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培优提升五　应用万有引力定律解决“三个”热点
问题
(分值：100分)
选择题1～10题，每小题8分，共80分。
对点题组练
题组1　卫星变轨问题
1.(多选)(2024·成都树德中学高一期末)同步卫星在同步轨道上定位以后，由于受到太阳、月球及其他天体的引力作用影响，会产生漂移运动而偏离原来的位置，若偏离达到一定程度，就要发动卫星上的小发动机进行修正。如图所示，实线为离赤道地面36 000 km的同步轨道，B和C为两个已经偏离同步轨道但仍在赤道平面内运行的卫星，要使它们回到同步轨道上应(　　)
开动B的小发动机向前喷气，使B适当减速
开动B的小发动机向后喷气，使B适当加速
开动C的小发动机向前喷气，使C适当减速
开动C的小发动机向后喷气，使C适当加速
2.(多选)如图是我国发射神舟十五号载人飞船的入轨过程。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点点火加速，由椭圆轨道变成圆轨道，在此圆轨道上飞船运行的周期约为90分钟。下列判断正确的是(　　)
飞船变轨前后的线速度相等
飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度
飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
3.(多选)探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的停泊轨道，在该轨道的P处，通过变速，进入地月转移轨道，在到达月球附近的Q点时，对卫星再次变速，卫星被月球引力俘获后成为环月卫星，最终在环绕月球的工作轨道上绕月飞行(视为圆周运动)，对月球进行探测，工作轨道周期为T，距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探月卫星在工作轨道上环绕运动的影响。下列说法正确的是(　　)
月球的质量为
月球表面的重力加速度为
探月卫星需在P点加速才能从停泊轨道进入地月转移轨道
探月卫星需在Q点减速才能从地月转移轨道进入工作轨道
4.(多选)“嫦娥五号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面200 km的P点进行第一次变轨后被月球捕获，先进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示。之后，卫星在P点又经过两次变轨，最后在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。对此，下列说法正确的是(　　)
卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上大
卫星在轨道Ⅱ上P点的加速度小于在轨道Ⅲ上P点时的加速度
卫星在轨道Ⅲ上运动的速度大于月球的第一宇宙速度
在P点的两次变轨都必须减速做近心运动
题组2　双星及多星问题
5.(多选)(2024·江油一中高一期末)两颗星球A、B组成的双星系统，A、B的质量分别为m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两颗星球之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2。则可知(　　)
A与B做圆周运动的角速度之比为2∶3
A与B做圆周运动的线速度之比为2∶3
A做圆周运动的半径为L
B做圆周运动的半径为L
6.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的(　　)
质量之比mA∶mB＝2∶1
转动方向相反
角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
7.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)
T T
T T
题组3　卫星相距最近和最远问题
8.如图所示，在地球赤道上有一建筑物A，赤道所在的平面内有一颗卫星B绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，与地球自转方向相同；已知地球的质量为M，地球的自转周期为T0(T＜T0)，引力常量为G，当B在A的正上方时开始计时，下列说法正确的是(　　)
卫星离地的高度大于同步卫星离地的高度
由题中的条件不能求出卫星做匀速圆周运动的向心加速度
至少经过时间，B仍在A的正上方
至少经过时间，A与B相距最远
综合提升练
9.两颗人造卫星绕地球逆时针运行，卫星1、卫星2分别沿圆轨道、椭圆轨道运行，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，如图所示，下列说法中正确的是(　　)
两卫星在图示位置的速度v2＝v1
卫星2在A点的加速度较大
两卫星在A点或B点可能相遇
两卫星永远不可能相遇
10.如图所示，火星探测器经历椭圆轨道Ⅰ→椭圆轨道Ⅱ→圆轨道Ⅲ的变轨过程。Q为轨道Ⅰ的远火点，P为轨道Ⅰ的近火点，探测器在三个轨道运行时都经过P点。则探测器(　　)
沿轨道Ⅰ运行至P点的速度大于运行至Q点的速度
沿轨道Ⅱ运行至P点的加速度小于沿轨道Ⅲ运行至P点的加速度
沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期
