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习题课　基本不等式的综合应用
课标要求　进一步熟悉基本不等式，能灵活应用基本不等式解决综合问题.
【引入】 前面我们学习了基本不等式及其简单应用，如利用基本不等式比较大小、判定命题的真假、证明无条件不等式、求函数或代数式的最值以及基本不等式的实际应用等，在此基础上我们进一步学习基本不等式的综合应用.
一、利用基本不等式比较大小
例1 (1)(多选)已知a>0，b>0，且2a＋8b＝1，则(　　)
A.2a－8b>－1 B.＋2≥1
C.ab≤ D.a2＋16b2≥
(2)(多选)若x>0，y>0，且2x＋y＝xy，则(　　)
A.＋>1
B.x＋2y＋xy≥9＋6
C.xy≤8
D.＋≥2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　对给出含两个变量等式条件的比较大小、判断真假命题，关键在于探究发现条件等式和结论中不等式的内在联系，才能灵活利用条件，得出结果.
训练1 (1)若a>0，b>0，则下面结论正确的有(　　)
A.2(a2＋b2)≤(a＋b)2
B.若＋＝2，则a＋b≥
C.若ab＋b2＝2，则a＋b≥4
D.若a＋b＝1，则ab≤
(2)(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A.a2＋b2≥ B.≥
C.＋≥4 D.＋≤
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、利用基本不等式求最值
例2 (1)若a>0，b>0，且＋b＝1，则的最大值是________.
(2)已知0(3)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________.
(4)已知正实数a，b满足＋＝1，则a＋b的最小值为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　利用基本不等式求最值的常用方法
(1)直接运用基本不等式，如本例(1)；
(2)凑配和(或积)为常数，如本例(2)；
(3)常值代换，如本例(2)；
(4)消元法，如本例(3)；
(5)换元法，如本例(4).
另外，多次使用不等式时，需每次使用不等式时取等号的条件同时成立，才能取得最值.
训练2 (1)已知a>0，b>0，6a＋＝1，则＋6b的最小值为(　　)
A.13 B.19
C.21 D.27
(2)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为(　　)
A.4＋2 B.8
C.6 D.10
(3)已知正实数x，y满足＋＝1，则4xy－3x－6y的最小值为(　　)
A.2 B.4
C.8 D.12
(4)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________.
(5)设a>0，b>0，且2a＋b＝2，则＋(　　)
A.有最小值为4
B.有最小值为2＋1
C.有最小值为
D.无最小值
(6)若直角三角形ABC的周长为定值2，则△ABC的面积的最大值为(　　)
A.6－4 B.2＋
C.1 D.3－2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、证明条件不等式
例3 (1)已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝3，求证：a3b＋b3c＋c3a≥3abc；
(2)已知a>0，b>0，a＋b＝1，证明：＋≤2.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　(1)根据已知条件，利用基本不等式证明不等式的策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)要善于从要证不等式出发，逐步分析探索使它成立的充分条件，然后对充分条件给出证明.
训练3 已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：(1)＋＋≥9.
(2)≥8.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、由不等式恒成立求参数
例4 (1)已知x>0，y>0，若不等式＋≥恒成立，则实数m的最大值为(　　)
A.6 B.9
C.12 D.15
(2)若关于x的不等式ax2＋≥(a>0)对于一切实数x都成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，9] B.
C. D.[9，＋∞)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　(1)当条件给定参数的正、负时，直接利用基本不等式，得到含参数的不等式，再解含参数的不等式.
(2)当未给出参数的正负时，孤立参数，转化为函数的最值问题求解.
训练4 (1)设a>0，不等式x＋≥6对x>0恒成立，则a的最小值是(　　)
A.1 B.4
C.9 D.16
(2)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞，4)
B.(4，＋∞)
C.(－2，2)
D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.(多选)若实数a>0，b>0，ab＝1，则下列不等式中，正确的是(　　)
A.a＋b≥2 B.＋≥2
C.a2＋b2≥2 D.＋≤2
2.已知x>0，y>0，且x＋y＝2，则＋的最小值为(　　)
A.8 B.6
C.4 D.2
3.已知a>0，b>0，＋＝1，则满足“m4.设实数a>0，若函数y＝x＋，x∈(－2，＋∞)的最小值为6，则a＝________.
