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培优提升四　圆周运动的两种模型及临界问题
(分值：100分)
选择题1～9题，每小题8分，共72分。
对点题组练
题组1　竖直面内的圆周运动模型
1.(2024·广西河池高一校联考)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为6 m，该同学和秋千踏板的总质量约为40 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为6 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)
240 N 320 N
640 N 400 N
2.(多选)在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则(　　)
在最高点A，小球受重力和向心力
在最高点A，小球受重力和圆弧的压力
在最高点A，小球的速度为
在最高点A，小球的向心加速度为2g
3.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过轨道最高点而不脱离轨道的最小速度是v，则当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是(　　)
0 3mg
5mg 8mg
4.(多选)如图所示，有一个半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球直径远小于R，则关于小球在最高点时的速度v，下列叙述中正确的是(　　)
v的最小值为
v由零逐渐增大，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大
当v由逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大
当v由逐渐减小时，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大
题组2　圆周运动的临界问题
5.(多选)(2024·广西河池高一统考期末)如图所示，A、B两个相同的茶杯放在餐桌上的自动转盘上，O为转盘圆心，B、O间距大于A、O间距，B杯中装满水，A杯是空杯，转盘在电动机的带动下匀速转动，A、B两杯与转盘始终保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A受到的摩擦力比B的大
B受到的摩擦力比A的大
增大转动的角速度，B一定先滑动
增大转动的角速度，A有可能先滑动
6.(2024·成都实验外国语学校高一校联考)如图所示，质量为m的杂技演员进行表演时，可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。演员与圆筒间的摩擦因数为μ，圆筒半径为r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则该演员(　　)
受到4个力的作用
受到的弹力大小为mω2r
角速度ω越大，受到的摩擦力越大
圆筒的角速度ω≥
7.(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a长为L，当绳a与竖直方向成θ角时，绳b在水平方向，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
a绳的张力不可能为零
a绳的张力随角速度的增大而增大
当角速度ω>，b绳将出现弹力
如b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
综合提升练
8.(2024·四川雅安高一期末)如图所示，质量为m的小球刚好静止在竖直放置的光滑圆管道内的最低点，管道的半径为R(不计内外径之差)，水平线ab过轨道圆心，现给小球一向右的初速度，下列说法正确的是(　　)
若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时的速度为
若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时的速度为零
小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力
小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
9.(2024·江苏如皋高一期末)如图甲所示，长为R的轻杆一端固定一个小球，小球在竖直平面内绕轻杆的另一端O做圆周运动，小球到达最高点时受到杆的弹力F与速度平方v2的关系如图乙所示，则(　　)
小球到达最高点的速度不可能为0
当地的重力加速度大小为
v2＜b时，小球受到的弹力方向竖直向下
v2＝c时，小球受到的弹力方向竖直向下
10.(8分)如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝的速度过轨道最高点B，并以v2＝v1的速度过最低点A，求在A、B两点轨道对摩托车的弹力大小相差为多少？
11.(10分)如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)。
(1)(5分)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)(5分)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
培优加强练
12.(10分)(2024·四川遂宁高二开学考试)如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。求：
(1)(3分)A、B小球分别到达C点时的速度大小是多少；
(2)(3分)A、B小球通过C点后分别经过多长时间落地；
(3)(4分)A、B两球落地点间的距离。
培优提升四　圆周运动的两种模型及临界问题
1.B　[在最低点，根据牛顿第二定律有2T－mg＝，解得T＝320 N，即每根绳子拉力约为320 N，故B正确。]
2.BD　[小球在最高点受重力和压力，由牛顿第二定律得N＋mg＝ma＝m，又N＝mg，所以a＝2g，v＝，故B、D正确，A、C错误。]