与火星连线在相等时间内，沿轨道Ⅰ运行与沿轨道Ⅱ运行扫过的面积相等
11.(10分)(2024·江苏南通期末)嫦娥五号探测器是中国首个实施无人月面取样的航天器，其发射的简化过程如图所示。先将探测器送入近地圆轨道Ⅰ，在近地点多次变轨后依次进入椭圆轨道Ⅱ和地月转移轨道。被月球俘获后，再多次变轨进入近月圆轨道Ⅲ。已知轨道Ⅱ远地点和近地点到地心距离之比为a，探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ运行的周期之比为b，求：
(1)(5分)地球和月球的平均密度之比；
(2)(5分)探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运行的周期之比。
培优加强练
12.(10分)(2024·成都石室中学)中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示。设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，忽略地球的自转，求：
(1)(3分)飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速；
(2)(3分)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小；
(3)(4分)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2。
培优提升五　应用万有引力定律解决“三个”热点问题
1.AD　[由题意知B偏离同步轨道在高轨道运行，要回到低轨道的同步轨道，需要做近心运动，因此B应适当减速，发动机向前喷气，故A正确，B错误；C偏离同步轨道在低轨道运行，要回到高轨道的同步轨道，需做离心运动，发动机向后喷气，使C适当加速，故C错误，D正确。]
2.BC　[飞船点火加速变轨，前后的线速度不相等，故A错误；飞船在圆轨道上时，航天员出舱前后，航天员所受地球的万有引力全部用来提供航天员做圆周运动的向心力，航天员出舱前后均处于完全失重状态，故B正确；飞船在圆形轨道上的周期约为90分钟，小于同步卫星的周期，根据ω＝可知飞船的角速度大于同步卫星的角速度，故C正确；由牛顿第二定律可得飞船的加速度a＝，由于椭圆轨道的远地点P到地心的距离与变轨后的圆轨道的半径相等，则加速度大小相等，故D错误。]
3.BCD　[月球对探月卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有G＝m，解得月球质量m月＝，故A错误；在月球表面，有G＝mg月，解得g月＝，故B正确；探月卫星从停泊轨道进入地月转移轨道需要离心运动，需在P点加速，故C正确；从地月转移轨道进入工作轨道，做近心运动，需要在Q点减速，故D正确。]
4.AD　[根据开普勒第三定律＝k，可知卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上大，A正确；根据＝ma，解得a＝，卫星在轨道Ⅱ上P点的加速度等于在轨道Ⅲ上P点时的加速度，B错误；月球的第一宇宙速度是其最大的环绕速度，所以卫星在轨道Ⅲ上运动的速度小于月球的第一宇宙速度，C错误；在P点的两次变轨都必须减速做近心运动，D正确。]
5.BC　[双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，则角速度相等，故A项错误；向心力大小相等，有m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2，因为质量之比为m1∶m2＝3∶2，则轨道半径之比r1∶r2＝2∶3，所以A做圆周运动的半径为L，B做圆周运动的半径为L，故C项正确，D项错误；根据v＝ωr，角速度相等，可知A、B的线速度之比为2∶3，故B项正确。]
6.A　[双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，则两星的角速度和周期相同且转动方向相同，故B、C错误；根据万有引力提供向心力，有G＝mAω2rA＝mBω2rB，由此可得mA∶mB＝rB∶rA＝2∶1，故A正确；两星均由彼此间的万有引力提供向心力，则向心力大小相等，故D错误。]
7.B　[双星靠彼此的万有引力提供向心力，则有
G＝m1r1
G＝m2r2
并且r1＋r2＝L
解得T＝2π
当双星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时，
T′＝2π＝T
故选项B正确。]
8.C　[对卫星B，由万有引力提供向心力得＝mr，解得T＝2π，由于同步卫星的周期与地球自转周期相同，而T9.D　[v2为椭圆轨道的远地点的速度，v1表示卫星1做匀速圆周运动的速度，圆的半径和椭圆的半长轴相等，则v1>v2，故A错误；两个轨道上的卫星运动到A点时，所受的万有引力产生的加速度a＝，加速度相同，故B错误；椭圆的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律知，两颗卫星的运动周期相等，故不会相遇，故C错误，D正确。]
10.A　[根据开普勒第二定律可知，沿轨道Ⅰ运行至近火点P的速度大于运行至远火点Q的速度，选项A正确；根据a＝可知，沿轨道Ⅱ运行至P点的加速度等于沿轨道Ⅲ运行至P点的加速度，选项B错误；根据开普勒第三定律＝k，可知沿轨道Ⅰ运行的半长轴大于沿轨道Ⅱ运行的半长轴，则沿轨道Ⅰ运行的周期大于沿轨道Ⅱ运行的周期，选项C错误；根据开普勒第二定律可知，沿同一轨道运动时在相等的时间内与火星的连线扫过的面积相等，而在相等时间内，沿轨道Ⅰ运行与沿轨道Ⅱ运行扫过的面积一定不相等，选项D错误。]
