。
正比
平方
正比
2.向心力公式
(1)F＝_______。
(2)F＝_______。
3.向心力方向：向心力的方向总与物体的速度方向______，所以它只改变速度的______，不改变速度的______。
mω2r
垂直
方向
大小
对做匀速圆周运动的一定质量的物体：
(1)当________一定时，所需要的向心力与半径成正比。
(2)当________一定时，所需要的向心力与半径成反比。
角速度
线速度
例3 如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动。已知小球质量m＝0.50 kg，角速度大小ω＝2 rad/s，细线长L＝0.20 m。
(1)求小球的线速度大小v、周期T、转速n；
(2)求细线对小球的拉力大小F；
(3)若细线最大能承受10.0 N的拉力，求小球运行的最大线速度vm。
分析清楚向心力的来源是解决圆周运动问题的关键，分析向心力来源的步骤如下：
知识点四　向心加速度
(1)质量为m的物体，沿半径为r的圆以速率v做匀速圆周运动，则物体需要的向心力为多大？(2)根据牛顿第二定律推理向心加速度的大小和方向？
一、向心加速度
1.定义：做匀速圆周运动的物体，在向心力的作用下，产生的指向______的加速度叫作____________。
2.方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，与该点的线速度方向______。
由于向心加速度方向时刻______，所以所有圆周运动都是非匀变速曲线运动。
圆心
向心加速度
垂直
改变
ω2r
向心加速度与半径的关系(如图所示)
4.作用效果：向心加速度只改变速度的______，不改变速度的______。
5.物理意义：向心加速度是描述线速度方向改变______的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小。
方向
大小
快慢
二、加速度与向心加速度
1.匀速圆周运动的加速度与向心加速度
做匀速圆周运动的物体，其向心加速度就是它的________，所受到的向心力就是它受到的______。
2.非匀速圆周运动的加速度与向心加速度
做非匀速圆周运动的物体，它在某一时刻的向心加速度只是它的加速度的一个______ (另一个分量沿切线方向，称为切向加速度)，它受到的向心力也只是它受到的合力中______________的一个分力(另一个分力沿切线方向)。
加速度
合力
分量
指向圆心方向
【思考】
物体的加速度与线速度成锐角时，物体的速度大小如何变化？成钝角时呢？
提示　加速度与线速度成锐角，做加速圆周运动，成钝角做减速圆周运动。
AC
例4 (多选)(2024·河北衡水高一期末)一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为4.0 m，线速度为2.0 m/s，则小孩做圆周运动的(　　)
B
训练 (2024·成都一中高二校联考)如图所示，某教室墙上的窗户在外力作用下绕OO′轴转动，窗户上A、B两点到OO′轴的距离之比为3∶1，则(　　)
A.A、B两点转动的角速度大小之比为3∶1
B.A、B两点转动的线速度大小之比为3∶1
C.A、B两点的向心加速度大小之比为9∶1
D.A、B两点转动的周期之比为1∶3
随堂对点自测
2
BC
1.(向心力的理解)(多选)关于向心力，下列说法正确的是(　　)
A.做匀速圆周运动的物体一定受到一个向心力的作用
B.向心力是指向圆心方向的合力，它是根据力的作用效果命名的
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某个力的分力
D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定提供向心力
解析　物体做圆周运动就需要有向心力，向心力由指向圆心方向的合力提供，它是根据力的作用效果命名的，向心力可以是由重力、弹力、摩擦力等各种力来提供，或者是他们的合力来提供，也可以是某个力的分力来提供，故A错误，B、C正确；在非匀速圆周运动中，向心力由合力沿圆心方向的分力提供，故D错误。
2.(探究向心力大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系)用如图所示的实验装置研究影响向心力大小的因素。长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧力筒下降，从而露出标尺，根据标尺上的等分格可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。
(1)当传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，套有皮带的塔轮边缘处的________(选填“线速度”或“角速度”)大小相等。
(2)探究向心力与半径的关系时，应将皮带套在两塔轮半径________(填“相同”或“不同”)的轮盘上，将质量相同的小球分别放在哪两个挡板处________(填选择项字母)
A.“A”处和“B”处 B.“A”处和“C”处
C.“B”处和“C”处
答案　(1)线速度　(2)相同　C
解析　(1)根据题意，由皮带传动可知，套有皮带的塔轮边缘处的线速度相等。
(2)根据题意可知，探究向心力与半径的关系时，应保持质量和角速度相等，半径不相等，则应将皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上，并将质量相同的小球分别放在“B”处和“C”处。故选C。
B
3.(向心力的计算)(教科版P38T3改编)一个做匀速圆周运动的物体，运动半径不变，而线速度大小增加为原来的2倍，其向心力增大了24 N，那么在未改变速度大小时，物体所受的向心力为(　　)
A.6 N B.8 N C.12 N D.16 N
CD
4.(向心加速度)(多选)(2024·四川绵阳高一期末)小球被细绳拴着做匀速圆周运动，轨道半径为R，向心加速度为a，那么(　 　)
课后巩固训练
3
B
题组1　向心力及其来源分析
1.(2024·重庆市第七中学高一期中)关于向心力，下列说法中正确的是(　　)
A.物体由于做圆周运动而产生一个向心力
B.向心力不改变物体做圆周运动的速度大小
C.做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力
D.所有做圆周运动的物体所受的合力即为向心力
解析　由于物体所受合力总是指向圆心，导致物体做圆周运动，按效果命名称之为向心力，A错误；做匀速圆周运动的物体的向心力大小不变，方向时刻在变，故向心力是变力，它只改变速度方向，不改变速度大小，B正确，C错误；只有做匀速圆周运动的物体所受的合力才作为向心力，D错误。
对点题组练
C
2.(2024·四川绵阳高一统考)物体m用细线通过光滑的水平板间小孔与砝码M相连，并且正在做匀速圆周运动，如图所示，对物体m进行受力分析，下列说法正确的是(　　)
A.只受重力和支持力
B.只受重力、支持力、细线的拉力、向心力
C.只受重力、支持力、细线的拉力
D.只受重力、支持力、细线的拉力、M的重力