3.D　[当小球以速度v经内侧轨道最高点时不脱离轨道，小球仅受重力，重力提供向心力，有mg＝m；当小球以速度3v经内侧轨道最高点时，小球受重力G和向下的弹力N，合力提供向心力，有mg＋N＝m，联立解得N＝8mg，又由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力大小N′＝N＝8mg，D正确。]
4.CD　[小球在最高点，管道对小球的作用力可以向上，也可以向下，所以v的最小值为零，故A错误；在最高点，当v＝时，根据牛顿第二定律得mg－N＝m，可得管道对球的作用力N＝0；当v<时，管道对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律得mg－N＝m，当v由逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐增大；当v>时，管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律得mg＋N＝m，当v由逐渐增大时，管道对小球的弹力也逐渐增大，故C、D正确，B错误。]
5.BC　[茶杯随转盘转动时由静摩擦力提供向心力，则有f＝mω2r，由于mB>mA、rB>rA，则B受到的摩擦力比A的大，故A错误，B正确；设茶杯发生滑动的临界角速度为ω0，则有μmg＝mωr，得ω0＝；由此可知，增大转动的角速度，B一定先滑动，故C正确，D错误。]
6.B　[杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力，共3个力作用，由于杂技演员在圆筒内壁上不掉下来，竖直方向上没有加速度，重力与静摩擦力二力平衡，静摩擦力不变，靠弹力提供向心力，A、C错误，B正确；要让杂技演员不掉下来有μF≥mg，F＝mω2r，解得ω≥，D错误。]
7.AC　[由于小球在水平面内做匀速圆周运动，合力沿水平方向指向圆心，而b绳沿水平方向，故其重力只能由a绳的张力在竖直方向上的分力来平衡，可知A正确；当角速度较小时，b绳处于松弛状态，设绳a与竖直方向夹角为α，分析小球受力，由力的平衡及牛顿第二定律得Tcos α＝mg及Tsin α＝mLsin α·ω2，解得T＝mLω2∝ω2，联立解得ω＝，可见此时a绳与竖直方向间的夹角α随角速度的增大而增大，当α＝θ后b绳上出现弹力；之后角速度再增大而a绳与竖直方向间夹角不再改变，则a上的张力T＝也不再改变，B错误，C正确；由于绳b可能没有弹力，故b绳被剪断，则a绳的弹力可能不变，D错误。]
8.B　[在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，A错误，B正确；小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C错误；小球在水平线ab以上管道中运动时，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力。当速度比较小时，内侧管壁有作用力，外侧管壁没有作用力，D错误。]
9.D　[因杆既能提供支持力，又能提供拉力，则杆—球模型的最高点临界条件是v＝0，则有a＝mg，即小球到达最高点的最小速度为0，故A错误；由F－v2图像可知，在0≤v2＜b时，以较小速度通过最高点，杆提供支持力，由牛顿第二定律有mg－F＝m，可得F＝mg－m，随着通过最高点速度增大，杆的支持力为正值(规定向上为正)逐渐减小，而当v2＝b时，有F＝0，即mg＝m，解得g＝，故B、C错误；由以上分析可知，在v2>b时，以较大速度通过最高点，杆提供拉力，拉力为负值表示方向向下，由牛顿第二定律有mg＋F＝m，可得F＝m－mg，大小随着速度增大而增大，而v2＝c＞b，则小球受到的弹力方向一定竖直向下，故D正确。]
10.6mg
解析　在B点，有FB＋mg＝m
解得FB＝mg
在A点，有FA－mg＝m
解得FA＝7mg
FA－FB＝6mg
所以在A、B两点轨道对摩托车的弹力大小相差6mg。
11.(1) rad/s　(2)2 rad/s
解析　(1)若小球刚好要离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，且细线与竖直方向的夹角为θ，受力分析如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律得mgtan θ＝mωlsin θ
解得ω0＝＝ rad/s。
(2)当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律得mgtan α＝mω′2lsin α
解得ω′＝＝2 rad/s。
12.(1)2　　(2)2　2　(3)3R
解析　(1)球在圆管内做圆周运动，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，可知此时圆管对A有竖直向下的弹力，大小为3mg，根据牛顿第二定律有3mg＋mg＝m
同理，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg，可知此时圆管对B有竖直向上的弹力，大小为0.75mg，根据牛顿第二定律有mg－0.75mg＝m
解得vA＝2，vB＝。
(2)两球从C点水平射出，做平抛运动，竖直方向有gt2＝2R
解得两球通过C点后到落地的时间均为t＝2
(3)A、B两球落地点间的距离为s＝vAt－vBt＝3R。培优提升四　圆周运动的两种模型及临界问题
学习目标　1.掌握竖直面内圆周运动的绳—球模型、杆—球模型的特点及分析方法。2.能利用临界条件分析圆周运动的临界问题。
提升1　竖直面内的圆周运动模型
竖直面内圆周运动的两种模型对比
轻绳模型 轻杆模型
情境 图示
模型 特征 下无支撑 上有约束 下有支撑 上有约束
通过最高点条件　 最小速度为(即v≥) v≥0
v＜时 在到达最高点前已脱离轨道 mg－N＝m 对杆(下壁)有压力
v＝时 mg＝m 刚好通过最高点做圆周运动 mg＝m N＝0，做圆周运动
v＞时 mg＋T＝m 对绳(轨道)有向上的拉(压)力，做圆周运动 mg＋N＝m 对杆(上壁)有向上的拉(压)力，做圆周运动
模型1　竖直面内圆周运动的绳一球(过山车)模型