11.(1)1∶b2　(2)
解析　(1)根据万有引力提供向心力，对近地轨道运动的探测器有
G＝mR地
地球的平均密度为ρ地＝
联立可得ρ地＝
对近月轨道运动的探测器有G＝mR月
月球的平均密度为ρ月＝
联立可得ρ月＝
地球和月球的平均密度之比＝＝。
(2)设地球的半径为R，则轨道Ⅱ的长轴为r′＝(1＋a)R
根据开普勒第三定律有＝
解得探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运行的周期之比＝。
12.(1)加速　(2)　(3)－R
解析　(1)飞船要进入预定圆轨道，需在B点加速。
(2)在地球表面有mg＝①
在A点时，根据牛顿第二定律有
G＝maA②
由①②式联立解得飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为aA＝。
(3)飞船在预定圆轨道上飞行时，由万有引力提供向心力，有
G＝m(R＋h2)③
由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T＝④
由①③④式联立解得h2＝－R。培优提升五　应用万有引力定律解决“三个”热点
问题
学习目标　1.知道卫星变轨的原因及如何变轨。2.知道航天器的对接问题的处理方式。3.理解双星模型的特点，会分析双星、多星问题。4.会分析卫星的最近和最远问题。
提升1　卫星变轨问题
1.卫星的稳定运行与变轨
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即G＝m。
(2)变轨运行
当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F引和m不再相等，会出现以下两种情况：
①当F引＞m时，卫星做近心运动；
②当F引＜m时，卫星做离心运动。
2.宇宙飞船变轨对接
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接
如图甲所示，低轨道飞船通过合理加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
例1 (2024·四川成都外国语高一期中)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点(如图所示)。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(　　)
A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.卫星在轨道3上经过P点时的速率小于它在轨道2上经过P点时的速率
C.卫星在轨道1上运行时的周期大于它在轨道2上运行时的周期
D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度大小等于它在轨道3上经过P点时的加速度大小
听课笔记___________________________________________________________
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(1)变轨问题相关物理量的比较
①两个不同轨道的“切点”处线速度大小不相等，图中Ⅰ为近地圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，A为近地点、B为远地点，Ⅲ为远地圆轨道。
②同一椭圆轨道上近地点和远地点的线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。
(2)变轨的两种情况
①两个不同圆轨道上的线速度大小v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅡA>vⅠA>vⅢB>vⅡB。
②不同轨道上运行周期T不相等，根据开普勒第三定律＝k知，图中TⅠ③两个不同轨道的“切点”处加速度a大小相同，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。
训练1 2022年5月10日，天舟四号货运飞船采用快速交会对接技术，顺利与在轨运行的天和核心舱进行交会对接。对接前，天舟四号货运飞船绕地球做椭圆运动，近地点A和远地点B，如图所示；天和核心舱在离地球表面高度为h处做匀速圆周运动。若对接地点在椭圆轨道的远地点B处，下列说法正确的是(　　)
A.天舟四号在A点的运行速度小于在B点的运行速度
B.天舟四号与天和核心舱对接后的运行速度大于7.9 km/s
C.天舟四号在B处点火加速，才能与天和核心舱顺利完成对接
D.若天和核心舱在轨运行时受阻力作用，则其运行周期将变大
提升2　双星及多星问题
1.双星模型
(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常我们把这样的两个星球称为“双星”。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
G＝m1ωr1，G＝m2ωr2。
②两颗星球的周期及角速度都相同，即T1＝T2，
ω1＝ω2。
③两颗星球的半径与它们之间的距离关系为
r1＋r2＝L。
