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专题06 立体几何中的平行与垂直问题易错点
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题型01 线段成比例证线面平行 1
题型02 线面平行的性质定理证线面平行 5
题型03 面面平行证线面平行 9
题型04 四点共面问题 13
题型05 面面垂直的性质定理应用 16
题型06 垂直关系中全等的应用 21
题型01 线段成比例证线面平行
【解题规律·提分快招】
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行。
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线BD和BF上移动，且BM和BN的长度保持相等，记．
(1)证明：平面BCE；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由已知可证明，可得，由线面平行的判定定理得平面BCE；
【详解】（1）连接，
ABCD，ABEF的边长都是正方形，则有，
又，
则中，，所以，
由，，
则四边形为平行四边形，有，所以，
平面BCE，平面BCE，所以平面BCE.
2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，若分别为的重心.
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由三角形重心得到线段成比例，从而证明线线平行，从而得到线面平行；
【详解】（1）延长交于，延长交于，连接，
因为分别为的重心，
所以分别为的中点，且，
又因为底面为平行四边形，
所以
又因为平面平面，
所以平面.
3．（23-24高三下·广东中山·期中）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型,点E在棱PB上，满足, 点F在棱PC上，满足要求同学们按照以下方案进行切割：

(1)试在棱PC上确定一点G，使得 平面，并说明理由；
【答案】(1)G为PC上靠近C的四等分点，理由见解析
【分析】（1）由条件及结合图形，考虑取PC上靠近C的四等分点为G,即可推得,即得平面；
【详解】（1）

由已知得，点E在棱PB上，满足,点F在棱PC上，满足，
如图，取PC上靠近C的四等分点为G，则必有,
则根据三角形相似，必有，
因平面, 平面, 易得EF∥平面 .
4．（23-24高三下·安徽亳州·期末）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，点在线段上，且为的重心，点在棱上，且，点在棱上，且.
(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据重心性质和相似比可证明，通过证明为平行四边形可得，然后由线面平行判定定理和面面平行判定定理可证；
【详解】（1）如图，设交于点，连接.
因为底面为菱形，为的重心，
所以.
又，所以，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
在直四棱柱中，，且，
又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
题型02 线面平行的性质定理证线面平行
【解题规律·提分快招】
线面平行性质定理 文字语言图形语言符号语言 线∥面线∥线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·山东·开学考试）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，已知，，三棱锥的体积为
(1)设平面CAB与平面的交线为l，证明：
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得线线平行；
【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，又因为平面，平面，
所以平面，因为平面CAB，平面平面，所以
2．（2025高三·全国·专题练习）已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】连接交于点，连接，由平行四边形可得，进而可得平面，然后根据由直线与平面平行的性质可得．
【详解】如图所示，连接交于点，连接，
因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
又因为平面平面，平面，且平面，
所以．
3．（2024高三·全国·专题练习）在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与不重合，是线段的两个三等分点，且．若平面和平面的交线为，证明：平面.
【答案】证明见解析
【分析】利用三等分点得中位线可得线线平行，再应用线面平行判定与性质定理证明即可；
【详解】由知为中点，又为中点，
所以，平面，平面，
所以平面，又平面，
由平面平面，且，
故由线面平行的性质定理可得，
由点与不重合，可知平面，故平面，
又平面，所以平面.
4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，点满足．
(1)若平面，求；
【答案】(1)
【分析】（1）作出辅助线，由线面平行的性质得到，所以，由三角形相似得到，得到答案；
【详解】（1）如图，连接，记与交于点，连接，
因为平面，平面平面，平面，
由线面平行的性质定理可得，所以．
在中，分别是的中点，
则．
易知四边形为梯形，
为与的交点，所以，
则．所以，则．
由，可得；
5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，是的中点，．
(1)若平面，求的值以及此时三棱锥的体积；
【答案】(1)，
【分析】（1）通过线面平行的性质证四边形是平行四边形，进而证出为中点，确定的值，通过即可求解；
【详解】（1）
过作的平行线交于点，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，则四边形是平行四边形，所以，
因为，所以，
因为是菱形，所以，又，所以，
所以为中点，所以．
因为为的中点，
所以
．
题型03 面面平行证线面平行
【解题规律·提分快招】
文字语言图形语言符号语言面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·江苏常州·开学考试）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到.
(1)若点为的中点，求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取中点，连接，通过证明平面平面，可得证；
【详解】（1）取中点，连接，
因为为中点，所以，，
又平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
2．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，.