例1 一质量为0.5 kg的小球，用长为0.4 m的细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动(g取10 m/s2)，求：
(1)若过最高点时的速度为4 m/s，此时小球角速度是多大？
(2)若过最高点时绳的拉力刚好为零，此时小球速度大小？
(3)若过最低点时的速度为6 m/s，此时绳的拉力大小？
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训练1 杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
模型2　竖直面内圆周运动的杆一球模型
例2 长L＝0.5 m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A，A的质量为m＝2 kg。当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力(g取10 m/s2)：
(1)A在最高点的速度为1 m/s；
(2)A在最高点的速度为4 m/s。
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竖直平面内圆周运动的求解思路
训练2 (多选)竖直平面内的圆周运动是物理学里的经典模型之一，某同学通过如下实验来探究其相关规律：如图，质量为m的小球固定在力传感器测量的一侧，传感器另一侧固定在轻杆一端，现给小球一初速度让其绕O点做圆周运动，小球到O点距离为L，已知当力传感器受到压力时读数为负，受到拉力时读数为正，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　)
A.只有当小球通过圆周最高点的速度大于等于时才能完成完整的圆周运动
B.若小球通过圆周最高点时速度为，则力传感器读数为－mg
C.小球在与圆心等高的B点下方运动过程中，力传感器读数总是为正值
D.若小球通过圆周最低点时速度为，则力传感器读数为mg
提升2　圆周运动的临界问题
1.临界问题：在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
2.临界条件：(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到________。
(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为________。
(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到________承受值。
(4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为________。
3.列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
角度1　摩擦力临界
例3 如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离均为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)
A.1 rad/s B. rad/s
C. rad/s D.3 rad/s
听课笔记_____________________________________________________________
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训练3 (多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′间的距离为l，b与转轴间的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度。下列说法正确的是(　　)
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω＝是b开始滑动的临界角速度
D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
角度2　弹力临界
例4 如图所示，两绳系着一个质量为m＝0.1 kg的小球C，上面绳长l＝2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度ω满足什么条件时，两绳始终张紧？(g取10 m/s2)
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训练4 如图所示，转动轴垂直于光滑平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长AB＝l>h，小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动(重力加速度为g)。要使球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(　　)
A. B.π
C. D.2π
随堂对点自测
1.(过山车模型)如图所示，游乐场里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒。若乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于其自身重力的一半，轨道半径为R，重力加速度为g，则此时过山车的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
2.(绳—球模型)(2024·四川绵阳高一统考期中)如图所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球A(视为质点)，另一端固定于O点，当绳竖直时小球静止。现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，且刚好能过最高点，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　)
A.小球过最高点时，速度可能为零
B.小球过最高点时，绳的拉力不可能为零
C.小球过最高点时，速度大小为
D.开始运动时，绳的拉力为m