解析　向心力是一种效果力，由其他外力，或其他外力沿半径方向的合力提供，实际上不存在，因此，物体受到重力、支持力与细线的拉力三个力的作用。故C正确。
题组2　探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r的关系
3.(2024·四川南充高一校考)在“探究向心力F的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系”中，我们用如图甲所示的实验装置来探究这个关系。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。
(1)如图乙，把皮带放在皮带盘第一挡，此时转速比为1∶1，将质量不同的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径相等的横臂挡板内侧，即保持ω和r相同。然后摇动手柄，记录实验数据，研究小球做圆周运动所需向心力F与________之间的关系。
A.质量m　　 B.角速度ω　　 C.半径r
(2)如图丙，把皮带放在皮带盘第二挡(第三挡)，此时转速比为1∶2(1∶3)；将质量相同的钢球分别放在长、短槽上半径相等的横臂挡板内侧，即保持m和r相同。然后摇动手柄，记录实验数据，研究小球做圆周运动所需向心力F与________之间的关系。
A.质量m B.角速度ω C.半径r
(3)如图丁，把皮带放在皮带盘第一挡，此时转速比为1∶1；将长槽上的钢球由第一挡板内侧移到第二挡板，此时两个质量相同的钢球相对转轴的半径之比为2∶1。然后摇动手柄，记录实验数据，研究小球做圆周运动所需向心力F与________之间的关系。
A.质量m B.角速度ω C.半径r
分析实验所测得的数据，研究找到物体做匀速圆周运动所需向心力的大小与物体的质量、角速度和运动半径之间的关系。
答案　(1)A　(2)B　(3)C
解析　(1)本实验采用的是控制变量法，保持ω和r相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与质量m的关系，故选A。
(2)本实验采用的是控制变量法，保持m和r相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与角速度之间的关系，故选B。
(3)本实验采用的是控制变量法，保持m和ω相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与半径之间的关系，故选C。
AC
题组3　向心力的计算
4.(多选)如图所示为甩干桶简易模型。若该模型的半径为r＝16 cm，以角速度ω＝50 rad/s做匀速圆周运动，质量为10 g的小物体随桶壁一起转动，下列说法正确的是(　　)
A.甩干桶壁上某点的线速度大小为8 m/s
B.甩干桶壁上某点的线速度大小为6.25 m/s
C.小物体对桶壁的压力为4 N
D.小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力
解析　甩干桶壁上某点的线速度大小为v＝ωr＝8 m/s，故A正确，B错误；桶壁对小物体的弹力提供向心力，则N＝mω2r＝4 N，根据牛顿第三定律可知，小物体对桶壁的压力为4 N，故C正确；小物体受到重力、弹力、摩擦力作用，弹力提供向心力，故D错误。
B
5.甲、乙两物体都做匀速圆周运动，它们的质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为(　　)
A.1∶4 B.4∶9 C.2∶3 D.9∶16
D
题组4　向心加速度
6.(2024·四川绵阳高一统考期末)如图所示是甲、乙两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像，其中甲是反比例函数图像的一个分支。由图可知(　　)
A.甲、乙物体的角速度都不变
B.甲、乙物体的线速度大小都不变
C.甲物体的角速度不变，乙物体的线速度大小不变
D.甲物体的线速度大小不变，乙物体的角速度不变
D
7.(2024·江西南昌高一期末)如图所示，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A和B是前轮和后轮边缘上的点，若拖拉机行进时车轮没有打滑，则(　　)
A.两轮转动的周期相等
B.两轮转动的转速相等
C.A点和B点的线速度大小之比为1∶2
D.A点和B点的向心加速度大小之比为2∶1
C
综合提升练
8.(2024·四川广元高一苍溪中学期中)如图所示，一个小球被细线拉着在光滑水平面上做匀速圆周运动，对该小球下列说法正确的是(　　)
A.小球速度不变
B.小球向心加速度不变
C.小球受到的向心力时刻在发生改变
D.小球相同时间内运动的位移相同
解析　速度和向心加速度是矢量，小球被细线拉着在光滑水平面上做匀速圆周运动，速度和向心加速度方向不断变化，故A、B错误；根据牛顿第二定律可知，小球受绳子拉力提供向心力，拉力方向不断变化，故C正确；位移是矢量，小球相同时间内运动的位移大小相等方向不同，故D错误。
AC
A.小球的角速度突然增大 B.小球的角速度突然减小
C.小球对细线的拉力突然增大 D.小球对细线的拉力保持不变
C
11.如图甲所示是一个研究向心力大小与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的水平圆盘上，圆周轨道的半径为r，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度大小，表格中是所得数据，图乙为F－v图像、F－v2图像、F－v3图像。
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
(1)数据表格和图乙中的三个图像是在用实验探究向心力F和圆柱体线速度大小v的关系时，保持圆柱体质量不变、半径r＝0.1 m的条件下得到的。研究图像后，可得出向心力F和圆柱体线速度大小v的关系式为_______________。
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
(2)为了研究F与r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持________不变。
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
答案　(1)F＝0.88 v2　(2)线速度大小v (3)0.088 kg
C
12.(2024·广西南宁高一期中)一个小物块从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑过程中由于摩擦力的作用，物块的速率恰好保持不变，如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A.物块的加速度为零
B.物块所受合外力越来越大
C.物块所受合外力大小保持不变，但方向时刻改变
D.物块所受摩擦力大小不变
培优加强练

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