(3)关系：两颗星球到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比。
2.多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它万有引力的合力提供的。
角度1　双星问题
例2 “开阳”双星是人们在1650年第一个用肉眼发现的双星。双星由两颗绕着共同中心旋转的恒星组成，即组成双星的两颗子星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动。如图所示，已知两颗子星的质量分别为m1和m2，二者相距r，引力常量为G，求：
(1)质量为m1的子星的转动半径r1；
(2)质量为m2的子星的运动周期T。
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训练2 (2024·四川高一内江期中)科学家发现距离地球2764光年的宇宙空间存在适合生命居住的双星系统，这一发现为人类研究地外生命提供了新的思路和方向。假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m和M的A、B两颗星体组成。这两颗星体绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，若AO>OB，则(　　)
A.A的向心力大于B的向心力
B.A的周期一定大于B的周期
C.因为AO>OB，所以m>M
D.A的线速度大小大于B的线速度大小
角度2　三星系统
例3 (多选)(2024·重庆高一期中)图示是由质量相等的三颗星组成的三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略。设每颗星体的质量均为m，三颗星分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动。已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A.每颗星体受到的向心力大小为G
B.每颗星体运行的周期均为2π
C.若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的2倍
D.若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的
听课笔记___________________________________________________________
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提升3　卫星的最近和最远问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示。
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。
例4 设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造地球卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r<5R，飞行方向与地球的自转方向相同，在某时刻，该人造地球卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为(地球同步卫星轨道半径约为6R)(　　)
A.2π B.
C.2π D.
训练3 如图，运行轨道在同一平面内的两颗人造卫星A、B，同方向绕地心做匀速圆周运动，此时刻A、B连线与地心恰在同一直线上且相距最近，已知A的周期为T，B的周期为。下列说法正确的是(　　)
A.A的线速度大于B的线速度
B.A的加速度大于B的加速度
C.A、B与地心连线在相同时间内扫过的面积相等
D.从此时刻到下一次A、B相距最近的时间为2T
随堂对点自测
1.(卫星的变轨问题)(多选)(2024·成都七中高一月考)我国航天事业近些年取得了举世瞩目的成就，如火星探测器天问一号的发射，其发射过程中的转移轨道如图甲、乙所示，如图甲所示，探测器由P点沿地火转移轨道运动到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则(　　)
A.天问一号由P点沿地火转移轨道运动到Q点所用时间超过6个月
B.天问一号在地火转移轨道Q点的速率小于地球公转的速率
C.天问一号在环绕火星的调相轨道上经过加速进入停泊轨道
D.天问一号在着陆火星前，进入火星的近火轨道，其运动周期与火星自转周期相等
2.(卫星的变轨问题)(2024·四川成都高一校考)发射某地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1(轨道半径等于地球半径R)，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3(轨道半径为r)，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，以下说法正确的是(　　)
A.卫星在轨道1上稳定运行的速度等于7.9 km/s
B.卫星在轨道2上经过Q点时的速度等于它在轨道1上经过Q点时的速度
C.卫星在轨道3上经过P点时的加速度大于它在轨道2上经过P点时的加速度
D.卫星在轨道1和轨道3上稳定运行的速度大小之比为