(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接、、，推导出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；
【详解】（1）连接、、.
因为、分别为、的中点，所以，，，
因为，，所以，，，
所以，四边形是平行四边形，所以，，
因为平面，平面，则平面，
又因为、分别为、的中点，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，故平面.
3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面；
【答案】证明见解析
【分析】先根据线面平行证明面面平行，再应用面面平行性质得出线面平行
【详解】证明：设的中点为，连接，
为的中位线，，
又平面，平面，
平面，
为梯形的中位线，，
又平面，平面，
平面，
，平面，平面，
平面平面，
平面，
平面．
4．（2024·江苏南通·二模）如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
(1)若为的中点，证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）如图根据题意和圆台的结构可知平面平面，有面面平行的性质可得，根据相似三角形的性质可得为中点，则，结合线面平行的判定定理即可证明；
【详解】（1）如图，连接．
因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，
所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.
在圆台中，平面平面，
由平面平面，平面平面，得.
又，所以，
所以，即为中点．
在中，又M为的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面；
5．（23-24高三下·安徽·期末）如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至.
(1)在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)存在，
【分析】（1）在图①中，取的中点M，连接AM，证明，则平面BDH，在线段BC上取点F使，连接MF，FA，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得解；
【详解】（1）在图①中，取的中点M，连接AM，如图所示，
因为是等边三角形，的中点为M，
所以,
因为，
所以，
在图②中，，平面BDH，平面BDH，
所以平面BDH，且，
在线段BC上取点F使，连接MF，FA，如图所示，
因为，
所以，
又因为平面BDH，平面BDH，
所以平面BDH，
又因为平面AMF，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面BDH，
所以存在点F满足题意，且；
题型04 四点共面问题
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·山东济南·期末）如图，在四棱柱中，底面ABCD是矩形平面平面ABCD，点E，F分别为棱的中点.
(1)证明：B，EF四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】证明四边形为平行四边形，利用平面的基本性质得出结论；
【详解】（1）取中点G，连接AG，EG，则有
所以四边形CDGE为平行四边形，所以
又因为所以
所以四边形ABEG为平行四边形，所以
又因为所以四边形为平行四边形，
所以所以所以B，EF四点共面.
2．（24-25高三上·陕西汉中·阶段练习）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和一个直三棱柱拼接而成，其中，点G为弧的中点，且四点共面．

(1)证明：四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）法一：连接，由题意可得，根据平行线性质有，即可证结论；法二：建立空间直角坐标系，设由即可求证；
【详解】（1）

连接，因为，
所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，，
在半圆上，是弧中点，所以，
所以，又，
所以，所以四点共面.
法二：直三棱柱中，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，设则，
所以
所以，则，
所以四点共面.
3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：//平面，且，，，四点共面；
【答案】证明见解析
【分析】由中位线得，结合线面平行的判定定理即可证得∥平面，要证，，，四点共面，只需，只需，连接，结合条件证明四边形是平行四边形即可；
【详解】证明：因为F，G分别为的中点，
所以，
又平面CFG，平面，
所以平面．
连接HE，在中，，
所以，且，
因为，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形．
所以，
又，所以，
故C，E，F，G四点共面．
4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在多面体中，的中点为.
(1)求证：四点共面；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）利用线面垂直的判定，再证明两个平面重合即可.
【详解】（1）连接，由为中点，得，
由，得，而平面，
则平面，同理平面，又平面与平面有公共直线，
所以四点共面.
题型05 面面垂直的性质定理应用
【解题规律·提分快招】
1、常见的证明线线垂直的方法
①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一”
如图：AB=AC,D为BC中点，则
②勾股定理的逆定理
如图：如果，则
③正方形、菱形的对角线互相垂直。
如图：四边形ABCD是菱形，所以
④直径所对的圆周角是
如图：AB是圆的直径，
⑤通过证线面垂直证线线垂直
注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。
⑥平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移
2、面面垂直性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·河南信阳·二模）如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为．
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）通过求证面，由线面垂直的性质定理即可求证；
【详解】（1）取的中点，连接，
∵，
∴，又平面平面，
∵平面平面，平面，
∴平面，又平面，
∴，
∵平面平面，
∴，
又平面，，
∴平面，又平面，则；
2．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是的中点．