3.(杆—球模型)(多选)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是
C.若小球过最高点的速度v＞时，杆对球的作用力竖直向下
D.若小球过最高点的速度v＜时，速度v越小，杆对球的作用力越大
4.(圆周运动临界问题)(2024·四川眉山高一统考期中)如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴匀速转动，下列说法中正确的是(　　)
A.物块受三个力作用
B.物块处于平衡状态
C.在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘
D.在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘
培优提升四　圆周运动的两种模型及临界问题
提升1
例1 (1)10 rad/s　(2)2 m/s　(3)50 N
解析　(1)当小球在最高点速度为4 m/s时，可得角速度为
ω＝＝ rad/s＝10 rad/s。
(2)通过最高点时绳子拉力为零，此时重力提供向心力，有mg＝m，可得速度为v＝＝＝2 m/s。
(3)通过最低点时，根据牛顿第二定律得F1－mg＝m，代入数据解得F1＝50 N。
训练1 B　[“水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，“水流星”的重力提供向心力，则水恰好不流出，容器底部受到的压力为零，故B正确。]
例2 (1)16 N，方向向下　(2)44 N，方向向上
解析　设小球A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有相互作用力，此时向心力完全由小球的重力提供，根据牛顿第二定律有mg＝m，代入数据解得v0＝＝ m/s。
(1)当A在最高点的速度为v1＝1 m/s时，因v1＜v0，此时小球A受到杆向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－F1＝m，代入数据解得F1＝16 N，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为16 N，方向向下。
(2)当A在最高点的速度为v2＝4 m/s时，因v2＞v0，此时小球A受到杆向下的拉力作用，根据牛顿第二定律有mg＋F2＝m，代入数据解得F2＝44 N，根据牛顿第三定律得，小球对杆的作用力大小为44 N，方向向上。
训练2 BC　[根据轻杆模型中过最高点的临界条件可知，A错误；在最高点受力分析有mg＋F＝m，将速度代入，解得F＝－mg，即小球受到向上的支持力，由牛顿第三定律可知传感器受到向下的压力，B正确；小球在与圆心等高的B点下方运动过程中，受到力传感器的拉力，力传感器读数总是为正值，C正确；在最低点受力分析，有F－mg＝m，将速度代入，解得F＝3mg，D错误。]
提升2
2.(1)最大值　(2)0　(3)最大　(4)0
例3 B　[对A有μ1mAg≥mAω2r，对A、B整体有(mA＋mB)ω2r≤μ2(mA＋mB)g，代入数据解得ω≤ rad/s，故B正确。]
训练3 AC　[因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两小木块转动过程中角速度相等，根据牛顿第二定律可得f＝mω2R。由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，选项B错误；因为两小木块所受的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，选项A正确；当b开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mω·2l，可得ω1＝，选项C正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωl，可得ω2＝，而圆盘的角速度ω＝<，小木块a未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得f＝mω2l＝kmg，选项D错误。]
例4 2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
解析　当ω由零逐渐增大时可能出现两个临界值：
其一是BC恰好拉直，但不受拉力；其二是AC恰好拉直，但不受拉力，设两种情况下的转动角速度分别为ω1和ω2，小球受力情况如图所示。
当BC恰好拉直，但没有拉力存在时(T2＝0)，有
T1cos 30°＝mg
T1sin 30°＝mωlsin 30°
联立解得ω1＝2.4 rad/s
当AC恰好拉直，但没有拉力存在时(T1＝0)，有
T2cos 45°＝mg
T2sin 45°＝mωlsin 30°
联立解得ω2＝3.16 rad/s
所以要使两绳始终张紧，ω必须满足的条件是
2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。
训练4 C　[当小球对水平面的压力为零时，有mgtan θ＝mω2lsin θ，解得最大角速度为ω＝＝，则最大转速为n＝＝ ，选项C正确，A、B、D错误。]
随堂对点自测
1.C　[乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于其自身重力的一半，则座椅对乘客的支持力也为重力的一半，由于在最高点时，乘客在座椅里面头朝下，所以座椅对乘客的支持力也朝下，则有N＋mg＝m，N＝0.5mg，联立解得v＝，C正确。]
2.C　[小球刚好越过最高点，可知T＝0，根据牛顿第二定律可得mg＝m，解得v＝，故A、B错误，C正确；开始运动时，根据牛顿第二定律可得T－mg＝m，解得T＝mg＋m，故D错误。]
3.ACD　[当小球过最高点时速度v＝，重力恰好提供向心力，杆所受到的弹力等于零，故A正确；因为杆可以对小球提供向上的支持力，故小球过最高点时最小速度为0，故B错误；若小球过最高点时速度v＞，重力比所需要的向心力小，杆对球的作用力竖直向下，故C正确；若小球过最高点的速度v＜时，杆对球的作用力竖直向上，此时有mg－N＝m，v越小，杆对球的作用力N越大，故D正确。]
