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第十章 三角形的有关证明
5 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理与判定定理
基础闯关
知识点一：角平分线的性质定理
1.如图,在△ABC 中,∠C=90°, BD 平分∠ABC,则点D到AB 的距离等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
第1题图 第2题图
2.如图,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC 的长是( )
A.3 B.4 C.6 D.5
3.如图,射线OC 是∠AOB 的平分线,点D 为射线OC 上一点,DP⊥OA 于点P,PD=6.若点 Q 是射线OB 上一点,OQ=5,则△ODQ 的面积为 .
知识点二：角平分线的判定定理
4.如图,BF,CF 分别是∠DBC 和∠ECB 的平分线，则关于点 F 的说法不正确的是( )
A. F 到△ABC 三边所在直线的距离相等 B. F在∠A 的平分线上
C. F到BD,CE 的距离相等 D. F 到△ABC 三顶点的距离相等
第4题图 第5题图
5.如图,在△ABC中,D 是BC上的一点,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点F.若DE=DF,∠BAC=60°,AD=12cm,则DE= .
6.如图,BP,CP 分别是△ABC 的外角平分线,PM⊥AB 交AB 的延长线于点M,PN⊥AC交AC 的延长线于点 N.求证：AP 平分∠MAN.
知识点三：角平分线的尺规作图
7.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以顶点 C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于 EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线CP 交AB 于点 D.若BD=3,AC=10,则△ACD 的面积是 .
8.如图,点 D 在△ABC 的边 AB 上,∠ACD=∠A.
(1)作∠BDC 的平分线DE,交 BC 于点 E.(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)的条件下,判断直线 DE 与直线AC的位置关系.(不要求证明)
能力提升
素养提升微专题
【三角形的角平分线与分成的三角形面积的关系】
9.如图,∠AOB =150°,OP 平分∠AOB,PD⊥OB 于点D,PC∥OB 交OA 于点C.若PD=3,则△OPC 的面积为( )
A.9 B.18 D.9
第9题图 第10题图
10.[一题多辨]如图，△ABC 的三条角平分线将其分为三个三角形.
(1)若△ABC 的三边AB,BC,CA 的长分别是20,30,40,则 S△ABO : S△BCO : S△CAO等于( )
A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5
(2)若△OAB,△OAC,△OBC 的面积分别为S ,S ,S ,则( )
【平行线间的距离与角平分线的关系】
11.[一题多辨](1)如图①,AB∥CD,BP 和CP分别平分∠ABC 和∠DCB,AD 过点 P,且与AB 垂直.若AD=8,则点 P 到 BC 的距离是 .
(2)如图②,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=3,则AB 与CD 之间的距离为 .
(3)如图③,已知AB∥CD,点 P 到AB,BC,CD 的距离相等，则∠P 的度数是 .
12.如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线PQ于点P,PD⊥AB交BA 的延长线于点D,PE⊥AC于点E.
(1)求证:BD=CE.
(2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD 的长.
参考答案
1. C 2. A
3.15 [解析]如图,过点 D 作DE⊥OB 于点E.
∵射线OC是∠AOB的平分线,DP⊥OA,DE⊥OB,∴DE=PD=6,
4. D 5. 6cm
6.证明:作PD⊥BC于点D.
∵BP 是△ABC 的外角平分线,PM⊥AB,PD⊥BC,∴PM= PD.
同理,PN = PD,∴PM=PN.
又∵PM⊥AB,PN⊥AC,∴AP 平分∠MAN.
7. 15
8.解:(1)如图所示,DE 即为所求. (2)DE∥AC.
9. D [解析]作 PE⊥OA 于点E.
∵OP 平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD=3.
∵∠AOB=150°,OP 平分∠AOB,∴∠AOP=∠BOP=75°.
∵PC∥OB,∴∠CPO=∠BOP=75°,∴∠CPO=∠AOP=75°,∴CP=CO.
∵∠CPO+∠AOP +∠PCO=180°,∴∠PCO =30°,∴PC=2PE=6,∴OC=6,
∴△OPC 的面积为
10.(1)C (2)A
11.(1)4 (2)6 (3)90°
12.(1)证明:如图,连接BP,CP.
∵点 P 在BC 的垂直平分线PQ上,∴BP=CP.
∵AP 是∠DAC 的平分线,DP⊥AD,PE⊥AC,∴DP=EP.
在 Rt△BDP 和 Rt△CEP中，∵,∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL),∴BD=CE.
(2)解:在Rt△ADP和Rt△AEP中,
∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL),∴AD=AE.
∵AB=6cm,AC=10cm,∴6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD,解得AD=2cm.
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