3.(双星问题)如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16万光年的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连接线上中间某个点旋转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质量不变。则以下说法中正确的是(　　)
A.双星之间引力变小 B.每颗星的加速度均变小
C.双星系统周期逐渐变大 D.双星系统转动的角速度变大
4.(卫星的最近和最远问题)(多选)(2024·四川凉山高一校联考期末)如图所示，A、B两颗人造卫星在同一轨道平面上同向绕地球做匀速圆周运动。若它们的轨道半径分别为rA、rB，周期分别为TA、TB。则(　　)
A.在相等的时间内，A、B两卫星分别与地球的连线扫过的面积相等
B.A卫星受到的引力一定大于B卫星受到的引力
C.两颗卫星从相距最近到第一次相距最远需要的时间t＝
D.若A卫星要变轨到B卫星的轨道，A卫星需要向后喷气
培优提升五　应用万有引力定律解决“三个”热点问题
提升1
例1 D　[根据G＝m，可得v＝，由于轨道3的半径大于轨道1的半径，则卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率，A错误；卫星由轨道2变轨到轨道3，需要向后喷气加速，可知，卫星在轨道3上经过P点时的速率大于它在轨道2上经过P点时的速率，B错误；根据开普勒第三定律＝k，由于轨道2的半长轴大于轨道1的半径，则卫星在轨道1上运行时的周期小于它在轨道2上运行时的周期，C错误；根据G＝ma，解得a＝G，可知卫星在轨道2上经过P点时的加速度大小等于它在轨道3上经过P点时的加速度大小，D正确。]
训练1 C　[根据开普勒第二定律可知，天舟四号在A点的运行速度大于在B点的运行速度，故A错误；7.9 km/s是第一宇宙速度，也是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，故B错误；天舟四号在B点点火加速，做离心运动达到更高轨道，与天和核心舱顺利完成对接，故C正确；若天和核心舱在轨运行时受阻力作用，则天和核心舱会到更低的轨道上运动，根据万有引力提供向心力可得＝mr，解得T＝，可知当半径减小时，核心舱的运行周期将变小，故D错误。]
提升2
例2 (1)　(2)
解析　(1)双星是同轴转动模型，其角速度相等，根据万有引力提供向心力，
对m1有＝m1ω2r1
对m2有＝m2ω2r2
且有r＝r1＋r2，联立解得r1＝。
(2)同时也可得到＝ω2(r1＋r2)＝ω2r
解得ω＝，则可得T＝＝。
训练2 D　[两颗星体做匀速圆周运动的向心力由彼此间的万有引力相互提供，则A的向心力与B的向心力大小相等，故A错误；二者是同轴转动，角速度相等，周期相等，故B错误；由于A的向心力与B的向心力大小相等，设角速度为ω，则mω2rA＝Mω2rB，及rA>rB，则mrB，可知A的线速度大小大于B的线速度大小，故D正确。]
例3 BD　[任意两颗星体间的万有引力F0＝G，每颗星体受到其他两颗星体的引力的合力F＝2F0cos 30°＝G，A项错误；根据牛顿第二定律有F＝mr′，其中r′＝＝，解得T＝2π，B项正确；若r不变，星体质量均变为2m，则T′＝T，ω′＝＝ω，C项错误；若m不变，星体间的距离变为4r，则T′＝8T，v′＝＝·＝v，D项正确。]
提升3
例4 D　[根据G＝mω2r得ω＝，可知轨道半径越大，卫星运行角速度越小，而同步卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同，且同步卫星的轨道半径约为6R，而人造地球卫星的轨道半径r<5R，故该人造地球卫星运行的角速度比地球上建筑物随地球转动的角速度大，因此再次出现在该建筑物正上方时，卫星已经比建筑物多转动了一圈，故θ卫－θ地＝2π，θ卫＝ω1t，θ地＝ω0t，根据“黄金代换”GM＝gR2，联立得t＝＝，故D项正确。]
训练3 D　[根据万有引力提供向心力，有G＝m，可得v＝；由题图可知rA>rB，则A的线速度小于B的线速度，故A错误；根据万有引力提供向心力有G＝ma，可得a＝，由于rA>rB，则aA随堂对点自测
1.AB　[天问一号在地火转移轨道上的轨道半长轴大于地球公转半径，地球公转的周期为12个月，由开普勒第三定律知，其运行周期大于12个月，则天问一号由P点沿地火转移轨道运动到Q点所用时间超过6个月，A正确；天问一号在地火转移轨道Q点经过加速后可以进入火星轨道，由于火星轨道的半径大于地球轨道的半径，则由v＝，可知地球公转的速率大于火星轨道上天问一号的速率，更大于没有加速的天问一号在地火转移轨道Q点的速率，B正确；天问一号在调相轨道上经过减速才能进入停泊轨道，C错误；火星自转周期与火星的同步卫星的周期相等，大于火星的近地卫星周期，D错误。]
2.A　[卫星在近地圆轨道上稳定运行的速度等于第一宇宙速度即7.9 km/s，故A正确；卫星在轨道1上经过Q点时需要点火加速做离心运动才能到达轨道2，故卫星在轨道2上经过Q点时的速度大于它在轨道1上经过Q点时的速度，故B错误；卫星在轨道3上经过P点时与它在轨道2上经过P点时受到的万有引力相等，则加速度相等，故C错误；根据万有引力提供向心力，有＝，可得v＝；则卫星在轨道1和轨道3上稳定运行的速度大小之比为，故D错误。]
3.D　[根据万有引力定律公式F＝G知，两颗恒星正在缓慢靠近，则双星之间引力变大，每颗星的加速度均变大，A、B错误；双星系统的两颗星的周期相等，设m1星的转动半径为R1，m2星的转动半径为R2，由万有引力提供向心力，可得G＝m1R1，G＝m2R2，又R1＋R2＝r，联立解得T＝2π，可知双星系统周期变小，由ω＝，知转动的角速度变大，C错误，D正确。]