习题课　基本不等式的综合应用
例1　(1)ACD　(2)ABD　[(1)对于A,因为2a+8b=1,所以2a=1-8b,
又因为a>0,b>0,所以2a=1-8b>0,
即0所以2a-8b=1-8b-8b=1-16b,
又因为0所以-1<2a-8b<1,可知A选项正确;
对于B,因为()2=a+4b+4=1,
当且仅当2a=8b,即a=,b=时等号成立,
所以≤1,可知B选项错误;
对于C,因为2a+8b=1≥2,所以ab≤,
当且仅当2a=8b,即a=,b=时等号成立,可知C选项正确;
对于D,因为2a+8b=1,所以a+4b=,
所以a2+16b2=,
当且仅当a=4b,即a=,b=时等号成立,可知D选项正确.故选ACD.
(2)x>0,y>0,
因为2x+y=xy,所以=1.
所以=1,A正确;
x+2y+xy=3x+3y=(3x+3y)·,当且仅当,即x=y时等号成立,B正确;
2x+y=xy≥2,解得xy≥8,C错误;
因为2x+y=xy,所以(x-1)(y-2)=2,
由题意知,x-1>0,y-2>0,则=2,当且仅当,即x=2,y=4时等号成立,D正确.]
训练1　(1)B　(2)ACD　[(1)对于选项A,
由a2+b2≥2ab,得2(a2+b2)≥(a+b)2,
当且仅当a=b时取等号,所以选项A不正确;
对于选项B,若a>0,b>0,
=1,
则a+b=(a+b)=,当且仅当,
即a=,b=3时取等号,所以选项B正确;
对于选项C,令a=b=1,满足a>0,b>0,
且ab+b2=2,但a+b=2<4,
所以选项C不正确;
对于选项D,ab≤,
当且仅当a=b=时取等号,所以选项D不正确.故选B.
(2)A.a2+b2≥,当且仅当a=b=时,等号成立,正确;
B.,当且仅当a=b=时,等号成立,错误;
C.(a+b)=2+=4,当且仅当,
即a=b=时,等号成立,正确;
D.()2=1+2≤1+(a+b)=2,即,当且仅当a=b=时,等号成立,正确.
例2　(1)　(2)9　(3)4　(4)
[(1)∵a>0,b>0,∴>0,b>0,
∴,
即(当且仅当=b,即a=2,b=时取等号),∴,即.
(2)因为0则[(1-a)+a]=5+=5+4=9,当且仅当时,即a=时,等号成立,所以的最小值是9.
(3)由x+2y+2xy=8,可知y=,
因为x>0,y>0,所以0所以x+2y=x+
=x+-2≥
2-2=4,
当且仅当x+1=,
即x=2时,等号成立.
所以x+2y的最小值为4.
(4)令x=2a+b,y=a+2b,
则=1,且x>0,y>0,
所以a+b=(x+y)=(x+y),当且仅当,即a=b=时,等号成立,所以a+b的最小值为.]
训练2　(1)D　(2)B　(3)C　(4)5+2　(5)B
(6)D　[(1)由题意得
+15=27,
当且仅当36ab=,
即a=,b=3时,等号成立,
所以+6b的最小值为27.故选D.
(2)=8,
当且仅当a+b=,即a+b=4,
即时等号成立,
所以的最小值为8,故选B.
(3)由x>0,y>0且=1,
可得xy=x+2y,
所以4xy-3x-6y=4x+8y-3x-6y=x+2y=(x+2y)=4+=8,当且仅当,即x=4,y=2时,等号成立,
所以4xy-3x-6y的最小值为8.故选C.
(4)由2a+b=ab-1,得a=,
因为a>0,b>0,所以a=>0,b+1>0,
所以b>2,
所以a+2b=+2(b-2)+4=2(b-2)+,
当且仅当2(b-2)=,
即b=2+时,等号成立,
所以a+2b的最小值为5+2.
(5)设则b=y-x,2a+b=x+y=2,
+1,
当且仅当,即x=2-2,y=4-2时等号成立,故当a=2-2,b=6-4时,+1.
(6)设直角三角形ABC的两条直角边长分别为x,y(x,y>0),由题意得x+y+=2,
由基本不等式得2=x+y+=(2+),
所以,
即xy≤(2-)2=6-4,
当且仅当x=y=2-时等号成立,
则S△ABC=,
因此△ABC面积的最大值为3-2.故选D.]
例3　证明　(1)因为a,b,c为正数,
所以=2a
,
=2b
,
=2c
,
因此≥a+b+c=3
.
