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《2025届高三仿真模拟训练（四）数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A B C A D BD BCD
题号 11
答案 ABD
3．A【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
根据抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离，所以圆与直线相切，
又因为抛物线的图象在轴的右侧，所以圆与直线相交.故选：A.
4．A【详解】由模长公式，
由夹角公式.故选：A.
5．B【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，得，又表面积，解得，所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．故选：B．
6．C【详解】将5名志愿者分为1，2，2，则有种分法；
将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法，则不同的分配方案共有种.
7．A【详解】因为，作出函数的图象，如图所示，
所以当时，；当时，，
故函数的值域为.
设，若存在，使得成立，即，只需，
即对于，满足成立，即，解得，
所以实数的取值范围为.故选：A.
8．D【详解】因为，所以，所以当时，解得即为在的一条对称轴,当时，解得或，即或为在与轴的两个交点，又因为是方程在的解，所以由图像的对称性可知，，且，所以，所以.又因为，，
所以.故选：D.
9．BD【详解】由题意：，.
对A：因为，，所以，故A错误；
对B：因为，，所以，故B正确；
对C：因为，，所以，所以只有34分钟可用，小明应选择坐公交，故C错误；
对D：因为，，所以，所以只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D正确.
故选：BD
10．BCD.【详解】对A：，其最小正周期为，故A错误；对B：，其图象关于对称，故B正确；
对C：，由（），故C正确；
对D：，由，所以函数在上为增函数，又，所以D正确.故选：BCD
11．ABD【详解】双曲线与直线有唯一公共点，
则直线与双曲线的渐近线平行或与双曲线相切，
双曲线的渐近线方程为，而，所以直线与双曲线相切，
由，消去得，
由，化简得，A选项正确；
解得点M的坐标为，即，其中，
设直线与双曲线的渐近线的交点分别为，
则由，解得，由，解得，
直线与轴的交点为，故直线与两渐近线所围成的面积：
，
由A选项知，则，故B正确；
过点M且与l垂直的直线为，可得，
因为，则
，
当且仅当，即时等号成立，而已知，C选项错误；
由，即为，其中，故D正确.
12．-1【详解】将平方可得①，
将平方可得②，将①②两式相加可得，所以.故答案为：-1
13．.【详解】，若：，当且仅当时，等号成立；
若：，当且仅当时，等号成立，故可知．
14．【详解】如图：取、的中点、，连接、，交于点.
由，由.
又为的重心，所以.设四边形的面积为，则.设，则，所以当时，取得最大值1.此时的面积也取得最大值：.故答案为：
15．（1）2,6,12；；（2）
【详解】（1）由已知得．
由已知得．所以
（2），则数列前项和
则，
16．(1)(2)是，2
【详解】（1）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍且右焦点为，
所以，解得，所以的方程为．
（2）因为为椭圆上异于的任意一点，所以直线的斜率存在，
设，则，
直线方程为，
令，得，则，同理可得，
所以，因为，
所以，
故．
17．(1)(2)(3)小李需要聘请一位技术员，理由见解析
【详解】（1）设事件“小李独立成功完成三道工序”则．
（2）设事件“小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，成功完成三道工序”，
当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：，
当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：，
当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：，
故．
（3）若小李没有聘请技术员参与比赛，设小李最终收益为，
，所以，
若小李聘请一位技术员参与比赛，设小李最终收益为，
有如下几种情况：技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，
由（1）知，，
技术员参与补救并成功完成三道工序，此时，由（2）知，
技术员参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，，
所以，因为，所以小李需要聘请一位技术员．
18．(1)证明见解析(2)二面角和二面角大小相等，理由见解析
【详解】（1）因为是等边三角形，为的中点，，所以，
在底面内，过点作交于点，如图，
因为四边形是直角梯形，所以，
四边形为矩形，则，
因为，所以，，所以，
因为为的中点，所以，在中，，所以，
所以，即，因为是等边三角形，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面平面，又平面平面，平面平面平面．
二面角和二面角的大小相等，证明如下：
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
，，
设，则，
，，，
易得平面和平面的法向量均为，
设平面的法向量，
则，令，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
由已知易得二面角和二面角均为锐角，
设二面角和二面角的平面角分别为，
则，即．
19．(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）由和的图象有公共点，得方程有解，
即有解，又，令，
求导得，函数在上单调递增，
因此，
令，求导得，当时，；时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，则，
所以的取值范围是.
（2）（i）由，求导得，
的图象在处切线方程为，即，
的图象在处切线方程为，即，
则，两式相除得，假设，即，
解得，由（1）知，则，与矛盾，所以.
（ⅱ）由（ⅰ）知：，即，则，
，整理得
不等式，令，则，
而，整理得，
因此，
令，求导得，由，得，
当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，
，
所以成立.2025届高三仿真模拟训练（四）数学试卷
单选题：本题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知圆的圆心在抛物线上，且圆过定点，则圆与直线的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离
4．已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（ ）
A．54种 B．90种 C．150种 D．540种
7．已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若方程在的解为，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全不选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ）
A． B．
C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车
D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车
10．已知函数，，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数关于对称
C．函数的所有零点构成的集合为
D．函数在上是增函数
11．已知双曲线与直线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点．当点变化时，则（ ）
A． B．直线与两渐近线所围成的面积为定值
C．有最大值 D．记点，则点的轨迹方程为
三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分。
12．已知，则 ．
13．已知函数，则的最小值是 ．
14．在中，，，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或计算过程。
15．（13分）已知数列中，．
（1）求；求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和．
16．（15分）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点为，点在上，点与点关于轴对称．
(1)求的方程；
(2)设点为上异于的任意一点，直线与轴分别交于点，判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
17．（15分）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用．
(1)求小李独立成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率；
(3)为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由．
18．（17分）如图，已知四边形是直角梯形，，，，是等边三角形，平面平面为的中点，为的中点，．
(1)证明：平面平面；
(2)分别为棱上的动点（不包含端点），当时，试判断二面角和二面角的大小是否相等，并说明理由．
19．（17分）已知函数，其中．
(1)若和的图象有公共点，求的取值范围；
(2)若和的图象没有公共点，一条直线与和的图象都相切，切点坐标分别为和．
证明：（ⅰ）；
（ⅱ）．
试卷第1页，共3页

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