4.CD　[根据开普勒第二定律可知，A卫星(或者B卫星)与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，但rA和rB扫过的面积不等，故A错误；卫星受到的万有引力为F＝G，由于两卫星的质量大小未知，所以引力大小不能确定，故B错误；两颗卫星从相距最近到第一次相距最远，有ωAt－ωBt＝π，即t＝π，所以t＝，故C正确；若A卫星要变轨到B卫星的轨道，A卫星需要点火加速，即向后喷气，故D正确。](共61张PPT)
培优提升五　应用万有引力定律解决“三个”热点问题
第三章 万有引力定律
1.知道卫星变轨的原因及如何变轨。2.知道航天器的对接问题的处理方式。3.理解双星模型的特点，会分析双星、多星问题。4.会分析卫星的最近和最远问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　双星及多星问题
提升1　卫星变轨问题
提升3　卫星的最近和最远问题
提升1　卫星变轨问题
1.卫星的稳定运行与变轨
2.宇宙飞船变轨对接
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接
如图甲所示，低轨道飞船通过合理加速，
沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间
站与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
D
例1 (2024·四川成都外国语高一期中)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点(如图所示)。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(　　)
A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.卫星在轨道3上经过P点时的速率小于它在轨道2上经过P点时的速率
C.卫星在轨道1上运行时的周期大于它在轨道2上运行时的周期
D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度大小等于它在轨道3上经过P点时的加速度大小
(1)变轨问题相关物理量的比较
①两个不同轨道的“切点”处线速度大小不相等，图中Ⅰ为近地圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，A为近地点、B为远地点，Ⅲ为远地圆轨道。
②同一椭圆轨道上近地点和远地点的线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。
(2)变轨的两种情况
C
训练1 2022年5月10日，天舟四号货运飞船采用快速交会对接技术，顺利与在轨运行的天和核心舱进行交会对接。对接前，天舟四号货运飞船绕地球做椭圆运动，近地点A和远地点B，如图所示；天和核心舱在离地球表面高度为h处做匀速圆周运动。若对接地点在椭圆轨道的远地点B处，下列说法正确的是(　　)
A.天舟四号在A点的运行速度小于在B点的运行速度
B.天舟四号与天和核心舱对接后的运行速度大于
7.9 km/s
C.天舟四号在B处点火加速，才能与天和核心舱顺利完成对接
D.若天和核心舱在轨运行时受阻力作用，则其运行周期将变大
解析　根据开普勒第二定律可知，天舟四号在A点的运行速度大于在B点的运行速度，故A错误；7.9 km/s是第一宇宙速度，也是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，故B错误；天舟四号在B点点火加速，做离
提升2　双星及多星问题
1.双星模型
(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常我们把这样的两个星球称为“双星”。
2.多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它万有引力的合力提供的。
角度1　双星问题
例2 “开阳”双星是人们在1650年第一个用肉眼发现的双星。双星由两颗绕着共同中心旋转的恒星组成，即组成双星的两颗子星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动。如图所示，已知两颗子星的质量分别为m1和m2，二者相距r，引力常量为G，求：
(1)质量为m1的子星的转动半径r1；
(2)质量为m2的子星的运动周期T。
D
训练2 (2024·四川高一内江期中)科学家发现距离地球2764光年的宇宙空间存在适合生命居住的双星系统，这一发现为人类研究地外生命提供了新的思路和方向。假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m和M的A、B两颗星体组成。这两颗星体绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，若AO>OB，则(　　)
A.A的向心力大于B的向心力
B.A的周期一定大于B的周期
C.因为AO>OB，所以m>M
D.A的线速度大小大于B的线速度大小