4.A　[物块绕固定轴做匀速圆周运动，对其受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力共三个力作用，合力提供向心力，故A正确，B错误；根据向心力公式F＝mr，可知，当物块到转轴距离一定时，周期越小，所需向心力越大，越容易脱离圆盘，故C错误；根据向心力公式F＝mω2r可知，当ω一定时，物块到转轴的距离越远，半径越大，所需的向心力越大，越容易脱离圆盘，故D错误。](共53张PPT)
培优提升四　圆周运动的两种模型及临界问题
第二章 匀速圆周运动
1.掌握竖直面内圆周运动的绳—球模型、杆—球模型的特点及分析方法。2.能利用临界条件分析圆周运动的临界问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　圆周运动的临界问题
提升1　竖直面内的圆周运动模型
提升1　竖直面内的圆周运动模型
竖直面内圆周运动的两种模型对比
模型1　竖直面内圆周运动的绳一球(过山车)模型
例1 一质量为0.5 kg的小球，用长为0.4 m的细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动(g取10 m/s2)，求：
(1)若过最高点时的速度为4 m/s，此时小球角速度是多大？
(2)若过最高点时绳的拉力刚好为零，此时小球速度大小？
(3)若过最低点时的速度为6 m/s，此时绳的拉力大小？
B
训练1 杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
模型2　竖直面内圆周运动的杆一球模型
例2 长L＝0.5 m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A，A的质量为m＝2 kg。当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力(g取10 m/s2)：
(1)A在最高点的速度为1 m/s；
(2)A在最高点的速度为4 m/s。
竖直平面内圆周运动的求解思路
BC
训练2 (多选)竖直平面内的圆周运动是物理学里的经典模型之一，某同学通过如下实验来探究其相关规律：如图，质量为m的小球固定在力传感器测量的一侧，传感器另一侧固定在轻杆一端，现给小球一初速度让其绕O点做圆周运动，小球到O点距离为L，已知当力传感器受到压力时读数为负，受到拉力时读数为正，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　)
提升2　圆周运动的临界问题
1.临界问题：在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
2.临界条件：(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到________。
(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为____。
(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到______承受值。
(4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为____。
3.列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
最大值
0
最大
0
B
角度1　摩擦力临界
例3 如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离均为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)( )
AC
训练3 (多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′间的距离为l，b与转轴间的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度。下列说法正确的是(　　)
解析　因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两小木块转动过程中角速度相等，根据牛顿第二定律可得f＝mω2R。由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，选项B错误；
角度2　弹力临界
例4 如图所示，两绳系着一个质量为m＝0.1 kg的小球C，上面绳长l＝2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度ω满足什么条件时，两绳始终张紧？(g取10 m/s2)
其一是BC恰好拉直，但不受拉力；其二是AC恰好拉直，但不受拉力，设两种情况下的转动角速度分别为ω1和ω2，小球受力情况如图所示。
C
训练4 如图所示，转动轴垂直于光滑平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长AB＝l>h，小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动(重力加速度为g)。要使球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(　　)
随堂对点自测
2
C
1.(过山车模型)如图所示，游乐场里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒。若乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于其自身重力的一半，轨道半径为R，重力加速度为g，则此时过山车的速度大小为(　　)
C
2.(绳—球模型)(2024·四川绵阳高一统考期中)如图所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球A(视为质点)，另一端固定于O点，当绳竖直时小球静止。现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，且刚好能过最高点，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　)