又a,b,c为正数,所以两边同乘abc
可得a3b+b3c+c3a≥3abc,即得证.
(2)因为a>0,b>0,
所以要证,
即证()2≤(2)2,
即证2a+1+2b+1+2≤8,
即证a+b+≤3,又a+b=1,
所以即证≤2,
即证(2a+1)·(2b+1)≤4,
即证4ab+2a+2b+1≤4,
即证ab≤.
因为ab≤
,
故原不等式成立.
训练3　证明　(1)因为a,b,c均为正实数,a+b+c=1,所以=9,
当且仅当a=b=c=时,等号成立,
所以≥9.
(2)因为a,b,c均为正实数,a+b+c=1,
所以,
同理,.
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
得=8,
当且仅当a=b=c=时,等号成立,
所以≥8.
例4　(1)C　(2)C　[(1)因为x>0,y>0,
不等式恒成立,
所以m≤(x+3y)恒成立,
又(x+3y)=6+≥6+2=12,
当且仅当,即x=3y时等号成立,
所以(x+3y)的最小值为12,
所以m≤12,即实数m的最大值为12.
(2)关于x的不等式ax2+(a>0)对于一切实数x都成立,
则a(x2+1)+ ,其中x∈R.
又a(x2+1)>0,x2+1>0,
所以由基本不等式有a(x2+1)+≥2,
当且仅当a(x2+1)=,即a=时取等号,则2.故选C.]
训练4　(1)C　(2)A　[(1)因为a>0,x>0,
所以x+,
当且仅当x=,即x=时取等号,
所以2≥6,即a≥9,
所以a的最小值是9.
(2)因为x>0,y>0,且=1,
所以x+2y=(x+2y)+4=4+4=8,
当且仅当,即x=4,y=2时,等号成立.
因为x+2y>2m恒成立,
所以2m<8,解得m<4,故选A.
课堂达标
1.ABC　[对于A:a+b≥2=2,正确;
对于B:=2,正确;
对于C:a2+b2≥2ab=2,正确;
对于D:=2,不正确.故选ABC.]
2.A　[因为x>0,y>0,且x+y=2,
所以(x+y)
=≥=8,
当且仅当,
即x=,y=时,等号成立,
所以的最小值为8.故选A.]
3.1(或2,3,4,答案不唯一)　[由题意可知a+2b=(a+2b)=,当且仅当,即a=b=时取等号,所以a+2b≥恒成立,故正整数 m的值可以为1(或2,3,4,答案不唯一).]
4.16　[因为x>-2,所以x+2>0,又a>0,
所以y=x+=(x+2)+-2≥2-2,
当且仅当x+2=,
即x=-2时,等号成立,
故ymin=2-2=6,a=16.](共64张PPT)
第3章
3.2习题课　基本不等式的综合应用
课标要求
进一步熟悉基本不等式，能灵活应用基本不等式解决综合问题.
引入
前面我们学习了基本不等式及其简单应用，如利用基本不等式比较大小、判定命题的真假、证明无条件不等式、求函数或代数式的最值以及基本不等式的实际应用等，在此基础上我们进一步学习基本不等式的综合应用.
课时精练
一、利用基本不等式比较大小
二、利用基本不等式求最值
三、证明条件不等式
课堂达标
内容索引
四、由不等式恒成立求参数
利用基本不等式比较大小
一
例1
√
(1)(多选)已知a>0，b>0，且2a＋8b＝1，则
对于A，因为2a＋8b＝1，
√
√
所以2a＝1－8b，又因为a>0，b>0，所以2a＝1－8b>0，
√
√
√
对给出含两个变量等式条件的比较大小、判断真假命题，关键在于探究发现条件等式和结论中不等式的内在联系，才能灵活利用条件，得出结果.
思维升华
(1)若a>0，b>0，则下面结论正确的有
训练1
√
对于选项A，
(2)(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则
√
√
√
利用基本不等式求最值
二
例2
因为09
(3)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________.
4
思维升华
利用基本不等式求最值的常用方法
(1)直接运用基本不等式，如本例(1)；
(2)凑配和(或积)为常数，如本例(2)；
(3)常值代换，如本例(2)；
(4)消元法，如本例(3)；
(5)换元法，如本例(4).
另外，多次使用不等式时，需每次使用不等式时取等号的条件同时成立，才能取得最值.