解析　两颗星体做匀速圆周运动的向心力由彼此间的万有引力相互提供，则A的向心力与B的向心力大小相等，故A错误；二者是同轴转动，角速度相等，周期相等，故B错误；由于A的向心力与B的向心力大小相等，设角速度为ω，则mω2rA＝Mω2rB，及rA>rB，则mrB，可知A的线速度大小大于B的线速度大小，故D正确。
BD
角度2　三星系统
例3 (多选)(2024·重庆高一期中)图示是由质量相等的三颗星组成的三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略。设每颗星体的质量均为m，三颗星分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动。已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
提升3　卫星的最近和最远问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示。
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。
D
例4 设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造地球卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r<5R，飞行方向与地球的自转方向相同，在某时刻，该人造地球卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为(地球同步卫星轨道半径约为6R)(　　)
D
A.A的线速度大于B的线速度
B.A的加速度大于B的加速度
C.A、B与地心连线在相同时间内扫过的面积相等
D.从此时刻到下一次A、B相距最近的时间为2T
随堂对点自测
2
AB
1.(卫星的变轨问题)(多选)(2024·成都七中高一月考)我国航天事业近些年取得了举世瞩目的成就，如火星探测器天问一号的发射，其发射过程中的转移轨道如图甲、乙所示，如图甲所示，探测器由P点沿地火转移轨道运动到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则(　　)
A.天问一号由P点沿地火转移轨道运动到Q点所用时间超过6个月
B.天问一号在地火转移轨道Q点的速率小于地球公转的速率
C.天问一号在环绕火星的调相轨道上经过加速进入停泊轨道
D.天问一号在着陆火星前，进入火星的近火轨道，其运动周期与火星自转周期相等
解析　天问一号在地火转移轨道上的轨道半长轴大于地球公转半径，地球公转的周期为12个月，由开普勒第三定律知，其运行周期大于12个月，则天问一号由P点沿地火转移轨道运动到Q点所用时间超过6个月，A正确；天问一号在地火转移轨道Q点经过加速后可
A
2.(卫星的变轨问题)(2024·四川成都高一校考)发射某地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1(轨道半径等于地球半径R)，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3(轨道半径为r)，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，以下说法正确的是(　　)
解析　卫星在近地圆轨道上稳定运行的速度等于第一宇宙速度即7.9 km/s，故A正确；卫星在轨道1上经过Q点时需要点火加速做离心运动才能到达轨道2，故卫星在轨道2上经过Q点时的速度大于它在轨道1上经过Q点时的速度，故B错误；卫星在轨道3上经过P点时与它在轨道2上经过P点时受到的万有引力相等，
D
3.(双星问题)如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16万光年的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连接线上中间某个点旋转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质量不变。则以下说法中正确的是(　　)
A.双星之间引力变小 B.每颗星的加速度均变小
C.双星系统周期逐渐变大 D.双星系统转动的角速度变大
CD
4.(卫星的最近和最远问题)(多选)(2024·四川凉山高一校联考期末)如图所示，A、B两颗人造卫星在同一轨道平面上同向绕地球做匀速圆周运动。若它们的轨道半径分别为rA、rB，周期分别为TA、TB。则(　　)
课后巩固训练
3
AD
题组1　卫星变轨问题
1.(多选)(2024·成都树德中学高一期末)同步卫星在同步轨道上定位以后，由于受到太阳、月球及其他天体的引力作用影响，会产生漂移运动而偏离原来的位置，若偏离达到一定程度，就要发动卫星上的小发动机进行修正。如图所示，实线为离赤道地面36 000 km的同步轨道，B和C为两个已经偏离同步轨道但仍在赤道平面内运行的卫星，要使它们回到同步轨道上应(　　)
对点题组练
A.开动B的小发动机向前喷气，使B适当减速
B.开动B的小发动机向后喷气，使B适当加速
C.开动C的小发动机向前喷气，使C适当减速
D.开动C的小发动机向后喷气，使C适当加速
解析　由题意知B偏离同步轨道在高轨道运行，要回到低轨道的同步轨道，需要做近心运动，因此B应适当减速，发动机向前喷气，故A正确，B错误；C偏离同步轨道在低轨道运行，要回到高轨道的同步轨道，需做离心运动，发动机向后喷气，使C适当加速，故C错误，D正确。
BC