(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由题意，根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；
【详解】（1）连接，因为四边形是菱形，所以，
又因为，所以是正三角形，
因为为的中点，则，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面平面，所以，
又因为，，所以
又，平面，
所以平面，又平面，
所以．
3．（24-25高三上·安徽宣城·期末）如图，在多面体ABCDE中，，，均为等边三角形，平面平面ABC，平面平面ABC，平面平面，M在直线BE上，N在直线l上，，．
(1)证明：平面BCE；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先应用面面垂直的性质定理得出线面垂直，再结合线面平行及性质定理得出线面垂直即可；
【详解】（1）设，则，分别取AB、AC中点G、H，则有，且，
又因为平面平面，平面平面，平面ABE，所以平面，
同理可得平面，且，
所以，即四边形为平行四边形，故，
因为G、H分别是AB，AC中点，，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，所以，
因为，所以，
又因为，，BE，平面，所以平面；
4．（2025·江西新余·一模）如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD.
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）连接，根据已知易得、，由面面垂直的性质有面，由线面垂直的性质有，最后利用线面垂直的判定和性质证结论；
【详解】（1）由，易知为直角梯形，且，
连接，则，且为等腰直角三角形，，所以，
在中，则，
又，故，即，
且，即，面面，面，
又面面，所以面，面，则，
又且都在面内，故面，面，
所以.
5．（24-25高三上·河南许昌·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，平面为直角梯形，，，，，.
(1)求证：.
【答案】(1)证明过程见解析
【分析】（1）作出辅助线，求出各边长，结合三角函数值得到，⊥，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直；
【详解】（1）过点作⊥于点，
因为平面为直角梯形，，所以，
又，所以四边形为矩形，
所以，，
又，所以，
在中，，故，
同理，在中，，故，
所以，故⊥，
因为平面平面，交线为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥；
题型06 垂直关系中全等的应用
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中， 分别为棱 的中点.
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）通过证明，，证得线面垂直；
【详解】（1）证明：正方体中，
因为，分别为棱，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，所以，
正方形中，∵为的中点，为的中点，
∴，∴，
设、交点为，则，
∴，即；
又、平面，，
∴平面.
2．（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.

(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先由面面垂直证明线面垂直，可得，再证明，则可得平面，从而可证明；
【详解】（1）取中点，连接
平面平面，平面平面平面
平面
平面

，即
又平面平面
平面
3．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）如图所示，在四棱锥中，，底面为正方形，侧面底面，点是线段的中点.
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，连接，交于，则由等腰三角形的性质得，再由面面垂直的性质得底面，则，在正方体中，可得从而可证得，则由线面垂直的判定可得平面，进而得；
（1）过点作的平行线，交于，以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）如图，取的中点，连接，连接，交于.
在中，，，，
平面平面，平面底面，平面，
底面，
平面，，
在正方体中，
，，
又，
，即，
平面平面，
平面.
一、解答题
1．（23-24高三下·四川自贡·期末）如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且．
(1)若平面平面，判断与的位置关系并说明理由；
【答案】(1)，理由见解析；
【分析】（1）利用线面平行的判定、性质判断推理即得.
【详解】（1），理由如下：
由分别是的中点，得，而平面，平面，
则平面，又平面平面，平面，
所以.
2．（23-24高三下·江苏镇江·期末）四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点.

(1)当平面时，求的值；
【答案】(1)
【分析】（1）应用线面平行性质定理得出，进而得出比例即可；
【详解】（1）连接交于点，连接，因为当平面平面，平面平面，
所以，所以，
在梯形中，，所以；
3．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，点，，，分别在侧棱，，，上，且，，，
(1)证明：，，，四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用线线平行证明共面即可.
【详解】（1）由题意，在中，，∴，
在中，，∴，∵，
∴，∴，，，四点共面；
4．（24-25高三上·福建泉州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是的中点，点在棱上，且.

(1)若平面平面，证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由证得平面，从而，然后利用线面平行的判断定理得出结论；
【详解】（1）因为四边形正方形，所以.
因为平面平面，所以平面.
又因为平面，平面平面，所以.
因为平面平面，所以平面.
5．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取的中点为，连接，，由面面平行判定证明平面平面，从而得出平面；
【详解】（1）取的中点为，连接，，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，，则，
而平面，平面，故平面，
而，，则，同理可得平面，
而，，平面，故平面平面，
而平面，故平面；
.
6．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四边形与均为直角梯形，平面平面EFAD，，，为的中点，.