训练2
√
A.13 B.19 C.21 D.27
√
√
√
√
证明条件不等式
三
例3
又a，b，c为正数，所以两边同乘abc
可得a3b＋b3c＋c3a≥3abc，即得证.
思维升华
(1)根据已知条件，利用基本不等式证明不等式的策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)要善于从要证不等式出发，逐步分析探索使它成立的充分条件，然后对充分条件给出证明.
训练3
因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1，
因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1，
由不等式恒成立求参数
四
例4
√
A.6 B.9 C.12 D.15
√
思维升华
(1)当条件给定参数的正、负时，直接利用基本不等式，得到含参数的不等式，再解含参数的不等式.
(2)当未给出参数的正负时，孤立参数，转化为函数的最值问题求解.
训练4
√
A.1 B.4 C.9 D.16
√
A.(－∞，4) B.(4，＋∞)
C.(－2，2) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【课堂达标】
1.(多选)若实数a>0，b>0，ab＝1，则下列不等式中，正确的是
√
√
√
√
A.8 B.6 C.4 D.2
因为x>0，y>0，且x＋y＝2，
1(或2，3，4，答案不唯一)
因为x>－2，所以x＋2>0，又a>0，
16
【课时精练】
√
1.若实数x，y满足xy＝1，则x2＋y2的最小值是
A.1 B.2 C.4 D.8
∵x，y∈R，xy＝1，
∴x2＋y2≥2xy＝2，当且仅当x＝y＝1或x＝y＝－1时，等号成立.
故x2＋y2的最小值为2.
√
√
√
√
5.(多选)若a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，则下列说法正确的是
√
√
6.若a，b都是正数，且ab＝1，则a＋2b的最小值是________.
因为a，b都是正数，且ab＝1，
ab≥xy
7
10.已知a>0，b>0，a＋3b＝1.若m>a2＋9b2＋7ab恒成立，求实数m的取值范围.
∵a>0，b>0，a＋3b＝1，
√
由题可得△ABC的面积S＝x＋y＋z＝1，且0A.6 B.4 C.3 D.2
√
则令m＝2a－1>0，n＝b－1>0，
所以2a＝m＋1，b＝n＋1.
13.已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，
因为a为正数，所以由基本不等式可得
14.如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，播折后AB′交DC于点P，设AB＝x.
(1)用x表示DP，并求出x的取值范围；
∵矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，AB＝x，
∵AB>BC＝AD，得x>12－x，∴6在△APC中，∠PAC＝∠PCA，
∴AP＝PC，从而得DP＝PB′，
∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP.
在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.课时精练12　基本不等式的综合应用
(分值:100分)
单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共6分.
一、基础巩固
1.若实数x,y满足xy=1,则x2+y2的最小值是 (　　)
1 2
4 8
2.若01
3.若对于任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是 (　　)
(0,+∞) (5,+∞)
4.若a>0,b>0,a+b=3,则的最小值为 (　　)
2
5.(多选)若a,b∈(0,+∞),a+b=1,则下列说法正确的是 (　　)
ab的最大值为
的最小值是4
4a-的最大值为2
6.若a,b都是正数,且ab=1,则a+2b的最小值是　　　　.
7.已知a,b,x,y都是正实数,且=1,x2+y2=8,则ab与xy的大小关系是　　　　.
8.已知a,b均为正数,且ab-a-2b=0,则的最小值为　　　　.
9.(10分)已知a>0,b>0,c>0,且abc=1,a,b,c不全相等,求证:.
10.(10分)已知a>0,b>0,a+3b=1.若m>a2+9b2+7ab恒成立,求实数m的取值范围.
二、综合运用
11.已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界),若△PAB,△PAC,△PBC的面积分别为x,y,z,则的最小值是 (　　)
3
12.若实数a,b满足2a+b=3,则的最小值为 (　　)
6 4
3 2
13.(13分)已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)≥4.
(2)>7.
三、创新拓展
14.(16分)如图所示,设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24,把它沿AC翻折,播折后AB'交DC于点P,设AB=x.
(1)用x表示DP,并求出x的取值范围;
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
课时精练12　基本不等式的综合应用
1.B　[∵x，y∈R，xy＝1，
∴x2＋y2≥2xy＝2，当且仅当x＝y＝1或x＝y＝－1时，等号成立.
故x2＋y2的最小值为2.]