ACD
3.(杆—球模型)(多选)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　 )
A
4.(圆周运动临界问题)(2024·四川眉山高一统考期中)如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴匀速转动，下列说法中正确的是(　　)
A.物块受三个力作用
B.物块处于平衡状态
C.在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘
D.在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘
课后巩固训练
3
B
题组1　竖直面内的圆周运动模型
1.(2024·广西河池高一校联考)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为6 m，该同学和秋千踏板的总质量约为40 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为6 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)
A.240 N B.320 N C.640 N D.400 N
对点题组练
BD
2.(多选)在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则(　　)
D
3.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过轨道最高点而不脱离轨道的最小速度是v，则当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是(　　)
A.0 B.3mg C.5mg D.8mg
CD
4.(多选)如图所示，有一个半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球直径远小于R，则关于小球在最高点时的速度v，下列叙述中正确的是(　　)
BC
题组2　圆周运动的临界问题
5.(多选)(2024·广西河池高一统考期末)如图所示，A、B两个相同的茶杯放在餐桌上的自动转盘上，O为转盘圆心，B、O间距大于A、O间距，B杯中装满水，A杯是空杯，转盘在电动机的带动下匀速转动，A、B两杯与转盘始终保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A.A受到的摩擦力比B的大
B.B受到的摩擦力比A的大
C.增大转动的角速度，B一定先滑动
D.增大转动的角速度，A有可能先滑动
B
6.(2024·成都实验外国语学校高一校联考)如图所示，质量为m的杂技演员进行表演时，可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。演员与圆筒间的摩擦因数为μ，圆筒半径为r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则该演员(　　)
AC
7.(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a长为L，当绳a与竖直方向成θ角时，绳b在水平方向，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
B
综合提升练
8.(2024·四川雅安高一期末)如图所示，质量为m的小球刚好静止在竖直放置的光滑圆管道内的最低点，管道的半径为R(不计内外径之差)，水平线ab过轨道圆心，现给小球一向右的初速度，下列说法正确的是(　　)
解析　在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，A错误，B正确；小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C错误；小球在水平线ab以上管道中运动时，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力。当速度比较小时，内侧管壁有作用力，外侧管壁没有作用力，D错误。
D
9.(2024·江苏如皋高一期末)如图甲所示，长为R的轻杆一端固定一个小球，小球在竖直平面内绕轻杆的另一端O做圆周运动，小球到达最高点时受到杆的弹力F与速度平方v2的关系如图乙所示，则(　　)
解析　因杆既能提供支持力，又能提供拉力，则杆—球模型的最高点临界条件是v＝0，则有a＝mg，即小球到达最高点的最小速度为0，故A错误；由F－v2图像可知，在0≤v2＜b时，以较小速度通过最高点，杆提供支持力，由牛顿第二定
11.如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)。
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解析　(1)若小球刚好要离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，且细线与竖直方向的夹角为θ，受力分析如图所示。
(2)当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律得
mgtan α＝mω′2lsin α
培优加强练
12.(2024·四川遂宁高二开学考试)如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。求：
(1)A、B小球分别到达C点时的速度大小是多少；
(2)A、B小球通过C点后分别经过多长时间落地；
(3)A、B两球落地点间的距离。
解析　(1)球在圆管内做圆周运动，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，可知此时圆管对A有竖直向下的弹力，大小为3mg，根据牛顿第二定律有
同理，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg，可知此时圆管对B有竖直向上的弹力，大小为0.75mg，根据牛顿第二定律有

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