(1)证明：，，，四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，,根据中位线结合已知得出四边形与四边形是平行四边形，即可得出，即可证明；
【详解】（1）取的中点，连接，.
因为为的中点，为的中点，且，，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以且.
又因为，且，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，.
所以，，
所以，，，四点共面.
7．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，E为线段AB的中点，M为线段DE的中点，将沿直线DE翻折成，使得平面，F为线段的中点.
(1)求证：平面
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）作辅助线，先证明面面平行，再由面面平行得线面平行；
【详解】（1）取中点，连结，，如图，
由分别为的中点可知，，
又平面，平面，面，
在平行四边形中，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，面，
又平面，平面平面，
而面，平面.
8．（23-24高三下·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点.
(1)若，求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）结合相似三角形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；
【详解】（1）连接，交于点，连接，如图所示.
因为，易得，所以，
又，，所以，
又平面平面，所以平面；
9．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）在直三棱柱中，与交于点是的重心，点在线段（不包括两个端点）上.
(1)若为的中点，证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）作出辅助线，证明出，，从而得到平面平面，证明出线面平行；
【详解】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，
连接，
因为为直三棱柱，所以平面平面，
又分别为的中点，所以，
故四边形为平行四边形，故，
又因为平面平面，平面平面，
所以，
因为平面平面，所以平面，
同理可得平面，
因为平面，且，
所以平面平面，
又平面，所以平面.
10．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先应用线面平行判定定理结合性质定理，再结合面面垂直的性质定理得出线面垂直；
【详解】（1）在正方形中，，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为，平面平面且平面平面，平面，
所以平面，则平面．
11．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，且，平面平面．

(1)证明：平面．
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直进而应用线面垂直的判定定理证明即可；
【详解】（1）由，易得，且四边形为等腰梯形．
在中，由余弦定理，得．
，．
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
平面，．
，与是平面内的两条相交直线，
平面．
12．（2024·江西·模拟预测）如图，在直三棱柱中，平面⊥侧面，点到平面的距离等于1.
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用线线垂直可证明平面，可证明结论.
【详解】（1）过作垂直于，
因为平面⊥侧面，平面侧面，侧面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，又平面，
所以，又因为，平面，
所以平面，又平面，所以，
13．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，，，，为的中点，过点作垂直于，将沿翻折，使得平面平面，点是棱上一点，且平面．
(1)求的值；
【答案】(1)
【分析】（1）由面面垂直得到，作出辅助线，得到平面平面，由面面平行的性质得到，结合折叠前的图形，求出各边边长，求出，，，所以，所以．
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
由题意可知，，故为平面与平面的二面角，
所以．
过点作⊥于点，连接．
显然，平面，平面，所以平面．
又因为平面，，平面，
所以平面平面．
又因为平面平面，平面平面，
所以．
在折叠前的图形中，因为，，
所以．
因为，所以，
易知为的中点，所以，
所以，所以．
14．（24-25高三上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.

(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可；
【详解】（1）

取的中点，连接，
因为矩形ABCD，，，
所以，
由为CD中点，所以，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
由为的中点，为四边形的中位线，，
所以，又平面，，
所以平面，
由平面，所以.
15．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点.将沿折到的位置，.
(1)证明：
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）结合菱形的性质及平行性质得，根据勾股定理得，然后利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理证明即可.
【详解】（1）由已知得，.又由得，故.
因此，从而.由，得.
由得.
所以，.于是，
故.又，而，平面,
所以平面.平面,故；
16．（24-25高三上·河南新乡·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点.
(1)证明：.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）法一：取的中点，连接，通过平面，证明，进而说明平面，即可求证；法二：由空间向量的数量积为0，即可求证；
【详解】（1）证明：（方法一）取的中点，连接.
由题意得平面平面，
所以.
因为平面平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以
，
则，所以，即.
又，所以平面.
因为平面，所以.
（方法二）.
设.由题可知，
则，
所以.
17．（24-25高三上·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，，且，设与的交于点.
(1)证明:平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先通过证明平面，得到，再通过等腰三角形的性质得到，根据线面垂直的判定定理可证平面.
【详解】（1）因为底面为平行四边形，且，
所以为菱形，所以.
又，，平面，且，
所以平面.
因为平面，所以.
在和中：
（）.
所以.
又为中点，所以.
又，平面，且，
所以平面.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 立体几何中的平行与垂直问题易错点
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题型01 线段成比例证线面平行 1
题型02 线面平行的性质定理证线面平行 3
题型03 面面平行证线面平行 4
题型04 四点共面问题 6
题型05 面面垂直的性质定理应用 7
题型06 垂直关系中全等的应用 10
题型01 线段成比例证线面平行
【解题规律·提分快招】
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行。
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线BD和BF上移动，且BM和BN的长度保持相等，记．
(1)证明：平面BCE；
2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，若分别为的重心.
(1)求证：平面；
3．（23-24高三下·广东中山·期中）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型,点E在棱PB上，满足, 点F在棱PC上，满足要求同学们按照以下方案进行切割：