2.(多选)如图是我国发射神舟十五号载人飞船的入轨过程。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点点火加速，由椭圆轨道变成圆轨道，在此圆轨道上飞船运行的周期约为90分钟。下列判断正确的是(　　)
A.飞船变轨前后的线速度相等
B.飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C.飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度
D.飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
解析　飞船点火加速变轨，前后的线速度不相等，故A错误；飞船在圆轨道上时，航天员出舱前后，航天员所受地球的万有引力全部用来提供航天员做圆周运动的向心力，航天员出舱前后均处于完全失重状态，故B正确；飞船在圆形轨道上的周期约为
BCD
3.(多选)探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的停泊轨道，在该轨道的P处，通过变速，进入地月转移轨道，在到达月球附近的Q点时，对卫星再次变速，卫星被月球引力俘获后成为环月卫星，最终在环绕月球的工作轨道上绕月飞行(视为圆周运动)，对月球进行探测，工作轨道周期为T，距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探月卫星在工作轨道上环绕运动的影响。下列说法正确的是(　 　)
AD
4.(多选)“嫦娥五号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面200 km的P点进行第一次变轨后被月球捕获，先进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示。之后，卫星在P点又经过两次变轨，最后在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。对此，下列说法正确的是(　　)
BC
A
6.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的(　　)
A.质量之比mA∶mB＝2∶1
B.转动方向相反
C.角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
D.向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
B
7.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)
C
题组3　卫星相距最近和最远问题
8.如图所示，在地球赤道上有一建筑物A，赤道所在的平面内有一颗卫星B绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，与地球自转方向相同；已知地球的质量为M，地球的自转周期为T0(T＜T0)，引力常量为G，当B在A的正上方时开始计时，下列说法正确的是(　　)
D
综合提升练
9.两颗人造卫星绕地球逆时针运行，卫星1、卫星2分别沿圆轨道、椭圆轨道运行，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A.两卫星在图示位置的速度v2＝v1
B.卫星2在A点的加速度较大
C.两卫星在A点或B点可能相遇
D.两卫星永远不可能相遇
A
10.如图所示，火星探测器经历椭圆轨道Ⅰ→椭圆轨道Ⅱ→圆轨道Ⅲ的变轨过程。Q为轨道Ⅰ的远火点，P为轨道Ⅰ的近火点，探测器在三个轨道运行时都经过P点。则探测器(　　)
A.沿轨道Ⅰ运行至P点的速度大于运行至Q点的速度
B.沿轨道Ⅱ运行至P点的加速度小于沿轨道Ⅲ运行至P点的加速度
C.沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期
D.与火星连线在相等时间内，沿轨道Ⅰ运行与沿轨道Ⅱ运行扫过的面积相等
11.(2024·江苏南通期末)嫦娥五号探测器是中国首个实施无人月面取样的航天器，其发射的简化过程如图所示。先将探测器送入近地圆轨道Ⅰ，在近地点多次变轨后依次进入椭圆轨道Ⅱ和地月转移轨道。被月球俘获后，再多次变轨进入近月圆轨道Ⅲ。已知轨道Ⅱ远地点和近地点到地心距离之比为a，探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ运行的周期之比为b，求：
(1)地球和月球的平均密度之比；
(2)探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运行的周期之比。
12.(2024·成都石室中学)中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示。设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，忽略地球的自转，求：
培优加强练
(1)飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速；
(2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小；
(3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2。

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