2.C　[因为00，
所以x＝×2x＝≤＝，
当且仅当4x2＝1－4x2，即x＝时，等号成立，
因此，x的最大值为.]
3.B　[因为x>0，所以＝.
因为x>0，
所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
则≤＝，
即的最大值为，故a≥.]
4.D　[因为a＋b＝3，所以(a＋1)＋b＝1.
因为a>0，b>0，故＋＝·＝＋＋＋1≥＋2＝＋1＝，
当且仅当＝，
即a＝，b＝时，等号成立，故＋的最小值为.]
5.ACD　[对于A，因为a＋b＝1，
所以ab≤＝，
当且仅当a＝b＝时，取等号，
所以ab的最大值为，故A正确；
对于B，因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，
所以a≠1，b≠1，
所以a＋>2(且当仅当a＝即a＝1时取等号，故等号取不到)，
b＋>2(当且仅当b＝即b＝1时取等号，故等号取不到)，
所以>4，故B错误；
对于C，因为a＋b＝1，所以a＝1－b，
所以4a－＝4－4b－＝4－≤4－2＝2，当且仅当4b＝即b＝时，取等号，故C正确；
对于D，(a＋b)＝1＋＋＋2≥2＋3＝3＋2，
当且仅当＝即a＝－1，b＝2－时，取等号，故D正确.故选ACD.]
6.2　[因为a，b都是正数，且ab＝1，
所以a＋2b≥2＝2，
当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号.]
7.ab≥xy　[∵a，b>0，∴1＝＋≥，
∴≥2，即ab≥4，
当且仅当a＝b时等号成立，
又xy≤＝4，
当且仅当x＝y＝2时等号成立，故ab≥xy.]
8.7　[∵a，b均为正数，ab－a－2b＝0，
∴＋＝1，
∴＋b＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，
即a＝4，b＝2时取等号，
则－＋b2－＝＋b2－1≥－1≥－1＝7，
当且仅当a＝4，b＝2时取等号，
故－＋b2－的最小值为7.]
9.证明　因为a>0，b>0，c>0，
所以＋≥，
＋≥，②
＋≥，③
由①＋②＋③，得2≥2，
所以＋＋≥＋＋＝(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)，
又abc＝1，且a，b，c不全相等，
所以＋＋>＋＋.
10.解　∵a>0，b>0，a＋3b＝1，
∴a2＋9b2＋7ab＝(a＋3b)2＋ab＝1＋·a·3b.
∵a·3b≤＝，
当且仅当a＝3b，
即a＝，b＝时，等号成立，
∴a2＋9b2＋7ab≤1＋×＝，
∴m>，即m的取值范围为.
11.D　[由题可得△ABC的面积S＝x＋y＋z＝1，且0所以＋＝＋＝＋＝＋＋1≥
2＋1＝3，
当且仅当＝，即x＝时取等号，
故＋的最小值为3.故选D.]
12.A　[因为a>，b>1，
则令m＝2a－1>0，n＝b－1>0，
所以2a＝m＋1，b＝n＋1.
由2a＋b＝3，
可以得到m＋n＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋＝2＋＋
＝2＋(m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝6，
当且仅当m＝n＝，
即a＝，b＝时，等号成立，
所以＋的最小值为6.故选A.]
13.证明　(1)因为a，b，c均为正数，
且a＋b＋c＝1，
所以＋＝(a＋b＋c)·＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＋b＝c＝时取等号，
所以＋≥4.
(2)因为a为正数，所以由基本不等式可得＋(2a＋1)≥2＝4，
当且仅当2a＋1＝2，即a＝时取等号，
所以≥3－2a.
同理≥3－2b，≥3－2c，
由题可知上述三式等号不能同时成立.
所以4>9－2(a＋b＋c)＝7，即原不等式得证.
14.解　(1)∵矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，AB＝x，∴AD＝－x＝12－x.
∵AB>BC＝AD，得x>12－x，
∴6在△APC中，∠PAC＝∠PCA，
∴AP＝PC，从而得DP＝PB′，
∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP.
在Rt△ADP中，由勾股定理得
(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，
∴DP＝12－(6(2)在Rt△ADP中，S△ADP＝AD·DP＝(12－x)＝108－(6∵6∴6x＋≥2＝72，
当且仅当6x＝，即x＝6时取等号.
∴S△ADP＝108－≤108－72，
∴当x＝6时，△ADP的面积取最大值108－72.

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