(1)试在棱PC上确定一点G，使得 平面，并说明理由；
②若正四棱锥模型的棱长均为6，求直线与平面α所成角的正弦值.
4．（23-24高三下·安徽亳州·期末）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，点在线段上，且为的重心，点在棱上，且，点在棱上，且.
(1)证明：平面平面；
题型02 线面平行的性质定理证线面平行
【解题规律·提分快招】
线面平行性质定理 文字语言图形语言符号语言 线∥面线∥线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·山东·开学考试）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，已知，，三棱锥的体积为
(1)设平面CAB与平面的交线为l，证明：
2．（2025高三·全国·专题练习）已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：．
3．（2024高三·全国·专题练习）在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与不重合，是线段的两个三等分点，且．若平面和平面的交线为，证明：平面.
4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，点满足．
(1)若平面，求；
(2)若与平面所成的角为，求与平面所成角的大小．
5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，是的中点，．
(1)若平面，求的值以及此时三棱锥的体积；
(2)当时，求直线与平面所成角的正切值．
题型03 面面平行证线面平行
【解题规律·提分快招】
文字语言图形语言符号语言面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·江苏常州·开学考试）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到.
(1)若点为的中点，求证：平面；
2．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，.

(1)求证：平面；
3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面；
4．（2024·江苏南通·二模）如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
(1)若为的中点，证明：平面；
5．（23-24高三下·安徽·期末）如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至.
(1)在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
题型04 四点共面问题
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·山东济南·期末）如图，在四棱柱中，底面ABCD是矩形平面平面ABCD，点E，F分别为棱的中点.
(1)证明：B，EF四点共面；
2．（24-25高三上·陕西汉中·阶段练习）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和一个直三棱柱拼接而成，其中，点G为弧的中点，且四点共面．

(1)证明：四点共面；
3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：//平面，且，，，四点共面；
4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在多面体中，的中点为.
(1)求证：四点共面；
题型05 面面垂直的性质定理应用
【解题规律·提分快招】
1、常见的证明线线垂直的方法
①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一”
如图：AB=AC,D为BC中点，则
②勾股定理的逆定理
如图：如果，则
③正方形、菱形的对角线互相垂直。
如图：四边形ABCD是菱形，所以
④直径所对的圆周角是
如图：AB是圆的直径，
⑤通过证线面垂直证线线垂直
注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。
⑥平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移
2、面面垂直性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·河南信阳·二模）如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为．
(1)求证：；
2．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是的中点．

(1)证明：；
3．（24-25高三上·安徽宣城·期末）如图，在多面体ABCDE中，，，均为等边三角形，平面平面ABC，平面平面ABC，平面平面，M在直线BE上，N在直线l上，，．
(1)证明：平面BCE；
4．（2025·江西新余·一模）如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD.
(1)求证：；
5．（24-25高三上·河南许昌·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，平面为直角梯形，，，，，.
(1)求证：.
题型06 垂直关系中全等的应用
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中， 分别为棱 的中点.
(1)求证：平面；
2．（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.

(1)证明：；
3．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）如图所示，在四棱锥中，，底面为正方形，侧面底面，点是线段的中点.
(1)求证：；
一、解答题
1．（23-24高三下·四川自贡·期末）如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且．
(1)若平面平面，判断与的位置关系并说明理由；
2．（23-24高三下·江苏镇江·期末）四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点.

(1)当平面时，求的值；
3．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，点，，，分别在侧棱，，，上，且，，，
(1)证明：，，，四点共面；
4．（24-25高三上·福建泉州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是的中点，点在棱上，且.

(1)若平面平面，证明：平面；
5．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
6．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四边形与均为直角梯形，平面平面EFAD，，，为的中点，.

(1)证明：，，，四点共面；
7．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，E为线段AB的中点，M为线段DE的中点，将沿直线DE翻折成，使得平面，F为线段的中点.
(1)求证：平面
8．（23-24高三下·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点.
(1)若，求证：平面；
9．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）在直三棱柱中，与交于点是的重心，点在线段（不包括两个端点）上.
(1)若为的中点，证明：平面；
10．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为．
(1)证明：平面；
11．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，且，平面平面．

(1)证明：平面．
12．（2024·江西·模拟预测）如图，在直三棱柱中，平面⊥侧面，点到平面的距离等于1.
(1)求证：；
13．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，，，，为的中点，过点作垂直于，将沿翻折，使得平面平面，点是棱上一点，且平面．
(1)求的值；
14．（24-25高三上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.

(1)求证：；
15．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点.将沿折到的位置，.
(1)证明：
16．（24-25高三上·河南新乡·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点.
(1)证明：.
17．（24-25高三上·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，，且，设与的交于点.
(1)证明:平面；
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